1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 导入新知导入新知 AB C D 1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.线段的垂直平分线的作法线段的垂直平分线的作法. 性质：性质：线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到到这条这条线线 段两个端点的段两个端点的距离相等距离相等. . 判定：判定：到一条线段两个端点距离相等的到一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上. . 1 1. . 理解理解并掌握三角形三边的并掌握三角形三边的垂直平分线的垂直平分线的 性质性质. . 2 2. . 能
2、够运用能够运用三角形三边的垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的性质 解决解决实际问题实际问题. . 素养目标素养目标 3. 3. 能够能够利用利用尺规尺规作已知底边及底边上的高的作已知底边及底边上的高的 等腰三角形等腰三角形. . 画一画：画一画： 利用利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之 后你发现了什么？后你发现了什么？ 知识点1 三角形三边的垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的性质 发现：发现：三角形三边的垂直平分线交于一点三角形三边的垂直平分线交于一点 这一点到三角形三个顶点的距离相等这一点到三角形三个顶点的距离相等 探究新知探究新知
3、剪剪一个三角形纸片通过折叠找出一个三角形纸片通过折叠找出 每条边的垂直平分线每条边的垂直平分线 结论：三角形三条边的垂直平分线相结论：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点交于一点 怎样证明这个怎样证明这个 结论呢？结论呢？ 探究新知探究新知 做一做：做一做： 点拨点拨：要证明三条直线相交于一要证明三条直线相交于一 点，只要证明其中两条直线的交点，只要证明其中两条直线的交 点在第三条直线上即可点在第三条直线上即可. 思路可表示如下：思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m l是是AB的垂直平分线的垂直平分线 m是是BC的垂直平分线的垂
4、直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点点P在在AC的垂的垂 直平分线上直平分线上 结论结论证明：证明： 探究新知探究新知 探究新知探究新知 求证：求证：三角形三角形三条边的垂直平分线相交于三条边的垂直平分线相交于一点，一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等并且这一点到三个顶点的距离相等 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB，BC的垂直平的垂直平 分线相交于点分线相交于点P 求证：点求证：点P也在也在AC的垂直平分线的垂直平分线上，上， 且且PA=PB=PC B C A P l n m 探究新知探究新知 证明证明：点点P在在AB，AC的垂直平分线上，的垂直平分线上， PA=P
5、B，PA=PC （线段垂直平分线上线段垂直平分线上 的点到线段两端的点到线段两端 距离相等）距离相等）. 同理，同理，PB=PC， PA=PB=PC， 点点P在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段到线段两端距离相等的点在线段的的 垂直平分线垂直平分线上上）. 即边即边AC的垂直平分线经过点的垂直平分线经过点P. B C A P l n m 探究新知探究新知 文字语言：文字语言： 三角形三角形三条边三条边的的垂直平分线相交于一点垂直平分线相交于一点,并且这一点并且这一点 到三个到三个顶点的距离相等顶点的距离相等. 三角形三边的垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的
6、性质结论结论 几何语言几何语言： 点点P 为为ABC 三边垂直平分线的交点，三边垂直平分线的交点， PA =PB=PC A BC P 三角形三边的垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的性质素养素养考点考点 1 探究新知探究新知 如果如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的 外部外部,那么这个三角形是那么这个三角形是( ( ) ) A.直角三角形直角三角形 B.锐角三角形锐角三角形 C.钝角三角形钝角三角形D.等边三角形等边三角形 例例 C 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 分别分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边作出锐角三角形、直角三角
7、形、钝角三角形三边 的垂直平分线，说明交点分别在什么位置的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外三边的垂直平分线交点在三角形外. 探究新知探究新知 做一做：做一做： （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作 出三角形吗出三角形吗?如果能，能作几个如果能，能作几个?所作出的三角形都全所作出的三角形都全 等吗等吗? 知识知识点点2 尺规
8、作图尺规作图 探究新知探究新知 已知：三角形的一条边已知：三角形的一条边a和这边上的高和这边上的高h. 求作：求作：ABC，使，使BC=a，BC边上的高为边上的高为h. A1 D CB A a h (D)CB A a h A1 D C B A a h A1 能能作出无数个这样的三角形，它们并不全等作出无数个这样的三角形，它们并不全等. 探究新知探究新知 （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形 吗吗?如果能，能作几个如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗所作出的三角形都全等吗? 这样这样的等腰三角形有的等腰三角形有无数无数多个多个.
9、 根据根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上 面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个 端点相连接，都可以得到一个等腰三角形端点相连接，都可以得到一个等腰三角形 如如图所示，这些三角形图所示，这些三角形不都全等不都全等 探究新知探究新知 （3）已知等腰三角形的底及底边上的高）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等你能用尺规作出等 腰三角形吗？能作几个？腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有这样的等腰三角形只有两两个，并且
10、它们个，并且它们 是是全等全等的，分别位于已知底边的两侧的，分别位于已知底边的两侧 探究新知探究新知 已知一个等腰三角形已知一个等腰三角形的底及底边上的高的底及底边上的高,求作这个求作这个 等腰三角形等腰三角形. 已知已知：线段：线段a，h. 求作：求作：ABC，使，使AB=AC，BC=a，高，高AD=h. a h N M D C B A 作法：作法： 1作作BC=a； 2作作线段线段BC的垂直平分线的垂直平分线MN交交 BC于于D点；点； 3以以D为圆心，为圆心，h长为半径作弧长为半径作弧交交 MN于于A点；点； 4连接连接AB，AC. ABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形. 探究新知
11、探究新知 已知：直线已知：直线 l 和和 l 上一点上一点P 求作：求作：PC l 尺规作图尺规作图素养素养考点考点 探究新知探究新知 作法：作法： 以以点点P为圆心为圆心，以，以任意长为半径任意长为半径作作 弧，与直线弧，与直线 l 相交于点相交于点A和和B 作作线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线PC 直线直线PC就是所求就是所求 l 的垂线的垂线 AB C P l 例例 已知已知直线直线l和和l上上一点一点P，利用尺规作，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点P. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 已知直线已知直线 l 和线外一点和线外一点P，利用尺规作，利用尺规作 l
12、的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点P. B A 作法：作法： 先先以点以点P为圆心为圆心，大于点大于点P到直线到直线 l 的垂直距的垂直距 离离R为半径为半径作圆，交直线作圆，交直线 l 于点于点A，B. 分别分别以以A、B为圆心为圆心，大于线段大于线段AB长度的一长度的一 半为半为半径半径作圆，相交于作圆，相交于C、D两点两点. 过过两交点作直线两交点作直线 l ,此直线为此直线为 l 过点过点P的垂线的垂线. P C D 连接中考连接中考 （2020宜昌）如图，点宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且在一条直线上，且 EF=GH，我们知道按如图所作的直线，我们知道按如图所作的直
13、线l为线段为线段FG的垂直平分线的垂直平分线. 下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ）A A. l是线段是线段EH的垂直平分线的垂直平分线 B. l是线段是线段EQ的垂直平分线的垂直平分线 C. l是是线段线段FH的的垂直平分线垂直平分线 D. EH是是l的垂直平分线的垂直平分线 1. 如如图图,等腰等腰ABC中，中，AB=AC，A=20线段线段AB的垂直的垂直 平分线交平分线交AB于于D，交，交AC于于E，连接，连接BE，则，则CBE等于（等于（ ） A80 B70 C60 D50 C B A D E C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 已知已知:如图如图,在
14、在ABC中中,边边AB,BC的的垂直平分线垂直平分线交于点交于点P. 则下列结论一定成立的个数为则下列结论一定成立的个数为( ( ) ) PA=PB=PC. 点点P在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上. BPC=90+ BAC. BAP=CAP. A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个 B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3. 如图如图,有有A,B,C三个居民三个居民小区小区,现决定在三个小区之间修建一个现决定在三个小区之间修建一个 购物超市购物超市,使使超市到超市到三个小区的距离相等三个小区的距离相等,则超市应建则超市应建在在 ( ( ) ) A.AC,BC两边高线
15、的交点处两边高线的交点处 B.AC,BC两边垂直平分线的交点处两边垂直平分线的交点处 C.AC,BC两边中线的交点处两边中线的交点处 D.A,B两内角平分线的交点两内角平分线的交点处处 B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.如如图图,在在ABC中中,点点D是边是边AB,BC的垂直平分线交点的垂直平分线交点, 连接连接AD并延长交并延长交BC于点于点E,若若AEC=3BAE=3,则则 CAE=_(用含用含的式子表示的式子表示). 90-2 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 C 5.如如图图,在在ABC中中,分别以点分别以点A和点和点B为圆心为圆心,
16、大于大于 AB的长为半的长为半 径画弧径画弧,两弧相交于点两弧相交于点M,N,作直线作直线MN,交交BC于点于点D,连接连接AD.若若 ADC的周长为的周长为10,AB=7,则则ABC的的周长周长为为( ( ) ) A.7B.14 C.17D.20 1 2 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.如如图图,在在ABC中中,点点D为为BC上一点上一点,连接连接AD,点点E在线段在线段AD上上, 并且并且1=2,3=4,求证求证:AD垂直平分垂直平分BC. 证明证明: :1=2,3=4, EB=EC,且且1+3=2+4, 即即ABC=ACB,AB=AC, A与与E都在线段都在线
17、段BC的垂直平分线上的垂直平分线上, 则则AD垂直平分垂直平分BC. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2.如如图图,在在ABC中，中，D为为BC的中点，的中点，E、F分别是分别是AB、AC上上 的点，且的点，且DEDF.求证：求证：BECFEF. 证明证明: :延长延长FD到到G，使，使DGDF.连接连接EG、BG. 在在CDF和和BDG中，中，CDBD,CDFBDG,DFDG， CDF BDG（SAS），BGCF. DEDF，DFDG， EGEF.在在BEG中，中，BEBGEG， BECFEF. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 如图如图,在在A
18、BC中中,AC边的垂直平分线边的垂直平分线DM交交AC于点于点D,BC边边 的垂直平分线的垂直平分线EN交交BC于点于点E,DM与与EN相交于点相交于点F . 解：解：DM是是AC边的垂直平分线边的垂直平分线,MA=MC, EN是是BC边的垂直平分线边的垂直平分线,NB=NC, AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=CMN的周长的周长=20 cm. (1)(1)若若CMN的周长为的周长为20 cm,求求AB的长的长. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 解：解：MDAC,NEBC,ACB=180-MFN=110, A+B=70, MA=MC,NB=NC,MCA=A,NCB=B, MCN=40. (2)(2)若若MFN=70,求求MCN的度数的度数. 课堂检测课堂检测 课堂小结课堂小结 线段的线段的垂垂 直平分直平分线线 三 角 形 三三 角 形 三 边 的 垂 直边 的 垂 直 平 分 线 的平 分 线 的 性质性质 尺规尺规作图作图 三角形三条边的垂直平分线相交三角形三条边的垂直平分线相交 于一点于一点, ,并且这一点到三个顶点的并且这一点到三个顶点的 距离相等距离相等 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
