2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）.docx

1、第 1页（共 21页） 2021 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1（5分） 已知全集UR， 集合 | 22Axx ， 2 |31 x By y， 则()( U AB ) A 1，2)B( 2，1C( 1,2)D 2，1) 2 （5 分）已知复数 102 ( 32 i zi i 为虚数单位） ，则| (z ) A1B4C2 3D2

2、 2 3 （5 分）设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的虚轴长为 2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线 方程为() A2yx B2yx C 2 2 yx D 1 2 yx 4 （5 分）某校拟从 1200 名高一新生中采用系统抽样的方式抽取 48 人参加市“抗疫表彰大 会” ，如果编号为 237 的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是() A327B937C387D1087 5 （5 分）已知a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，c ，a， b，则“a，b相交“是“a，c相交”的() A充要条件B必要不充分条件 C充分不必要条件D既不充分也不必要条件 6

3、（5 分）已知 23 log 3 log 5a ， 2 9 log 4 b ， 0.99 2c ，则() AacbBcabCabcDcba 7 （5 分） 孙子算经中有如下问题： “今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄 四，主责本粟问：三鸡各偿几何 ”意思是： “今有 3 只鸡一起吃 1001 粒谷子，小鸡吃 1 粒，母鸡吃 2 粒，公鸡吃 4 粒要一起吃完这堆谷子，问：3 只鸡各要吃多少？”为了研究 小鸡吃了多少谷子，设计了如图所示的程序框图，则输出k的值为() 第 2页（共 21页） A141B142C143D144 8 （5 分）已知 51 sin() 123 x ，则 2021

4、 cos(2 )( 6 x ) A 2 3 B 7 9 C 8 9 D 2 3 9（5 分） 在面积为S的ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若 22 4 3 tan S bc A ， 则(a ) A1B3C2D3 10 （5 分）函数 1 ( )sin 1 x x e f xx e 在区间，上的图象大致为() AB CD 11 （5 分）把圆心角为 2 3 的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的体积与它的外接球的体积 之比为() 第 3页（共 21页） A 243 256 B 128 243 C 128 729 D 256 729 12 （5 分）已知( )f x为奇函数，当0 x

5、，1时， 1 ( )12| 2 f xx ；当(, 1)x ， 1 ( )1 x f xe ，若关于x的不等式()( )f xmf x恒成立，则实数m的取值范围为() A(1，2)(2，)B 1 (2,2)(2,) 2 ln C 11 (2, 1)(2,) 22 lnln D 1 (2 2,2)(2,) 2 ln 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知 10210 01210 (2) xaa xa xa x，则 12310 aaaa 14 （5 分） 在正方形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F， 若

6、BFABAD ， 则的值是 15 （5 分）已知函数( )sin()(04f xx，|) 2 ， 7 ()()0 1212 ff ，则 ( )f x 16 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点 00 (,2 2)() 2 p M xx 是抛物线C上 一点，以M为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线 2 p x 截得的弦长为3 |MA，若 | 2 | MA AF ，则|AF 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每

7、个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （12 分）在数列 n a中，0 n a ， 1 1a ， 22* 11 26() nnnn aaaa nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 21 log n n n a b a ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）如图，在四棱台 1111 ABCDABC D中， 1 AA 底面ABCD，四边形ABCD为菱 形，120BAD， 111 22ABAAA B （1）若M为CD的中点，求证： 1 AMB B； （2）求直线 1 AD与平面 1 ABD所成角的正弦值

8、第 4页（共 21页） 19 （12 分）每年的 3 月 12 日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树 节期间开展植树有奖活动， 设有甲、 乙两个摸奖箱， 每箱内各有 8 个大小质地完全相同的球， 甲箱内有 3 个红球，5 个黄球，乙箱内有 3 个红球，4 个黄球，1 个黑球，摸奖环节安排在 植树活动结束后， 每位植树者植树每满 25 棵获得一次甲箱内摸奖机会， 植树每满 40 棵获得 一次乙箱内摸奖机会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖 50 元，两球颜色 不同奖 20 元，摸得两黄球则没有奖金，为体现公平性，植树总数低于 80 棵的员工，只能选 择甲、乙两个摸奖

9、箱中的一个进行摸奖；植树总数不低于 80 棵的员工，可自由搭配甲、乙 两箱内的摸奖次数 （1）经统计，该公司此次植树活动共有 200 名员工参加，且植树棵数X近似服从正态分布 (25,25)N，请估计植树的棵数X在区间(20，25内的人数（结果四舍五入取整数） ； （2）某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量Y（单位：元） ，求Y的 分布列； （3）某人植树 90 棵，有三种摸奖方法，方法一：甲箱内摸奖三次；方法二：乙箱内摸奖两 次；方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次请问：这位植树者选哪种方法所得奖金的 期望值最大 附：若 2 ( ,)XN ，则()0.6827PX，(22

10、 )0.9545PX 20 （12 分）已知函数 2 ( )2() a f xlnxaR x （1）讨论函数( )f x的极值； （2）设( )( )2g xf xalnxx，若( )g x有三个零点，求实数a的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 2 2 ， 点 0 (P x， 0) y在椭圆C上，当 112 PFF F时， 12 PF F的面积为 2 2 （1）求椭圆C的方程； 第 5页（共 21页） （2）过点 2 F的直线与椭圆C交于A，B两点，求 1 ABF面积的最大值； （3）过点 0 (P

11、 x， 0) y的直线l与椭圆C相切，且直线l与圆 22 250 xyx相交于M，N 两点，证明： 11 F MF N （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方 程为 3 2cos0 ，曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 4 （1）求曲线 1 C， 2 C的直角坐标方程； （2）设过点( 2,1)M 且与曲线

12、 2 C平行的直线交曲线 1 C于A，B两点，求|MA MB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c都为正实数，且3abc证明： （1）212121 3 3abc ； （2） 1111 118 ()()() 33327abc 第 6页（共 21页） 2021 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

13、一项是符合题目要求的。 1（5分） 已知全集UR， 集合 | 22Axx ， 2 |31 x By y， 则()( U AB ) A 1，2)B( 2，1C( 1,2)D 2，1) 【解答】解：全集UR，集合 | 22Axx ， 2 |31 |1 x By yy y ， |1 UB y y， ()( 2 U AB ，1 故选：B 2 （5 分）已知复数 102 ( 32 i zi i 为虚数单位） ，则| (z ) A1B4C2 3D2 2 【解答】解： 102 32 i z i ， 22 22 10( 2)102|102 |104 | |2 2 32|32 |13 32 ii z ii 故选

14、：D 3 （5 分）设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的虚轴长为 2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线 方程为() A2yx B2yx C 2 2 yx D 1 2 yx 【解答】解：由已知得到 22 1,3,2bcacb， 因为双曲线的焦点在x轴上， 故渐近线方程为 2 2 b yxx a ； 故选：C 4 （5 分）某校拟从 1200 名高一新生中采用系统抽样的方式抽取 48 人参加市“抗疫表彰大 会” ，如果编号为 237 的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是() 第 7页（共 21页） A327B937C387D1087 【解答】解：依据题意，抽样间隔为

15、 25， 又 237 除以 25 的余数为 12， 故所抽取的编号为：1225 (0k k，1，47)， 所以 327 不符合 故选：A 5 （5 分）已知a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，c ，a， b，则“a，b相交“是“a，c相交”的() A充要条件B必要不充分条件 C充分不必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：若a，b相交，a，b，则其交点在交线c上，故a，c相交， 若a，c相交，可能a，b为相交直线或异面直线 综上所述：a，b相交是a，c相交的充分不必要条件 故选：C 6 （5 分）已知 23 log 3 log 5a ， 2 9 log 4 b ， 0.99 2c

16、 ，则() AacbBcabCabcDcba 【解答】解： 2 log 52a ， 222 8180 logloglog 5 1616 ba，2c ， cab 故选：B 7 （5 分） 孙子算经中有如下问题： “今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄 四，主责本粟问：三鸡各偿几何 ”意思是： “今有 3 只鸡一起吃 1001 粒谷子，小鸡吃 1 粒，母鸡吃 2 粒，公鸡吃 4 粒要一起吃完这堆谷子，问：3 只鸡各要吃多少？”为了研究 小鸡吃了多少谷子，设计了如图所示的程序框图，则输出k的值为() 第 8页（共 21页） A141B142C143D144 【解答】解：模拟程序的运行，可得

17、第 1，10017994S ，2k ； 第 2，9947987S ，3k ； 第 143 次，770S ，144k ， 则输出k的值为 144 故选：D 8 （5 分）已知 51 sin() 123 x ，则 2021 cos(2 )( 6 x ) A 2 3 B 7 9 C 8 9 D 2 3 【解答】解：因为 51 sin() 123 x ， 则 2 202155517 cos(2 )cos(3362 )cos(2)12sin ()12 6661299 xxxx 故选：B 9（5 分） 在面积为S的ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若 22 4 3 tan S bc A ，

18、 则(a ) A1B3C2D3 第 9页（共 21页） 【解答】解：因为 22 4 3 tan S bc A ， 由三角形的面积公式可得： 22 2sin 3 tan bcA bc A ，即 22 32cosbcbcA， 由余弦定理可得： 222 2cos3abcbcA， 所以3a 故选：B 10 （5 分）函数 1 ( )sin 1 x x e f xx e 在区间，上的图象大致为() AB CD 【解答】解：由 11 ()sin()sin( ) 11 xx xx ee fxxxf x ee ，可知( )f x为偶函数，排除B， 又由当0 x，时， 1 ( )sin0 1 x x e f x

19、x e 排除CD， 故选：A 11 （5 分）把圆心角为 2 3 的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的体积与它的外接球的体积 之比为() A 243 256 B 128 243 C 128 729 D 256 729 【解答】解：设扇形的半径为l，围成的圆锥的底面半径为r，底面的圆心为 O ， 圆锥的外接球的半径为R，外接球的球心为O，如图所示， 由题意可得 2 2 3 rl ，所以 3 l r ，所以圆锥的高 2 222 2 2 93 l POPArll ， 在AOO中， 222 ()OArPOOP，而OAOPR， 所以 2 22 2 2 () 93 l RlR，解得 3 4 2 Rl， 第

20、10页（共 21页） 所以外接球的体积 322 499 4 3328 VRll， 圆锥的体积 2 1 3 rPO， 所以圆锥的体积与它的外接球的体积之比为 2 2 3 3 2 2 128 93 3 4729 4() 4 2 ll rPO R l ， 故选：C 12 （5 分）已知( )f x为奇函数，当0 x，1时， 1 ( )12| 2 f xx ；当(, 1)x ， 1 ( )1 x f xe ，若关于x的不等式()( )f xmf x恒成立，则实数m的取值范围为() A(1，2)(2，)B 1 (2,2)(2,) 2 ln C 11 (2, 1)(2,) 22 lnln D 1 (2 2

21、,2)(2,) 2 ln 【解答】解：因为( )f x为奇函数， 所以当 1x ，0时，0 x ，1，则 11 ( )()12|2| 1 22 f xfxxx ， 当1x，)时，(x ，1，则 11 ( )()(1)1 xx f xfxee ， 作出函数( )f x的图象如图所示， 当0m 时，( )f x的图象向左平移m的单位得到()f xm的图象， 第 11页（共 21页） 当 0 ()f xm的图象与( )f x的图象在 1 2 x相切时， 0 1 0 () xm fxme ， 此时( )f x图象上对应直线的斜率为 2， 又 0 1 2 xm e ，可得 0 21xlnm ，此时 00

22、 2 112 112 1 1 lnmmln yee ， 又切点在直线2yx上， 所以切点为 1 ( 2 ，1)，即 0 1 21 2 xlnm ，所以 0 1 2 2 mln， 又当2m 时，(2)f x 与( )f x的图像有一个公共点( 1,0)， 所以当 0 1 2 2 mmln，且2m 时，不等式()( )f xmf x恒成立； 当0m 时，( )f x的图象向右平移|m个单位得到()f xm的图象，可得()( )f xmf x不 恒成立 综上所述，m的取值范围为 1 (2 2 ln，2)(2，) 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共

23、分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知 10210 01210 (2) xaa xa xa x，则 12310 aaaa1023 【解答】解：对 10210 01210 (2) xaa xa xa x， 令1x ，可得 012310 1aaaaa， 令0 x ，可得 10 0 21024a ， 所以 12310 1023aaaa 故答案为：1023 14 （5 分） 在正方形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F， 若BFABAD ， 则的值是0 【解答】解：由平面几何性质可得ABFEDF， 则2 BFAB FDDE ，所以 2222 () 3333 BFBDADABADAB ，

24、 所以 22 , 33 ， 所以0， 故答案为：0 第 12页（共 21页） 15 （5 分）已知函数( )sin()(04f xx，|) 2 ， 7 ()()0 1212 ff ，则( )f x sin(2) 6 x 【解答】解：因为 7 ()()0 1212 ff ， 所以 1 1 2 12 ( 7 12 k k k ， 2 )kZ， 两式作差得 211 () ( 2 kkk ， 2 )kZ， 则 211 2()(kkk， 2 )kZ， 又由04，可得2， () 6 kkZ ， 又由| 2 ，可得 6 ， 故( )sin(2) 6 f xx 故答案为：sin(2) 6 x 16 （5 分）

25、已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点 00 (,2 2)() 2 p M xx 是抛物线C上 一点，以M为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线 2 p x 截得的弦长为3 |MA，若 | 2 | MA AF ，则|AF 1 【解答】解：由题意：圆被直线 2 p x 截得的弦长为： 3 |MA，设圆的半径为r则，| |MAMEr， 在Rt MDE中， 222 |DEDMME，得| 2 r MD ， 3 | 2 r MF ，而| |MFMDp， 所以 3 22 rr p，得pr， 0 xp， 又由于 0 (M x， 0 2 2)() 2 p x 在抛物线上， 则 2 82p，解

26、得：2p ， 第 13页（共 21页） |1 22 rp AF 故答案为：1 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （12 分）在数列 n a中，0 n a ， 1 1a ， 22* 11 26() nnnn aaaa nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 21 log n n n a b a ，求数列 n b的前n项和 n

27、 T 【解答】解： （1）数列 n a中， 1 1a ， 22 11 26 nnnn aaaa 所以 11 (2)(23)0 nnnn aaaa ， 由于0 n a ，所以 1 2 nn aa ， 整理得 1 2 n n a a （常数） ， 所以数列 n a是以 1 为首项，2 为公比的等比数列； 所以 1 2n n a （2）由于（1） 1 2n n a ， 所以 21 1 log 2 n n n n an b a ， 故 011 12 222 n n n T ， 12 112 2222 n n n T ， 第 14页（共 21页） 得 1 1 1 111 2 (1) 1 22222 1

28、2 n n nnn nn T ， 故 1 2 4 2 n n n T 18 （12 分）如图，在四棱台 1111 ABCDABC D中， 1 AA 底面ABCD，四边形ABCD为菱 形，120BAD， 111 22ABAAA B （1）若M为CD的中点，求证： 1 AMB B； （2）求直线 1 AD与平面 1 ABD所成角的正弦值 【解答】（1） 证明： 连接AC， 因为四边形ABCD为菱形，120BAD， 所以ABC和ACD 都为正三角形， 又因为 1 AA 底面ABCD，AB、AM 平面ABCD，所以 1 AAAB， 1 AAAM， 于是AB、AM、 1 AA两两垂直，建立如图所示的空间

29、直角坐标系， (0A，0，0)，(2B，0，0)，(1C，3，0)，( 1D ，3，0)，(0M，3，0)， 1(0 A，0，2)， 1(1 B，0，2)， 1 1 ( 2 C， 3 2 ，2)， 1 1 ( 2 D ， 3 2 ，2)， 1 ( 1BB ，0，2)，(0AM ，3，0)， 因为 1 ( 1BBAM ，0，2) (0，3，0)0，所以 1 MB B （2）解：由（1）知( 3BD ，3，0)， 1 ( 2BA ，0，2)， 1 1 ( 2 AD ， 3 2 ，2)， 设平面 1 ABD的法向量为(nx ，y，) z， 1 330 220 BD nxy BA nxz ，令1x ，

30、(1n ，3，1)， 第 15页（共 21页） 所以直线 1 AD与平面 1 ABD所成角的正弦值为 1 1 |33 5| |55 ADn ADn 19 （12 分）每年的 3 月 12 日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树 节期间开展植树有奖活动， 设有甲、 乙两个摸奖箱， 每箱内各有 8 个大小质地完全相同的球， 甲箱内有 3 个红球，5 个黄球，乙箱内有 3 个红球，4 个黄球，1 个黑球，摸奖环节安排在 植树活动结束后， 每位植树者植树每满 25 棵获得一次甲箱内摸奖机会， 植树每满 40 棵获得 一次乙箱内摸奖机会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖 50

31、 元，两球颜色 不同奖 20 元，摸得两黄球则没有奖金，为体现公平性，植树总数低于 80 棵的员工，只能选 择甲、乙两个摸奖箱中的一个进行摸奖；植树总数不低于 80 棵的员工，可自由搭配甲、乙 两箱内的摸奖次数 （1）经统计，该公司此次植树活动共有 200 名员工参加，且植树棵数X近似服从正态分布 (25,25)N，请估计植树的棵数X在区间(20，25内的人数（结果四舍五入取整数） ； （2）某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量Y（单位：元） ，求Y的 分布列； （3）某人植树 90 棵，有三种摸奖方法，方法一：甲箱内摸奖三次；方法二：乙箱内摸奖两 次；方法三：甲箱内摸奖两次

32、，乙箱内摸奖一次请问：这位植树者选哪种方法所得奖金的 期望值最大 附：若 2 ( ,)XN ，则()0.6827PX，(22 )0.9545PX 【解答】解： （1）由题意知， 11 (2025)(255255)0.68270.34135 22 PXX， 所以2000.3413568， 估计植树的棵树X在X在区间(20，25内的人数是 68 人 第 16页（共 21页） （2）随机变量Y的所有可能取值为 0，20，50， 则 2 5 2 8 5 (0) 14 C P Y C ， 11 53 2 8 15 (20) 28 C C P Y C ， 2 3 2 8 3 (50) 28 C P Y C

33、 ， 所以Y的分布列为： Y02050 P 5 14 15 28 3 28 （3）方法一：甲箱内摸奖三次， 由（2）得 5153225 ( )02050 14282814 E Y ， 所以 225675 (3 )3 ( )3 1414 EYE Y，即方法一所得奖金的数学期望是 675 14 方法二：乙箱内摸奖两次， 在乙箱中摸奖一次， 设中奖金额为随机变量Z， 则随机变量Z的所有可能取值为 0， 20，50， 则 2 4 2 8 3 (0) 14 C P Z C ， 1111 4343 2 8 19 (20) 28 C CCC P Z C ， 2 3 2 8 3 (50) 28 C P Z C

34、 ， 所以Z的分布列为： Z02050 P 3 14 19 28 3 28 所以 3193265 ( )02050 14282814 E Z ， 所以 265530 (2 )2 ( )2 1414 EZE Z，即方法二所得奖金的数学期望是 530 14 方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次 225265715 (2)2 ( )( )2 141414 EYZE YE Z，即方法三所得奖金的数学期望是 715 14 ， 因为 715675530 141414 ，所以选方法三所得奖金的期望值最大 20 （12 分）已知函数 2 ( )2() a f xlnxaR x 第 17页（共 21页） （1

35、）讨论函数( )f x的极值； （2）设( )( )2g xf xalnxx，若( )g x有三个零点，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 22 212 ( ) aax fx xxx ， 当0a时，20a，0 x ，则20ax，则( )0fx， 故( )f x在(0,)上单调递减，无极值； 当0a 时，令( )0fx，得2xa ；令( )0fx，得02xa ， 故( )f x在(0, 2 )a上单调递增，在( 2 ,)a上单调递减， 所以( )f x在2xa 处取得极大值1( 2 )lna，无极小值 （2）由题意， 22 ( )( )222(21)2 aa

36、 g xf xalnxxlnxalnxalnxx xx ， ( )g x的定义域为(0,)， 22 212(1)(2 ) ( )1(0) aaxxa g xx xxx ， 若0a，则当(0,1)x时，( )0g x，则( )g x在(0,1)上单调递减， 当(1,)x时，( )0g x，( )g x在(1,)上单调递增， 所以( )g x至多有两个零点，不合题意； 若 1 2 a ，则(0,)x，( ) 0g x（仅g（1）0)， ( )g x在(0,)上单调递增，所以( )g x至多有一个零点，不合题意； 若 1 0 2 a，则021a ， 当(0, 2 )xa或(1,)x时，( )0g x

37、，( )g x在(0, 2 )a，(1,)上单调递增； 当( 2 ,1)xa 时，( )0g x，( )g x在( 2 ,1)a上单调递减， 要使( )g x有三个零点，必须有 ( 2 )0 (1)0 ga g 成立； 若g（1）0，得 3 2 a ，这与 1 0 2 a矛盾， 所以( )g x不可能有三个零点 （由g（1）230a， 所以( )g x至多有一个零点， 不合题意） ； 若 1 2 a ，则21a， 当(0,1)x或( 2 ,)xa 时，( )0g x，( )g x在(0,1)，( 2 ,)a上单调递增； 当(1, 2 )xa时，( )0g x，( )g x在(1, 2 )a上单

38、调递减， 第 18页（共 21页） 要使( )g x有三个零点，必须有 (1)0 ( 2 )0 g ga 成立， 由g（1）0，得 3 2 a ，由( 2 )(21) ( 2 )10gaalna及 1 2 a ， 得 2 e a ，所以 3 22 e a ， 并且当 3 22 e a 时， 2 01e， 2 2ea ， 22222 ()42 (2)4(2)41 50g eea eee ee ， 22222222 ()2 (2)3(2)6370g eea eeeeee 综上所述，使( )g x有三个零点的实数a的取值范围为 3 ( 2 ，) 2 e 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(

39、0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 2 2 ， 点 0 (P x， 0) y在椭圆C上，当 112 PFF F时， 12 PF F的面积为 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）过点 2 F的直线与椭圆C交于A，B两点，求 1 ABF面积的最大值； （3）过点 0 (P x， 0) y的直线l与椭圆C相切，且直线l与圆 22 250 xyx相交于M，N 两点，证明： 11 F MF N 【解答】解： （1）当xc 时，可得 2 b y a ， 由题意可得 2 222 2 2 12 2 22 c a b c a cab ， 解得2a ，1b ， 所以椭圆的方

40、程为 2 2 1 2 x y （2）当直线AB的斜率不存在时，即直线AB的方程为1x ， 此时 1 1 222 2 ABF S， 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(1)(0)yk xk， 第 19页（共 21页） ( A A x，) A y，( B B x，) B y， 联立 2 2 (1) 1 2 yk x x y ，得 2 222 (12)420kxk， 则 4222 164(12)(22)880kkkk， 2 2 4 12 AB k xx k ， 2 2 22 12 AB k x x k ， 所以 22 2222 22 422 |1()41()4 1212 ABAB kk AB

41、kxxx xk kk 22 2 (1)(88) 12 kk k ， 设点 1 F到直线AB的距离为d，所以 2 | 2 | 1 k d k ， 所以 1 22 222 2 (1)(88)1|2 |2 22 212(12) 1 ABF kkk S kk k ， 所以 1 ABF面积的最大值为2 （3）证明：当 0 0y 时，即直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 00 ()yyk xx， 联立 00 2 2 () 1 2 yyk xx x y ，得 222 0000 (12)4 ()2()20kxk ykx xykx， 所以 2222 0000 16()4(12)2()20kykxkykx， 整

42、理得 2 00 (2)0y kx， 解得 0 0 2 x k y ， 所以直线l的方程为 0 00 0 () 2 x yyxx y ，即 00 22x xy y， 当 0 0y 时，直线l的方程为2x 或2x ，满足 00 22x xy y， 所以直线l的方程为 00 22x xy y， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 由 22 00 (1)6 22 xy x xy y ， 第 20页（共 21页） 得 2222 0000 (1)2(2)2 100yxyx xy， 所以 2 00 12 2 0 2(2) 1 yx xx y ， 2 0 12 2 0 210 1 y

43、x x y ， 22 0000 121212 222 0000 5441 () 4222 xxxx y yx xxx yyyy ， 因为 111 (1FM FNx ， 12 ) (1yx， 2121212 )1yx xxxy y 222222 00000000 222 000 42084225445(2)10 0 222222 yyxyxxxy yyy ， 所以 11 F MF N （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程

44、：坐标系与参数方程 22 （10 分）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方 程为 3 2cos0 ，曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 4 （1）求曲线 1 C， 2 C的直角坐标方程； （2）设过点( 2,1)M 且与曲线 2 C平行的直线交曲线 1 C于A，B两点，求|MA MB的值 【解答】解： （1）曲线 1 C的极坐标方程为 3 2cos0 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为 直角坐标方程为 22 230 xyx 曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 4 ，根据 222 cos sin x y xy 转化为直角坐标方程为

45、20 xy （2）设过点( 2,1)M 且与曲线 2 C平行的直线的参数方程为 2 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，代 入 22 230 xyx， 得到 2 2 220tt， 第 21页（共 21页） 所以 1 2 | |2MAMBt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c都为正实数，且3abc证明： （1）212121 3 3abc ； （2） 1111 118 ()()() 33327abc 【解答】证明：（1） 2 ( 212121)2()32 (21)(21)2 (21)(21)2 (21)(21)abcabcabbcca 2()3(2121)(2121)(2121)6()927abcabbccaabc （当 且仅当1abc取“”) 所以212121 3 3abc ； （2）由a，b，c都为正实数，且3abc，可得 1111 11111 ()()()()()() 333333333 abcabcabc abcabc 1 2228 3332727 bc ac abbcacab abcabc （当且仅当1abc取“”) 则 1111 118 ()()() 33327abc