1、第 1页（共 18页） 2021 年广西桂林市年广西桂林市、崇左市崇左市、贺州市高考数学联考试卷贺州市高考数学联考试卷（文科文科） （4 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1，2， |(1)Bx yln x，则(AB ) A 1，0，1B 1，0C1，2D2 2 （5 分）已知复数z满足8zz，25z z，则(z ) A34iB34i C43iD43i 3 （5 分）椭圆
2、 22 :1 32 yx C的离心率为() A 2 3 B 2 2 C 3 3 D 6 3 4 （5 分）2021 年开始，我省将试行“312 “的普通高考新模式，即除语文、数学、外 语 3 门必选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作 为选考科目 为了帮助学生合理选科， 某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均 缩放成 5 分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是( ) A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、历史 D对甲而言，物理、
3、化学、地理是比较理想的一种选科结果 5 （5 分）已知 0.2 log2a ， 0.3 2b ， 0.3 0.2c ，则() AacbBabcCcabDbca 第 2页（共 18页） 6 （5 分）已知( )f x是奇函数，当0 x时，( )1 x f xe（其中e为自然对数的底数） ，则 1 ()( 2 f ln) A1B1C3D3 7（5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是它们所在线段的中点， 则满足 1 / /A F 平面 1 BD E的图形个数为() A0B1C2D3 8 （5 分）若tan2sin()，则cos2() A 1 4 B1C 1 2 或 0D
4、1 2 或 1 9 （5 分）设曲线ylnx与 2 ()yxa有一条斜率为 1 的公切线，则(a ) A1B 3 4 C 1 4 D 3 4 10 （5 分）已知双曲线 22 :1 169 xy C的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A， B两点，且60AFB，则ABF的面积为() A3B 9 2 C3 3D6 3 11 （5 分）某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中 的两门课程已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁 与丙没有相同课程则以下说法错误的是() A丙有可能没有选素描 B丁有可能没有选素描 C乙丁可能两门课都相同 D
5、这四个人里恰有 2 个人选素描 12 （5 分）如图，A，B，C，D，P是球O上 5 个点，ABCD为正方形，球心O在平面 ABCD内，PBPD，2PAPC，则PA与CD所成角的余弦值为() 第 3页（共 18页） A 3 3 B 5 5 C 6 3 D 10 5 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知 1 e ， 2 e 均为单位向量，若 12 |3ee ，则 1 e 与 2 e 的夹角为 14 （5 分）若实数x，y满足约束条件 2, 22 0, 1 0, y xy xy 则2zxy的最大值为 15 （5
6、分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若cos(sincos)cosACCB， 2a ，2c ，则角C大小为 16 （5 分）如图，函数( )2sin()(0f xx ，0)的图象与坐标轴交于点A，B， C，直线BC交( )f x的图象于点D，O（坐标原点）为ABD的重心（三条边中线的交点） ， 其中(,0)A，则ABD的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
7、。题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）已知 n a是等差数列， 1 1a ， 4 10a ，且 1 a，(*) k akN， 6 a是等比数列 n b 的前 3 项 （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）数列 n c是由数列 n a的项删去数列 n b的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求 数列 n c的前 20 项的和 18（12 分） 如图， 在边长为 2 的菱形ABCD中，60ADC， 现将ADC沿AC边折到APC 第 4页（共 18页） 的位置 （1）求证：PBAC； （2）求三棱锥PABC体积的最大值 19 （1
8、2 分）某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率利润保费收入）的频率 分布直方图如图所示： （）试估计平均收益率； （）根据经验，若每份保单的保费在 20 元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份） 与x（元)有较强线性相关关系， 从历史销售记录中抽样得到如下 5 组x与y的对应数据： x（元)2530384552 销售y（万册）7.57.16.05.64.8 据此计算出的回归方程为10.0ybx ( ) i求参数b的估计值； ( )ii若把回归方程10.0ybx当作y与x的线性关系，用（）中求出的平均收益率估计此 产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大
9、收 益 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过F的所有弦中，最短弦长为 4 （1）求抛物线C的方程； （2）在抛物线C上有异于顶点的两点A，B，过A，B分别做C的切线记两条切线交于点 第 5页（共 18页） Q，连接QF，AF，BF，求证： 2 | |QFAFBF 21 （12 分）已知函数( ) x f xexa，对于xR ，( ) 0f x 恒成立 （1）求实数a的取值范围； （2）证明：当0, 4 x 时，costan x xx e (二）选考题：共二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题
10、中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线 22 1: (2)4Cxy上的动点，将OP 绕点O顺时针旋转90得到OQ，设点Q的轨迹为曲线 2. C以坐标原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点(3,) 2 M ，射线(0) 3 与曲线 1 C， 2 C分别相交于异于极点O的 A，B两点，求MAB的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 1 ( ) | 2
11、f xxx，其中0 （1）若对任意xR，恒有 1 ( ) 2 f x ，求的最小值； （2）在（1）的条件下，设的最小值为t，若正数m，n满足2mntmn，求2mn的 最小值 第 6页（共 18页） 2021 年广西桂林市年广西桂林市、崇左市崇左市、贺州市高考数学联考试卷贺州市高考数学联考试卷（文科文科） （4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合
12、1A ，0，1，2， |(1)Bx yln x，则(AB ) A 1，0，1B 1，0C1，2D2 【解答】解：集合 1A ，0，1，2， |(1) |1Bx yln xx x， 2AB 故选：D 2 （5 分）已知复数z满足8zz，25z z，则(z ) A34iB34i C43iD43i 【解答】解：设( ,)zabi a bR，依题意得，28a ， 22 25ab 解得4a ，3b ， 所以43zi 故选：C 3 （5 分）椭圆 22 :1 32 yx C的离心率为() A 2 3 B 2 2 C 3 3 D 6 3 【解答】解：椭圆 22 :1 32 yx C，可知3a ，2b ，32
13、1c ， 所以椭圆的离心率为 3 3 c e a 故选：C 4 （5 分）2021 年开始，我省将试行“312 “的普通高考新模式，即除语文、数学、外 语 3 门必选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作 为选考科目 为了帮助学生合理选科， 某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均 缩放成 5 分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是( 第 7页（共 18页） ) A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、历史 D对甲而言，物理、化学、地
14、理是比较理想的一种选科结果 【解答】解：甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、生物（物理） ， C选项错， 故选：C 5 （5 分）已知 0.2 log2a ， 0.3 2b ， 0.3 0.2c ，则() AacbBabcCcabDbca 【解答】解： 0.20.2 log2log10a ，0a， 0.30 221b ，1b ， 0.30 00.20.21c，01c ， acb， 故选：A 6 （5 分）已知( )f x是奇函数，当0 x时，( )1 x f xe（其中e为自然对数的底数） ，则 1 ()( 2 f ln) A1B1C3D3 【解答】解： 1 ()(2) 2 f
15、lnfln ( )f x是奇函数，()( )fxf x 当0 x时，( )1 x f xe， 第 8页（共 18页） 则 2 1 ()(2)(2)(1)1 2 ln f lnflnf lne 故选：A 7（5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是它们所在线段的中点， 则满足 1 / /A F 平面 1 BD E的图形个数为() A0B1C2D3 【解答】解：中，平移 1 A F至 1 D F，可知 1 D F与面 1 BD E只有一个交点 1 D，则 1 A F与平 面 1 BD E不平行； 中，由于/ /AFDE，而AF 平面BDE，DE 平面BDE，故 1 / /
16、A F平面 1 BD E； 中，平移 1 A F至 1 D F，可知 1 D F与面 1 BD E只有一个交点 1 D，则 1 A F与平面 1 BD E不平 行； 故选：B 8 （5 分）若tan2sin()，则cos2() A 1 4 B1C 1 2 或 0D 1 2 或 1 【解答】解：由题设得， sin 2sin cos ， 所以sin0，或 1 cos 2 所以 2 cos212sin1 ，或 2 1 cos22cos1 2 故选：D 9 （5 分）设曲线ylnx与 2 ()yxa有一条斜率为 1 的公切线，则(a ) 第 9页（共 18页） A1B 3 4 C 1 4 D 3 4
17、【解答】解：设与曲线ylnx相切的切点为( , )m n， ylnx的导数为 1 y x ， 由切线的斜率为 1，可得 1 1 m ，即1m ， 则切点为(1,0)， 切线的方程为1yx， 与 2 ()yxa联立，可得 22 (21)10 xaxa ， 由 22 (21)4(1)0aa，解得 3 4 a ， 故选：B 10 （5 分）已知双曲线 22 :1 169 xy C的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A， B两点，且60AFB，则ABF的面积为() A3B 9 2 C3 3D6 3 【解答】解：设双曲线的左焦点为 1 F，连接 1 AF， 1 BF， 由双曲线的定义知， 1 |
18、28BFBFa， 1 |210F Fc， 由双曲线的对称性知， 11 AFFBF F ， 60AFB，即 11 60AFFBFF ， 11 60BF FBFF ， 1 120F BF， 在 1 F BF中，由余弦定理知， 22222 11111 1 11 |(|)2| | cos 2| |2| | BFBFFFBFBFBFBFFF FBF BFBFBFBF ， 1 1 642| | 1001 22| | BFBF BFBF ， 1 | | 12BFBF， ABF的面积 1 11 11 | | sin12sin1203 3 22 F BF SSBFBFFBF 第 10页（共 18页） 故选：C
19、11 （5 分）某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中 的两门课程已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁 与丙没有相同课程则以下说法错误的是() A丙有可能没有选素描 B丁有可能没有选素描 C乙丁可能两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选素描 【解答】解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描 那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描； 若丙没选素描，则丁必定选择了素描 综上，必定有且只有 2 人选择素描，选项A，B，D判断正确 不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修， 则对于素描与摄影可能出现如下两种情况： 情形一： 甲乙
20、丙丁 素描 摄影 情形二： 甲乙丙丁 素描 摄影 由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确 第 11页（共 18页） 故选：C 12 （5 分）如图，A，B，C，D，P是球O上 5 个点，ABCD为正方形，球心O在平面 ABCD内，PBPD，2PAPC，则PA与CD所成角的余弦值为() A 3 3 B 5 5 C 6 3 D 10 5 【解答】解：ABCD为正方形，故/ /ABCD，所以PAB即为所求异面直线所成角， 设球O的半径为R，由题意可得 222 4PAPCR，又2PAPC， 可得 4 5 R PA ，2ABR，2PBPDPOBDPBR， 所以 222 16 22 10 5
21、cos 4 5 22 5 RRR PAB R R 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知 1 e ， 2 e 均为单位向量，若 12 |3ee ，则 1 e 与 2 e 的夹角为 2 3 【解答】解：根据题意，设 1 e 与 2 e 的夹角为， 1 e ， 2 e 均为单位向量，若 12 |3ee ，则 2 12 |3ee ， 变形可得： 1 cos 2 ， 又由0，则 2 3 ， 故答案为： 2 3 14 （5 分）若实数x，y满足约束条件 2, 22 0, 1 0, y xy xy 则2zxy的最
22、大值为4 第 12页（共 18页） 【解答】解：作出可行域如图所示， 则当直线2zxy过点A时直线的截距最大，z取最大值 由 2 10 y xy 3 2 x y ； (3, 2)A，z取最大值：2324 故答案为：4 15 （5 分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若cos(sincos)cosACCB， 2a ，2c ，则角C大小为 6 【解答】解：因为cos(sincos)cosACCB，所以cos(sincos)cos()ACCAC ， 所以cossinsinsinACAC，所以sin(cossin)0CAA， 因为(0, )C，sin0C，所以cossinAA，则tan1A
23、，所以 4 A ， 又 2 sinsin a AC ，则 1 sin 2 C ，因为ca，所以0 4 C ，故 6 C 故答案为： 6 16 （5 分）如图，函数( )2sin()(0f xx ，0)的图象与坐标轴交于点A，B， C，直线BC交( )f x的图象于点D，O（坐标原点）为ABD的重心（三条边中线的交点） ， 其中(,0)A，则ABD的面积为 3 3 2 【解答】解：因为O为ABD的重心，(,0)A， 所以 2 3 OAAC， 所以 3 2 AC， 所以(,0) 2 C ， 第 13页（共 18页） 所以 3 22 T ， 2 3 因为 2 () 3 k ， 所以 2 3 k ，
24、又0， 所以 2 3 ， 所以 22 ( )2sin() 33 f xx ， 于是 22 |(0)2sin(0)3 33 OBf ， 故ABD的面积为 133 3 23 222 S 故答案为： 3 3 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）已知 n a是等差数列， 1 1a
25、， 4 10a ，且 1 a，(*) k akN， 6 a是等比数列 n b 的前 3 项 （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）数列 n c是由数列 n a的项删去数列 n b的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求 数列 n c的前 20 项的和 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 由 1 1a ， 4 10a ，可得1310d，解得3d ， 则13(1)32 n ann ； 且 1 a，(*) k akN， 6 a是等比数列 n b的前 3 项， 可得 2 16k aa a，即有 2 (32)16k ，解得2k ， 则等比数列 n b的公比为 2 1 4 a a
26、 ， 则 1 4n n b ； （2）由（1）可得32 n an， 1 4n n b ， 第 14页（共 18页） 当取数列 n a的前 24 项时，包含数列 n b的前 4 项， 此时 n c中包含 20 项， 所以数列 n c的前 20 项的和为 1 24 12423 3(141664) 2 767 18（12 分） 如图， 在边长为 2 的菱形ABCD中，60ADC， 现将ADC沿AC边折到APC 的位置 （1）求证：PBAC； （2）求三棱锥PABC体积的最大值 【解答】解： （1）证明：如图 取AC的中点为O，连接PO、OB（1 分） 易得ACPO，ACOB（3 分） AC平面POB
27、（5 分） 又PB在平面POB内ACPB（6 分） （2） PABCA POBCPOB VVV （8 分） 1 sin 3 POB AC SPOB （10 分） 当90POB时， PABC V 的最大值为1（12 分） 19 （12 分）某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率利润保费收入）的频率 分布直方图如图所示： （）试估计平均收益率； 第 15页（共 18页） （）根据经验，若每份保单的保费在 20 元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份） 与x（元)有较强线性相关关系， 从历史销售记录中抽样得到如下 5 组x与y的对应数据： x（元)2530384552 销售y（万册）7.57
28、.16.05.64.8 据此计算出的回归方程为10.0ybx ( ) i求参数b的估计值； ( )ii若把回归方程10.0ybx当作y与x的线性关系，用（）中求出的平均收益率估计此 产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收 益 【解答】解： （）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55， 取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05， 平均收益率为0.050.100.150.200.250.250.350.300.450.100.550.05 4 1 (503006251050450275)0.275
29、10 （） 2530384552190 ( )38 55 i x ， 7.57.16.05.64.831 6.2 55 y 所以 10.06.2 0.10 38 b ( )ii设每份保单的保费为20 x元，则销量为100.1yx， 则保费收入为( )(20)(100.1 )f xxx万元， 22 ( )20080.13600.1(40)f xxxx 当40 x 元时，保费收入最大为 360 万元， 保险公司预计获利为3600.27599万元 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过F的所有弦中，最短弦长为 4 （1）求抛物线C的方程； （2）在抛物线C上有异于顶
30、点的两点A，B，过A，B分别做C的切线记两条切线交于点 第 16页（共 18页） Q，连接QF，AF，BF，求证： 2 | |QFAFBF 【解答】解： （1）当过F的直线的斜率不存在时，此时弦长为2p， 当过F的直线的斜率存在时， 设直线的方程为() 2 p yk x， 与抛物线的方程 2 2ypx联立， 可得 22 222 (2)0 4 p k k xp kx， 可得弦长 12 22 22 22 pp lxxppppp kk ， 所以最短弦长为24p ，即2p ， 所以抛物线的方程为 2 4yx； （2）证明：可设 2 1 ( 4 y A， 1) y， 2 2 ( 4 y B， 2) y，
31、 过A的切线AQ的方程为 2 1 11 () 4 y yk xy， 与 2 4yx联立，可得 2 2111 1 0 44 kk y yyy， 由 2 11 11 1()0 4 k y k y ，解得 11 2k y ， 所以切线AQ的方程为 2 1 1 2 2 y y yx， 同理可得切线BQ的方程为 2 2 2 2 2 y y yx， 联立可得Q的坐标为 12 ( 4 y y ， 12) 4 yy ， 于是 22 12 | | (1)(1) 44 yy AFBF， 2222222 221212121212 () |(1)1(1)(1) 44164444 y yyyy yyyyy QF ， 所
32、以 2 | |QFAFBF 21 （12 分）已知函数( ) x f xexa，对于xR ，( ) 0f x 恒成立 （1）求实数a的取值范围； （2）证明：当0, 4 x 时，costan x xx e 【解答】解： （1）由0 x exa 恒成立，得 x a ex对xR 恒成立， 令( ) x g xex，( )1 x g xe， 当0 x ，( )0g x，( )g x单调递增， 第 17页（共 18页） 当0 x ，( )0g x，( )g x单调减，( )(0)1 min g xg， 故所求实数a的取值范围为(，1； （2）证明：由（1）得1 x ex 欲证costan x xx e
33、，只需证costan1xx x即可， 令( )costan1h xxxx， 22 222 1sin (sincos)sin (sinsin1) ( )sin1 coscoscos xxxxxx h xx xxx ， 令 2 ( )sinsin1F xxx，则易知( )F x在0, 4 单调递增，且(0)0F，()0 4 F ， 故存在 0 (0,) 4 x ，使得 0 ()0F x； 当0 x， 0) x时，( )0F x ，( ) 0h x，( )h x单调递减， 当 0 (, 4 xx 时，( )0F x ，( )0h x，( )h x单调递增， 又(0)0h， 2 ()0 424 h ，
34、( )(0)0 max h xh， 故当0, 4 x 时，costan x xx e (二）选考题：共二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线 22 1: (2)4Cxy上的动点，将OP 绕点O顺时针旋转90得到OQ，设点Q的轨迹为曲线 2. C以坐标原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）在极坐标系中
35、，点(3,) 2 M ，射线(0) 3 与曲线 1 C， 2 C分别相交于异于极点O的 A，B两点，求MAB的面积 【解答】解： （1）由题知点Q的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆， 所以曲线 2 C的方程为 22 (2)4xy（2 分） 222 xy，cosx，siny， 所以曲线 1 C的极坐标方程为4sin，（4 分） 曲线 2 C的极坐标方程为4cos（5 分） （2）在极坐标系中，设点A，B的极径分别为 1 ， 2 ， 第 18页（共 18页） 所以 12 | | 4|sincos| 2( 31) 33 AB ，（7 分） 点(3,) 2 M 到射线(0) 3 的距离为 3
36、3sin 62 h ，（8 分） 故MAB的面积 13( 31) | 22 SAB h （10 分） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 1 ( ) | 2 f xxx，其中0 （1）若对任意xR，恒有 1 ( ) 2 f x ，求的最小值； （2）在（1）的条件下，设的最小值为t，若正数m，n满足2mntmn，求2mn的 最小值 【解答】解： 111 ( ) |()()| | 222 f xxxxx， 1 ( )| 2 min f x， 对任意xR，恒有 111 ( )| 222 f x，解得1或0， 又0，故1，所以的最小值为 1 （2）由（1）得1t ，2mnmn， 21 1 mn ， 2122 2(2)()5 2 459 mn mnmn mnnm ， 当且仅当 22mn nm ，即3mn时取等号， 2mn的最小值为 9
