1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 1、问题问题1 1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？等腰三角形有哪些性质定理及推论？ 等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等(简写成简写成 等边对等角等边对等角”) 等腰三角形等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互 相重合相重合(简写成简写成 三线合一三线合一”) 问题问题2 2：等腰三角形的等腰三角形的“等边对等角等边对等角”的题设和结论分别是什么？的题设和结论分别是什么？ 题设：一个三角形是题设：一个三角形是等腰三角形等腰三角形 结论：相等的两边所对应的结论：相等的两边所对应的
2、角角相等相等 导入新知导入新知 它它的逆命题成立吗？的逆命题成立吗？ 导入新知导入新知 2、思考思考：如图，在如图，在ABC中中，如果，如果B =C，那么，那么AB与与AC之间有什么关系吗？之间有什么关系吗？ 3cm3cm 测量后发现测量后发现AB与与AC相等相等. 1 1. . 掌握掌握等腰三角形的等腰三角形的判定定理判定定理及其运用及其运用. . 2 2. . 理解理解并掌握并掌握反证法反证法的思想，能够运用反证的思想，能够运用反证 法进行证明法进行证明. . 素养目标素养目标 等腰三角形等腰三角形性质定理性质定理：_. 思考：思考：我们我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？把性质定理
3、的条件和结论反过来还成立吗？ 即：如果即：如果一个三角形有两个角相等一个三角形有两个角相等，那么，那么这个三角形这个三角形 是等腰三角形吗是等腰三角形吗？ 等边对等角等边对等角 CB A 探究新知探究新知 知识点 1等腰三角形等腰三角形的判定的判定 位于位于海上海上B、C两处的两艘救生船接到两处的两艘救生船接到A处遇险船只的处遇险船只的 报警，当时测得报警，当时测得B=C.如果这两艘救生船以如果这两艘救生船以同样的速度同样的速度 同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 探究新知探究新知 情景情景探究探究 已知：如图，在已知：如图
4、，在ABC中中, B=C, 那么它们所对的边那么它们所对的边AB和和AC有什么数有什么数 量关系量关系? 建立数学模型：建立数学模型： C A B AB=AC 做做一做一做：画一个画一个ABC，其中，其中B=C=30. 请请你量一量你量一量AB与与AC的长度，它们之间有什么数量关系，的长度，它们之间有什么数量关系， 你能得出什么结论？你能得出什么结论？ AB=AC 你能验证你的结论吗？你能验证你的结论吗？ 探究新知探究新知 探究新知探究新知 已知已知: 求证求证: AB=AC. 如图如图, 在在ABC中中, B=C 猜想猜想证明：证明：有两个角有两个角相等相等的的三角形三角形是是等腰三角形等腰
5、三角形. . 在在ABD与与ACD中，中， 1=2， ABD ACD（AAS）. B=C， AD=AD， AB=AC. 过点过点A作作AD平分平分BAC交交BC于点于点D.证明：证明： C A B 21 D （ （ ABC是等是等 腰三角形腰三角形. 有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简述简述为为：“等角对等边等角对等边” 结论结论 探究新知探究新知 等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理： 在在ABC中，中， B=C, 应用格式：应用格式： AB=AC(等角对等边等角对等边). A C B A BC D 21 1=2 , BD=DC （等角对等边）（等角
6、对等边）. . 1=2, DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）（等角对等边）. . 错错， 因为因为都不是在同都不是在同 一个三角形中一个三角形中. 辨一辨：辨一辨：如图如图,下列推理正确吗下列推理正确吗? 探究新知探究新知 等腰三角形的判定等腰三角形的判定素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 例 已知已知：如图，：如图，AB=DC,BD=CA,BD与与CA相交于点相交于点E. 求证：求证：AED是等腰三角形是等腰三角形. A B C D E 证明：证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA, ABD DCA(SSS), ADB=DAC( (全等三角形全等三角形的对应角相等）的对
7、应角相等）, AE=DE( (等角等角对等边）对等边）, AED是等腰三角形是等腰三角形. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 如如图所示图所示,已知已知OC平分平分AOB,CDOB,若若OD=4 cm, 则则CD等于等于 ( ( ) ) A.3 cm B.4 cm C.1.5 cmD.2 cm B 如如图图,在在ABC中中,D,E分别是分别是AC,AB上的点上的点,BD与与CE相交于点相交于点O, 给出四个条件给出四个条件: OB=OC;EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD. 上述上述四个四个条件条件中中,选择两个可以判定选择两个可以判定ABC是等腰三角形的方是等腰三角形的方 法法有有
8、( ( ) ) A.2种种B.3种种C.4种种D.6种种 C 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 探究新知探究新知 知识点 2反证法反证法 想一想想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等， 那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗如果成立，你能证明它吗? 即即在在ABC中中, 如果如果BC,那么那么ABAC. A BC 探究新知探究新知 如如图图,在在ABC中中,已知已知BC, 此时此时, AB与与AC要么相等要么相等,要么不相等要么不相等. 假设假设AB=AC,
9、 那么根据那么根据“等边对等角等边对等角”定理可得定理可得B=C, 但已知条件是但已知条件是 BC，“B=C”与与“BC”相矛盾相矛盾， 因此因此ABAC. 小明是这样想的小明是这样想的: 你能理解他的推理过程吗你能理解他的推理过程吗?利用了利用了“反证法反证法” 探究新知探究新知 结论结论 在在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推 导导出与出与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明 命题的结论一定成立这种证明方法称为命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法反证法 探究新知探究新知 假设假设: 先假设
10、命题的结论不成立先假设命题的结论不成立; 归归谬谬: 从这个假设出发从这个假设出发,应用正确的推论方法应用正确的推论方法,得出与得出与 定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 结论结论: 由矛盾的结果判定假设不正确由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题从而肯定命题 的结论正确的结论正确. 用用反证法证题的一般反证法证题的一般步骤：步骤： 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角直角. 证明：证明：假设假设A、B、C中有两个角是直角中有两个角是直角， 不妨不妨设设A和和B是直角是直角，即，即A=90，B
11、=90. 则则A+B+C=90+90+C180 这与这与三角形内角和定理矛盾三角形内角和定理矛盾， 所以所以“A和和B是直角是直角”的的假设不成立假设不成立 所以所以一个三角形中不能有两个角是直角一个三角形中不能有两个角是直角 反证法反证法素养考点素养考点 2 例 探究新知探究新知 已知：已知：ABC 求证：求证：A、B、C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 用反证法证明用反证法证明:两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角如果同旁内角 互补互补,那么这两条直线平行那么这两条直线平行. 已知已知:如图如图,直线直线l1,l2被被l
12、3所截所截,1+2=180. 求证求证:l1l2. 证明证明: :假设假设l1不平行于不平行于l2,即即l1与与l2相交于一点相交于一点P. 则则1+2+P=180， 所以所以 1+2b”时时,应应假设假设 ( ( ) ) A. abB. ab C. ab D. ab 2.用用反证法证明命题反证法证明命题“四边形的四个内角中至少四边形的四个内角中至少 有有一个一个角大于等于角大于等于90”,我们应该我们应该假设假设 ( ( ) ) A.四个角都小于四个角都小于90 B.最多有一个角大于或等于最多有一个角大于或等于90 C.有两个角小于有两个角小于90 D.四个角都大于或等于四个角都大于或等于9
13、0 B A 连接中考连接中考 （2020南充）如图，在等腰南充）如图，在等腰ABC中，中，BD为为ABC的平分线，的平分线， A=36，AB=AC=a，BC=b，则，则CD= ( ( ) ) A. B. C. a-b D. b-a + 2 ab+ 2 ab C E 2 1 A BC D 72 36 如果如果AD=4cm，则，则 1.已知已知:如图如图,A=36，DBC=36，C=72, 1= , 2= ； 图中有图中有 个等腰三角形；个等腰三角形； BC= cm； 7236 3 4 个等腰三角形个等腰三角形. 如果过点如果过点D作作DEBC, 交交AB于点于点E,则图中有则图中有 5 课堂检测
14、课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2.如如图图,已知已知ABC,点点D,E分别在边分别在边AC,AB上上,ABD=ACE, 下列条件中下列条件中,不能判定不能判定ABC是等腰三角形的是等腰三角形的是是( ( ) ) A.AE=ADB.BD=CE C.ECB=DBCD.BEC=CDB D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3、如如图图,在在ABC和和DCB中中,A=D=72,ACB= DBC=36,则图中等腰三角形的个数是则图中等腰三角形的个数是( ( ) ) A.2 B.3 C.4 D.5 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4、如如
15、图图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,点点B,A分别在分别在x轴轴,y轴上轴上, BAO=60,在坐标轴上找一点在坐标轴上找一点P,使得使得ABP是等腰三是等腰三 角形角形,则符合条件的等腰三则符合条件的等腰三角形角形ABP有有_个个. 6 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5、如如图所示，图所示，ABC和和ACB的平分线相交于的平分线相交于F，过，过F作作 DEBC，交，交AB于于D，交，交AC于于E.求证：求证：BDECDE. 证明：证明：BF平分平分ABC，12， 又又DEBC，23， 13， DBDF（等角对等边（等角对等边），）， 同理同理可得：可得：EC
16、EF， DFEFDE， BDECDE. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1、已知已知如图，如图，AD是是BAC的角平分线，的角平分线，DEAB，DFAC， 垂足分别是垂足分别是E、F.求证：求证：AD垂直平分垂直平分EF. 证明：证明：AD是是BAC的角平分线，的角平分线，DEAB，DFAC， DEDF，12， 易得易得AEDAFD90，34， AEAF， AD是等腰是等腰AEF的顶角平分线的顶角平分线， AD垂直平分垂直平分EF. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2、如如图图,AD平分平分BAC,ADBD,垂足为点垂足为点D,DEAC. 求证求
17、证:BDE是等腰三角形是等腰三角形. 证明证明: :DEAC,CAD=EDA, AD平分平分BAC,CAD=EAD, EAD=EDA, ADBD,EAD+B=90,EDA+BDE=90, B=BDE,BDE是等腰三角形是等腰三角形. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 如如图图,在在ABC中中,AB=AC,点点E在在CA的的延长线上延长线上,EPBC, 垂足为垂足为P,EP交交AB于点于点F,FDAC交交BC于点于点D. 求证求证:AEF是等腰三角形是等腰三角形. 证明：证明：FDAC,PFD=E,FDB= C, AB=AC, B = C,FDB=B，FB=FD， FB=FD,EPBC,PFB=PFD, PFB=AFE,PFD=AFE, PFD=E,E=AFE, AE=AF, 即即AEF是是等腰三角形等腰三角形. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂小结课堂小结 等腰三角等腰三角 形的判定形的判定 和反正法和反正法 有两个角相等的三角形有两个角相等的三角形 是等腰三角形是等腰三角形 假设假设归谬归谬结论结论 等角对等边等角对等边 反证法反证法 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
