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1、第 1页（共 21页） 2021 年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若2zi，则 2 | (zz) A10B2C26D3 2 （5 分）设集合 2 |6 0Ax xx ， |20Bxxa ，且 | 22ABxx ，则(a ) A2B2C4D4 3 （5 分）设抛物线 2 :2C ypx的焦点为F，准线为lP是抛物线C上异于

2、O的一点，过 P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线() A经过点PB经过点OC平行于直线OPD垂直于直线OP 4 （5 分） 6 (2 )()xy xy的展开式中 34 x y的系数为() A25B25C15D15 5 （5 分）某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元 ) 456789 销量V （件) 908483807568 由表中数据求得线性回归方程为4yxa 若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 () A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 6 （5 分） “中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最

3、大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积2SRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当2C，16S时，第 2页（共 21页） ( r R ) A 2 2572 16 B 15 8 C 2 2572 16 D 13 8 7 （5 分）将函数( )sinf xx（其中0)的图象向右平移 4 个单位长度，所得图象关于直线x对称，则的最小值是() A 1 3 B1C 5 3 D 2 3 8 （5 分）已知直线l是曲线 43 ( )

4、2f xxx在点(1，f（1）)处的切线，点( , )P m n是直线 l上位于第一象限的一点，则 2mn m n 的最小值为() A4B9C25D16 9 （5 分）一个动圆与定圆 22 :(3)4Fxy相外切，且与直线:1l x 相切，则动圆圆心的轨迹方程为() A 2 6yxB 2 4yxC 2 8yxD 2 12yx 10（5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且 5 sinsincos 4 aABbbA， 10bc，ABC的面积为 25 3 4 ，则(a ) A2 3B5C8D2 2 11 （5 分）已知 2 1 log 3 2 a ， 5 2log 2b ，0

5、.75c ，则a，b，c的大小关系为() AcabBabcCbcaDbac 12 （5 分）设点P在ABC内且为ABC的外心，30BAC，如图，若PBC，PCA， PAB的面积分别为 1 2 ，x，y，则x y的最大值是() 第 3页（共 21页） A 1 6 B 1 12 C 2 2 D 3 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知( 2 ，)，2sin2cos21，则tan 14 （5 分）若x，y满足约束条件 1 1 2 y y x xy ，则2zxy的最小值是 15 （5 分）点P在双曲线 22 22

6、1(0,0) xy ab ab 的右支上，其左、右焦点分别为 1 F、 2 F，直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 1 PF的垂直平分线恰好过点 2 F，则该双曲线的离心率为 16 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍” “裹蒸” “包米” “简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物将宽为 1 的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文

7、字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（1）必考题）必考题：每小题每小题 12 分，共分，共 60 分分 17 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABAD，/ /ABCD， 222PDABADCD，E为PA上一点，且32PEPA （1）证明：平面EBC 平面PAC；（2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值第 4页（共 21页） 18 （12 分）已知等差数列 n a中，公差0d ， 11 77S，且 2 a， 6 1

8、a ， 11 a成等比数列（1）求数列 n a的通项公式；（2）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存在*nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实数的取值范围 19 （12 分）2020 年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 480 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案方案：将每个人的血分别化验，这时需要验 480 次方案：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k

9、个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验 1 k 次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k个人的血总共需要化验1k 次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立（1）设方案中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设0.1p 试比较方案中，k分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数） 20 （12 分）已知点P到( 5,0)M的距离与它到直线 9 5 : 5 l x 的距离之比为 5 3

10、（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点( 3,8)D 的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值 21 （12 分）已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx （1）若函数( )yfx（其中( )fx是( )f x的导函数）在(1,)上单调递增，求m的取值范围；第 5页（共 21页）（2）当1m 时，若关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立，求实数a 的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一

11、题作答如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）写出曲线 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为(4,) 2 ，射线() 42 分别交 1 C， 2 C于A，B两点（异于极点），当 4 AMB 时，求tan 23已知函数( ) |24|1|f xxx，xR （1）解不等式：( ) 5f x ；（2）记( )f x的最小值为M，若实数a，b满足 22 ab

12、M，试证明： 22 112 213ab 第 6页（共 21页） 2021 年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若2zi，则 2 | (zz) A10B2C26D3 【解答】解：2zi， 222 (2)4434ziiii，则 222 | |342| |13 |1310zziii 故选：A

14、P，故选：A 4 （5 分） 6 (2 )()xy xy的展开式中 34 x y的系数为() A25B25C15D15 【解答】解：在 6 (2 )()xy xy的展开式中， 34 x y的系数为 43 66 21522025CC 故选：B 5 （5 分）某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元 ) 456789 销量V （件) 908483807568 由表中数据求得线性回归方程为4yxa 若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 () 第 8页（共 21页） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】

15、解： 113 (456789) 62 x ， 1 (908483807568)80 6 y 4yxa ， 106a，回归直线方程4106yx ；数据(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68) 6 个点中有 3 个点在直线右上方，即(6,83)，(7,80)，(8,75) 其这些样本点中任取 1 点，共有 6 种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率 31 62 P 故选：C 6 （5 分） “中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为

16、底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积2SRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当2C，16S时， ( r R ) A 2 2572 16 B 15 8 C 2 2572 16 D 13 8 【解答】解：由已知可得平面中心到球心的距离为Rh，又球冠周长为22Cr，所以1r ，又216SRh，所以 8 h R ，因为 222 ()rRhR，即 222 12RRhhR，解得 2 64 15 R ，即 8 15 R ，第 9页（共 21页）故 115 8 8 15 r R ，故选：B 7 （5 分）将函数( )sinf xx

17、（其中0)的图象向右平移 4 个单位长度，所得图象关于直线x对称，则的最小值是() A 1 3 B1C 5 3 D 2 3 【解答】解：将函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度，得sin()sin() 44 yxx ， sin() 4 yx 的图象关于直线x对称， 42 k ，kZ， 24 33 k，kZ， 0，的最小值为 2 3 ，故选：D 8 （5 分）已知直线l是曲线 43 ( )2f xxx在点(1，f（1）)处的切线，点( , )P m n是直线 l上位于第一象限的一点，则 2mn m n 的最小值为() A4B9C25D16 【解答】解： 43 ( )2f xxx的导

18、数为 32 ( )46fxxx，可得在点(1，f（1）)处的切线的斜率为462 ，切点为(1, 1)，切线的方程为12(1)yx ，即为21xy，则21( ,0)mnm n，所以 21222 (2)()55229 mnmn mn m nnmnm ，当且仅当 1 3 mn时，取得等号则 2mn m n 的最小值为 9 故选：B 第 10页（共 21页） 9 （5 分）一个动圆与定圆 22 :(3)4Fxy相外切，且与直线:1l x 相切，则动圆圆心的轨迹方程为() A 2 6yxB 2 4yxC 2 8yxD 2 12yx 【解答】解：定圆 22 :(3)4Fxy的圆心(3,0)

19、F，半径为 2，设动圆圆心P点坐标为( , )x y，动圆得半径为r，d为动圆圆心到直线1x 的距离，即r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，2PAr，dr |2PAd，即： 22 (3)21xyx，化简得： 2 12yx 动圆圆心轨迹方程为 2 12yx 故选：D 10（5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且 5 sinsincos 4 aABbbA， 10bc，ABC的面积为 25 3 4 ，则(a ) A2 3B5C8D2 2 【解答】解：因为 5 sinsincos 4 aABbbA，由正弦定理可得 5 sinsinsinsinsincos 4 A

20、ABBBA，因为0B，所以sin0B ，所以 2 5 sincos 4 AA，可得 2 5 1coscos 4 AA，即 2 (2cos1)0A，解得 1 cos 2 A ，所以 3 sin 2 A ，因为 125 3 sin 24 ABC SbcA ，所以25bc ，又10bc，所以 2222 2cos()31003 2525abcbcAbcbc ，所以5a 故选：B 11 （5 分）已知 2 1 log 3 2 a ， 5 2log 2b ，0.75c ，则a，b，c的大小关系为() 第 11页（共 21页） AcabBabcCbcaDbac 【解答】解： 22 11 log

21、 3log 2 22 a 3 2 2 13 2log 2 24 ， 3 4 a，即ac， 22 4 13343 3 log 3log311 22444 lg lglglglg a lglglglg ， 55 5 454 4 2log 2log 411 555 lg lglglg b lglglg ， 45 34 ， 45 34 lglg，又45lglg， 45 34 45 lglg lglg ，即ab， bac，故选：D 12 （5 分）设点P在ABC内且为ABC的外心，30BAC，如图，若PBC，PCA， PAB的面积分别为 1 2 ，x，y，则x y的最大值是() A 1 6 B 1 1

22、2 C 2 2 D 3 3 【解答】解：因为30BAC，所以60BPC，设ABC外接圆半径为r，所以 2 11 sin60 22 PBC Sr ，解得 2 2 3 r ，设APC，120180 ，则300APB， 2 11 sinsin 23 APC Sxr ， 2 11 sin(300)sin(300) 23 APB Syr ，故 1131 sinsin(300)sin (cossin ) 3322 x y 131cos2 (sin2) 622 11111 sin(302 ) 61261212 当150时，等号成立故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，

23、每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 12页（共 21页） 13 （5 分）已知( 2 ，)，2sin2cos21，则tan2 【解答】解：因为2sin2cos21，所以 2 4sincos12sin1 ，因为( 2 ，)，可得2cossin ，可得tan2 故答案为：2 14 （5 分）若x，y满足约束条件 1 1 2 y y x xy ，则2zxy的最小值是1 【解答】解：画出约束条件 1 1 2 y y x xy 表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数2zxy可化为2yxz ，平移目标函数知，当目标函数过点(0, 1)C时，直线2yxz 在y轴上的截距最小，此时z

24、取得最小值，所以z的最小值为2011 min z 故答案为：1 15 （5 分）点P在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右支上，其左、右焦点分别为 1 F、 2 F，直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 1 PF的垂直平分线恰好过点 2 F，则该双曲线的离心率为 5 3 【解答】解：由线段 1 PF的垂直平分线恰好过点 2 F，第 13页（共 21页）可得 212 | | 2PFF Fc，由直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OAa，设 1 PF的中点为M，由中位线定理可得 2 | 2MFa，在直角

25、三角形 2 PMF中，可得 22 |442PMcab，即有 1 |4PFb，由双曲线的定义可得 12 |2PFPFa，即422bca，即2bac，即有 22 4()bac，即 222 4()()caac，可得 3 5 ac，即 5 3 e ，故答案为： 5 3 16 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍” “裹蒸” “包米” “简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物将宽为 1 的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 1 3 ；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是第 14页（共

26、 21页）【解答】解：由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为 1，如图，该六面体的体积为 111 2211 1 323 SABC VV ，当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，其中D为BC的中点，过球心O作OESD，则OE就是球的半径， 1SA ， 26 33 OAAD，故 3 3 SO ， 2 2 SD ， 6 6 OD ，因为SOODSDOE，所以球的半径 36 1 36 32 2 SOOD OE SD ，所以该球的表面积为 2 14 4( ) 39 ，故答案为： 1 4 ; 39 三、解答题：共三、解答

27、题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（1）必考题）必考题：每小题每小题 12 分，共分，共 60 分分 17 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABAD，/ /ABCD， 222PDABADCD，E为PA上一点，且32PEPA （1）证明：平面EBC 平面PAC；（2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值第 15页（共 21页）【解答】（1）证

28、明：PA 平面ABCD，BC 平面ABCD，PABC，在直角梯形ABCD中，/ /ABCD，ABAD，2AB ，1ADCD， 2ACBC， 222 ACBCAB，ACBC，又PAACA PA平面PAC，AC 平面PAC， BC平面PAC，BC 平面EBC，平面EBC 平面PAC；（5 分）（2）解：以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）易知 3 (0,2,0),(1,1,0), (0,0, 3),(0,0,) 3 BCPE 则 3 (1, 1,0),(0, 2,) 3 BCBE ，(0, 2, 3)BP 设( , , )nx y z 是

29、平面BCE的法向量则 0 0 n BC n BE 即 0 3 20 3 xy yz 所以可取(1,1,2 3)n 2 2 cos, 7| | n BP n BP nBP 直线PB与平面BEC所成角的正弦值为 2 2 7 （12 分） 18 （12 分）已知等差数列 n a中，公差0d ， 11 77S，且 2 a， 6 1a ， 11 a成等比数列（1）求数列 n a的通项公式；第 16页（共 21页）（2）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存在*nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）由题意可得 1 2 111 11 10 1

30、177 2 (51)()(10 ) ad adad ad 即 1 57, (74 ) (75 )36 ad dd 又因为0d ，所以 1 2, 1 a d 所以1 n an（5 分）（2） 1 1111 (1)(2)12 nn a annnn ， 11111111 233412222(2) n n T nnnn 存在 * nN，使得 1 0 nn Ta 成立存在 * nN，使得(2) 0 2(2) n n n 成立即存在 * nN，使得 2 2(2) n n 成立 2 11 4 2(2)16 2(4) n n n n （当且仅当2n 时取等号） 1 16 ，即实数的取值范围是 1 (,

31、16 （12 分） 19 （12 分）2020 年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 480 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案方案：将每个人的血分别化验，这时需要验 480 次方案：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验 1 k 次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k个人的血总共需要化验1k 次假

32、设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立（1）设方案中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设0.1p 试比较方案中，k分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五第 17页（共 21页）入保留整数）【解答】解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则1qp 所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为(1) kk qp，呈阳性反应的概率为11(1) kk qp 依题意可知 11 ,1X kk ，所以X的分布列为： X 1 k 1 1 k P

33、 (1)kp1(1)kp （5 分）（ 2 ）方案中结合（ 1 ）知每个人的平均化验次数为： 111 ( )(1)(1) 1(1) (1)1 kkk E xppp kkk ， 0.1p 当2k 时， 2 1 ()0.910.69 2 E X ，此时 480 人需要化验的总次数为 331 次， 3k 时， 3 1 ()0.910.6043 3 E X ，此时 480 人需要化验的总次数为 290 次， 4k 时， 4 1 ()0.910.5939 4 E X ，此时 480 人需要化验的次数总为 285 次，即2k 时化验次数最多，3k 时次数居中，4k

34、时化验次数最少而采用方案则需化验 480 次，故在这三种分组情况下，相比方案，当4k 时化验次数最多可以平均减少480285195次（12 分） 20 （12 分）已知点P到( 5,0)M的距离与它到直线 9 5 : 5 l x 的距离之比为 5 3 （1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点( 3,8)D 的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值【解答】解：（1）设点( , )P x y，由题意可得 22 (5)(0)5 39 5 | 5 xy x 化简整理可得 22 1 94 xy ，所以点P的轨迹E的方程为 22 1

35、 94 xy 第 18页（共 21页）（4 分）（2）证明：由（1）可得，过点D的直线l斜率存在且不为 0，故可设l的方程为(0)ykxm k， 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y，由 22 1 94 ykxm xy 得 222 (49)189360kxkmxm， 22222 (18)4(49)(936)144(94)0kmkmkm，即 22 94mk， 2 1212 22 18936 , 4949 kmm xxx x kk ，而 12 12 33 ABAC yy kk xx 1221 12 (3)(3) (3)(3) y xyx xx 1221 12 ()(3)(

36、)(3) (3)(3) kxm xkxm x xx 1212 1212 2(3)()6 3()9 kx xkm xxm x xxx 2 22 2 22 93618 2(3)()6 4949 93618 3 ()9 4949 mkm kkmm kk mkm kk 8 3(3 )mk ，由于直线l过点( 3,8)D ，所以38km，所以 1 3 ABAC kk（即为定值）（12 分） 21 （12 分）已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx （1）若函数( )yfx（其中( )fx是( )f x的导函数）在(1,)上单调递增，求m的取值范围；（2）当1m 时，若关于x的不等式

37、 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立，求实数a 的取值范围【解答】解：（1）函数 2 ( )(23 ) x f xemxx的导数( )(43) x fxemx， ( )4 x fxem， ( )yfx在(1,)上单调递增，第 19页（共 21页） ( )40 x fxem在(1,)上恒成立， 4 x e m在(1,)上恒成立， 4 e m，故m的取值范围为,) 4 e （2）当1m 时， 2 ( )23 x f xexx，关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立， 1 2 x ex a xx ，设 1 ( ) 2 x ex g

38、x xx ，则 222 (1)11(1)11 ( ) 22 xx exex g x xxx ，由1 x yex的导数为1 x ye ，可得0 x 时，0y ，函数1 x yex递增， 0 x 时，函数1 x yex递减，则1 0 x ex ，即10 x ex ，当1x时， 22 (1)11(1)(1)111 0 222 x exxx xx ，则 1 ( ) 2 x ex g x xx 在1，)递增，可得 3 ( )(1) 2 min g xge，则 3 2 a e ，即a的取值范围是(， 3 2 e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题

39、中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）写出曲线 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为(4,) 2 ，射线() 42 分别交 1 C， 2 C于A，B两点（异于极点），当 4 AMB 时，求tan 第 20页（共 21页）【解答】解：（1） 2cos ( 22sin x y 为参数），曲线 1

40、C的普通方程为 22 (2)4xy，即 22 40 xyy， cosx，siny， 2 4 sin0，曲线 1 C的极坐标方程为4sin，曲线 2 C的极坐标方程为4cos，曲线 2 C的直角坐标方程为 22 40 xyx（4 分）（2）依题意设 1 (A，)， 2 (B，)，由 4sin ，可得 1 4sin，由 4cos ，得 2 4cos 42 ， 12 ， 12 | |4sin4cosABOAOB， OM是圆 2 C的直径， 2 OAM 在直角Rt OAM中，| 4cosAM，在直角Rt ABM中， 4 AMB ， | |ABAM，即4sin4cos4cos， tan2（1

41、0 分） 23已知函数( ) |24|1|f xxx，xR （1）解不等式：( ) 5f x ；（2）记( )f x的最小值为M，若实数a，b满足 22 abM，试证明： 22 112 213ab 【解答】解：（1）易知 33,2 ( ) |24|1|5, 12 33,1 xx f xxxxx xx 因为( ) 5f x ，所以 2 33 5 x x ，或 12 55 x x ，或 1 33 5 x x 所以 8 2 3 x ，或02x ，或，所以 8 0 3 x ，所以不等式的解集为 8 |0 3 xx （5 分）第 21页（共 21页）（2）证明：( ) |24|1|2|(2)(1)| |2| 3 3f xxxxxxx，当且仅当2x 时取等号 ( )f x的最小值为3M ，所以 22 3ab，所以 2222 22 22222222 111111211212 ()(2)(1)(2)(22) 212162162163 baba ab abababab ，当且仅当 22 22 12 21 ba ab ，即 2 1a ， 2 2b 时取等号（10 分）

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