1、第 1页（共 20页） 2021 年云南省昆明市年云南省昆明市“三诊一模三诊一模”高考数学第二次教学质量检高考数学第二次教学质量检 测试卷（理科测试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知复数z满足2 1 z i i ，则(z ) A3i B3i C3iD3i 2 （5 分）集合 |(1)Ax yln x， |0Bx x，则(AB ) A(0,1)B(0,)C0，)D(1,)
2、3 （5 分）已知 5 sincos 4 ，则sin2() A 9 16 B 7 16 C 7 16 D 9 16 4 （5 分）小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古 诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒 6 个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨 6 个春季节气中一共选出 3 个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出 1 个，则小华选取节气的不同方法种数是() A90B180C220D360 5 （5 分）已知P，Q分别是正方体 1111 ABCDA B C D的棱 1 BB， 1 CC上的动点（不与顶点 重合） ，则下列结论正确的是()
3、A平面APQ与平面ABCD所成的角的大小为定值 B 1 AQBD C四面体ABPQ的体积为定值 D/ /AP平面 11 DCC D 6 （5 分）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题 统称为剩余问题.1852年孙子算经中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数 学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理” “物不知其数”问题后经秦九 韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度现有一个剩余问题：在 (1，2021的整数中，把被 4 除余数为 1，被 5 除余数也为 1 的数，按照由小到大的顺序排 列，得到数列 n a，则数列 n a
4、的项数为() A98B99C100D101 第 2页（共 20页） 7 （5 分）曲线 21x yxe 在1x 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() AeB 2 e C 2 e D 1 e 8 （5 分）已知点P是ABC所在平面内一点，且0PAPBPC ，则() A 12 33 PABABC B 21 33 PABABC C 12 33 PABABC D 21 33 PABABC 9 （5 分）若等边三角形一边所在直线的斜率为3 3，则该三角形另两条边所在直线斜率为 () A 3 4 ， 3 5 B 3 4 ， 3 2 C 3 2 ， 3 5 D 3 2 ， 3 4 10 （5 分）已知 1
5、 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点，M是椭圆短轴 的端点，点N在椭圆上，若 12 3MFNF ，则椭圆E的离心率为() A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 6 3 11 （5 分）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害道路交通安全法的违法行为，将受到法律 处罚检测标准： “饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20/100mgmL， 小于80/100mgmL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 80/100mgmL的驾驶行为 ”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时 降低20%某人饮酒后测得血液中的
6、酒精含量为100/100mgmL，若经过(*)n nN小时，该 人血液中的酒精含量小于20/100mgmL，则n的最小值为()（参考数据：20.3010)lg A7B8C9D10 12 （ 5 分 ） 已 知 函 数( )sin()(0f xx ，0) 2 ，()() 66 fxfx ， ()() 22 fxfx ，下列四个结论： 4 ； 9 3 () 2 k kN； ()0 2 f ； 直线 3 x 是( )f x图象的一条对称轴 第 3页（共 20页） 其中所有正确结论的编号是() ABCD 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分
7、。 13 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，右顶点为A，O为原点， 若| 2|OFOA，则C的渐近线方程为 14 （5 分）甲、乙两个样本茎叶图如图，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的 平均值都比调整前增大，则这个数据可以是 （填一个数据即可） 15（5 分） 在ABC中，60BAC，3BC ，D是BC上的点，AD平分BAC， 若2AD ， 则ABC的面积为 16 （5 分）由正三棱锥SABC截得的三棱台 111 ABCA BC的各顶点都在球O的球面上， 若6AB ，三棱台 111 ABCA BC的高为 2，且球心O在平面ABC与平面
8、111 A BC之间（不在 两平面上） ，则 1 AB的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）如图，四棱柱 1111 ABCDA B C D的侧棱 1 AA 底面ABCD，四边形ABCD为菱 形，E，F分别为 1 CC， 1 AA的中点 （1）证明：B，E， 1 D，F四点共
9、面； （2）若 1 ABAA， 3 DAB ，求直线AE与平面 1 BED F所成角的正弦值 第 4页（共 20页） 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 32 nn aa，且 532 4SSa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 n S 的前n项和为 n T，证明： 3 4 n T 19 （12 分）2019 年 11 月 26 日，联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为国际数学日，以“庆 祝数学在生活中的美丽和重要性” 为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一 项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两
10、个正 确，则闯关成功若小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为 4 5 ， 1 2 ， 1 3 ，各 题回答正确与否相互独立 （1）求小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率； （2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为X，求X的分布列及小明闯关成功的概率 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2)A，B是一动点，直线OA，OB，AB 的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，且 123 111 kkk ，记B点的轨迹为E （1）求曲线E的方程； （2）已知直线:1l xty，与曲线E交于C，D两点，直线AC与x轴，y轴分别交于M， N两点，直线AD与x轴，y轴分别
11、交于P，Q两点，当四边形MNPQ的面积最小时，求 直线l的方程 21 （12 分）已知函数( )cos() x f xexax aR （1）若( )f x在0，)上单调递增，求a的取值范围； （2）证明：0 x ，)， 2 sin2sinsin cos x xexxxx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方
12、程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2, ( 1, xt t yt 为参数） 以坐标 原点O为极点，x轴非负正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）求 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C， 2 C交于A，B两点，求| |OAOB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 第 5页（共 20页） 23已知函数( ) |3|23|f xxx （1）求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若 3 2x ，3， 3 ( )160 xaf x，求实数a的取值范围 第 6页（共 20页）
13、2021 年云南省昆明市年云南省昆明市“三诊一模三诊一模”高考数学第二次教学质量检高考数学第二次教学质量检 测试卷（理科测试卷（理科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知复数z满足2 1 z i i ，则(z ) A3i B3i C3iD3i 【解答】解：2 1 z i i ， 2 (2)(1)223ziiiiii ， 故选：D 2 （5 分）集
14、合 |(1)Ax yln x， |0Bx x，则(AB ) A(0,1)B(0,)C0，)D(1,) 【解答】解： |1Ax x， |0Bx x， (0,)AB 故选：B 3 （5 分）已知 5 sincos 4 ，则sin2() A 9 16 B 7 16 C 7 16 D 9 16 【解答】解： 5 sincos 4 ，平方可得 25 12sincos 16 ， 则 9 sin22sincos 16 ， 故选：A 4 （5 分）小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古 诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒 6 个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春 分、清
15、明、谷雨 6 个春季节气中一共选出 3 个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出 1 个，则小华选取节气的不同方法种数是() A90B180C220D360 【解答】解：选冬季节气 2 个和春季节气 1 个，则选法有 21 66 90C C 个， 选冬季节气 1 个和春季节气 2 个，则选法有 12 66 90C C 个， 第 7页（共 20页） 故冬季节气和春季节气各至少选出 1 个，共有9090180个， 故选：B 5 （5 分）已知P，Q分别是正方体 1111 ABCDA B C D的棱 1 BB， 1 CC上的动点（不与顶点 重合） ，则下列结论正确的是() A平面APQ与平面ABCD所
16、成的角的大小为定值 B 1 AQBD C四面体ABPQ的体积为定值 D/ /AP平面 11 DCC D 【解答】解：对于A，假设/ /PQBC，则可得PDAD，又ABAD， 则此时平面APQ与平面ABCD所成的角为PAB， 则PAB不是定值，故选项A错误； 对于B，建立空间直角坐标系如图所示， 取2AB ，则(2B，2，0)， 1(0 D，0，2)，(2A，0，0)，(0Q，2，) z， 所以 1 ( 2, 2, 2),( 2,2, )BDAQz ， 故 1 20AQ BDz ， 所以 1 AQBD不成立，故选项B错误； 对于C， 11 1 33 2 QABPABP VSBCAB PB BC
17、， 因为PB不是定值，故 QABP V 不是定值，故选项C错误； 对于D，因为平面 11/ / A ABB平面 11 DCC D， 又AP 平面 11 A ABB，由面面平行的定义可知，/ /AP平面 11 DCC D，故选项D正确 故选：D 6 （5 分）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题 统称为剩余问题.1852年孙子算经中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数 学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理” “物不知其数”问题后经秦九 第 8页（共 20页） 韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度现有一个剩余问题：在
18、(1，2021的整数中，把被 4 除余数为 1，被 5 除余数也为 1 的数，按照由小到大的顺序排 列，得到数列 n a，则数列 n a的项数为() A98B99C100D101 【解答】解：将题目转化为1 n a 既是 4 的倍数，也是 5 的倍数，也即是 20 的倍数， 即120(1) n an ，2019 n an， 令12019 2021n，1102n ，又nN ， 故2n ，3，102，数列共有 101 项， 故选：D 7 （5 分）曲线 21x yxe 在1x 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() AeB 2 e C 2 e D 1 e 【解答】解： 21x yxe 的导数为 2
19、121 2 xx yexe ， 可得1x 处的切线的斜率为 111 2keee ， 且切点为 1 (1,)e， 即有切线的方程为 11( 1)yeex ， 可令0 x ，则 1 2ye；0y ，则2x ， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 1 12 22 2 e e ， 故选：C 8 （5 分）已知点P是ABC所在平面内一点，且0PAPBPC ，则() A 12 33 PABABC B 21 33 PABABC C 12 33 PABABC D 21 33 PABABC 【解答】解：因为0PAPBPC ，所以点P为ABC的重心， 延长PA交BC于点M， 所以 22 111111 () 33
20、223333 PAAMABACABACBAAC ， 又ACBCBA ， 第 9页（共 20页） 所以 1121 () 3333 PABABCBABABC 故选：D 9 （5 分）若等边三角形一边所在直线的斜率为3 3，则该三角形另两条边所在直线斜率为 () A 3 4 ， 3 5 B 3 4 ， 3 2 C 3 2 ， 3 5 D 3 2 ， 3 4 【解答】解：根据题意，该三角形另两条边所在直线斜率为k、m，(0)mk， 则有 3 33 3 tan603 13 313 3 mk kk ， 解可得： 3 4 m ， 3 5 k ， 故选：A 10 （5 分）已知 1 F， 2 F分别是椭圆 2
21、2 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点，M是椭圆短轴 的端点，点N在椭圆上，若 12 3MFNF ，则椭圆E的离心率为() A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 6 3 【解答】解：不妨设点M为椭圆短轴的上端点(0, )b， 且 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，设点N的坐标为( , )m n， 则 12 (,),(,)MFcb NFcmn ， 由 12 3MFNF 可得： 1 3 1 3 cmc nb ，即 41 , 33 mc nb， 所以点N的坐标为 41 (,) 33 cb， 代入椭圆方程可得： 22 22 16 1 99 cb ab ，解得 2 2 1 2
22、c a ， 第 10页（共 20页） 所以椭圆的离心率为 2 2 c e a ， 故选：C 11 （5 分）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害道路交通安全法的违法行为，将受到法律 处罚检测标准： “饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20/100mgmL， 小于80/100mgmL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 80/100mgmL的驾驶行为 ”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时 降低20%某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100/100mgmL，若经过(*)n nN小时，该 人血液中的酒精含量小于20/100mgmL，则n的最小值为(
23、)（参考数据：20.3010)lg A7B8C9D10 【解答】解：经过(*)n nN小时，该人血液中的酒精含量为1000.8/100 nmg ml， 由题意可得，1000.820 n ，即0.80.2 n ， 所以 0.8 0.221210.30101 0.27.2 0.8813213 0.30101 lglglg nlog lglglg ， 所以n的最小值为 8 故选：B 12 （ 5 分 ） 已 知 函 数( )sin()(0f xx ，0) 2 ，()() 66 fxfx ， ()() 22 fxfx ，下列四个结论： 4 ； 9 3 () 2 k kN； ()0 2 f ； 直线 3
24、 x 是( )f x图象的一条对称轴 其中所有正确结论的编号是() ABCD 【解答】 解： 函数( )sin()(0f xx ，0) 2 ，( )f x图象的一条对称轴是直线 2 x ， 所以(f)( 2 xf ) 2 x ， 由( )f x的一个零点为 6 ， 第 11页（共 20页） 所以()() 66 fxfx ， 整理得 42263 TT k ， 所以 4 3(12 ) T k ， 故 23 3 () 2 k kZ T ，故错误； 当1k 时， 9 ( )sin() 2 f xx， 把(,0) 6 代入关系式，得到 3 sin()0 4 ，由于0 2 ， 所以 4 ，故正确； 对于
25、9 ()sin()1 32 34 f ，故错误； 9 ()sin()sin( 2 )0 2224 f ，故正确 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，右顶点为A，O为原点， 若| 2|OFOA，则C的渐近线方程为 3 3 yx 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，右顶点为A，O为原点， | 2|OFOA， 即2ca，所以 22 3bcaa， 所以C的渐近线方程： 3 3 yx 故答案为：
26、 3 3 yx 14 （5 分）甲、乙两个样本茎叶图如图，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的 平均值都比调整前增大，则这个数据可以是76（或 77，78) （填一个数据即可） 【解答】解：计算茎叶图中，甲的平均数是 第 12页（共 20页） 1 1 (6566777678808382869295)80 11 x ， 乙的平均数是 2 1 (626471737678818288)75 9 x ， 在甲组数据中比 80 小且比 75 大的数据是 76，77，78，这 3 个数任取一个，调入乙即可 故答案为：76（或 77，78) 15（5 分） 在ABC中，60BAC，3BC ，D是BC上
27、的点，AD平分BAC， 若2AD ， 则ABC的面积为 3 3 2 【解答】解：如图所示， ABC中，60BAC，AD平分BAC， 所以30BADCAD ， 过点D作DEAB，DFAC，垂足为E、F，则 1 1 2 DEDFAD， 所以ABC的面积为 11 ()() 22 ABCABDACD SSSADABACABAC ； 又 13 sin60 24 ABC SAB ACAB AC ， 所以 3 2 ABACAB AC， 由余弦定理得 222222 2cos()39BCABACAB ACBACABACAB ACABACAB AC， 设ABACx，0 x ，则 2 2 39 3 xx ， 化简得
28、 2 2 390 xx，解得3 3x 或3x （不合题意，舍去） ， 所以3 3ABAC， 所以 13 3 () 22 ABC SABAC 故答案为： 3 3 2 16 （5 分）由正三棱锥SABC截得的三棱台 111 ABCA BC的各顶点都在球O的球面上， 第 13页（共 20页） 若6AB ，三棱台 111 ABCA BC的高为 2，且球心O在平面ABC与平面 111 A BC之间（不在 两平面上） ，则 1 AB的取值范围为(2 6,6) 【解答】解：该三棱台的横截面如图所示， 因为ABC为正三角形，且6AB ， 则2 3 3 AB AH ， 又2GH ，球心O在GH上，A， 1 A都
29、在球面上， 故 1 OAOA， 设OHh， 1 AGm， 则由 1 AGO和AOH均为直角三角形， 所以 222 (2)12mhh， 解得 2 84mh， 由图可知，(0,2)h，(0,2 3)m， 综上可得，(2 2,2 3)m， 又 111 3ABAG， 所以 11 (2 6,6)AB ，即 1 AB的取值范围为(2 6,6) 故答案为：(2 6,6) 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题
30、为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）如图，四棱柱 1111 ABCDA B C D的侧棱 1 AA 底面ABCD，四边形ABCD为菱 形，E，F分别为 1 CC， 1 AA的中点 （1）证明：B，E， 1 D，F四点共面； 第 14页（共 20页） （2）若 1 ABAA， 3 DAB ，求直线AE与平面 1 BED F所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：连接BE，BF， 1 D E， 1 D F， 11 BCA D， 1 CEA F， 11 90BCED A F ， BCE 11 D AF， 1 BED F， 同理可
31、得， 1 BFD E， 四边形 1 BED F为平行四边形， B，E， 1 D，F四点共面 （2）解：取AB的中点M，连接DM， 四边形ABCD为菱形，且 3 DAB ， ABD为等边三角形， DMAB，DMDC， 以D为原点，DM，DC， 1 DD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， 设菱形ABCD的边长为 2，则( 3A，1，0)，( 3B，1，0)，(0E，2，1)， 1(0 D，0，2)， (3AE ，3，1)， 1 ( 3D B ，1，2)， 1 (0D E ，2，1)， 第 15页（共 20页） 设平面 1 BED F的法向量为(nx ，y，) z，则 1
32、1 0 0 n D B n D E ，即 320 20 xyz yz ， 令1y ，则3x ，2z ，( 3n ，1，2)， 设直线AE与平面 1 BED F所成角为， 则sin|cosAE ， 33226 | | | 26| |391314 AE n n AEn ， 故直线AE与平面 1 BED F所成角的正弦值为 26 26 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 32 nn aa，且 532 4SSa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 n S 的前n项和为 n T，证明： 3 4 n T 【解答】 （1）解：等差数列 n a的公差为d， 由题设
33、可得： 3 452 32 4 nn aa aaa ，即 11 11 (31)33(1)2 2744 andand adad ，解得： 1 3 2 a d ， 32(1)21 n ann； （2）证明：由（1）可得： (321) (2) 2 n nn Sn n ， 111 11 () (2)22 n Sn nnn ， 11111111111111113 (1)(1)(1) 2324351122212224 n T nnnnnn 19 （12 分）2019 年 11 月 26 日，联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为国际数学日，以“庆 祝数学在生活中的美丽和重要性” 为庆祝该节日，某中学举办了
34、数学嘉年华活动，其中一 项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正 确，则闯关成功若小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为 4 5 ， 1 2 ， 1 3 ，各 题回答正确与否相互独立 （1）求小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率； （2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为X，求X的分布列及小明闯关成功的概率 【解答】解： （1）小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为 4 5 ， 1 2 ， 1 3 ， 各题回答正确与否相互独立 小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率为： 第 16页（共 20页） 419 1(1)(1) 5
35、210 P （2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为X， 则X的可能取值为 0，1，2，3， 4112 (0)(1)(1)(1) 52330 P X ， 41141141111 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 52352352330 P X ， 41141141113 (2)(1)(1)(1) 52352352330 P X ， 4114 (3) 52330 P X ， X的分布列为： X0123 P 2 30 11 30 13 30 4 30 小明闯关成功的概率 13417 (2)(3) 303030 PP XP X 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2)
36、A，B是一动点，直线OA，OB，AB 的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，且 123 111 kkk ，记B点的轨迹为E （1）求曲线E的方程； （2）已知直线:1l xty，与曲线E交于C，D两点，直线AC与x轴，y轴分别交于M， N两点，直线AD与x轴，y轴分别交于P，Q两点，当四边形MNPQ的面积最小时，求 直线l的方程 【解答】解： （1）设( , )B x y，由题意 123 111 kkk ， 所以 11 22 xx yy ，化简可得 2 4yx， 故曲线E的方程为 2 4 (0,1)yx xx； （2）由（1）可得，0t ，设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2
37、) y， 联立方程 2 4 1 yx xty ，消去x可得 2 440yty， 所以 12 12 4 4 yyt y y ， 第 17页（共 20页） 则 11 2 111 224 12 1 4 AC yy k yxy ， 所以直线AC的方程为 1 4 2(1) 2 yx y ， 故 11 1 2 (,0),(0,) 22 yy MN y ， 同理可得 22 2 2 (,0),(0,) 22 yy PQ y ， 所以 1212 12 | |,| 4| 2(2)(2) yyyy MPNQ yy ， 故 222 121212 121212 ()()41161622 | | |2| |2 2| |4
38、 2(2)(2)|2()4|8 | | | MNPQ yyyyy yt SMPNQtt yyy yyyttt ， 当且仅当1t 时取等号， 所以四边形MNPQ面积的最小值为 4， 所以当四边形MNPQ的面积最小时，直线l的方程为1yx或1yx 21 （12 分）已知函数( )cos() x f xexax aR （1）若( )f x在0，)上单调递增，求a的取值范围； （2）证明：0 x ，)， 2 sin2sinsin cos x xexxxx 【解答】解： （1）( )cos x f xexax，则( )sin x fxexa， 若( )f x在0，)上单调递增，则( ) 0fx，即sin
39、 x a ex， 设( )sin x g xex，则( )cos x g xex， 0 x ，( )0g x ，( )g x在0，)单调递增， ( )(0)1g xg， 1a ，a的取值范围是(，1； （2）证明：设( )sinF xxx，(0)x， 则( )1cos0F xx ，( )F x在0，)单调递增， ( )(0)0F xF，sinxx ， 0 x ，1时， 22 sin x x，(1,)x时， 22 sin x x， 第 18页（共 20页） 0 x ，)时， 22 sin x x， 设 2 1 ( )1(0) 2 G xcoxxx， 则( )sinG xxx ，( )1cos0G
40、xx ， ( )G x在0，)递增，故( )(0)0G xG， 故( )G x在0，)单调递增，故( )(0)0G xG， 故 2 1 cos1 2 xx，则 2 1 02cos1 2 xx， 2222 1 sinsin (2cos )(2cos )(1) 2 xxxxxxxxx， 问题转化为只需证 22 1 (1) 2 x xexxx， 即证 2 1 1 2 x exx， 设 2 1 ( )1 2 x h xexx，(0)x， 则( )1(0) x h xexx，( )1 0 x hxe ， 故( )h x在0，)单调递增，( )(0)0h xh， 故( )h x在0，)单调递增，( )(0
41、)0h xh， 故 2 1 1 2 x exx成立， 故：0 x ，)， 2 sin2sinsin cos x xexxxx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2, ( 1, xt t yt 为参数） 以坐标 原点O为极点，x轴非负
42、正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）求 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C， 2 C交于A，B两点，求| |OAOB 【解答】解： （1）曲线 1 C的参数方程为 2, ( 1, xt t yt 为参数） ，转换为直角坐标方程为 第 19页（共 20页） 10 xy ，根据 222 cos sin x y xy ，转换为极坐标方程为cossin10 曲线 2 C的极坐标方程为4cos，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为 22 4xyx，整理得 22 (2)4xy （2）由于 1 C， 2 C交于A
43、，B两点， 所以 22 10 4 xy xyx ，解得 37 2 17 2 x y 或 37 2 17 2 x y 即 37 17 (,) 22 A ， 37 17 (,) 22 B ， 所以 2222 37173717 |()()()()2 2 2222 OA OB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |3|23|f xxx （1）求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若 3 2x ，3， 3 ( )160 xaf x，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数 36,3 3 ( ) |3|23|,3 2 3 63 , 2 xx f xxxxx
44、 x x ， 所以不等式( ) 6f x 可化为 3 36 6 x x ，或 3 3 2 6 x x ，或 3 2 636 x x ， 解得34x ，或 3 3 2 x，或 3 0 2 x ； 所以不等式( ) 6f x 的解集是 |04xx ； （2）当 3 2 x，3时，函数( )f xx， 所以不等式 3 ( )160 xaf x，可化为 3 160 xax， 第 20页（共 20页） 即 2 16 ax x 设 2 16 ( )g xx x ， 3 2 x，3， 则 32 222 162(8)2(2)(24) ( )2 xxxx g xx xxx ， 当 3 2 x，2)时，( )0g x，函数( )g x单调递减， (2x，3时，( )0g x，函数( )g x单调递增， 所以2x 时，函数( )g x取得最小值为( )ming xg（2）4812， 所以若 3 2x ，3， 3 ( )160 xaf x，实数a的取值范围是12a
