1、第 1页（共 21页） 2021 年山西省太原市高考数学模拟试卷（文科年山西省太原市高考数学模拟试卷（文科） （一（一） （一模）（一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知全集1U ，2，3，4，5，2A ，3，1B ，3，5，则()( U AB ) A2，3，4B2C1，5D1，3，4，5 2 （5 分）已知复数z满足(1)2zii（其中i为虚数单位） ，则z的值为() A1i B1i C1iD1i 3
2、 （5 分）公元前 6 世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发 现了黄金分割数 51 2 ，其近似值为 0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 2sin18a ，若 2 4ab，则 2 ( 1cos72 a b ) A 1 2 B2C 51 2 D4 4 （5 分）函数cos(sin )yx的图象大致是() AB CD 5 （5 分）在区间 1，1上任取一个实数k，则使得直线ykx与圆 22 (2)1xy有公共 点的概率是() A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 2 6 （5 分）已知a ，b 为单位向量，且满足|2ab ，则|2| (ab ) A3B
3、7C5D2 2 7 （5 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列，其前n项和为 n S，且 n S是等差数列，则 下列结论错误的是() 第 2页（共 21页） A nn aS是等差数列B nn aS是等比数列 C 2 n a是等差数列D n S n 是等比数列 8 （5 分）已知实数x，y满足 33 0 239 0 21 0 xy xy xy ，则 23 2 xy z x 的取值范围是() A(，1(2，4B1，2)(2，4C1，2)4 ，) D(，14 ，) 9 （5 分）已知4 3aln ，3 4bln ， 3 4cln，则下列结论正确的是() AbcaBcbaCbacDabc 10 （
4、5 分）已知正四面体ABCD的棱长为 4，点E在棱AB上，且3BEAE，过E作四面 体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为() A 10 3 B3C 3 D 3 4 11 （5 分）已知过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点 1 ( ,0) 2 F的直线与该抛物线相交于A，B两 点，若AOF的面积与(BOF O为坐标原点）的面积之比是 2，则| (AB ) A 9 4 B 13 4 C 5 4 D 7 4 12（5分） 已知函数( )sin()(0f xx ，0) 2 的图象关于 3 x 对称， 且()0 6 f ， 将( )f x的图象向右平移 3 个单位长度得到函数( )g x的
5、图象，则下列结论正确的是() A 3 B若( )g x是奇函数，则的最小值为 1 C若( )f x在, 3 2 上单调递增，则(0， 2 3 D若( )g x是周期最大的偶函数，则( )f x在0， 16 上单调递增 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分试题中包含两空的试题中包含两空的，答对第一空的答对第一空的 给给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 13 （5 分）函数( )(1) x f xxe的图象在点(0，(0)f处的切线方程为 14 （5 分）某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列， 现
6、采用分层抽样从全体职工中随机抽取 130 人进行一项活动， 已知被抽取的高级职工人数为 第 3页（共 21页） 10，则被抽取的初级职工的人数为 15 （5 分）已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，3 sin4 sincAbC， 2 cos 3 C ，点D在线段AB上，且2BDDA，若ABC的面积为2 5，则a ， CD 16 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点是点F，过原点倾斜角为 3 的直线l 与椭圆C相交于M，N两点，若 2 3 MFN ，则椭圆C的离心率是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
7、骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，毎个试题考生都必须作答毎个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b满足 1( *) nnn baanN ，再从下面 条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题： （）证明： n b是等比数列； （）求数列 n nb的前n项和 n T 条件： 1 3 2 a ， 1 1 423(*) n nn SanN ；条件： 12 3 2 aa， 2 2 3 (*)
8、 n nn aanN 18 （12 分）某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大 力发展旅游产业， 一方面对现有旅游资源进行升级改造， 另一方面不断提高旅游服务水平 为 此该地区旅游部门， 对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查， 如表是该部门从去年 某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的 100 位游客的满意度调查表 满意度老年人中年人青年人 报团游自助游报团游自助游报团游自助游 满意121184156 一般2164412 不满意116232 （）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选 择报团游？ （） 为了提高服务水平， 该
9、旅游部门要从上述样本里满意度为 “不满意” 的自助游游客中， 随机抽取 2 人征集改造建议，求这 2 人中有老年人的概率 第 4页（共 21页） （）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？ 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAB是正三角形，G是PAB的重心，D，E， H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且3BFFC （）求证：平面/ /DFH平面PGE； （）若PBAC，2ABAC，2 2BC ，求三棱锥PDEG的体积 20 （12 分）已知函数( )cossinf xxxx （）讨论( )f x在 2，2 上的单调性； （）求函数 2 1
10、( )( )1 4 g xf xx零点的个数 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别是 1 F、 2 F， 其离心率 1 2 e ， 点P是椭圆C上一动点， 12 PF F内切圆面积的最大值为 3 （）求椭圆C的标准方程； （）直线 1 PF， 2 PF与椭圆C分别相交于点A，B，求证： 12 12 | | PFPF F AF B 为定值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分作答时请用作答时请用 2B 铅笔在
11、答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系坐标系 与参数方程与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为cos()0 3 （）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （）已知点(3, 3)P，曲线 1 C与 2 C相交于A，B两个不同点，求|PAPB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 5页（共 21页） 23已知函数 2 ( ) |(0)f x
12、xxmm m （）当1m 时，求函数( )f x的最小值； （）若存在(0,1)x，使得不等式( ) 3f x 成立，求实数m的取值范围 第 6页（共 21页） 2021 年山西省太原市高考数学模拟试卷（文科年山西省太原市高考数学模拟试卷（文科） （一（一） （一模）（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知全集1U ，2，3，4，5，2A ，3，1B ，3，5，则(
13、)( U AB ) A2，3，4B2C1，5D1，3，4，5 【解答】解：全集1U ，2，3，4，5，2A ，3，1B ，3，5， 所以2 UB ，4， 所以()2 U AB ，3，4 故选：A 2 （5 分）已知复数z满足(1)2zii（其中i为虚数单位） ，则z的值为() A1i B1i C1iD1i 【解答】解：复数z满足(1)2zii， 22 (1)22 1 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 故选：B 3 （5 分）公元前 6 世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发 现了黄金分割数 51 2 ，其近似值为 0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表
14、示为 2sin18a ，若 2 4ab，则 2 ( 1cos72 a b ) A 1 2 B2C 51 2 D4 【解答】解：2sin18a ，若 2 4ab， 2222 444sin 184(1 sin 18 )4cos 18ba ， 2222 2 418418436 2 1cos721cos72236 a bsincossin sin 故选：B 4 （5 分）函数cos(sin )yx的图象大致是() AB 第 7页（共 21页） CD 【解答】解：()cos(sin()cos(sin )( )fxxxf x， 函数( )f x为偶函数， 1 sin1x， 22 22 kxk ， cos(
15、sin )yx在2xk时有最大值，且0y ， 故选：B 5 （5 分）在区间 1，1上任取一个实数k，则使得直线ykx与圆 22 (2)1xy有公共 点的概率是() A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 2 【解答】解：圆 22 (2)1xy的圆心为(2,0)，半径为 1 要使直线ykx与圆 22 (2)1xy有公共点， 则圆心到直线ykx的距离 2 |2 | 1 1 k k ，解得： 33 33 k 在区间 1，1中随机取一个实数k，则事件“直线ykx与圆 22 (2)1xy有公共点” 发生的概率为： 33 () 3 33 1( 1)3 故选：C 6 （5 分）已知a ，b 为单位向量
16、，且满足|2ab ，则|2| (ab ) A3B7C5D2 2 【解答】解：a ，b 为单位向量，且满足|2ab ， 可得 22 22aa bb ， 解得0a b ， 所以 22 |2|445abaa bb 第 8页（共 21页） 故选：C 7 （5 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列，其前n项和为 n S，且 n S是等差数列，则 下列结论错误的是() A nn aS是等差数列B nn aS是等比数列 C 2 n a是等差数列D n S n 是等比数列 【解答】解：由 n S是等差数列， 可得： 121123 2()aaaaaa， 23 aa， n a是各项均为正数的等比数列， 22
17、aa q，可得1q 1 0 n aa， 1 (1) nn aSna，数列 nn aS是等差数列，因此A正确 22 1n aa， 2 n a是常数列，为等差数列，因此C正确 1 0 n S a n ， n S n 是等比数列，因此D正确 2 1nn a Sna， nn aS不是等比数列，因此B不正确 故选：B 8 （5 分）已知实数x，y满足 33 0 239 0 21 0 xy xy xy ，则 23 2 xy z x 的取值范围是() A(，1(2，4B1，2)(2，4C1，2)4 ，) D(，14 ，) 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 9页（共 21页） 联立 2390 210
18、 xy xy ，解得(3,1)A，由图可知，(1,0)B， 231 2 22 xyy z xx ，其几何意义为可行域内的动点与定点(2, 1)连线的斜率加 2 由图可知， 1 1 2 23 PA k ， 10 1 21 PB k ， 23 2 xy z x 的取值范围是(，14 ，) 故选：D 9 （5 分）已知4 3aln ，3 4bln ， 3 4cln，则下列结论正确的是() AbcaBcbaCbacDabc 【解答】解：4 3aln ，3 4bln ， 3 4cln， 3 123 aln ， 4 124 bln ， 12 cln ， 设( )(0) lnx f xx x ，则 2 1
19、( ) lnx fx x ，令( )0fx，则xe， 当(0, )xe，( )f x在(0, ) e上递增，当( ,)xe，( )f x在( ,)e 递减， 43e，f（4）( )ff（3） ，即 43 43 lnlnln ， acb 故选：A 10 （5 分）已知正四面体ABCD的棱长为 4，点E在棱AB上，且3BEAE，过E作四面 体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为() A 10 3 B3C 3 D 3 4 【解答】解：如图，正四面体ABCD的棱长为 4，则正方体的棱长为2 2， 第 10页（共 21页） 正 四 面 体ABCD的 外 接 球 即 正 方 体 的 外 接 球
20、， 其 半 径 为 222 2(2 2)(2 2)(2 2)2 6R ， 6R ， 46 cos 32 6 AB OAB AM ， 6OAR， 11 41 44 AEAB， 222 6 ( 6)12613 3 OE ， 则截面圆的半径 22 633rROE， 截面面积的最小值为 2 3Sr 故选：B 11 （5 分）已知过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点 1 ( ,0) 2 F的直线与该抛物线相交于A，B两 点，若AOF的面积与(BOF O为坐标原点）的面积之比是 2，则| (AB ) A 9 4 B 13 4 C 5 4 D 7 4 【解答】解：由焦点的坐标可得 1 22 p ，所以1p
21、 ， 所以抛物线的方程为： 2 2yx， 设直线AB的方程为： 1 2 xmy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，设A在x轴上方，设0m ， 联立 2 1 2 2 xmy yx 整理可得： 2 210ymy ， 12 2yym， 12 1y y ， 由题意 1 2 1 | 2 2 1 | () 2 AOF BOF OFy S S OFy ， 第 11页（共 21页） 可得 12 2yy ，代入可得： 2 81m ，解得： 2 4 m ， 将m的值代入可得 12 2 2 yy， 1212 5 ()1 4 xxm yy ， 由抛物线的性质可得 12 59 |1 44 ABx
22、xp ， 故选：A 12（5分） 已知函数( )sin()(0f xx ，0) 2 的图象关于 3 x 对称， 且()0 6 f ， 将( )f x的图象向右平移 3 个单位长度得到函数( )g x的图象，则下列结论正确的是() A 3 B若( )g x是奇函数，则的最小值为 1 C若( )f x在, 3 2 上单调递增，则(0， 2 3 D若( )g x是周期最大的偶函数，则( )f x在0， 16 上单调递增 【解答】解：由于函数( )sin()(0f xx ，0) 2 的图象关于 3 x 对称， () 32 k ，kZ， ()0 6 f ， 6 k ，kZ， 将 3 代入，无解，故A错，
23、 将( )f x的图象向右平移 3 个单位长度得到函数( )sin() 3 g xx 的图象， 则( )g x的图象关于y轴对称，故( )g x为偶函数，故B错； 第 12页（共 21页） 由题意， 1 1 ()() 6342 k T ， 1 0k ，1，2， 1 12k ，则1，C选项错， 故选：D 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分试题中包含两空的试题中包含两空的，答对第一空的答对第一空的 给给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 13 （5 分）函数( )(1) x f xxe的图象在点(0，(0)f处的切线方程为1y
24、 【解答】解：由题意可得( ) x fxxe，则(0)0 f 因为(0)1f ，所以所求切线方程为10y ，即1y 故答案为：1y 14 （5 分）某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列， 现采用分层抽样从全体职工中随机抽取 130 人进行一项活动， 已知被抽取的高级职工人数为 10，则被抽取的初级职工的人数为90 【解答】解：根据题意知，抽取的样本中初级、中级和高级职称的人数也组成一个公比为q 的等比数列， 且 3 10a ， 3 130S ， 所以 2 1 2 1 10 (1)130 a q aqq ， 消去 1 a，解得 1 3 q ，或 1 4 q （不合题
25、意，舍去） ， 当 1 3 q 时， 1 90a ， 即被抽取的初级职工的人数为 90 故答案为：90 15 （5 分）已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，3 sin4 sincAbC， 2 cos 3 C ，点D在线段AB上，且2BDDA，若ABC的面积为2 5，则a 4， CD 【解答】解：由正弦定理及3 sin4 sincAbC得34acbc， 故 4 3 b a ， 第 13页（共 21页） 由余弦定理得 2 22 222 16 2 9 cos 4 32 2 3 b bc abc C b ab b ， 整理得bc， 因为 2 cos 3 C ， 所以 5 sin 3 C
26、 ， 因为ABC的面积 1145 sin2 5 2233 b SabCb ， 所以3b ，3c ，4a ， 因为2BDDA， 所以2BDDA ，即2()CDCBCACD ， 整理得 21 33 CDCACB ， 22 244164284 443 9999939 ba CDCA CB ， 故 2 21 3 CD 故答案为：4， 2 21 3 16 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点是点F，过原点倾斜角为 3 的直线l 与椭圆C相交于M，N两点，若 2 3 MFN ，则椭圆C的离心率是 3 210 2 【解答】 解： 设右焦点为 F ， 由题意可得直线l的方程
27、为：3yx， 设 0 (M x， 0) y， 0 (Nx， 0) y， 连接 MF ， NF ，因为 2 3 MFN ， 所以四边形FMF N 为平行四边形，则 3 FMF ， 而 22 0 31 tan 632 MFF Sbbcy ， （焦三角形面积公式 2 tan 2 Sb ，为焦顶角） ， 所以可得 0 3 3 b y c ，代入直线l的方程可得： 2 0 3 b x c ， 将M的坐标代入椭圆的方程可得： 42 22 22 3 99 1 bb cc ab ， 第 14页（共 21页） 整理可得： 4224 4140aa cc，即 42 1440ee， 解得： 2 73 5e ，由椭圆的
28、离心率(0,1)e， 所以 3 210 73 5 2 e ， 故答案为： 3 210 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，毎个试题考生都必须作答毎个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b满足 1( *) nnn baanN ，再从下面 条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题： （）证明： n b是等比数
29、列； （）求数列 n nb的前n项和 n T 条件： 1 3 2 a ， 1 1 423(*) n nn SanN ；条件： 12 3 2 aa， 2 2 3 (*) n nn aanN 【解答】解：选条件： 1 3 2 a ， 1 1 423(*) n nn SanN ； （）证明：当1n 时， 2 12 423Sa， 因为 11 3 2 Sa，所以 2 3 2 a ，所以 112 3baa， 当1n时， 1 1 423n nn Sa ， 2 12 423n nn Sa ， 可得 1 21 3n nn aa ， 即 1 3 (*) n nnn baanN ， 则 n b是首项、公比均为 3
30、的等比数列； （）由（）可得3 (*) n n bnN， 所以 23 1 32 33 33n n Tn ， 2341 31 32 33 33n n Tn ， 两式相减可得 231 233333 nn n Tn 第 15页（共 21页） 1 3(13 ) 3 13 n n n ， 化简可得 3(2 1) 31 4 n n Tn 选条件： 12 3 2 aa， 2 2 3 (*) n nn aanN （）证明：由 2 2 3 (*) n nn aanN ， 可得 211 2 3n nnnn aaaa ， 因为 1nnn baa ，所以 1 23n nn bb ， 则 1 1 33 nn nn bb
31、 ， 所以 112 3330 n n bbaa，所以3 (*) n n bnN， 则 n b是首项、公比均为 3 的等比数列； （）由（）可得3 (*) n n bnN， 所以 23 1 32 33 33n n Tn ， 2341 31 32 33 33n n Tn ， 两式相减可得 231 233333 nn n Tn 1 3(13 ) 3 13 n n n ， 化简可得 3(2 1) 31 4 n n Tn 18 （12 分）某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大 力发展旅游产业， 一方面对现有旅游资源进行升级改造， 另一方面不断提高旅游服务水平 为 此该地区
32、旅游部门， 对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查， 如表是该部门从去年 某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的 100 位游客的满意度调查表 满意度老年人中年人青年人 报团游自助游报团游自助游报团游自助游 满意121184156 一般2164412 不满意116232 第 16页（共 21页） （）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选 择报团游？ （） 为了提高服务水平， 该旅游部门要从上述样本里满意度为 “不满意” 的自助游游客中， 随机抽取 2 人征集改造建议，求这 2 人中有老年人的概率 （）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择
33、哪种旅游项目？ 【解答】解： （）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为： 1 155 186 P ， 2 303 404 P ， 3 2211 4221 P ， 123 PPP， 老年人更倾向于选择报团游 （）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有 1 人，记为a， 中年人有 2 人，记为b，c，青年人有 2 人，记为d，e， 从中随机先取 2 人，基本事件共 10 个，分别为： ( , )a b，( , )a c，( , )a d，( , )a e，( , )b c，( , )b d，( , )b e，( , )c d，( , )c e，( , )d e，
34、其中这 2 人中有老年人包含的基本事件有 4 个，分别为： ( , )a b，( , )a c，( , )a d，( , )a e， 这 2 人中有老年人的概率为 42 105 P （）根据表中的数据，得到： 报团游的满意率为 4 12181545 15302267 P ， 自助游的满意率为 5 1461 310203 P ， 45 PP，建议他选择报团游 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAB是正三角形，G是PAB的重心，D，E， H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且3BFFC （）求证：平面/ /DFH平面PGE； （）若PBAC，2ABAC，2 2BC ，求三棱锥
35、PDEG的体积 第 17页（共 21页） 【解答】解： （）证明：连结BG，由题意可得BG与GD共线，且2BGGD， E是BC的中点，3BFFC，F是CE的中点， 2 BGBE GDEF ，/ /GEDF，GE 平面PGE；DF 平面PGE； / /DF平面PGE， H是PC的中点，/ /FHPE，PE 平面PGE，FH 平面PGE； / /FH平面PGE， DFFHF ，DF 平面DEF，FH 平面DEF， 平面/ /DFH平面PGE； （）2ABAC，2 2BC ， 222 8ABACBC，ABAC， PBAC，ABPBB ，AC平面PAB， PAB是正三角形， 2 3 3 4 PAB S
36、AB ， 111113 . 361212318 P DEGE PDGE PBDE PABC PABPAB VVVVVSAC 20 （12 分）已知函数( )cossinf xxxx （）讨论( )f x在 2，2 上的单调性； （）求函数 2 1 ( )( )1 4 g xf xx零点的个数 【解答】解： （）因为()cos()sin()cossin( )fxxxxxxxf x，xR， 所以( )f x是R上的偶函数，也是 2，2 上的偶函数， 第 18页（共 21页） 当0 x，2 时，( )cosfxxx， 令( ) 0fx，则0 2 x 或 3 2 2 x ，令( )0fx，则 3 22
37、 x ， 所以( )f x在0， 2 和 3 2 ，2 上单调递增，在( 2 ， 3 ) 2 上单调递减， 因为( )f x是偶函数，所以( )f x在 2， 3 2 和 2 ，0上单调递减，在 3 ( 2 ，) 2 上 单调递增 综上所述，( )f x在 2， 3 2 、 2 ，0和( 2 ， 3 ) 2 上单调递减， 在 3 ( 2 ，) 2 、0， 2 和 3 2 ，2 上单调递增 （）由（）得 2 1 ()()()1( ) 4 gxfxxg x ，所以( )g x是R上的偶函数， （1）当0 x，2 时， 1 ( )(cos) 2 g xxx， 令( )0g x，则0 3 x 或 5
38、2 3 x ，令( )0g x，则 5 33 x ， 所以( )g x在0， 3 和 5 3 ，2 上单调递增，在( 3 ， 5 ) 3 上单调递减， 因为()(0)0 3 gg ， 2 5531 51 ()()()0 332432 g ， 2 (2 )0g ， 所以( )g x在 5 (0,) 3 上有一个零点，所以( )g x在0，2 上有两个零点； （2）当(2 ,)x时， 22 11 ( )cossin10 44 g xxxxxxx， 所以( )g x在(2 ,)上没有零点 由（1） （2）及( )g x是偶函数可得( )g x在R上有三个零点 21 （12 分）已知椭圆 22 22
39、:1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别是 1 F、 2 F， 其离心率 1 2 e ， 点P是椭圆C上一动点， 12 PF F内切圆面积的最大值为 3 （）求椭圆C的标准方程； （）直线 1 PF， 2 PF与椭圆C分别相交于点A，B，求证： 12 12 | | PFPF F AF B 为定值 【解答】解： （）设 12 PF F内切圆的半径为r， 则 1 2 1212 1 (|) 2 PF F PFPFFFrS， 1 21 2 2 22 PF FPF F SS r acac ， 当 12 PF F的面积最大时， 12 PF F内切圆的半径r最大， 第 19页（共 21页） 显然当
40、点P为椭圆的上顶点或下顶点时， 12 PF F的面积最大，最大值为 1 2 2 cbbc， r的最大值为 bc ac ，即 3 3 bc ac ， 由 222 3 3 1 2 bc ac c a abc ，解得： 2 3 1 a b c ， 椭圆C的标准方程为： 22 1 43 xy （）设 0 (P x， 0) y， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 当 0 0y 时，设直线 1 PF， 2 PF的直线方程分别为 1 1xm y， 2 1xm y， 由 1 22 1 1 43 xm y xy 得： 22 11 (34)690mym y， 01 2 1 9 34 y y
41、m ， 010 1xm y， 0 1 0 1x m y ， 00 1 52 3 yx y ， 同理，由 2 22 1 1 43 xm y xy 可得 00 2 52 3 yx y ， 0012 1212 |10 |3 yyPFPF F AF Byy ， 当 0 0y 时，直线 1 PF， 2 PF与x轴重合，易得： 12 12 |110 3 |33 PFPF F AF B ， 综上所述， 12 12 | | PFPF F AF B 为定值 10 3 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所
42、做的 第一题计分第一题计分作答时请用作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系坐标系 与参数方程与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为cos()0 3 第 20页（共 21页） （）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （）已知点(3, 3)P，曲线 1 C与 2 C相交于A，B两个不同点，求|PAPB的值 【解答】解： （）曲
43、线 1 C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，整理得 22 22 1 4() 1 () xt t yt t ，转 换为普通方程为 2 2 1 4 y x ； 曲线 2 C的极坐标方程为cos()0 3 ，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为 30 xy； （）把直线30 xy转换为 3 3 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） ，代入 2 2 1 4 y x ， 得到： 2 1144 34290tt， 所以 12 4 3tt ， 1 2 429 11 t t ， 所以 2 121 2 8 11 | |()4 11 PA
44、PBABttt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( ) |(0)f xxxmm m （）当1m 时，求函数( )f x的最小值； （）若存在(0,1)x，使得不等式( ) 3f x 成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （）当1m 时，( ) |2|1|f xxx， |2|1|(2)(1)| 3xxxx， 故当且仅当(2)(1) 0 xx，即当21x 时，( )f x取最小值 3； （）由题意得存在(0,1)x使得 2 |3xxm m ， （1）当1m时， 2 |3xxm m 等价于 2 3m m ，解得：12m； （2）当01m时，令 2 ( )|g xxxm m ， 0 xm时， 2 ( )g xm m ，1m x 时， 2 ( )2g xxm m ， 第 21页（共 21页） 故 2 ( )ming xm m ，故 2 3m m ，故12m，与01m矛盾，此时m无解， 综上：实数m的取值范围是1，2
