2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(理科).docx

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资源描述

1、第 1页(共 21页) 2021 年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(理科)年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)若2zi,则 2 | (zz) A10B2C26D3 2 (5 分)设集合 2 |6 0Ax xx , |20Bxxa ,且 | 22ABxx ,则(a ) A2B2C4D4 3 (5 分)设抛物线 2 :2C ypx的焦点为F,准线为lP是抛物线C上异于

2、O的一点,过 P作PQl于Q,则线段FQ的垂直平分线() A经过点PB经过点OC平行于直线OPD垂直于直线OP 4 (5 分) 6 (2 )()xy xy的展开式中 34 x y的系数为() A25B25C15D15 5 (5 分)某公司为了对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 单价x(元 ) 456789 销量V (件) 908483807568 由表中数据求得线性回归方程为4yxa 若在这些样本点中任取一点,则它在回归 直线右上方的概率为 () A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 6 (5 分) “中国天眼”是我国具有自主知识产权,世界最

3、大单口径,最灵敏的球面射电望 远镜(如图) 其反射面的形状为球冠(球冠是球面被平面所截后剩下的曲面,截得的圆为 底,垂直于圆面的直径被截得的部分为高,球冠面积2SRh,其中R为球的半径,h为 球冠的高) ,设球冠底的半径为r,周长为C,球冠的面积为S,则当2C,16S时, 第 2页(共 21页) ( r R ) A 2 2572 16 B 15 8 C 2 2572 16 D 13 8 7 (5 分)将函数( )sinf xx(其中0)的图象向右平移 4 个单位长度,所得图象关于 直线x对称,则的最小值是() A 1 3 B1C 5 3 D 2 3 8 (5 分)已知直线l是曲线 43 ( )

4、2f xxx在点(1,f(1))处的切线,点( , )P m n是直线 l上位于第一象限的一点,则 2mn m n 的最小值为() A4B9C25D16 9 (5 分)一个动圆与定圆 22 :(3)4Fxy相外切,且与直线:1l x 相切,则动圆圆心 的轨迹方程为() A 2 6yxB 2 4yxC 2 8yxD 2 12yx 10(5 分) 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且 5 sinsincos 4 aABbbA, 10bc,ABC的面积为 25 3 4 ,则(a ) A2 3B5C8D2 2 11 (5 分)已知 2 1 log 3 2 a , 5 2log 2b ,0

5、.75c ,则a,b,c的大小关系为() AcabBabcCbcaDbac 12 (5 分)设点P在ABC内且为ABC的外心,30BAC,如图,若PBC,PCA, PAB的面积分别为 1 2 ,x,y,则x y的最大值是() 第 3页(共 21页) A 1 6 B 1 12 C 2 2 D 3 3 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)已知( 2 ,),2sin2cos21,则tan 14 (5 分)若x,y满足约束条件 1 1 2 y y x xy ,则2zxy的最小值是 15 (5 分)点P在双曲线 22 22

6、1(0,0) xy ab ab 的右支上,其左、右焦点分别为 1 F、 2 F, 直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A,线段 1 PF的垂直平分线恰好过 点 2 F,则该双曲线的离心率为 16 (5 分)农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子,古称“角黍” “裹蒸” “包 米” “简粽”等,早在春秋时期就已出现,到了晋代成为了端午节庆食物将宽为 1 的矩形 纸片沿虚线折起来,可以得到粽子形状的六面体,则该六面体的体积为;若该六面体内 有一球,当该球体积最大时,球的表面积是 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文

7、字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答 (1)必考题)必考题: 每小题每小题 12 分,共分,共 60 分分 17 (12 分)如图,四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD,ABAD,/ /ABCD, 222PDABADCD,E为PA上一点,且32PEPA (1)证明:平面EBC 平面PAC; (2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值 第 4页(共 21页) 18 (12 分)已知等差数列 n a中,公差0d , 11 77S,且 2 a, 6 1

8、a , 11 a成等比数列 (1)求数列 n a的通项公式; (2)若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和,且存在*nN,使得 1 0 nn Ta 成立,求实数的 取值范围 19 (12 分)2020 年疫情期间,某公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作 的相关要求, 决定在全公司范围内举行一次乙肝普查 为此需要抽验 480 人的血样进行化验, 由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案:将每个人的血分别化验,这时需要验 480 次 方案:按k个人一组进行随机分组,把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果 每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这k

9、个人的血就只需检验一次(这时认为每个 人的血化验 1 k 次) ;否则,若呈阳性,则需对这k个人的血样再分别进行一次化验这样, 该组k个人的血总共需要化验1k 次 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p,且这些人之间的试验反应相互独立 (1)设方案中,某组k个人中每个人的血化验次数为X,求X的分布列; (2)设0.1p 试比较方案中,k分别取 2,3,4 时,各需化验的平均总次数;并指出 在这三种分组情况下,相比方案,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五 入保留整数) 20 (12 分)已知点P到( 5,0)M的距离与它到直线 9 5 : 5 l x 的距离之比为 5 3

10、(1)求点P的轨迹E的方程; (2)若A是轨迹E与x轴负半轴的交点,过点( 3,8)D 的直线l与轨迹E交于B,C两点, 求证:直线AB、AC的斜率之和为定值 21 (12 分)已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx (1)若函数( )yfx(其中( )fx是( )f x的导函数)在(1,)上单调递增,求m的取值范 围; 第 5页(共 21页) (2)当1m 时,若关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1,)上恒成立,求实数a 的取值范围 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一

11、题作答如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数) 以 坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 2 C的极坐标方程为4cos (1)写出曲线 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程; (2)设点M的极坐标为(4,) 2 ,射线() 42 分别交 1 C, 2 C于A,B两点(异于 极点) ,当 4 AMB 时,求tan 23已知函数( ) |24|1|f xxx,xR (1)解不等式:( ) 5f x ; (2)记( )f x的最小值为M,若实数a,b满足 22 ab

12、M,试证明: 22 112 213ab 第 6页(共 21页) 2021 年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(理科)年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)若2zi,则 2 | (zz) A10B2C26D3 【解答】解:2zi, 222 (2)4434ziiii, 则 222 | |342| |13 |1310zziii 故选:A

13、 2 (5 分)设集合 2 |6 0Ax xx , |20Bxxa ,且 | 22ABxx ,则(a ) A2B2C4D4 【解答】解: | 23, | 2 a AxxBx x ,且 | 22ABxx , 2 2 a ,解得4a 故选:C 3 (5 分)设抛物线 2 :2C ypx的焦点为F,准线为lP是抛物线C上异于O的一点,过 P作PQl于Q,则线段FQ的垂直平分线() A经过点PB经过点OC平行于直线OPD垂直于直线OP 第 7页(共 21页) 【解答】解:如图所示:, 由抛物线的定义可知,| |PFPQ, FPQ为等腰三角形,且FQ为等腰三角形FPQ的底边, 线段FQ的垂直平分线经过点

14、P, 故选:A 4 (5 分) 6 (2 )()xy xy的展开式中 34 x y的系数为() A25B25C15D15 【解答】解:在 6 (2 )()xy xy的展开式中, 34 x y的系数为 43 66 21522025CC 故选:B 5 (5 分)某公司为了对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 单价x(元 ) 456789 销量V (件) 908483807568 由表中数据求得线性回归方程为4yxa 若在这些样本点中任取一点,则它在回归 直线右上方的概率为 () 第 8页(共 21页) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】

15、解: 113 (456789) 62 x , 1 (908483807568)80 6 y 4yxa , 106a, 回归直线方程4106yx ; 数据(4,90),(5,84),(6,83),(7,80),(8,75),(9,68) 6 个点中有 3 个点在直线右上方,即(6,83),(7,80),(8,75) 其这些样本点中任取 1 点,共有 6 种不同的取法, 故这点恰好在回归直线右上方的概率 31 62 P 故选:C 6 (5 分) “中国天眼”是我国具有自主知识产权,世界最大单口径,最灵敏的球面射电望 远镜(如图) 其反射面的形状为球冠(球冠是球面被平面所截后剩下的曲面,截得的圆为

16、底,垂直于圆面的直径被截得的部分为高,球冠面积2SRh,其中R为球的半径,h为 球冠的高) ,设球冠底的半径为r,周长为C,球冠的面积为S,则当2C,16S时, ( r R ) A 2 2572 16 B 15 8 C 2 2572 16 D 13 8 【解答】解:由已知可得平面中心到球心的距离为Rh, 又球冠周长为22Cr,所以1r , 又216SRh,所以 8 h R , 因为 222 ()rRhR,即 222 12RRhhR, 解得 2 64 15 R ,即 8 15 R , 第 9页(共 21页) 故 115 8 8 15 r R , 故选:B 7 (5 分)将函数( )sinf xx

17、(其中0)的图象向右平移 4 个单位长度,所得图象关于 直线x对称,则的最小值是() A 1 3 B1C 5 3 D 2 3 【解答】解:将函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度, 得sin()sin() 44 yxx , sin() 4 yx 的图象关于直线x对称, 42 k ,kZ, 24 33 k,kZ, 0,的最小值为 2 3 , 故选:D 8 (5 分)已知直线l是曲线 43 ( )2f xxx在点(1,f(1))处的切线,点( , )P m n是直线 l上位于第一象限的一点,则 2mn m n 的最小值为() A4B9C25D16 【解答】解: 43 ( )2f xxx的导

18、数为 32 ( )46fxxx, 可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为462 , 切点为(1, 1),切线的方程为12(1)yx , 即为21xy, 则21( ,0)mnm n, 所以 21222 (2)()55229 mnmn mn m nnmnm , 当且仅当 1 3 mn时,取得等号 则 2mn m n 的最小值为 9 故选:B 第 10页(共 21页) 9 (5 分)一个动圆与定圆 22 :(3)4Fxy相外切,且与直线:1l x 相切,则动圆圆心 的轨迹方程为() A 2 6yxB 2 4yxC 2 8yxD 2 12yx 【解答】解:定圆 22 :(3)4Fxy的圆心(3,0)

19、F,半径为 2, 设动圆圆心P点坐标为( , )x y,动圆得半径为r,d为动圆圆心到直线1x 的距离,即r, 则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得,2PAr,dr |2PAd,即: 22 (3)21xyx, 化简得: 2 12yx 动圆圆心轨迹方程为 2 12yx 故选:D 10(5 分) 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且 5 sinsincos 4 aABbbA, 10bc,ABC的面积为 25 3 4 ,则(a ) A2 3B5C8D2 2 【解答】解:因为 5 sinsincos 4 aABbbA, 由正弦定理可得 5 sinsinsinsinsincos 4 A

20、ABBBA, 因为0B,所以sin0B , 所以 2 5 sincos 4 AA,可得 2 5 1coscos 4 AA, 即 2 (2cos1)0A,解得 1 cos 2 A ,所以 3 sin 2 A , 因为 125 3 sin 24 ABC SbcA ,所以25bc , 又10bc, 所以 2222 2cos()31003 2525abcbcAbcbc , 所以5a 故选:B 11 (5 分)已知 2 1 log 3 2 a , 5 2log 2b ,0.75c ,则a,b,c的大小关系为() 第 11页(共 21页) AcabBabcCbcaDbac 【解答】解: 22 11 log

21、 3log 2 22 a 3 2 2 13 2log 2 24 , 3 4 a,即ac, 22 4 13343 3 log 3log311 22444 lg lglglglg a lglglglg , 55 5 454 4 2log 2log 411 555 lg lglglg b lglglg , 45 34 , 45 34 lglg,又45lglg, 45 34 45 lglg lglg ,即ab, bac, 故选:D 12 (5 分)设点P在ABC内且为ABC的外心,30BAC,如图,若PBC,PCA, PAB的面积分别为 1 2 ,x,y,则x y的最大值是() A 1 6 B 1 1

22、2 C 2 2 D 3 3 【解答】解:因为30BAC,所以60BPC,设ABC外接圆半径为r, 所以 2 11 sin60 22 PBC Sr ,解得 2 2 3 r , 设APC,120180 ,则300APB, 2 11 sinsin 23 APC Sxr , 2 11 sin(300)sin(300) 23 APB Syr , 故 1131 sinsin(300)sin (cossin ) 3322 x y 131cos2 (sin2) 622 11111 sin(302 ) 61261212 当150时,等号成立 故选:B 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,

23、每小题 5 分,共分,共 20 分分. 第 12页(共 21页) 13 (5 分)已知( 2 ,),2sin2cos21,则tan2 【解答】解:因为2sin2cos21, 所以 2 4sincos12sin1 , 因为( 2 ,), 可得2cossin ,可得tan2 故答案为:2 14 (5 分)若x,y满足约束条件 1 1 2 y y x xy ,则2zxy的最小值是1 【解答】解:画出约束条件 1 1 2 y y x xy 表示的平面区域,如图阴影所示: 目标函数2zxy可化为2yxz , 平移目标函数知, 当目标函数过点(0, 1)C时, 直线2yxz 在y轴上的截距最小, 此时z

24、取得最小值, 所以z的最小值为2011 min z 故答案为:1 15 (5 分)点P在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右支上,其左、右焦点分别为 1 F、 2 F, 直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A,线段 1 PF的垂直平分线恰好过 点 2 F,则该双曲线的离心率为 5 3 【解答】解:由线段 1 PF的垂直平分线恰好过点 2 F, 第 13页(共 21页) 可得 212 | | 2PFF Fc, 由直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A, 可得|OAa, 设 1 PF的中点为M,由中位线定理可得 2 | 2MFa, 在直角

25、三角形 2 PMF中,可得 22 |442PMcab, 即有 1 |4PFb, 由双曲线的定义可得 12 |2PFPFa, 即422bca,即2bac, 即有 22 4()bac, 即 222 4()()caac, 可得 3 5 ac, 即 5 3 e , 故答案为: 5 3 16 (5 分)农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子,古称“角黍” “裹蒸” “包 米” “简粽”等,早在春秋时期就已出现,到了晋代成为了端午节庆食物将宽为 1 的矩形 纸片沿虚线折起来,可以得到粽子形状的六面体,则该六面体的体积为 1 3 ;若该六面体 内有一球,当该球体积最大时,球的表面积是 第 14页(共

26、 21页) 【解答】解:由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成, 四面体的两两垂直的棱长为 1, 如图,该六面体的体积为 111 2211 1 323 SABC VV , 当该六面体内有一球,且该球的体积取最大值时, 球心为O,且该球与SD相切,其中D为BC的中点, 过球心O作OESD,则OE就是球的半径, 1SA , 26 33 OAAD,故 3 3 SO , 2 2 SD , 6 6 OD , 因为SOODSDOE,所以球的半径 36 1 36 32 2 SOOD OE SD , 所以该球的表面积为 2 14 4( ) 39 , 故答案为: 1 4 ; 39 三、解答题:共三、解答

27、题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答 (1)必考题)必考题: 每小题每小题 12 分,共分,共 60 分分 17 (12 分)如图,四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD,ABAD,/ /ABCD, 222PDABADCD,E为PA上一点,且32PEPA (1)证明:平面EBC 平面PAC; (2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值 第 15页(共 21页) 【解答】 (1)证

28、明:PA 平面ABCD,BC 平面ABCD,PABC, 在直角梯形ABCD中,/ /ABCD,ABAD,2AB ,1ADCD, 2ACBC, 222 ACBCAB,ACBC, 又PAACA PA平面PAC,AC 平面PAC, BC平面PAC,BC 平面EBC, 平面EBC 平面PAC;(5 分) (2)解:以A为坐标原点,AD,AB,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 (如图所示) 易知 3 (0,2,0),(1,1,0), (0,0, 3),(0,0,) 3 BCPE 则 3 (1, 1,0),(0, 2,) 3 BCBE ,(0, 2, 3)BP 设( , , )nx y z 是

29、平面BCE的法向量 则 0 0 n BC n BE 即 0 3 20 3 xy yz 所以可取(1,1,2 3)n 2 2 cos, 7| | n BP n BP nBP 直线PB与平面BEC所成角的正弦值为 2 2 7 (12 分) 18 (12 分)已知等差数列 n a中,公差0d , 11 77S,且 2 a, 6 1a , 11 a成等比数列 (1)求数列 n a的通项公式; 第 16页(共 21页) (2)若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和,且存在*nN,使得 1 0 nn Ta 成立,求实数的 取值范围 【解答】解: (1)由题意可得 1 2 111 11 10 1

30、177 2 (51)()(10 ) ad adad ad 即 1 57, (74 ) (75 )36 ad dd 又因为0d ,所以 1 2, 1 a d 所以1 n an(5 分) (2) 1 1111 (1)(2)12 nn a annnn , 11111111 233412222(2) n n T nnnn 存在 * nN,使得 1 0 nn Ta 成立 存在 * nN,使得(2) 0 2(2) n n n 成立 即存在 * nN,使得 2 2(2) n n 成立 2 11 4 2(2)16 2(4) n n n n (当且仅当2n 时取等号) 1 16 ,即实数的取值范围是 1 (,

31、16 (12 分) 19 (12 分)2020 年疫情期间,某公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作 的相关要求, 决定在全公司范围内举行一次乙肝普查 为此需要抽验 480 人的血样进行化验, 由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案:将每个人的血分别化验,这时需要验 480 次 方案:按k个人一组进行随机分组,把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果 每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这k个人的血就只需检验一次(这时认为每个 人的血化验 1 k 次) ;否则,若呈阳性,则需对这k个人的血样再分别进行一次化验这样, 该组k个人的血总共需要化验1k 次 假

32、设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p,且这些人之间的试验反应相互独立 (1)设方案中,某组k个人中每个人的血化验次数为X,求X的分布列; (2)设0.1p 试比较方案中,k分别取 2,3,4 时,各需化验的平均总次数;并指出 在这三种分组情况下,相比方案,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五 第 17页(共 21页) 入保留整数) 【解答】解: (1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q,则1qp 所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为(1) kk qp, 呈阳性反应的概率为11(1) kk qp 依题意可知 11 ,1X kk ,所以X的分布列为: X 1 k 1 1 k P

33、 (1)kp1(1)kp (5 分) ( 2 ) 方 案 中 结 合 ( 1 ) 知 每 个 人 的 平 均 化 验 次 数 为 : 111 ( )(1)(1) 1(1) (1)1 kkk E xppp kkk , 0.1p 当2k 时, 2 1 ()0.910.69 2 E X ,此时 480 人需要化验的总次数为 331 次, 3k 时, 3 1 ()0.910.6043 3 E X ,此时 480 人需要化验的总次数为 290 次, 4k 时, 4 1 ()0.910.5939 4 E X ,此时 480 人需要化验的次数总为 285 次, 即2k 时化验次数最多,3k 时次数居中,4k

34、 时化验次数最少而采用方案则需化 验 480 次, 故在这三种分组情况下,相比方案, 当4k 时化验次数最多可以平均减少480285195次(12 分) 20 (12 分)已知点P到( 5,0)M的距离与它到直线 9 5 : 5 l x 的距离之比为 5 3 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)若A是轨迹E与x轴负半轴的交点,过点( 3,8)D 的直线l与轨迹E交于B,C两点, 求证:直线AB、AC的斜率之和为定值 【解答】解: (1)设点( , )P x y,由题意可得 22 (5)(0)5 39 5 | 5 xy x 化简整理可得 22 1 94 xy ,所以点P的轨迹E的方程为 22 1

35、 94 xy 第 18页(共 21页) (4 分) (2)证明:由(1)可得,过点D的直线l斜率存在且不为 0, 故可设l的方程为(0)ykxm k, 1 (B x, 1) y, 2 (C x, 2) y, 由 22 1 94 ykxm xy 得 222 (49)189360kxkmxm, 22222 (18)4(49)(936)144(94)0kmkmkm,即 22 94mk, 2 1212 22 18936 , 4949 kmm xxx x kk , 而 12 12 33 ABAC yy kk xx 1221 12 (3)(3) (3)(3) y xyx xx 1221 12 ()(3)(

36、)(3) (3)(3) kxm xkxm x xx 1212 1212 2(3)()6 3()9 kx xkm xxm x xxx 2 22 2 22 93618 2(3)()6 4949 93618 3 ()9 4949 mkm kkmm kk mkm kk 8 3(3 )mk , 由于直线l过点( 3,8)D ,所以38km, 所以 1 3 ABAC kk(即为定值) (12 分) 21 (12 分)已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx (1)若函数( )yfx(其中( )fx是( )f x的导函数)在(1,)上单调递增,求m的取值范 围; (2)当1m 时,若关于x的不等式

37、 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1,)上恒成立,求实数a 的取值范围 【解答】解: (1)函数 2 ( )(23 ) x f xemxx的导数( )(43) x fxemx, ( )4 x fxem, ( )yfx在(1,)上单调递增, 第 19页(共 21页) ( )40 x fxem在(1,)上恒成立, 4 x e m在(1,)上恒成立, 4 e m, 故m的取值范围为,) 4 e (2)当1m 时, 2 ( )23 x f xexx, 关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1,)上恒成立, 1 2 x ex a xx , 设 1 ( ) 2 x ex g

38、x xx ,则 222 (1)11(1)11 ( ) 22 xx exex g x xxx , 由1 x yex的导数为1 x ye , 可得0 x 时,0y ,函数1 x yex递增, 0 x 时,函数1 x yex递减, 则1 0 x ex ,即10 x ex , 当1x时, 22 (1)11(1)(1)111 0 222 x exxx xx , 则 1 ( ) 2 x ex g x xx 在1,)递增, 可得 3 ( )(1) 2 min g xge,则 3 2 a e , 即a的取值范围是(, 3 2 e (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题

39、中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数) 以 坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 2 C的极坐标方程为4cos (1)写出曲线 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程; (2)设点M的极坐标为(4,) 2 ,射线() 42 分别交 1 C, 2 C于A,B两点(异于 极点) ,当 4 AMB 时,求tan 第 20页(共 21页) 【解答】解: (1) 2cos ( 22sin x y 为参数) , 曲线 1

40、C的普通方程为 22 (2)4xy,即 22 40 xyy, cosx,siny, 2 4 sin0, 曲线 1 C的极坐标方程为4sin, 曲线 2 C的极坐标方程为4cos, 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 40 xyx(4 分) (2)依题意设 1 (A,), 2 (B,), 由 4sin ,可得 1 4sin,由 4cos ,得 2 4cos 42 , 12 , 12 | |4sin4cosABOAOB, OM是圆 2 C的直径, 2 OAM 在直角Rt OAM中,| 4cosAM, 在直角Rt ABM中, 4 AMB , | |ABAM,即4sin4cos4cos, tan2(1

41、0 分) 23已知函数( ) |24|1|f xxx,xR (1)解不等式:( ) 5f x ; (2)记( )f x的最小值为M,若实数a,b满足 22 abM,试证明: 22 112 213ab 【解答】解: (1)易知 33,2 ( ) |24|1|5, 12 33,1 xx f xxxxx xx 因为( ) 5f x ,所以 2 33 5 x x ,或 12 55 x x ,或 1 33 5 x x 所以 8 2 3 x ,或02x ,或,所以 8 0 3 x , 所以不等式的解集为 8 |0 3 xx (5 分) 第 21页(共 21页) (2) 证明:( ) |24|1|2|(2)(1)| |2| 3 3f xxxxxxx, 当且仅当2x 时取等号 ( )f x的最小值为3M ,所以 22 3ab, 所以 2222 22 22222222 111111211212 ()(2)(1)(2)(22) 212162162163 baba ab abababab , 当且仅当 22 22 12 21 ba ab ,即 2 1a , 2 2b 时取等号 (10 分)

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