1、第 1页（共 19页） 2021 年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷（二）年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷（二） 一一、单项选择题单项选择题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中只有在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的。 ） 1 （5 分）若复数z满足(2)5 (zii i为虚数单位） ，则z为()666666666666666 A12i B12i C12iD12i 2 （5 分）已知集合 2 |60Mx xx， |11Nxx，则(MN ) A(2,)B(6,)C(2,6)D(0,6) 3 （5
2、分） “易经”是我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、创新的图示符 号，用“一” 、 “一一”两种“爻”的符号代表阴阳， “”称为阳爻“一一”称为阴爻阴 阳两爻在三个位置的不同排列组成了八卦两个八卦叠加而成 64 卦，比如图中损卦，即为 阳爻占据 1，5，6 三个位置，阴爻占 2，4，5 位从 64 卦中任取 1 卦，阳爻个数恰为 2 且 互不相邻的概率() A 1 2 B 3 8 C 5 16 D 5 32 4 （5 分） x a ye 的图象与直线2yx相切，则(a ) A1B2lnC12lnD21ln 5 （5 分）圆 22 :9O xy与圆 22 1:( 2)(3)16Oxy
3、交于A、B两点，则| (AB ) A6B5C 6 78 13 D 12 39 13 6 （5 分）(1,3)a ，| 5ab ，则|b 最大值为() A8B9C5 10D510 7 （5 分）已知 3 3a ， 3 ( 3)b ， 3 log9 3c ，则a，b，c的大小个关系是() AcabBabcCacbDcba 8 （5 分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF 平面ABCD， 2AB ，60AFC，则多面体ABCDEF的体积为() 第 2页（共 19页） A 4 3 B 4 2 3 C 8 2 3 D 16 3 二二、多项选择题多项选择题（本题共本题共 4
4、小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分） 9 （5 分）2020 年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产学校开始 以网课的方式进行教学 为了掌握学生们的学习状态， 某省级示范学校对高三一段时间的教 学成果进行测试高三有 1000 名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）Z服 从正态分布(82.5N， 2 5.4 )，则（人数保留整数）() 参考数据：若 2 ( ,)ZN
5、 ，则()0.6827PZ， (22 )0.9545PZ，(33 )0.9973PZ A年级平均成绩为 82.5 分 B成绩在 95 分以上（含95)人数和 70 分以下（含 70 分）人数相等 C成绩不超过 77 分的人数少于 150 人 D超过 98 分的人数为 1 人 10（5 分） 命题p： 存在a，bR， 使 2ab ab ab ； 命题q： 对任意a，bR， 33 22 ba ab ab ； 命题：r：若ab，cd，则acbd，则() Apq为真命题Bpq为真命题 Cpr 为假命题Dpr 为假命题 11 （5 分）已知( )sin()(0f xAxA，0，(0,2 )的图象如图，则
6、() A2B 3 第 3页（共 19页） C2A D 5 6 x 时，( )f x取最小值 12 （5 分）矩形ABCD中，4AB ，3BC ，将ABD沿BD折起，使A到A的位置，A 在平面BCD的射影E恰落在CD上，则() A三棱锥ABCD的外接球直径为 5 B平面A BD平面A BC C平面A BD平面ACD DA D与BC所成角为60 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知 1 F， 2 F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，以 12 F F为直径的圆 与双曲线在第一象限的
7、交点为M， 12 | 10F F ， 12 |2|MFMF， 则双曲线的标准方程为 14 （5 分）已知0m ， 4234 01234 (1)mxaa xa xa xa x，若 23 aa，则m 15 （5 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 212 1 nn aa ， 221 2 nn aa ，则 2021 a 16（5 分） 已知函数 2 2 log (1) ,1 ( ) (1) ,1 xx f x xx ，( )()f xm mR恰有四个不相等的实数根 1 x， 2 x， 3 x， 4 x且满足 1234 xxxx，则 34 11 xx ； 1234 2xxxx的最小值为 四、解答题
8、（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 ） 17 （10 分）数列 n a满足 1 2 3 a ， 21* 1 (21)(22)() nn nn aa nN （1）求 n a的通项公式； （2）求 12n aaa 18 （12 分）在4ac；ABC的面积为 5 4 ；4ac ，这三个条件中任选一个，补 充到下面的问题中，若问题中的三角形存在，求出sinsinAC，若问题中三角形不存在， 说明理由 问题：ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 3 cos()cos 2 ACB，2b ，
9、 _ 19 （12 分） 四棱锥PABCD中，/ /ABCD，90PDABAD ， 1 2 PDDAABCD， S为PC中点，BSCD （1）证明：PD 平面ABCD； 第 4页（共 19页） （2）平面SAD交PB于Q，求CQ与平面PCD所成角的正弦值 20 （12 分）新冠疫情期间，某省级示范学校统计高三年级走读生与寄宿生的学习状态，得 如表表格，其中前 200 名定为优秀 优秀非优秀合计 走读生120530650 寄宿生80270350 合计2008001000 （1）是否有95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关； （2）年级前 10 名中有寄宿生 4 人，现从这 10 人中随机选出 3
10、人去名校研学选出的寄宿生 人数记为X，写出X的分布列，并求()E X 2 0 ()P Kk 0.150.100.050.0250.010.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.63510.828 参考数据及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 21 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F且与x轴垂直 的直线交椭圆于M，N两点，其中点M在第一象限， 1 7 cos 25 MF N， 12 |2F F （1）求椭圆C的标准方程； （2）A为椭圆上顶点，过A引两条直线
11、 1 l， 2 l，斜率分别为 1 k， 2 k，若 12 1k k ， 1 l， 2 l分 别交椭圆另一点为P，Q，求证：直线PQ恒过定点 22 （12 分）已知对任意0 x，( )(1)0 2 ax f xln x x 恒成立 （1）求a的范围； （2） 证明： 111 2 3599 （参考数据：2.7e ， 2 7.4e ， 3 20.1e ， 4 50.6e ， 5 148.4)e 第 5页（共 19页） 2021 年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷（二）年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷（二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、单项选择题单项选择题（本题共本题共 8 小
12、题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中只有在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的。 ） 1 （5 分）若复数z满足(2)5 (zii i为虚数单位） ，则z为()666666666666666 A12i B12i C12iD12i 【解答】解：复数z满足(2)5zii， 55 (2)5 (2) 12 2(2)(2)5 iiiii zi iii 故选：A 2 （5 分）已知集合 2 |60Mx xx， |11Nxx，则(MN ) A(2,)B(6,)C(2,6)D(0,6) 【解答】解： |06Mxx， |2Nx x， (2,6
13、)MN 故选：C 3 （5 分） “易经”是我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、创新的图示符 号，用“一” 、 “一一”两种“爻”的符号代表阴阳， “”称为阳爻“一一”称为阴爻阴 阳两爻在三个位置的不同排列组成了八卦两个八卦叠加而成 64 卦，比如图中损卦，即为 阳爻占据 1，5，6 三个位置，阴爻占 2，4，5 位从 64 卦中任取 1 卦，阳爻个数恰为 2 且 互不相邻的概率() A 1 2 B 3 8 C 5 16 D 5 32 【解答】解：从 64 卦中任取 1 卦，基本事件个数64n ， 阳爻个数恰为 2 且互不相邻包含的基本个数 2 6 510mC， 阳爻个数恰为 2
14、且互不相邻的概率 105 6432 m P n 故选：D 第 6页（共 19页） 4 （5 分） x a ye 的图象与直线2yx相切，则(a ) A1B2lnC12lnD21ln 【解答】解：由 x a ye ，得 x a ye ， 设直线2yx与 x a ye 的切点为( , )m n， 则 2 2 m a m a e me ，解得1m ，21aln 故选：D 5 （5 分）圆 22 :9O xy与圆 22 1:( 2)(3)16Oxy交于A、B两点，则| (AB ) A6B5C 6 78 13 D 12 39 13 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 圆 22 :9O xy与 圆
15、 22 1:( 2)(3)16Oxy， 即 2 4630 xyxy， 联立可得： 22 22 9 4630 xy xyxy ，可得：2330 xy， 即AB所在直线的方程为2330 xy， 圆 22 :9O xy，圆心为(0,0)，半径3r ， 圆心O到直线AB的距离 |3|3 13 1349 d ， 则 22 12 39 | 2 13 ABrd， 故选：D 6 （5 分）(1,3)a ，| 5ab ，则|b 最大值为() A8B9C5 10D510 【解答】解：根据题意，设OAa ，OBb ， 若(1,3)a ，则A的坐标为(1,3)， | 5ab ，即| 5AB ，B的轨迹为以(1,3)A
16、为圆心，半径5r 的圆， |1910OA ， 第 7页（共 19页） 则|b ，即OB的最大值为| 510rOA ， 故选：D 7 （5 分）已知 3 3a ， 3 ( 3)b ， 3 log9 3c ，则a，b，c的大小个关系是() AcabBabcCacbDcba 【解答】解： 3 33 2 3( 3)33 35ab， 5 33 log9 3( 3)5clog， abc 故选：B 8 （5 分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF 平面ABCD， 2AB ，60AFC，则多面体ABCDEF的体积为() A 4 3 B 4 2 3 C 8 2 3 D 16 3 【
17、解答】解：平面BDEF 平面ABCD，且平面BDEF平面ABCDBD，BFBD， BF平面ABCD，可得BFAB，BFBC， 22 AFABBF， 22 CFBCBF， 又ABBC，AFCF， 在正方形ABCD中，2 2AC ，2 2BD ， 在AFC中，由AFCF，60AFC，知AFC为正三角形， 2 2AFAC，则 2222 (2 2)22BFAFAB 4 2 BDEF SBDBF 矩形 ， 116 4 22 2 33 ABCDEFA BDEFC BDEF VVV 故选：D 第 8页（共 19页） 二二、多项选择题多项选择题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20
18、分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分） 9 （5 分）2020 年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产学校开始 以网课的方式进行教学 为了掌握学生们的学习状态， 某省级示范学校对高三一段时间的教 学成果进行测试高三有 1000 名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）Z服 从正态分布(82.5N， 2 5.4 )，则（人数保留整数）() 参考数据：若 2 ( ,)ZN ，则()0.6827PZ， (22 )0.9
19、545PZ，(33 )0.9973PZ A年级平均成绩为 82.5 分 B成绩在 95 分以上（含95)人数和 70 分以下（含 70 分）人数相等 C成绩不超过 77 分的人数少于 150 人 D超过 98 分的人数为 1 人 【解答】解：选项A：因为(82.5ZN， 2 5.4 )，所以82.5，5.4， 由正态分布概念可知：年级平均成绩82.5，故A正确， 选项B：因为 9570 82.5 2 ，所以成绩在 95 分以上（含 95 分）人数和 70 分以下（含 70 分）人数相等，故B正确， 选项C：因为7782.55.4，所以 10.6827 (77)()0.15865 2 P ZP
20、Z ， 因为10000.15865159150，所以成绩不超过 77 分的人数多于 150 人，故C错误， 选项D：因为82.55.4398.799， 所以 10.9973 (99)(3 )0.00135 2 P ZP Z ， 因为10000.001351，所以超过 98 分的人数为 1 人，故D正确， 故选：ABD 第 9页（共 19页） 10（5 分） 命题p： 存在a，bR， 使 2ab ab ab ； 命题q： 对任意a，bR， 33 22 ba ab ab ； 命题：r：若ab，cd，则acbd，则() Apq为真命题Bpq为真命题 Cpr 为假命题Dpr 为假命题 【解答】解：对于
21、命题:P a，bR，当1a ，1b 时，不等式成立，故命题P为真命题； 对于命题q：对任意a，bR， 33 22 ba ab ab 44 2233222 ()() 0() () 0 ba ababababaabb ab ，当且仅 当ab时，等号成立，故q为真命题； 对于命题r：当0ab，0cd时，则acbd，故命题r为假命题； 故pq为真命题；pq为真命题，pr 为假命题，pr 为真命题； 故选：ABCD 11 （5 分）已知( )sin()(0f xAxA，0，(0,2 )的图象如图，则() A2B 3 C2A D 5 6 x 时，( )f x取最小值 【解答】解：由题意知：() 2362
22、T ，则T， 故 2 2 T ，故A正确； 函数图像由sinyAx的图像向左平移 6 而得， 故( )sin2()sin(2) 63 f xAxAx ，故 3 ，故B正确； (0)sin1 3 fA ，解得： 2 3 3 A ，故C错误； 5 6 x 时，22 3 x ，( )f x不取最小值，故D错误； 故选：AB 12 （5 分）矩形ABCD中，4AB ，3BC ，将ABD沿BD折起，使A到A的位置，A 第 10页（共 19页） 在平面BCD的射影E恰落在CD上，则() A三棱锥ABCD的外接球直径为 5 B平面A BD平面A BC C平面A BD平面ACD DA D与BC所成角为60 【
23、解答】解：对于A，取BD中点E，连接A E，CE， 则 22 435 22 A EBEDECE 三棱锥ABCD的外接球直径为 5，故A正确； 对于B，DABA ，BCCD，A F平面BCD，BCA F， 又A FCDF ，A F、CD 平面ACD，BC平面ACD， A D平面ACD，DABC ， BCBAB ，DA 平面A BC， DA 平面A BD，平面A BD平面A BC，故B正确； 对于C，BCA C，A B 与A C不垂直， 平面A BD与平面ACD不垂直，故C错误； 对于D，/ /DABC，ADA是A D与BC所成角（或所成角的补角） ， 1697A C， 3 7 4 A F ， 2
24、 3 79 9() 44 DF ， 2 915 9( ) 44 AF ， 22 153 7 ()()3 2 44 AA ， 9918 cos0 23 3 ADA ，90ADA ， A D 与BC所成角为90，故D错误 故选：AB 第 11页（共 19页） 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知 1 F， 2 F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，以 12 F F为直径的圆 与双曲线在第一象限的交点为M， 12 | 10F F ， 12 |2|MFMF，则双曲线的标准方程为 22
25、1 520 xy 【解答】解：由双曲线的定义知， 12 | 2MFMFa， 12 |2|MFMF， 1 | 4MFa， 2 |2MFa， 又M在以 12 F F为直径的圆上， 222 1212 |MFMFFF，即 22 164100aa， 2 5a， 12 | 102F Fc，5c， 222 25520bca， 双曲线的标准方程为 22 1 520 xy 故答案为： 22 1 520 xy 14 （5 分）已知0m ， 4234 01234 (1)mxaa xa xa xa x，若 23 aa，则m 3 2 【解答】解：0m ， 4234 01234 (1)mxaa xa xa xa x， 第
26、 12页（共 19页） 若 23 aa，则 2233 44 CmCm， 3 2 m， 故答案为： 3 2 15 （5 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 212 1 nn aa ， 221 2 nn aa ，则 2021 a 1011 21 【解答】解： 212 1 nn aa ， 221 2 nn aa ， 2121 21 nn aa ，化为： 2121 12(1) nn aa ， 数列 21 1 n a 为等比数列，首项为 1 12a ，公比为 2， 1 21 122n n a ， 可得： 21 21 n n a 1011 2021 21a 故答案为： 1011 21 16（5 分）
27、已知函数 2 2 log (1) ,1 ( ) (1) ,1 xx f x xx ，( )()f xm mR恰有四个不相等的实数根 1 x， 2 x， 3 x， 4 x且满足 1234 xxxx，则 34 11 xx 1； 1234 2xxxx的最小值为 【解答】解：函数 2 2 log (1) ,1 ( ) (1) ,1 xx f x xx ， 画出函数( )f x的图象和直线ym， ( )()f xm mR恰有四个不相等的实数根 1 x， 2 x， 3 x， 4 x且满足 1234 xxxx， 故04m， 第 13页（共 19页） 1 x， 2 x满足： 2 12 (1)2xmxx ， 3
28、 x， 4 x满足 23 |log (1)|12 m xmx ， 4 12mx ， 34 111121 1 12121212 m mmmm xx ， 1234 2xxxx的 22 22(12)1221 2212 21 22 mmmm mm ，当且仅当 2 2 2 m m 即 1 2 m 时，等号成立， 故答案为：1，2 21 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 ） 17 （10 分）数列 n a满足 1 2 3 a ， 21* 1 (21)(22)() nn nn aa nN （1）
29、求 n a的通项公式； （2）求 12n aaa 【解答】解： （1）由 21* 1 (21)(22)() nn nn aa nN 可得， 1 2 21 2 21 n n n n a a ， 121 112 131 121 2121213 2222 212121(21)(21) nn nnn nnnn nn aaa aaa ， 1 2 3 a ， 1 2 (21)(21) n n nn a （2）由（1）知， 1 11 2121 n nn a ， 12 122311 1111111 1 21212121212121 n nnn aaa 18 （12 分）在4ac；ABC的面积为 5 4 ；4a
30、c ，这三个条件中任选一个，补 充到下面的问题中，若问题中的三角形存在，求出sinsinAC，若问题中三角形不存在， 说明理由 问题：ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 3 cos()cos 2 ACB，2b ， _ 【解答】解：因为 3 cos()coscos()cos() 2 ACBACAC， 第 14页（共 19页） 所以 3 2sinsin 2 AC ，即 3 sinsin 4 AC ， 选4ac，2b ； 由余弦定理得 222 2cosacacBb，且 22 ()164acb， 故 2 2(1cos )3acBb， 所以 22 2sinsin(1cos )3sin3
31、3cosACBBB， 整理得 2 2coscos10BB ， 解得 1 cos 2 B 或cos1B （舍)， 所以 3 sin 2 B ， sinsin 2 sin ACac Bb ， 所以sinsin2sin3ACB； 选ABC的面积为 5 4 ，2b ； 由正弦定理得 sin sin bA a B ， sin sin bC c B ， 所以 2 11sinsin35 sin 22sin2sin4 ABC bAC SacB BB ， 所以 6 sin 5 B ，不存在B，此时三角形不存在； 选4ac ，2b ， 所以 2 bac，即 2 3 sinsinsin 4 BAC， 故 3 sin
32、 2 B ， 因为b为等边中项，故B不是最大角， 1 cos 2 B ， 由余弦定理得 2222 4()3()12acacacacac， 所以4ac， 所以 sinsin 2 sin ACac Bb ， 所以sinsin3AC 19 （12 分） 四棱锥PABCD中，/ /ABCD，90PDABAD ， 1 2 PDDAABCD， S为PC中点，BSCD （1）证明：PD 平面ABCD； 第 15页（共 19页） （2）平面SAD交PB于Q，求CQ与平面PCD所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：取CD的中点M，则DMAB且/ /DMAB， 所以四边形ABMD为平行四边形， 故/ /BMAD，
33、所以BMCD，又BSCD，BMBSB ，BM，BS 平面BSM， 所以CD 平面BSM，又SM 平面BSM， 所以CDSM， 因为/ /SMPD，所以CDPD，又ADPD，CDADD ，CD，AD 平面ABCD， 所以PD 平面ABCD； （2）解：延长CB，DA交于点N，连结SN与PB交于点Q， 因为B为CN的中点，S为PC的中点，所以Q为PNC的重心， 所以2PQQB ， 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 不妨设1AB ，则(1B，1，0)，(0P，0，1)，设(Q x，y，) z，且2PQQB ， 则有 2(1) 2(1) 12() xx yy zz ，解得 2 3 2 3
34、 1 3 x y z ， 所以 24 1 ( , ) 33 3 CQ ， 因为ADPD，ADCD，且PDCDD ，PD，CD 平面PCD， 所以AD 平面PCD， 则平面PCD的一个法向量为(1,0,0)DA ， 所以 2 |2 21 3 |cos,| 21|21 1 9 CQ DA CQ DA CQ DA ， 故CQ与平面PCD所成角的正弦值为 2 21 21 第 16页（共 19页） 20 （12 分）新冠疫情期间，某省级示范学校统计高三年级走读生与寄宿生的学习状态，得 如表表格，其中前 200 名定为优秀 优秀非优秀合计 走读生120530650 寄宿生80270350 合计200800
35、1000 （1）是否有95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关； （2）年级前 10 名中有寄宿生 4 人，现从这 10 人中随机选出 3 人去名校研学选出的寄宿生 人数记为X，写出X的分布列，并求()E X 2 0 ()P Kk 0.150.100.050.0250.010.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.63510.828 参考数据及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 根 据 题 中 数 据 和 公 式 可 计 算 观 测 值 2 2 1000 (12027080 530) 2.7473.
36、841 200 800 650 350 K ， 由临界值表格判断可得没有95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关； （2）前 10 名中有寄宿生 4 人，现从这 10 人中随机选出 3 人去名校研学选出的寄宿生人数 记为X， 则X的可能取值为：0、1、2、3， 则 03 46 3 10 201 (0) 1206 CC P X C ； 第 17页（共 19页） 12 46 3 10 601 (1) 1202 CC P X C ； 21 46 3 10 363 (2) 12010 CC P X C ； 30 46 3 10 41 (3) 12030 CC P X C ； 写出X的分布列为： X0123
37、 P 1 6 1 2 3 10 1 30 11316 ()0123 6210305 E X 故答案为： 6 () 5 E X 21 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F且与x轴垂直 的直线交椭圆于M，N两点，其中点M在第一象限， 1 7 cos 25 MF N， 12 |2F F （1）求椭圆C的标准方程； （2）A为椭圆上顶点，过A引两条直线 1 l， 2 l，斜率分别为 1 k， 2 k，若 12 1k k ， 1 l， 2 l分 别交椭圆另一点为P，Q，求证：直线PQ恒过定点 【解答】解： （1）设 1( ,0)F
38、c， 2( ,0) F c，则根据题意可得点 2 ( ,) b M c a ， 12 |221F Fcc， 2 2 | b MF a ， 则在Rt 12 MF F中， 2 2 12 12 tan 2 MFb MF F F Fa ， 第 18页（共 19页） 又因为 112 2MF NMF F ，所以 2 112 7 cos21 25 MF NcosMFF ， 12 4 cos 5 MF F 12 3 tan 4 MF F， 2 3 24 b a ， 又 222 1abc， 2 2 13 23202 24 a aaa a ， 2 3b， 椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy （2）设 1 (
39、P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，则当PQ的斜率不存在时， 21 yy ， 22 1111 12 22 1111 33333 4 4(1) 3 yyyy kk yxxx ，不合题意，舍去 当斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxt， 此时， 12 12 12 33yy kk xx ， 1212 (3)(3)kxtkxtx x 22 1212 (1)(3)()(3)0(*)kx xk txxt， 将PQ的方程代入到椭圆方程，并化简可得： 222 (34)84120kxktxt， 2 1212 22 8412 , 3434 ktt xxx x kk ， 将以上结论代入到(*)式可得，
40、2 22 22 4128 (1)(3)(3)0 3434 tkt kk tt kk ， 即 22 22 (1)(44 3)8 (3) 30 3434 ktk t tt kk ， 解之可得，7 3t ， 故可得直线PQ恒过定点(0, 7 3) 22 （12 分）已知对任意0 x，( )(1)0 2 ax f xln x x 恒成立 （1）求a的范围； （2） 证明： 111 2 3599 （参考数据：2.7e ， 2 7.4e ， 3 20.1e ， 4 50.6e ， 5 148.4)e 【解答】解： （1） 2 22 12(42 )42 ( )(0) 1(2)(1)(2) axa xa fx
41、x xxxx ， 第 19页（共 19页） 令 2 ( )(42 )42g xxa xa， 当2a时，( ) 0g x 即( ) 0fx恒成立，故( )f x在(0,)单调递增，又(0)0f，故( ) 0f x 恒成立 当2a 时， 由(0)420ga， 设 0 0 x 且 0 ()0g x， 则 0 0 xx时，( )0g x 即( )0fx， 因此在 0 (0,)x上( )f x单调递减，又(0)0f，故 0 0 xx时，( )0f x ，不符合题意 综上，a的取值范围为(，2 （2）证明：由（1）知，取2a ，当0 x 时， 2 2 x lnx x ， 故对 * nN， 1 2 1 (1) 1 2 n ln n n ，即 21 21 n ln nn ， 所以 4 22223502 350 ()504 359912491 249 lnlnlnlnlnlne， 所以 111 2 3599
