1、第 1页（共 20页） 2021 年北京市通州区高考数学一模试卷年北京市通州区高考数学一模试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 2A ，1，0，1， |1Bx x ，则(AB ) A 2，1B0，1C 1，0，1D 2，1，0，1 2 （4 分）已知 52345 012345 (2) xaa xa xa xa xa x，则 3 (a ) A10B20C40D80 3 （4 分）下列函数中，是偶函数且值域为0，)
2、的是() A 2 ( )1f xxB 1 2 ( )f xxC 2 ( )logf xxD( ) |f xx 4 （4 分）某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱柱的 体积为() A 4 3 B 8 3 C4D8 5 （4 分）已知等比数列 n a的公比2q ，前 6 项和 6 21S ，则 6 (a ) A32B16C16D32 6（4 分） 已知在圆 222 (1)xyr上到直线30 xy的距离为2的点恰有一个， 则(r ) A2B3C2D2 2 7 （4 分）已知a，b，cR，则“ab”的一个充分而不必要条件是() A 22 abB 33 abC22 ab
3、D 22 acbc 8 （4 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的图象如图所示，则() 第 2页（共 20页） A函数( )f x的最小正周期是2 B函数( )f x在区间(, ) 2 上单调递减 C函数( )f x在区间 34 , 43 上的最小值是1 D曲线() 12 yf x 关于直线 2 x 对称 9 （4 分）已知点P是抛物线 2 2(0)ypx p上一点，且点P到点(0, 2)A的距离与到y轴 的距离之和的最小值为2 32 2，则(p ) A2 2B4C3 2D4 2 10 （4 分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度 为 1C
4、 ， 空气温度为 0C ， 则tmin后物体的温度（单位：C) 满足： 010 () kt e （其 中k为常数，2.71828)e 现有某物体放在20 C 的空气中冷却，2min后测得物体的温度 为52 C ，再经过6min后物体的温度冷却到24 C ，则该物体初始温度是() A80 C B82 C C84 C D86 C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）已知复数 2 1 i z i ，则 2 z 12 （5 分）已知 1 F， 2 F分别为双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左、右焦点，过点 2 F作x轴的垂线交
5、 双曲线C于P，Q两点，则双曲线C的渐近线方程为； 1 PFQ的面积为 13 （5 分）设向量 1 e ， 2 e 是两个不共线的向量，已知 12 2ABee ， 12 3ACee ， 12 2BDeke ，且B，C，D三点共线，则BC （用 1 e ， 2 e 表示） ；实数k 14 （5 分）已知函数 2 2 , ( )(0) , xx x t f xt lnx xt 有 2 个零点，且过点( ,1)e，则常数t的一个 取值为 第 3页（共 20页） 15 （5 分）已知函数 1 ( )f x x ，设曲线( )yf x在第一象限内的部分为E，过O点作斜率 为 1 的直线交E于 1 B，过
6、 1 B点作斜率为1的直线交x轴于 1 A，再过 1 A点作斜率为 1 的直线 交E于 2 B，过 2 B点作斜率为1的直线交x轴于 2 A，依这样的规律继续下去，得到一 系列等腰直角三角形，如图所示给出下列四个结论： 12 A B的长为 2 2 ； 点 3 A的坐标为(2 3, 0)； 233 A B A与 344 A B A的面积之比是( 32):(23)； 在直线5x 与y轴之间有 6 个三角形 其中，正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，三
7、棱锥ABCD中，CD 平面ABC， 1 2 ACCBCD，90ACB， 点E，F分别是AB，AD的中点 （）求证：AC 平面BCD； （）求直线AD与平面CEF所成角的正弦值 17 （13 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1bc， 7 cos 8 A ， 再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知 （）求a的值； 第 4页（共 20页） （）求tan B的值 条件：3sin4sinBC；条件：ABC的面积为 3 15 4 18 （14 分）我国探月工程嫦娥五号探测器于 2020 年 12 月 1 日 23 时 11 分降落在月球表面 预选着陆区， 在顺利完成月面自动采样
8、之后， 成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道， 这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞， 对我国航天事业具有重大而深远的影响 某 校为了解高中生的航空航天知识情况， 设计了一份调查问卷， 从该校高中生中随机抽取部分 学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照30，40)，40， 50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100分组，绘制成评分频率分 布直方图，如图： （）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于 80 分的学生有 9 人，求此次抽取 的学生人数； （）在测试评分不低于 80 分的 9 名学生中随机选取 3 人作为航空
9、航天知识宣传大使，记 这 3 名学生中测试评分不低于 90 分的人数为X，求X的分布列和数学期望； （）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关 系 （直接写出结论） 19 （15 分）已知函数 2 ( )1 x f xx e，( ) x g xeax，aR （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）求( )g x的单调区间； （）设函数( )( )( )F xf xg x，当1a时，求( )F x在区间0，)上的最小值 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为 2，离心率为 2 2 （）求椭圆C的
10、方程； 第 5页（共 20页） （）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴 负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且PAAB，点Q是P关于x轴的对称点， 直线QA与椭圆C的另一个交点为F （）证明：直线AQ，AP的斜率之比为定值； （）求直线EF的斜率的最小值 21 （15 分）已知有限数列 1 :A a， 2 a， m a为单调递增数列若存在等差数列 1 :B b， 2 b， ， 1m b ，对于A中任意一项 i a，都有 1iii bab，则称数列A是长为m的数列 （）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）: 数列 1，4，5，8； 数列 2，4，8，
11、16 （）若(abc a，b，)cR，证明：数列a，b，c为数列； （）设M是集合|063xNx 的子集，且至少有 28 个元素，证明：M中的元素可以 构成一个长为 4 的数列 第 6页（共 20页） 2021 年北京市通州区高考数学一模试卷年北京市通州区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 2A ，1，0，1， |1Bx x ，则(AB ) A 2，1B0，1
12、C 1，0，1D 2，1，0，1 【解答】解： 2A ，1，0，1， |1Bx x ， 0AB ，1 故选：B 2 （4 分）已知 52345 012345 (2) xaa xa xa xa xa x，则 3 (a ) A10B20C40D80 【解答】解：二项式 5 (2) x的展开式中含 3 x的项为 3233 5 240Cxx， 所以 3 40a ， 故选：C 3 （4 分）下列函数中，是偶函数且值域为0，)的是() A 2 ( )1f xxB 1 2 ( )f xxC 2 ( )logf xxD( ) |f xx 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A， 2 ( )1f xx，为
13、二次函数，是偶函数，其值域为 1，)，不符合题意； 对于B， 1 2 ( )f xxx，不是偶函数，不符合题意； 对于C， 2 ( )logf xx，为对数函数，不是偶函数，不符合题意； 对于D， ,0 ( ) | ,0 x x f xx x x ，是偶函数且值域为0，)，符合题意； 故选：D 4 （4 分）某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱柱的 体积为() 第 7页（共 20页） A 4 3 B 8 3 C4D8 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高 为 2 的三棱柱体 如图所示： 故 1 2224 2 V ， 故
14、选：C 5 （4 分）已知等比数列 n a的公比2q ，前 6 项和 6 21S ，则 6 (a ) A32B16C16D32 【解答】解：等比数列 n a的公比2q ，前 6 项和 6 21S ， 6 11 ( 2) 21 1( 2) a ，解得 1 1a ， 则 5 6 ( 2)32a 故选：D 6（4 分） 已知在圆 222 (1)xyr上到直线30 xy的距离为2的点恰有一个， 则(r ) A2B3C2D2 2 【解答】解：因为圆 222 (1)xyr的圆心为(1,0)，半径为r， 第 8页（共 20页） 圆心(1,0)到直线30 xy的距离 |103| 2 2 2 d ， 因为在圆
15、222 (1)xyr上到直线30 xy的距离为2的点恰有一个， 所以2 222r 故选：A 7 （4 分）已知a，b，cR，则“ab”的一个充分而不必要条件是() A 22 abB 33 abC22 ab D 22 acbc 【解答】解：对于:A ab与 22 ab互相推不出是既不充分也不必要条件， 对于 33 :B abab是充要条件， 对于:22 ab C ab是充要条件， 对于D：若 22 acbc，得0c ，则ab，反之不成立，即 22 acbc是ab成立的充分不 必要条件， 故选：D 8 （4 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的图象如图所示，则() A函数( )
16、f x的最小正周期是2 B函数( )f x在区间(, ) 2 上单调递减 C函数( )f x在区间 34 , 43 上的最小值是1 D曲线() 12 yf x 关于直线 2 x 对称 【解答】解：由函数( )sin()f xx的图象知， 5 41264 T ，解得T，所以 2 2 T ， 由五点法画图知( 6 ，0)是第一个对应点，所以20 6 ，解得 3 ， 所以函数( )sin(2) 3 f xx ； 第 9页（共 20页） 对于A，函数( )f x的最小正周期是，选项A错误； 对于B，( 2 x ，)时， 2 2( 33 x ， 5 ) 3 ，( )f x先递减后递增，所以B错误； 对于
17、C， 3 4 x ， 4 3 时， 7 2 36 x ， 7 3 ，( )f x先递减后递增，最小值是 11 ( )()1 12 min f xf ，所以C正确； 对于D，()sin2()sin(2) 121236 yf xxx ，且 71 ()sin() 262 f ， 所以曲线() 12 yf x 不关于直线 2 x 对称，选项D错误 故选：C 9 （4 分）已知点P是抛物线 2 2(0)ypx p上一点，且点P到点(0, 2)A的距离与到y轴 的距离之和的最小值为2 32 2，则(p ) A2 2B4C3 2D4 2 【解答】解：抛物线 2 2(0)ypx p的准线为 2 p x ，(
18、2 p F，0)， P点到有y轴的距离为| 2 p PF ，其中| 2 P p PFx， | 22 pp PAPFFA， 此时点P在直线AF与抛物线的交点， 2 22 |(0)( 20)4 24 pp FA ， |2 32 2 2 p FA ， 2 2 32 24 42 pp ， 解得4 2p ， 故选：D 第 10页（共 20页） 10 （4 分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度 为 1C ， 空气温度为 0C ， 则tmin后物体的温度（单位：C) 满足： 010 () kt e （其 中k为常数，2.71828)e 现有某物体放在20 C 的空气中冷却
19、，2min后测得物体的温度 为52 C ，再经过6min后物体的温度冷却到24 C ，则该物体初始温度是() A80 C B82 C C84 C D86 C 【解答】解：由已知可得第二次冷却： 1 52 C， 0 20 C，6t ，24 C， 即 6 2420(5220) k e，所以 6 1 8 k e，则68kln ，解得 8 6 ln k ， 第一次冷却：52 C， 0 20 C，2t ， 所以 8 2 6 1 5220(20) ln e ，即 8 3 1 (20)32 ln e ， 所以 1 8 3 3232 202084 0.5 ln C e ， 故选：C 二、填空题共二、填空题共
20、5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）已知复数 2 1 i z i ，则 2 z 2i 【解答】解：因为 22 (1) (1)1 1(1)(1) iii ziii iii ， 所以 22 (1)2zii， 故答案为：2i 第 11页（共 20页） 12 （5 分）已知 1 F， 2 F分别为双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左、右焦点，过点 2 F作x轴的垂线交 双曲线C于P，Q两点， 则双曲线C的渐近线方程为3yx ； 1 PFQ的面积为 【解答】解：双曲线 2 2 :1 3 y C x 的1a ，3b ，2c ， 渐近线的方程为3yx ； 令
21、2x ，可得3413y ， 则| 6PQ ， 1 PFQ的面积为 1 4612 2 故答案为：3yx ，12 13 （5 分）设向量 1 e ， 2 e 是两个不共线的向量，已知 12 2ABee ， 12 3ACee ， 12 2BDeke ， 且B，C，D三点共线， 则BC 12 4ee （用 1 e ，2e 表示） ； 实数k 【解答】解：因为向量 1 e ， 2 e 是两个不共线的向量，且 12 2ABee ， 12 3ACee ， 所以 12 4BCACABee ， 又 12 2BDeke ，且B，C，D三点共线， 所以1 ()420k ， 解得8k 故答案为： 12 4ee ；8
22、14 （5 分）已知函数 2 2 , ( )(0) , xx x t f xt lnx xt 有 2 个零点，且过点( ,1)e，则常数t的一个 取值为2（不唯一） 【解答】解：当x t时，令 2 20 xx，解得0 x 或2x ， 当xt时，令0lnx ，解得1x ， 因为( )f x只有 2 个零点且0t ， 所以当xt时，取不到1x ， 故1t， 又( )f x过点( ,1)e，则有f（e）1，所以te， 故t的取值范围为1，) e， 第 12页（共 20页） 所以常数t的一个取值可以为 2（不唯一） 故答案为：2（不唯一） 15 （5 分）已知函数 1 ( )f x x ，设曲线( )
23、yf x在第一象限内的部分为E，过O点作斜率 为 1 的直线交E于 1 B，过 1 B点作斜率为1的直线交x轴于 1 A，再过 1 A点作斜率为 1 的直线 交E于 2 B，过 2 B点作斜率为1的直线交x轴于 2 A，依这样的规律继续下去，得到一 系列等腰直角三角形，如图所示给出下列四个结论： 12 A B的长为 2 2 ； 点 3 A的坐标为(2 3, 0)； 233 A B A与 344 A B A的面积之比是( 32):(23)； 在直线5x 与y轴之间有 6 个三角形 其中，正确结论的序号是 【解答】解： 1(1,1) B， 1(2,0) A， 1 2 y x yx ，解得 2( 2
24、 1B，21)， 2(2 2 A，0)， 1 2 2 y x yx ，解得 3( 3 2B，32)， 3(2 3 A，0)， 1 2 3 y x yx ，解得 4( 4 3B，43)， 4(2 4 A，0)， 以此类推，(1 n Bnn，1)nn，(2 n An，0)， 第 13页（共 20页） 对于， 12 A B的长为 2 22 2 ，所以错； 对于，点 3 A的坐标为(2 3, 0)，所以对； 对于， 233 A B A与 344 A B A的相似比为( 32):(23)， 面积之比不是( 32):(23)，所以错； 对于，因为2 652 7，所以在直线5x 与y轴之间有 6 个三角形，
25、所以对 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，三棱锥ABCD中，CD 平面ABC， 1 2 ACCBCD，90ACB， 点E，F分别是AB，AD的中点 （）求证：AC 平面BCD； （）求直线AD与平面CEF所成角的正弦值 【解答】 （）证明：因为DC 平面ABC，AC 平面ABC， 所以ACCD 因为90ACB， 所以ACCB 因为CDCBC ，CD 平面BCD，CB 平面BCD， 所以AC 平面BCD（5 分） 第 14页（共 20页） （）解：因为
26、CD 平面ABC， 所以CBCD6分 以点C为坐标原点， 分别以直线CB，CD，CA为x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz 设2ACBC，则4DC 因为点E，F分别是AB，AD的中点， 所以(0A，0，2)，(2B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，4，0)，(1E，0，1)，(0F，2，1) 所以(0,4, 2)AD ，(1,0,1)CE ，(0,2,1)CF 设平面CEF的法向量为(nx ，y，) z， 则 0, 0, n CE n CF 即 0 20 xz yz ， 令1y ，则2z ，2x 所以(2n ，1，2) 设直线AD与平面CEF所成角为 所以 |84 5 sin|cos,|
27、 15|32 5 n AD n AD nAD 所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值 4 5 15 （13 分） 17 （13 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1bc， 7 cos 8 A ， 再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知 （）求a的值； （）求tan B的值 第 15页（共 20页） 条件：3sin4sinBC；条件：ABC的面积为 3 15 4 【解答】解： （）选条件：3sin4sinBC， 3sin4sinBC，由正弦定理，得34bc， 1bc，解方程组 34 1 bc bc ，得4b ，3c ，且 7 cos 8 A ， 由余弦定理，得 2 7
28、9162344 8 a ，2a； 选条件：ABC的面积为 3 15 4 ， 7 cos 8 A ， 2 15 sin1cos 8 AA， ABC的面积为 3 15 4 ， 1153 15 284 bc，解得12bc ， 1bc，解方程组 12 1 bc bc ，得4b ，3c ， 由余弦定理，得 2 7 9162344 8 a ，2a； （）由余弦定理，得 49161 cos 2234 B ， 2 15 sin1cos 4 BB， sin tan15 cos B B B 18 （14 分）我国探月工程嫦娥五号探测器于 2020 年 12 月 1 日 23 时 11 分降落在月球表面 预选着陆区
29、， 在顺利完成月面自动采样之后， 成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道， 这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞， 对我国航天事业具有重大而深远的影响 某 校为了解高中生的航空航天知识情况， 设计了一份调查问卷， 从该校高中生中随机抽取部分 学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照30，40)，40， 50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100分组，绘制成评分频率分 布直方图，如图： （）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于 80 分的学生有 9 人，求此次抽取 的学生人数； （）在测试评分不低于 80 分的 9 名学生
30、中随机选取 3 人作为航空航天知识宣传大使，记 这 3 名学生中测试评分不低于 90 分的人数为X，求X的分布列和数学期望； （）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关 第 16页（共 20页） 系 （直接写出结论） 【解答】 解：（） 由图知， 学生的测试评分不低于 8 （0 分） 的频率(0.0300.015) 100.45 设抽取的学生人数为n， 所以0.459n 解得20n 所以此次抽取的学生人数为 20（3 分） （）由图知，学生的测试评分在80，90)的频率0.030 100.30， 在90，100的频率0.015 100.15 所以200.30
31、6，200.153（4 分） 所以学生的测试评分不低于 8 （0 分） 的 9 名学生中， 评分在80，90)的有 6 人， 在90，100 的有 3 人， 所以X的可能取值为 0，1，2，3（5 分） 3 6 3 9 5 (0) 21 C P X C ； 21 63 3 9 15 (1) 28 C C P X C ； 12 63 3 9 3 (2) 14 C C P X C ； 3 3 3 9 1 (3) 84 C P X C （9 分） 所以X的分布列为 X0123 第 17页（共 20页） P 5 21 15 28 3 14 1 84 （10 分） 所以X的数学期望 51531 0123
32、1 21281484 EX （11 分） （）ab（14 分） 19 （15 分）已知函数 2 ( )1 x f xx e，( ) x g xeax，aR （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）求( )g x的单调区间； （）设函数( )( )( )F xf xg x，当1a时，求( )F x在区间0，)上的最小值 【解答】解： （）因为 2 ( )1 x f xx e，所以 2 ( )(2) x fxxx e 所以(0)1f ，(0)0 f 所以曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为10y （3 分） （）因为( ) x g xeax，定义域为R， 所以(
33、 ) x g xea（4 分） 当0a时，( )0g x 所以( )g x在R上单调递增（6 分） 当0a 时，令( )0g x，得xlna， 所以当0a 时，( )g x与( )g x在(,) 上的变化情况如下： x(,)lna lna(,)lna ( )g x 0 ( )g x 极小值 所以( )g x在(,)lna内单调递减，在(,)lna 内单调递增（7 分） 由可知，当0a时，( )g x在R上单调递增 当0a 时，( )g x在(,)lna内单调递减，在lna，)内单调递增 （）因为( )( )( )F xf xg x， 所以 2 ( )(1)1 x F xxeax， 所以 2 (
34、 )(21) x F xxxea 第 18页（共 20页） 令( )( )h xF x，所以 2 ( )(41)0 x h xxxe（9 分） 所以( )h x在区间0，)上单调递增，即( )F x在区间0，)上单调递增（10 分） 所以( )(0)1F xFa （12 分） 因为1a，所以( ) 0F x（13 分） 所以( )F x在区间0，)上单调递增（14 分） 所以( )(0)2F xF （15 分） 所以当1a时，( )F x在区间0，)上的最小值是2 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为 2，离心率为 2 2 （）求椭圆C的方程； （
35、）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴 负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且PAAB，点Q是P关于x轴的对称点， 直线QA与椭圆C的另一个交点为F （）证明：直线AQ，AP的斜率之比为定值； （）求直线EF的斜率的最小值 【解答】解： （）由题意得 222 22, 2 , 2 . b c a abc 解得 2, 1. a b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y（3 分） （）( ) i设P点的坐标为 0 (x， 0) y， 因为点Q是 0 (P x， 0) y关于x轴的对称点，PAAB， 所以 0 (Q x， 0) y， 0 1 (0,) 2
36、 Ay 所以直线QA的斜率为 00 0 00 1 3 2 2 QA yy y k xx ，PA的斜率为 00 0 00 1 2 2 PA yy y k xx 所以3 QA PA k k （7 分） 所以直线AQ，AP的斜率之比为定值 ( )ii设直线PA的方程为ykxm 第 19页（共 20页） 联立方程组 22 , 22, ykxm xy 化简得 222 (12)4220kxkmxm 设E点的坐标是 1 (x， 1) y， 所以 2 0 1 2 22 12 m x x k 所以 2 1 2 0 22 (12) m x kx 所以 2 1 2 0 2 (1) (12) k m ym kx 所以
37、E点的坐标是 22 22 00 222 (1) (,) (12)(12) mk m m kxkx （10 分） 由（）可知，直线QA的方程是3ykxm 所以F点的坐标是 22 22 00 226 (1) (,) (1 18)(1 18) mk m m kxkx （12 分） 所以直线EF的斜率 22 222 00 22 22 00 6 (1)2 (1) (1 18)(12)61 22224 (1 18)(12) EF k mk m mm kxkxk k mmk kxkx （13 分） 因为0k ，所以 2 6111116 (6)2 6 4442 EF k kkk kkk 当且仅当 1 6k k
38、 ，即 6 6 k 时， EF k有最小值 6 2 所以直线EF的斜率的最小值是 6 2 （15 分） 21 （15 分）已知有限数列 1 :A a， 2 a， m a为单调递增数列若存在等差数列 1 :B b， 2 b， ， 1m b ，对于A中任意一项 i a，都有 1iii bab，则称数列A是长为m的数列 （）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）: 数列 1，4，5，8； 数列 2，4，8，16 （）若(abc a，b，)cR，证明：数列a，b，c为数列； （）设M是集合|063xNx 的子集，且至少有 28 个元素，证明：M中的元素可以 构成一个长为 4 的数列 【解答】解： （）
39、根据题意可得，数列 1，4，5，8 是数列；数列 2，4，8，16 是数 列 第 20页（共 20页） （）证明：当bacb时，令 1 ba， 2 bb， 3 bc， 4 2bcb， 所以数列 1 b， 2 b， 3 b， 4 b为等差数列，且 1234 babbbcb， 所以数列a，b，c为数列 当bacb时，令 1 2bbc， 2 bb， 3 bc， 4 2bcb， 所以数列 1 b， 2 b， 3 b， 4 b为等差数列，且 1234 babbbcb 所以数列a，b，c为数列 当bacb时，令 1 ba， 2 2 ac b ， 3 bc， 4 3 2 ca b ， 所以数列 1 b， 2
40、 b， 3 b， 4 b为等差数列，且 1234 babbbcb 所以数列a，b，c为数列 综上，若abc，数列a，b，c为数列 （）证明：假设M中没有长为 4 的数列， 考虑集合16 k Mk，161k ，1615k ，0k ，1，2，3 因为数列 0，16，32，48，64 是一个共有 5 项的等差数列， 所以存在一个k，使得 k M中没有一个元素属于M 对于其余的k， 再考虑集合 , 164 k j Mkj，1641kj，1642kj，1643kj，0j ，1，2，3 因为164kj，1644kj，1648kj，16412kj，16416kj是一个共有 5 项的 等差数列， 所以存在一个j，使得 ,k j M中没有一个元素属于M 因为 ,k j M中 4 个数成等差数列， 所以每个 ,k j M中至少有一个元素不属于M 所以集合|063xNx 中至少有16431 937 个元素不属于集合M 所以集合M中至多有643727个元素，这与M中至少有 28 个元素矛盾 所以假设不成立 所以M中的元素必能构成长为 4 的数列
