2021年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷（二模）.docx

1、第 1页（共 20页） 2021 年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷（二模）年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷（二模） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （4 分）已知集合 |0Ax x，或2x， | 11Bxx ，则(AB ) A( 1,) B( 1,1)C( 1，0D0，1) 2 （4 分）已知i是虚数单位，若 31 22 zi ，则 2 (z ) A 13 22 iB 13 22 iC 13 22 iD 13 2

2、2 i 3 （4 分）若实数x，y满足约束条件 1 2 30 x xy xy ，则2xy的最大值是() A 7 3 B3C 7 2 D4 4 （4 分）函数( )log ()(1) a a f xxa x 的图象可能是() AB CD 5 （4 分）某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积 是() 第 2页（共 20页） A8B 8 3 C8 3 D 8 3 6（4 分） 设mR， 则 “12m” 是 “直线:0l xym和圆 22 :2420C xyxym 有公共点”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 7 （4 分）已

3、知无穷数列 n a是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为 n S， *nN，则() A数列 n S n 不可能是等差数列 B数列 2 n S n 不可能是等差数列 C数列 n n S a 不可能是等差数列 D数列 n n a S 不可能是等差数列 8 （4 分）已知0a ，0b ， 22 3abab， 22 |3ab，则ab的最小值是() A2 2B3C2 3D4 9 （4 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 和点 22 (a b M a ，0) 若存在过点M的直线交C 于P，Q两点，满足 1 (0) 2 PMMQ ，则椭圆C的离心率取值范围是() A 2

4、(0,) 2 B 32 (,) 32 C 3 (,1) 3 D 2 (,1) 2 10 （4 分）已知a，b，cR，若关于x的不等式01 ac xb xx 的解集为 1 x， 23321 (0)xxxxx ，则() A不存在有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx B存在唯一有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx C有且只有两组有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx D存在无穷多组有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分） 11 （4 分

5、） 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 第 3页（共 20页） 两鼠对穿， 大鼠日一尺， 小鼠也日一尺， 大鼠日自倍， 小鼠日自半 问何日相逢， 各穿几何？” 题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第 一天也进一尺，以后每天减半如果墙足够厚， n S为前n天两只老鼠打洞长度之和，则 3 S 尺 12 （6 分）已知函数 2 2 (1)7,1 ( ) log3,1 xx f x xx ，则(0)f；关于x的不等式( )7f x 的 解集是 13（6 分） 已知二项展开式 929 0129 (1) xaa xa xa x，

6、则 0 a ；1 234 aaaa .（用数字作答） 14 （6 分）在锐角ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若2AB，2b ，则 cos a B ；边长a的取值范围是 15 （6 分）袋中装有大小相同的 1 个白球和 2 个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中 随机摸取 2 个球后全部放回袋中（若摸得白球，则涂成黑球，若摸得黑球，则不变色） ；第 二步再从袋中随机摸取 2 个球记第二步所摸取的 2 个球中白球的个数为，则 (0)P；( )E 16 （4 分）如图，在棱长为 4 的正方体 1111 ABCDA B C D中，M是棱 1 A A上的动点，N是 棱BC的中点当平面 1 D

7、MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时， 1 A M 17 （4 分）已知平面向量a ，b ，c 满足：| 2a ，| 1ab ，| |bc ， 1 ()0 2 cbb ， 则 1 | 2 ac 的最大值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 （14 分）已知函数 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxx （）求() 4 f 的值； 第 4页（共 20页） （）求( )f x在区间0， 2 上的最大值和最小值 19（15 分） 如图， 在三棱柱 111

8、ABCA BC中， 1 4ABAA，2BC ， 1 2 3AC ，ACBC， 1 60A AB （）证明：BC 平面 11 ACC A； （）设点D为 1 CC的中点，求直线 1 A D与平面 11 ABB A所成角的正弦值 20 （15 分）已知等差数列 n a的公差不为零， 4 1a ，且 4 a， 5 a， 7 a成等比数列，数列 n b 的前n项和为 n S，满足24(*) nn SbnN （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）若数列 n c满足 1 1 2 c ， 1 (*) n nn n a ccnN b ，求使得 2 16 n n c 成立的所有n值 21 （15 分）已

9、知抛物线 2 1: 4Cxy和椭圆 22 2: 1 43 xy C如图，经过抛物线 1 C焦点F的 直线l分别交抛物线 1 C和椭圆 2 C于A，B，C，D四点，抛物线 1 C在点A，B处的切线交 于点P （）求点P的纵坐标； （）设M为线段AB的中点，PM交 1 C于点Q，BQ交AP于点T记TCD，QBP的 面积分别为 1 S， 2 S （）求证：Q为线段PM的中点； （）若 1 2 8 7 S S ，求直线l的方程 第 5页（共 20页） 22 （15 分）已知函数( )(21) x f xaxxe（其中02a，e为自然对数的底数） （）求函数( )f x的单调区间； （） 设函数( )f

10、 x的极小值点为m， 极大值点为n， 证明： 当( , )xm n时， 1 ( ) a f xxlnx e 第 6页（共 20页） 2021 年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷（二模）年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷（二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （4 分）已知集合 |0Ax x，或2x， | 11Bxx ，则(AB ) A( 1,) B( 1,1)C( 1，0D0，

11、1) 【解答】解： |0Ax x，或2x， | 11Bxx ， ( 1AB ，0 故选：C 2 （4 分）已知i是虚数单位，若 31 22 zi ，则 2 (z ) A 13 22 iB 13 22 iC 13 22 iD 13 22 i 【解答】解：因为 31 22 zi ， 所以 2222 31331113 ()()2() 22222222 ziiii 故选：D 3 （4 分）若实数x，y满足约束条件 1 2 30 x xy xy ，则2xy的最大值是() A 7 3 B3C 7 2 D4 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立 30 2 xy xy ，解得 3 (2A， 1) 2

12、， 令2zxy，得2yxz ，由图可知，当直线2yxz 过A时， 第 7页（共 20页） 直线在y轴上的截距最大，z有最大值为 7 2 故选：C 4 （4 分）函数( )log ()(1) a a f xxa x 的图象可能是() AB CD 【解答】解：函数( )log ()(1) a a f xxa x 可知定义域为(0,)， 1a ，222 aa xxa xx ， 所以( )log ()0 a a f xx x ，恒成立， 所以排除选项B、C、D 故选：A 5 （4 分）某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积 是() A8B 8 3 C8 3 D 8 3

13、【解答】解：由题意可知，几何体的直观图如图： 几何体是半个圆柱与一个四棱锥的组合体， 第 8页（共 20页） 所以几何体的体积为： 2 118 12222 233 故选：B 6（4 分） 设mR， 则 “12m” 是 “直线:0l xym和圆 22 :2420C xyxym 有公共点”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：圆的圆心(1,2)C，半径 1 4164(2)3 2 rmm 圆心C到直线的距离 |12|3| 22 mm d 直线与圆有公共点，d r ， 即 |3| 3 2 m m ，13m ， 1，21.3， 12m 是直线0 xy

14、m与圆 22 2420 xyxym有公共点的充分不必要条件 故选：A 7 （4 分）已知无穷数列 n a是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为 n S， *nN，则() A数列 n S n 不可能是等差数列 B数列 2 n S n 不可能是等差数列 C数列 n n S a 不可能是等差数列 D数列 n n a S 不可能是等差数列 第 9页（共 20页） 【解答】解：设等差数列 n a的公差为0d ， 1 (1) 2 n n n Snad 1 1 . 2 n Sn Aad n 为等差数列，因此A不正确； B取1 n an，则 2 2 1 2 2 n n n S an 为等差数列，因

15、此C不正确； C取 n an，则 1 2 n n Sn a 为等差数列，因此C不正确； D利用排除法可得D正确 故选：D 8 （4 分）已知0a ，0b ， 22 3abab， 22 |3ab，则ab的最小值是() A2 2B3C2 3D4 【解答】解：因为 2 222 3 ()3 24 bb ababa， 令3cos 2 b a， 3 3sin 2 b， 所以 3cossin 2sin a b ，0，2 ， 因为0a ，0b ， 所以3cossin2sin()0 3 ，2sin0， 所以 sin()0 3 sin0 ， 所以 0 3 0 ， 解得 2 0 3 ， 因为 22 |3ab， 所以

16、 2222 ( 3cossin )4sinab， 22 3(cossin)2 3sincos3cos23sin22 3sin(2) 3 ， 因为 2 0 3 ， 所以 5 2 333 ， 第 10页（共 20页） 因为 22 |3ab， 所以3 2 3sin(2) 3 3 ， 所以 33 sin(2) 232 ， 所以 24 2 333 ， 所以 63 ， 则3cos3sin2 3sin() 3 ab 的最小值为 3 故选：B 9 （4 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 和点 22 (a b M a ，0) 若存在过点M的直线交C 于P，Q两点，满足 1 (0) 2

17、PMMQ ，则椭圆C的离心率取值范围是() A 2 (0,) 2 B 32 (,) 32 C 3 (,1) 3 D 2 (,1) 2 【解答】解：设( , )T x y是椭圆上任意一点， 则 2224 22222 22 2 |() cccc TMxyxxb aaaa ， 对称轴为xa，所以 2 |TM在xa ，a上单调递减， 设 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a，由题意可知，只要 2 1 |1 |2 A M MA 即可， 则 2 1 |1 |2 A M MA 可得： 2 2 1 2 c a a c a a ，即 22 3ac，所以 3 1 3 e， 故选：C 10 （4 分）已知a，b

18、，cR，若关于x的不等式01 ac xb xx 的解集为 1 x， 23321 (0)xxxxx ，则() A不存在有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx B存在唯一有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx C有且只有两组有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx D存在无穷多组有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx 【解答】解：因为不等式01 ac xb xx 的解集为 1 x， 23321 (0)xxxxx ， 第 11页（共 20页） 所以 2 0 xbxa cx在 1 xx， 23 xx 上成立， 假设 1 xm， 2 1xm， 3 xn， 则 2 0cnnbna，根据 3

19、x为一个独立的数得出， 所以nc，且1m 与n为方程 2 0 xbxa的两个根， 因为 321 0 xxx， 所以11bmnmc ，amnnmcc， 所以1bmc ，且点 2 111 ( ,)x xbxa为 2 yxbxa与ycx的左交点， 所以 2 mbmacm且1bmc ，amcc， 故 222 mbmammmcmmcccm， 所以cmcm恒成立， 所以不论a，b，c取何值， 21 1xx恒成立， 即存在无穷多组有序数组(a，b，)c，使得 21 1xx， 故选项A，B，C错误，选项D正确 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单

20、空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分） 11 （4 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 两鼠对穿， 大鼠日一尺， 小鼠也日一尺， 大鼠日自倍， 小鼠日自半 问何日相逢， 各穿几何？” 题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第 一天也进一尺，以后每天减半如果墙足够厚， n S为前n天两只老鼠打洞长度之和，则 3 S 35 4 尺 【解答】解：由题意得大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 故大老鼠 3 天共打洞 3 12 17 12 ， 小老鼠每天打洞的距离构成以 1 为

21、首项，以 1 2 为公比的等比数列， 小老鼠 3 天共打洞 3 1 1( ) 7 2 1 4 1 2 ， 则 3 735 7 44 S 第 12页（共 20页） 故答案为： 35 4 12 （6 分）已知函数 2 2 (1)7,1 ( ) log3,1 xx f x xx ，则(0)f6；关于x的不等式( )7f x 的 解集是 【解答】解：因为 2 2 (1)7,1 ( ) log3,1 xx f x xx ， 则(0)176f ， 当1x时， 2 (1)7 7x ，此时( )7f x 无解， 当1x 时，由( )7f x 得 2 log37x ， 解得16x ， 故不等式的解集 |16x

22、x ， 故答案为：6； |16x x 13 （ 6 分 ） 已 知 二 项 展 开 式 929 0129 (1) xaa xa xa x， 则 0 a 1； 1234 aaaa.（用数字作答） 【解答】解：二项展开式 929 0129 (1) xaa xa xa x，则 令0 x ，可得 0 1a 0123 12349999 193684130aaaaCCCC ， 故答案为：1；130 14 （6 分） 在锐角ABC中， 内角A，B所对的边分别为a，b， 若2AB，2b ， 则 cos a B 4；边长a的取值范围是 【解答】解：2AB，sinsin22sincosABBB， 由正弦定理知，

23、sinsin ab AB ， 2 cosabB，即24 cos a b B ABC， 3CB， 锐角ABC， 第 13页（共 20页） 02 2 0 2 03 2 AB B CB ，解得( 6 B ，) 4 ， 2 cos( 2 B， 3) 2 ， 2 cos4cos(2 2abBB，2 3) 故答案为：4；(2 2，2 3) 15 （6 分）袋中装有大小相同的 1 个白球和 2 个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中 随机摸取 2 个球后全部放回袋中（若摸得白球，则涂成黑球，若摸得黑球，则不变色） ；第 二步再从袋中随机摸取 2 个球记第二步所摸取的 2 个球中白球的个数为，则(0)P 7

24、9 ；( )E 【解答】解：的所有值可能为 1，0， 211 212 22 33 2 (1) 9 CC C P CC ， 7 (0)1(1) 9 PP ， 272 ( )10 999 E 故答案为： 7 9 ， 2 9 16 （4 分）如图，在棱长为 4 的正方体 1111 ABCDA B C D中，M是棱 1 A A上的动点，N是 棱BC的中点当平面 1 D MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时， 1 A M 8 5 【解答】解：以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 设MAk，则 1(0 D，0，4)，(0C，4，0)，(2N，3，0)，(4M，0，)k， 第 14页（共 20页）

25、所以 11 (4,0,4),(2,4, 4)D MkD N ， 设平面 1 D MN的法向量为( , , )nx y z ， 则有 1 1 0 0 n D M n D N ，即 4(4)0 2420 xkz xyz ， 令8z ，则82xk，4yk，故(82 ,4,8)nkk ， 平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m ， 设平面 1 D MN与底面ABCD所成的锐二面角为， 则 222 |88 cos | (82 )(4)64524144 n m nm kkkk ， 锐二面角越小，则cos越大， 所以求 2 524144kk的最小值， 令 22 12576 ( )5241445() 55

26、 f kkkk， 所以当 12 5 k 时，有最小值，此时 1 128 44 55 AMk 故答案为： 8 5 17 （4 分）已知平面向量a ，b ，c 满足：| 2a ，| 1ab ，| |bc ， 1 ()0 2 cbb ， 则 1 | 2 ac 的最大值是7 【解答】解：由| 1ab 得 222 |2|1abaa bb ， 即 2 |4|cos,30bba b 又 1 ()0 2 cbb 得 2 1 |cos,|0 2 bcb cb ， | |bc ， 1 cos, 2 b c ，b ， 3 c ， 第 15页（共 20页） | 1ab ，| 2a ，|b 的最大值为 3，当且仅当a

27、，b 共线同向时取到， 2222 11 |12 |cos,| 24 acaa ccba cb ， 2 1 | 2 ac 的最大值为 1 12397 2 ， 1 | 2 ac 的最大值为7， 故答案为：7 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 （14 分）已知函数 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxx （）求() 4 f 的值； （）求( )f x在区间0， 2 上的最大值和最小值 【解答】解：（）因为函数 2 ( )2sin cos2 3cos3sin

28、23(1cos2 )3sin23cos22sin(2) 3 f xxxxxxxxx ， 所以()2sin(2)2sin1 4436 f ； （）因为0 x， 2 ， 所以2 33 x ， 2 3 ，可得 3 sin(2) 32 x ，1， 可得( )2sin(2)3 3 f xx ，2， 所以( )f x在区间0， 2 上的最大值为 2，最小值为3 19（15 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCA BC中， 1 4ABAA，2BC ， 1 2 3AC ，ACBC， 1 60A AB （）证明：BC 平面 11 ACC A； （）设点D为 1 CC的中点，求直线 1 A D与平面 11 AB

29、B A所成角的正弦值 第 16页（共 20页） 【解答】解： （）证明：在三棱柱 111 ABCA BC中， 1 4ABAA，2BC ， 1 2 3AC ， 222 11 ABACBC， 1 BCAC， ACBC， 1 ACACC ，AC、 1 AC 平面 11 ACC A， BC平面 11 ACC A （）设E为 1 BB的中点，连结 1 A E，DE，作 1 DFA E于F， BC 平面 11 ACC A，/ /DEBC，DE平面 11 ACC A， 1 CC 平面 11 ACC A， 1 DECC， 在 11 ACC中， 111 ACAC， D为 1 CC的中点， 11 A DCC， 1

30、 A DDED ， 1 CC平面 1 A DE， 11 / /BBCC， 1 BB平面 1 A DE， 1 BBDF， 1 DFA E， 11 BBA EE ， 1 BB、 1 A E 平面 11 ABB A， DF平面 11 ABB A， 直线 1 A D与平面 11 ABB A所成角为 1 DA E， 在 1 DA E中， 1 A DDE， 22 11 22 2ADAC，2DEBC， 22 11 2 3AEADDE， 1 1 3 sin 3 DE DAE AE ， 直线 1 A D与平面 11 ABB A所成角的正弦值为 3 3 第 17页（共 20页） 20 （15 分）已知等差数列 n

31、 a的公差不为零， 4 1a ，且 4 a， 5 a， 7 a成等比数列，数列 n b 的前n项和为 n S，满足24(*) nn SbnN （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）若数列 n c满足 1 1 2 c ， 1 (*) n nn n a ccnN b ，求使得 2 16 n n c 成立的所有n值 【解答】解： （）设等差数列 n a的公差为(0)d d ，由题意得 2 547 aa a， 即 2 (1)13dd ，整理得 2 dd，解得1d ， 所以 4 (4)3 n aandn， 因为 111 24bSb，所以 1 4b ， 当2n时，由 1nnn bSS ，得 1 2

32、2 nnn bbb ，即 1 2 nn bb ， 所以 n b是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，所以 1 2n n b （）由 1 n nn n a cc b ，得 1 1 3 2 nn n n cc ， 所以 112211 23 1214 ()()()() 2222 nnnnn n n cccccccc ， 设 23 214 222 n n n T ，则 341 1214 2222 n n n T ， 两式相减得 31 23411 11 121114112 22 1 222222242 1 2 n n nnn nn T ， 所以 12 22 n n n T ，所以 12 22 nn n

33、 n cT ， 因为 22 216 n n nn c ，所以 4 (2)(21) 0 n n ， 当1n 时，不满足题意； 当2n 时，满足题意； 当3n时， 4 21 0 n ，解得34n ， 所以满足题意的所有n的值为 2，3，4 第 18页（共 20页） 21 （15 分）已知抛物线 2 1: 4Cxy和椭圆 22 2: 1 43 xy C如图，经过抛物线 1 C焦点F的 直线l分别交抛物线 1 C和椭圆 2 C于A，B，C，D四点，抛物线 1 C在点A，B处的切线交 于点P （）求点P的纵坐标； （）设M为线段AB的中点，PM交 1 C于点Q，BQ交AP于点T记TCD，QBP的 面积分

34、别为 1 S， 2 S （）求证：Q为线段PM的中点； （）若 1 2 8 7 S S ，求直线l的方程 【解答】解： （）设点 2 1 1 ( ,) 4 x A x， 2 2 2 (,) 4 x B x，直线l的方程为：1ykx， 由 2 4xy可得 2 4 x y ，则 2 x y ，可知抛物线在点A，B处的切线的斜率分别为 12 , 22 xx ， 抛物线 1 C在点A，B处的切线方程分别为 2 11 24 xx yx， 2 22 24 xx yx， 联立方程组解得点P的坐标为 1212 (,) 24 xxx x ， 由 2 1 4 ykx xy ，得 2 440 xkx， 2 1 16

35、(1)0k， 所以 12 4xxk， 12 4x x ，所以点P的坐标为(2 , 1)k ， 所以点P的纵坐标为1， （）( ) i证明：由（）得点(2 , 1)Pk ， 2 (2 ,21)Mkk ， 2 (2 ,)Qk k， 因为 22 (21)( 1)2kk ，所以点Q为PM的中点； ( )ii因为M，Q分别为线段AB，PM的中点，所以2ATTP， 第 19页（共 20页） 所以 2 3 TABPAB SS ，所以 2 113 248 QBPMBPPABTAB SSSSS ， 所以 1 2 88 | 3 33 | 8 TCDTCD TAB TAB SSSCD SSAB S ， 设点C，D的

36、横坐标分别为 3 x， 4 x， 由 22 1 1 43 ykx xy ，消去y整理可得： 22 (34)880kxkx， 则 3434 22 88 , 3434 k xxx x kk ， 所以 222 222 3434 2222 (1)(12)6432 |1()414 6 (34)3434 kkk CDkxxx xk kkk ， 由（）得 222 1212 |1()44(1)ABkxxx xk， 所以 22 1 222 22 2 8 |8 6128 612 3 |33(34) (1) (34) 1 SCDkk SABkk kk ， 设 2 21 ( )(0) (34 ) (1) x f xx

37、 xx ，则 2 32 16205 ( )0 (34 ) (1) xx fx xx ， 所以( )f x在0，)上单调递减， 因为 21 2 8 68 () 37 S f k S ，所以 2 2 3 () 27 f k ，所以 2 1k ，即1k ， 经检验符合条件，所以直线l的方程为1yx 22 （15 分）已知函数( )(21) x f xaxxe（其中02a，e为自然对数的底数） （）求函数( )f x的单调区间； （） 设函数( )f x的极小值点为m， 极大值点为n， 证明： 当( , )xm n时， 1 ( ) a f xxlnx e 【解答】 （）解：由已知得 1 2 x， 11

38、222 ( )()(21)(21)()(1)() 21212121 xxxxx x fxaeaxxeaaxxeaaxexa e xxxx ， 令( )0fx，解得 2 12 1 2 x a ，令( )0fx，解得 1 2 x或 2 12 2 x a ， 第 20页（共 20页） 所以( )f x的单调递减区间为 1 ( 2 ，1)， 2 12 (2 a ，)，单调递增区间为 2 12 (1,) 2a （）证明：由（）可知1m ， 2 12 2 n a ，即 2 12 (1,) 2 x a ， 设 1 ( )(21) x a g xaxxexlnx e ， 则 2 ( )(1)()1 21 x g xxa elnx x ， 当 2 12 (1,) 2 x a 时，因为 2 022 21 aa x ， 所以( )2(1)1 x g xxelnx ， 设( )2(1) x h xxelnx ，则 2 42 ( ) x x exx h x xe ， 当( , )xm n时，因为 22 42142(1)(21)0 x exxxxxxx ， 所以( )0h x，所以( )h x为减函数，所以( )h xh（1）0， 所以( )0g x，( )g x在 2 12 (1,) 2a 上为减函数， 所以( )g xg（1）0， 所以当( , )xm n时， 1 ( ) a f xxlnx e