1、第 1页（共 22页） 2021 年安徽省蚌埠市高考数学第三次教学质量检查试卷年安徽省蚌埠市高考数学第三次教学质量检查试卷（理科理科） （三模）（三模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）复数z满足 2021 (1)1izi ，则z的虚部为() A1B1CiDi 2 （5 分）已知集合 2 |23 0Px xx ， Qm若PQQ ，则实数m的取值范围 是() A( 1,3)B(，3C(，13 ，)D 1，3
2、 3 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 1S ， 5 25S ，则 3 ( 3 S ) A3B6C9D12 4 （5 分）国家统计局官方网站 2021 年 2 月 28 日发布了中华人民共和国 2020 年国民经 济和社会发展统计公报 ，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入 史册的伟大成就如图是20162020年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加 值占国内生产总值比重统计图 给出下列说法： 从 2016 年至 2020 年国内生产总值逐年递增； 从 2016 年至 2020 年国内生产总值增长速度逐年递减； 从 2016 年至 2020 年
3、第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增； 从 2016 年至 2020 年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减 第 2页（共 22页） 其中正确的是() ABCD 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| 2a ，()2aba ，| 2 3ab ，向量ab 与b 的夹 角为() A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 6 （5 分）已知随机变量X服从正态分布 2 (2,)N，且 1 (1)(3) 9 P XP X，则 (12)(PX) A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 7 （5 分）已知函数 2 ,1, ( ) (2),1, x ex f x lg xx 则不等式(1)1f
4、x 的解集为() A(1,7)B(0,7)C(1,8)D(,7) 8 （5 分）已知平面、两两垂直，直线a、b、c满足a，b，c，则 直线a、b、c不可能满足的是() A两两垂直B两两平行C两两相交D两两异面 9 （5 分） 某社区计划在管辖的东海大道路段内， 安排志愿者在 6 个路口劝导市民文明出行， 不闯红灯，不乱穿马路，每个路口至多设置 1 个志愿者服务站点，任意相邻的两个路口至少 有一个路口设置 1 个志愿者服务站点，则不同的设置方案种数是() A19B20C21D24 10 （5 分）关于函数 3 2 ( )sincos 3 f xxx，下列命题正确的是() A( )f x不是周期函
5、数 B( )f x在区间0，上单调递减 C( )f x的值域为 1，1 Dx是曲线( )yf x的一条对称轴 第 3页（共 22页） 11 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，以 2 F为焦点的 抛物线 2 :12E yx与椭圆C在第一象限的交点记为P，直线 2 PF与抛物线E的准线l交于点 Q，若 2 | 2|PQF P ，则椭圆C的实轴长为() A4 78B2 74C72D 7 1 2 12 （5 分）若 22 22 loglog41aaabbb，则() A2abB2abC21abD21ba 二、填空题：本题共二、填空题：本
6、题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知实数x，y满足 22 0, 2 0, 1 0, xy xy xy 则zxy的最小值为 14 （5 分） “天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着 陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测2021 年 2 月 10 日，天问一 号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦 点） 2 月 15 日 17 时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星 表面最远的一点）平面机动” ，同时将近火点高度调整至约 265 公里若
7、此时远火点距离约 为 11945 公里，火星半径约为 3400 公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲 线）的离心率约为 （精确到0.1) 15 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D棱长为 2，M为 1 CD中点，则四面体ABDM外接球的 体积为 16 （5 分）已知数列 n a满足： 1 1a ， 2 1 3 a ， 112 121 6(2 nn nn bbbb n aaaa 且)nN， 等比数列 n b公比2q ，令 1 , , nn n n ac b n 为奇数 为偶数 则数列 n c的前n项和 2n S 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明
8、过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17（12分） 已知ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 2222 4 sin2cos 3 acaBacB （1）求sin A； 第 4页（共 22页） （2）若角A为锐角，且ABC的面积为3，求a的最小值 18 （12 分） 已知平面四边形ABCD中，ABAC，ABACADCD， 现将ABC沿AC 折起，使得点B移至点P的位置（如
9、图） ，且PCPD （1）求证：CDPA； （2）若M满足DMDP ，0，1，且二面角CAMD的余弦值为 1 4 ，求 19 （12 分）数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据99盘面上的已知数 字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3 3)内的数字均 含19，不重复数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛 （1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y（秒)与训练 天数x（天)有关，经统计得到如表的数据： x（天)1234567 y（秒)990990450320300240210 现用 b ya x 作为
10、回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过 100 天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？ 参考数据（其中 1 ) i i t x 7 1 ii i t y t 7 22 1 7 i i tt 18450.370.55 参考公式：对于一组数据 1 (u， 1) v， 2 (u， 2) v，( n u，) n v，其回归直线 v u的斜 第 5页（共 22页） 率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 22 1 n ii i n i i u vnu v unu ， vu （2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛” ，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题 的人获胜，两人约定先
11、胜 4 局者赢得比赛若小明每局获胜的概率为 2 3 ，已知在前 3 局中 小明胜 2 局，小红胜 1 局若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率 20 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的虚轴长为 4，直线20 xy为双曲线C 的一条渐近线 （1）求双曲线C的标准方程； （2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，斜率为正的直线l过点(2,0)T，交双曲线C于 点M，N（点M在第一象限） ，直线MA交y轴于点P，直线NB交y轴于点Q，记PAT 面积为 1 S，QBT面积为 2 S，求证： 1 2 S S 为定值 21 （12 分）已知函数( )2 a x
12、 f xxelnxxa ，其中aR （1）若1a ，求函数( )f x在1x 处的切线方程； （2）若( ) 0f x 恒成立，求a的范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 cos 3 2 3sin 3 xt yt ，(t为参数） ， 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin (0)aa，曲线C与
13、l有且只有一个公共点 （1）求实数a的值； （2）若A，B为曲线C上的两点，且 3 AOB ，求| |OAOB的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( )|1|f xmxx，mR，且( )f x的最大值为 1， （1）求实数m的值； （2）若0a ，0b ，abm，求证： 112 4 abab 第 6页（共 22页） 2021 年安徽省蚌埠市高考数学第三次教学质量检查试卷年安徽省蚌埠市高考数学第三次教学质量检查试卷（理科理科） （三模）（三模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
14、 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）复数z满足 2021 (1)1izi ，则z的虚部为() A1B1CiDi 【解答】解：因为 2021 (1)11izii ， 所以 2 1(1)2 1(1)(1)2 iii zi iii ， 所以zi， 故z的虚部为 1 故选：A 2 （5 分）已知集合 2 |23 0Px xx ， Qm若PQQ ，则实数m的取值范围 是() A( 1,3)B(，3C(，13 ，)D 1，3 【解答】解：集合 2 |23 0 | 13Px xxxx ， Qm，PQQ ，
15、QP， 实数m的取值范围是13m 实数m的取值范围是 1，3 故选：D 3 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 1S ， 5 25S ，则 3 ( 3 S ) A3B6C9D12 【解答】解：因为等差数列 n a中， 11 1aS， 所以 5 51025Sd， 所以2d ， 则 3 1 3 3 S ad 第 7页（共 22页） 故选：A 4 （5 分）国家统计局官方网站 2021 年 2 月 28 日发布了中华人民共和国 2020 年国民经 济和社会发展统计公报 ，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入 史册的伟大成就如图是20162020年国内生产总值
16、及其增长速度统计图和三次产业增加 值占国内生产总值比重统计图 给出下列说法： 从 2016 年至 2020 年国内生产总值逐年递增； 从 2016 年至 2020 年国内生产总值增长速度逐年递减； 从 2016 年至 2020 年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增； 从 2016 年至 2020 年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减 其中正确的是() ABCD 【解答】解：对于，由图 1 可知，从 2016 年到 2020 年国内生产总值数不断的增大， 条形图中对应的长方形的高度不断升高，故选项正确； 对于，由图 2 可知，在 2016 年到 2017 年国内生产总值增长的折线是上
17、升的， 从 6.8 到 6.9，故选项错误； 对于，由图 2 可知，2016 年到 2020 年第三产业增加值占国内生产总值比重 从52.452.753.354.354.5，是不断增加的，故选项正确； 对应，由图 2 可知，在 2016 年到 2017 年第二产业增加值 占国内生产总值比重由 39.6 上升到了 39.9，故选项错误 故选：D 第 8页（共 22页） 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| 2a ，()2aba ，| 2 3ab ，向量ab 与b 的夹 角为() A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：向量a ，b 满足| 2a ，()2aba ， 可得 2 2aa
18、 b ，所以2a b ， | 2 3ab ， 22 22 3aa bb ， 2 442 3b ，所以| 2b ， 向量ab 与b 的夹角为， 2 ()243 cos 2|2 324 3 abba bb ab b ， 0，所以 5 6 故选：D 6 （5 分）已知随机变量X服从正态分布 2 (2,)N，且 1 (1)(3) 9 P XP X，则 (12)(PX) A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【解答】解：因为随机变量X服从正态分布 2 (2,)N， 由对称性可知，(1)(3)P XP X， 又 1 (1)(3) 9 P XP X， 所以 1 (1)(3) 3 P XP X， 故
19、 11 1 1(1)(3)1 33 (12) 226 P XP X PX 故选：A 7 （5 分）已知函数 2 ,1, ( ) (2),1, x ex f x lg xx 则不等式(1)1f x 的解集为() A(1,7)B(0,7)C(1,8)D(,7) 【解答】解：当1 1x ，即0 x时， 第 9页（共 22页） 2 (1) 1 x e ，即 1 1 x e ， 10 x ， 1x， 又0 x ， 无解 当11x ，即0 x 时， (12)1lg x ， (3)1lg x， 0310 x， 37x ， 又0 x ， 07x ， 故选：B 8 （5 分）已知平面、两两垂直，直线a、b、c满
20、足a，b，c，则 直线a、b、c不可能满足的是() A两两垂直B两两平行C两两相交D两两异面 【解答】解：平面、两两垂直，直线a、b、c满足a，b，c， 所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线， 所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线 与已知条件整理出的结论不符 故选：B 9 （5 分） 某社区计划在管辖的东海大道路段内， 安排志愿者在 6 个路口劝导市民文明出行， 不闯红灯，不乱穿马路，每个路口至多设置 1 个志愿者服务站点，任意相邻的两个路口至少 有一个路口设置 1 个志愿者服务站点，则不同的设置方案种数是() A19B20C21D24 第 10页（共 22页） 【解答】解：
21、根据题意，在六个路口最多可以设置 6 个，最少需要设置 3 个志愿服务点， 若设置 6 个志愿服务点，有 1 种设置方法， 若设置 5 个志愿服务点，有 5 6 6C 种设置方法， 若设置 4 个志愿服务点，有 4 6 510C 种设置方法， 若设置 3 个志愿服务点，有 3 4 4C 种设置方法， 则一共有1610421种设置方法， 故选：C 10 （5 分）关于函数 3 2 ( )sincos 3 f xxx，下列命题正确的是() A( )f x不是周期函数 B( )f x在区间0，上单调递减 C( )f x的值域为 1，1 Dx是曲线( )yf x的一条对称轴 【解答】解： 3 2 (
22、)cos 3 f xsin xx (2 )( )f xf x，即得( )f x为周期函数，故A错误； 2 ( )2sincossinsin (sin21)fxxxxxx 当0, 2 x 时，sin0 x，sin20 x ( ) 0fx，由此可得( )f x在0，上不单调，故B错误； 令( )0sin0fxx，或sin21x 当sin0 x 时，可得cos1x ，( )1f x ； 当sin21x 时，() 4 xkkZ ，此时 12 ( ) 62 f x 或 12 62 由此可得，函数的最值在函数的极值点处，即当( )0fx时，函数取得最值， 又因为 1212 1,1 6262 ，所以可得函数
23、的值域为( ) 1f x ，1，故C正确； 33 22 ()()cos()cos 33 fxsinxxsin xx ， 33 22 ()()cos()cos 33 fxsinxxsin xx 显然地，()()fxfx，所以x不是函数的对称轴，故D错误 故选：C 第 11页（共 22页） 11 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，以 2 F为焦点的 抛物线 2 :12E yx与椭圆C在第一象限的交点记为P，直线 2 PF与抛物线E的准线l交于点 Q，若 2 | 2|PQF P ，则椭圆C的实轴长为() A4 78B2 74C72D
24、 7 1 2 【解答】解：由题意知， 2(3,0) F， 22 9ab， 过点P作PMl于点M， 由抛物线的定义知， 2 | |PFPM， 2 | 2|PQF P ，| 2|PQPM， 30QPM，即直线PQ的斜率为3， 直线PQ的方程为3(3)yx ， 联立 2 3(3) 12 yx yx ，解得 1 2 3 x y 或 9 6 3 x y ， 点P在第一象限，(1P，2 3)， 将其代入椭圆C的方程，有 22 112 1 ab ， 由解得， 2 114 7a （舍负） ， 27a， 第 12页（共 22页） 椭圆C的实轴长为242 7a 故选：B 12 （5 分）若 22 22 loglo
25、g41aaabbb，则() A2abB2abC21abD21ba 【解答】解：根据题意，可知，0a ，0b 2222 22222 41(1)(2 )(2)2(2 )(2 )2(2 )log bbblog bbblog blogbbblogbbbb ， 222 222 (2 )2(2 )(2 )2(2 )log aaalogbbbblogbbb， 此时，令 2 2 ( )(0,)f xlog xxxx，则由上可得，f（a）(2 )fb， 2 112(2 2) ( )12 22 x lnlnx fxx x lnx ln ， 令 2 ( )(2 2)21g xlnxx ln， 根据二次函数的性质可知
26、， 2 ( 2)8 22 ( 28)lnlnlnln， 021ln， 0， 即得，对于任意的x，恒有( )0( )0g xfx， ( )f x在(0,)上单调递增， 由可得，2ab 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知实数x，y满足 22 0, 2 0, 1 0, xy xy xy 则zxy的最小值为2 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 13页（共 22页） 由zxy，得yxz ，由图可知，当直线yxz 与直线20 xy重合时， z有最大值为 2 故答案为：2 14 （5 分） “天问一号”推
27、开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着 陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测2021 年 2 月 10 日，天问一 号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦 点） 2 月 15 日 17 时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星 表面最远的一点）平面机动” ，同时将近火点高度调整至约 265 公里若此时远火点距离约 为 11945 公里，火星半径约为 3400 公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲 线）的离心率约为0.6 （精确到0.1) 【解答】解：设椭圆的方程为 22 22 1(0)
28、 xy ab ab ， 由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac，最大值为ac， 根据题意可得近火点满足34002653665ac，34001194515345ac， 解得9505a ，5840c ， 所以椭圆的离心率为 5840 0.6 9505 c e a ， 故答案为：0.6 15 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D棱长为 2，M为 1 CD中点，则四面体ABDM外接球的 体积为 8 2 3 【解答】解：如图，连接AM，BM，DM，取BD的中点O，连接OM，OA， 可得2OA ，2OBOD，2OM ，所以O是四面体ABDM外接球的球心，外接球 的半径为2， 第 1
29、4页（共 22页） 所以外接球的体积为： 3 48 2 ( 2) 33 故答案为： 8 2 3 16 （5 分）已知数列 n a满足： 1 1a ， 2 1 3 a ， 112 121 6(2 nn nn bbbb n aaaa 且)nN， 等 比 数 列 n b公 比2q ， 令 1 , , nn n n ac b n 为奇数 为偶数 则 数 列 n c的 前n项 和 2n S 1 2 44 2 3 n nn 【解答】解：因为 1 1a ， 2 1 3 a ， 112 121 6(2 nn nn bbbb n aaaa 且)nN， 可得2n 时， 312 121 6 bbb aaa ，即 1
30、23 36bbb， 由等比数列的 n b的公比为2q ， 即 111 646bbb，解得 1 2b ， 所以2n n b ， 当3n 时， 3124 1232 6 bbbb aaaa ，即 3 8 2343 166 a ， 解得 3 1 5 a ， 又 112 1212 6(3,) nn nn bbbb nnN aaaa ， 可得， 1 12 nnn nnn bbb aaa ， 即 1 12 222 nnn nnn aaa ，化为 21 112 nnn aaa ， 又 132 112 6 aaa ， 所以 1 n a 为等差数列，且公差 21 11 2d aa ， 第 15页（共 22页） 则
31、 1 11 2(1)21 n nn aa ， 所以 21, 2 , n n nn c n 为奇数 为偶数 ， 所以 242 2 1252(43)2 n n Sn 242 (1543)(222 ) n n (143)4(14 ) 214 n nn 1 2 44 2 3 n nn 故答案为： 1 2 44 2 3 n nn 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一
32、一）必考题必考题： 共共 60 分分 17（12分） 已知ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 2222 4 sin2cos 3 acaBacB （1）求sin A； （2）若角A为锐角，且ABC的面积为3，求a的最小值 【解答】解： （1）由 2222 4 sin2cos 3 acaBacB得 2 22 4 3 a bsin B， 即 222 4 sin 3 Bsin Asin B， 因为A，B为三角形内角，sin0B ， 所以 3 sin 2 A ； （2）因为角A为锐角，由（1）可得 3 A ， 因为ABC的面积 13 sin3 24 SbcAbc， 所以4bc ， 由余弦定
33、理得 222 24abcbcbcbc， 所以2a，即a的最小值为 2，当且仅当2bc时取等号 18 （12 分） 已知平面四边形ABCD中，ABAC，ABACADCD， 现将ABC沿AC 折起，使得点B移至点P的位置（如图） ，且PCPD 第 16页（共 22页） （1）求证：CDPA； （2）若M满足DMDP ，0，1，且二面角CAMD的余弦值为 1 4 ，求 【解答】 （1）证明：由题意知，PAAC，即90PAC， ACAD，PCPD，PAPA， PACPAD ， 90PADPAC ，即PAAD， PAAC，ACADA ，AC、AD 平面ACD， PA平面ACD， CD 平面ACD，CDP
34、A （2）解：过点A作AFAD交BC于F，以A为原点，AF，AD，AP所在直线分别为x， y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设2AC ，则(0A，0，0)，( 3C，1，0)，(0D，2，0)，(0P，0，2)， (0AD ，2，0)，(0DP ，2，2)，( 3AC ，1，0)， DMDP ，0，1， (0AMADDMADDP ，22，2 )， 第 17页（共 22页） 设平面ACM的法向量为(nx ，y，) z，则 0 0 n AM n AC ，即 (22 )20 30 yz xy ， 令1x ，则3y ， 3(1) z ，(1n ，3， 3(1) ， 平面ADMx轴，平面ADM的一
35、个法向量为(1m ，0，0)， 二面角CAMD的余弦值为 1 4 ， |cosm ， 2 11 | | | | |4 3(1) 113() m n n mn ， 化简得， 2 3210 ，解得 1 3 或1， 0，1， 1 3 19 （12 分）数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据99盘面上的已知数 字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3 3)内的数字均 含19，不重复数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛 （1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y（秒)与训练 天数x（天)有关，经统计得到如表的
36、数据： x（天)1234567 y（秒)990990450320300240210 现用 b ya x 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过 100 天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？ 参考数据（其中 1 ) i i t x 7 1 ii i t y t 7 22 1 7 i i tt 18450.370.55 参考公式：对于一组数据 1 (u， 1) v， 2 (u， 2) v，( n u，) n v，其回归直线 v u的斜 率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 22 1 n ii i n i i u vnu v unu ， vu （2）小明和小红在数独
37、APP上玩“对战赛” ，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题 第 18页（共 22页） 的人获胜，两人约定先胜 4 局者赢得比赛若小明每局获胜的概率为 2 3 ，已知在前 3 局中 小明胜 2 局，小红胜 1 局若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率 【解答】解： （1）由题意， 1 (990990450320300240210)500 7 y ， 令 1 t x ，设y关于t的线性回归方程为 ybta，则 7 1 7 22 1 7 184570.37500 1000 0.55 7 ii i i i tyty b tt ， 则50010000.37130a 1000130yt， 又 1
38、 t x ，y关于x的回归方程为 1000 130y x ， 故100 x 时，140y 经过 100 天训练后，每天解题的平均速度y约为 140 秒； （2）设比赛再继续进行X局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜， 由题意知，最多再进行 4 局就有胜负 当2X 时，小明4:1胜， 224 (2) 339 P X； 当3X 时，小明4:2胜， 1 2 2228 (3)(1) 33327 P XC； 当4X 时，小明4:3胜， 12 3 2224 (4)(1) 33327 P XC 小明最终赢得比赛的概率为 4848 927279 20 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0)
39、 xy Cab ab 的虚轴长为 4，直线20 xy为双曲线C 的一条渐近线 （1）求双曲线C的标准方程； （2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，斜率为正的直线l过点(2,0)T，交双曲线C于 点M，N（点M在第一象限） ，直线MA交y轴于点P，直线NB交y轴于点Q，记PAT 面积为 1 S，QBT面积为 2 S，求证： 1 2 S S 为定值 【解答】解： （1）由题意可得2b ， 因为一条渐近线方程为2yx， 第 19页（共 22页） 所以2 b a ，解得1a ， 则双曲线的方程为 2 2 1 4 y x ； （2）证明：可得( 1,0)A ，(1,0)B， 设直线:2l xny，
40、1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 联立 2 2 1 4 2 y x xny ，整理可得 22 (41)16120nyny， 可得 12 2 16 41 n yy n ， 12 2 12 41 y y n ， 即有 1212 3 () 4 ny yyy ， 设直线 1 1 :(1) 1 y MA yx x ，可得 1 1 (0,) 1 y P x ， 设直线 2 2 :(1) 1 y NB yx x ，可得 2 2 (0,) 1 y Q x ， 又| 3AT ，| 1BT ， 所以 1 1112 2 221 2 3| 1(1) 3| (3) | 1 y Sxy ny y S
41、y ny x 121 121 122 122 3 () 4 3| 3| 3 3 ()3 4 yyy ny yy ny yy yyy 12 12 3 3| 39 yy yy 1 21 （12 分）已知函数( )2 a x f xxelnxxa ，其中aR （1）若1a ，求函数( )f x在1x 处的切线方程； （2）若( ) 0f x 恒成立，求a的范围 【解答】解： （1）( )f x的定义域是(0,)， 由1a ，得 1 1 ( )(1)1 x fxx e x ， f （1）0，f（1）0， 则函数( )f x在1x 处的切线方程为0y ； 第 20页（共 22页） （2） 1(1)()
42、( )(1)1 x a a x x a xex fxx e xxe ， 令( )(0) x a g xex x ，则( )1 x a g xe ， 若0a，则( )0g x在(0,)恒成立， ( )g x在(0,)上单调递增， 1 (0)0 a g e ，( )0g x， ； 若0a ，令( )0g x，解得：xa， 当0 xa时，( )0g x，( )g x单调递减， 当xa时，( )0g x，( )g x单调递增， 若01a ，g（a）10a ，故( ) 0g x ， 若1a ，g（1） 1 10 a eaa ， 又(0)0 a ge，(2 )20 a gaea， 故存在 12 01xx，
43、使 12 ()()0g xg x， 即 1 1 xa ex ， 2 2 xa ex ，从而 11 xlnxa， 22 xlnxa， 且0 x a ex 的解为 1 0 xx或 2 xx， 0 x a ex 的解为 12 xxx， 从而当1a时，( )0fx的解为1x ，( )f x单调递增， ( )0fx的解为01x，( )f x单调递减， 故( )minf xf（1） 1 120 a ea ，( ) 0f x 恒成立， 当1a 时，( )0fx的解为 2 xx或 1 1xx，( )f x单调递增， ( )0fx的解为 2 1xx或 1 0 xx，( )f x单调递减， 1 1111 ( )2
44、10 a x f xx elnxxaa ，不合题意， 综上：当1a时，( ) 0f x 在(0,)上恒成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 21页（共 22页） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 cos 3 2 3sin 3 xt yt ，(t为参数） ， 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin (0)aa，曲线C与l有且
45、只有一个公共点 （1）求实数a的值； （2）若A，B为曲线C上的两点，且 3 AOB ，求| |OAOB的最大值 【解答】解： （1）直线l的参数方程为 2 cos 3 2 3sin 3 xt yt ，(t为参数） ，转换为普通方程为 330 xy 曲线C的极坐标方程为2 sin (0)aa，根据 222 cos sin x y xy ， 转换为直角坐标方程为 222 ()xyaa， 因为曲线C与l有且只有一个公共点 所以圆心(0, )a到直线330 xy的距离 |03| 31 a da 解得1a ，故1a （2）设 1 (A，)， 2 (,) 3 B ， 所以 12 | | |2sin2sin()| |12sin(2)|3 36 OA OB ， 当 3 时，| |OAOB的最大值为 3 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( )|1|f xmxx，mR，且( )f x的最大值为 1， （1）求实数m的值； （2）若0a ，0b ，abm，求证： 112 4 abab 【解答】 （1）解：|1|(1)| 1xxxx，当(1) 0 x x 时取到等号， ( )11 max f xm ， 2m 第 22页（共 22页） （2）证明：由0a ，0b ，2 2abab ， 1ab， 11224 4 ab ababababab ， 当且仅当1ab时取等号
