1、1 、 已知正三棱锥SA B C的高S O为 3 ， 底面边长为 6 ， 过A向它所对 侧面S B C作垂线，垂足为O，在A O上取一点P，使A PP O= 8 ，求经 过P点且平行底面的截面的面积 分析： 本题的关键在于求出过P平行于底的截面到顶点的距离与底面到顶点的距 离之比 解答：如图 1 0 1 3 ，因SA B C是正三棱锥，所以O是正三角形A B C的中心连 结A O延工交B C于D，则D是B C的中点，故B CA D，B CS D，因而B C平 面S A D，从而平面A S D平面S B C又A O平面S B C，故S O在平面S A D 内，因而O在S D上，于是 由 设过P作
2、平行于底的平面与S D的交点为O1 ，则 于是 故所求截面面积 2 、设正三棱锥PA B C的高为P O，M为P O 的中点，过A M作与棱B C平行的平面，将正三 棱锥截成上、下两部分，试求两部分体积之比 分析：设过A M且平行B C的平面交平面P B C于E F （EP B，FP C），要求两部分体积之比，只要求 V P A B C=S P E FS P B C 解答： 如图1 0 1 4 ， 过设A M且平行B C 的平面与棱P B 、 P C 分别交于E 、 F 则E F / / B C 连 结 A O并延长交 B C于 D ，则 D为 B C的中点，连结 P D交 E F于 G ，则
3、 因 A到平面 P E F的距离即为 A到平面 A B C的距离，所以在P A D 中， 过O作P D的平行线， 交A G于N 因为M为P O的中点， 故| O N | = | P G | ， 故，因而，故所求上下两部分体积之比为 3 、四面体A B C D被平面 所截，对棱A B，C D都与 平行且与 等距，设 截得截面四边形的面积 为S，对棱A B与C D的距离为h，求这个四面体A B C D的体积分析：利用“等底、等高的两 个四面体的体积相等”将四面体添加几个等体积的四面体，构成一个平行六面体来计算 解答： 过四面体A B C D的各棱分别作与其对棱平行的平面， 六个平面相交得一平行六面
4、体A C1B D1 A1C B1D（如图 1 0 1 5 ）此时V A B C D等于平行六面体的体积V减去四个彼此等积的三棱锥的 体积，这四个三棱锥分别是AA1C D，BB1D C，CC1A B，DD1A B因为这四个三棱锥的底 面积为平行六面体底面积的，其高与平行六面体的高相等，故每一个三棱锥的体积等于 于是 由于A B，C D与截面等距，如图 1 0 1 5 可知K，L，M，N分别是A A1 ，C C1，B B1，D D1的中 点，易知，而h就是平面A C1B D1 与平面A1C B1D的距离，所以 说明：利用“等积”进行割补，是解决多面体体积问题的一个有效方法 例例 11 、已知x、y
5、RR ，求证： 证证明明： 这三者可视为如图中A B、B C、C D三条线段的长度 显然|A B| |B C| |C D| |A D| =所以 评评述述：二次根式内是一个二次式，常构造图形，利用余弦定理证明同法可证： 例例 33 、函数f(x) 在 0 ，1 上有定义，f( 0 ) =f( 1 )如果对于任意不同的x1 ，x2 0 ，1 ，都有|f(x1) f(x2) | |x1x2| 求证：对于任意 明明：不妨设 0 x1x21 （1 ）若，则 命题成立 （2 ）若，根据条件f( 0 ) =f( 1 ) 得 |f(x2) f(x1) | = |f( 1 ) f(x2) f(x1) f( 0
6、) | |f( 1 ) f(x2) | |f(x1) f( 0 ) | 1 x2x10 = 1 (x2x1) 命题同样得证 综上命题成立 例例 55 、已知n 2 ，证明： 证证明明：（1 ）显然是n的增函数 （2 ） 思思路路分分析析：易猜出时，A、B、C中任两者不等时， 证证明明：我们先假定C是常量，于是AB= C也是常量 显然，当A=B时，上式达到最大值因此，只要A、B、C中任意两个不等，表达式 s i nAs i nB s i nC就没有达到最大值因而，当时，s i nAs i nBs i nC取到最大值，不 等式得证 评评述述：不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式 的最值类似可证：A B C中， 锐角A B C中，t a nAt a nBt a nC3
