1、数学试题卷 第 1 页 （共 4 页） 保密考试结束前 金丽衢十二校 2020 学年高三第二次联考 数 学 试 题 命题人：永康一中 高雄略 吴桂平 审核：浦江中学 本卷分第卷和第卷两部分。考试时间为 120 分钟，试卷总分为 150 分。请考生将所 有试题的答案涂、写在答题纸上。 第卷（共第卷（共 40 分）分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 ） 1设集合 2 |AxxxR，集合 |11BxxR, 则AB （ ） A0,2 B1,2 C ,0 1, D 2已知点BA,在平面的两侧，则点 BA,到的距离
2、分别为 3 和 5，则AB的中点到的距 离为（ ） A4 B3 C2 D1 3已知双曲线 22 255xy 上一点P到其左焦点F的距离为 8，则PF的中点M到坐标原点 O的距离为（ ） A9 B6 C5 D4 4若实数x，y满足约束条件 430 430 7 yx xy x+ y ， ， ， 则 1011zxy 的最小值为（ ） A74 B73 C70 D0 5过原点O作曲线 222 166800axy axya的切线,OA OB，则cosAOB （ ） A 3 5 B 4 5 C 7 25 D 24 25 6已知0, 0ab, 则“100ab”的一个充分不必要条件是（ ） A 111 5ab
3、+ B20ab C 10 lnln ab ab D 22 200ab 数学试题卷 第 2 页 （共 4 页） 7. 已知函数 f x的大致图象如下，下列答案中 e 为自然对数的底数，则函数 f x的解析 式可能为（ ） A. ex x B. 1 ex x C. 2 ee xx D. ee ee xx xx 8正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心 的棱锥）的三视图如图所示，则正视图（等腰三角形）的腰 长等于（ ） A2 5 B2 6 C2 7 D5 9. 如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1中，P 为平面 AB1D1内 一动点， P 到底面 ABCD 的距离与到直线 A
4、D1的距离相等， 则 P 点的轨迹是（ ） A直线 B圆 C抛物线 D椭圆 10. 设集合20,21,5, 11, 15,30,S a ， 我们用 fS表示集合S的所有元素之和， 用 g S 表示集合S的所有元素之积，例如：若 2A ，则 2fAg A；若2,3B ， 则 23fB ， 2 3g B . 那么下列说法正确的是（ ） A若0a ，对S的所有非空子集 i A， i fA的和为320 B若0a ，对S的所有非空子集 i B， i fB的和为640 C若1a ，对S的所有非空子集 i C， i g C的和为1 D若1a ，对S的所有非空子集 i D， i g D的和为0 第卷（共第卷（
5、共 110 分）分） 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 ） 11设复数z满足：i 31| zz（i是虚数单位） ，则 | z . 12已知 7 7 2 210 34 )21 () 1(xaxaxaaxx，则 710 aaa= ， 6 a= . 13函数xxxfsincos3)(，), 0(x的值域为 ，若( )2f x ，), 0(x 则 cos2x= . 第 7 题图 第 8 题图 A B C D A1 B1 C1 D1 P 第 9 题图 数学试题卷 第 3 页 （共 4 页） 14老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背，规定至少
6、要背出 2 篇才能及格. 同学甲只能 背出其中的 6 篇，则甲同学能及格的概率为 ，设抽取的 3 篇课文中甲能背诵的课 文有篇，则随机变量的期望)(E为 . 15在梯形ABCD中，ABCD，90A，AB=2CD=3，AD=2，若EF在线段AB上运动， 且EF=1，则CFCE的最小值为 . 16函数 , ( ) , ex x x a x a f x x 若存在实数x0，使得对于任意xR，都有 0 fxfx ，则 实数a的取值范围是 ；若存在不相等的 123 ,x xx，满足 123 fxfxfx， 则实数a的取值范围是 . 17设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn
7、，满足：0 3 a， 且S5S6+16=0，则S11的最小值为 . 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 18 （本小题满分 14 分） 在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c. （）若12coscos2sinsinABAB，求角C； （）若 222 1tan1tanbAcaA，求角C 19 （本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥ABCDP中，NM,分别是APAB,的中点，BCAB，PCMD， BCMD/，BC=1，AB=2，PB=3，2CD，6PD. （）证明：PC平面MND； （）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
8、. 第 19 题图 数学试题卷 第 4 页 （共 4 页） 20 （本小题满分 15 分） 对任意非零数列 n a, 定义数列 n f a，其中 n f a的通项公式为 12 111 111 n n fa aaa . （）若 n an，求 n f a； （）若数列 , nn ab满足 n a的前 n 项和为 n S，且 (1) 2n n n f a ， 1nnn baS . 求证 4 3 n fb. 21 （本小题满分 15 分） 如图，设P(0,t)，Rt，已知点F是抛物线)0(2 2 ppxy的焦点，直线PF与抛物线 交于A, B两点（AFBF） ，点C（不同于原点）在抛物线上，PC不平行
9、于x轴，且PC与抛 物线有且只有一个公共点. 当22t时，FBAF 2 1 . （）求p的值； （）若CBCA,分别与x轴交于ED,，设ADF,BEF和ABC的面积分别为SSS, 21 ， 求 2 21 S SS 的最大值. 22 （本小题满分 15 分） 设Ra，已知函数 e6 x fxxxa，函数 ln1 ex x g x xx . （）若5a ，求函数 fx的最小值； （）若对任意实数 1 x和正数 2 x，均有 12 48fxg xa ，求a的取值范围. （注：e为自然对数的底数） 第 21 题图 数学参考答案 第 1 页 （共 4 页） 2020 学年金丽衢十二校高三第二次联考 数学
10、评分标准与参考答案 一、选择题（410=40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C A D D A C 二、填空题（多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 115； 12-16，20； 13 2,3)， 3 2 ； 14, 2 9 3 5 ； 15 15 4 ； 16 1 (, 0,1 ; e 1788. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 18 （）因为 1 cos 2 AB ，所以 1 cos 2 C ， 3 C .6 分 （）显然 2 A ，所以 222 222 2cosco
11、stan tan 2coscostan cababCaCA A bcabcAcAC ， 又由tan0A得到tan1C ， 3 4 C .14 分 19 （）连接 AC，交 MD 于 E，再连接 NE 因为 MDBC，M 是 AB 的中点， 所以 E 是 AC 的中点， 又 N 是 AP 的中点， 所以 NEPC，且NE平面MND，PC平面MND 所以/PC平面MND；6 分 （）过 C 作MDCF 于 F，连接PF， 又因为PCMD，且FPFCF 所以MD平面PFC， 所以BC平面PFC， 所以平面PFC平面PBC 过 F 作PCFG于 G， 又因为平面PFC平面PBC=PC， 且FG平面PF
12、C， 所以FG平面PBC9 分 P A B C D M N 第 19 题图 F 数学参考答案 第 2 页 （共 4 页） 在PBCRT中，22 22 BCPBPC， 在直角梯形MBCD中，2, 1CDBCMB，则1 FCFD 在PFDRT中，5 22 FDPDPF， 在PFC中，22, 1,5PCFCPF， 则 5 5 2 cos 222 FCPF PCFCPF PFC， 所以 5 52 sinPFC，从而 2 2sin2 PC PFCFCPF PC S FG PFC ，12 分 又由MDPFFDMF,知6 PDPM， 所以由)(2 2222 MAPMPAPB可得5PA，14 分 所以直线PA
13、与平面PBC所成角的正弦值为 5 102 PA FG . 15 分 20 （） * 1 n f annN；5 分 （） 因为 1 2 n n n fa ， 所以 1 1 11 14, 41 a a ， 又当2n时， 11 14 , 41 n n n n a a ， 所以对任意 * nN， 1 41 n n a . 10 分 又由 11 1 11 nn nnn aS bSS ，于是 21 1 1 111 414141 1 41 n n n S f b S 由 1 41 3 4 nn 得 1 2 11 3 11114 33 4 3 1 33 43 43 43 1 4 n n n f b . 15
14、分 21 （）设 11 ,A x y， 22 ,B xy 由题可知(0,2 2)P，(,0) 2 p F，所以直线 AB 方程为 2 1 2 2 xy p . 数学参考答案 第 3 页 （共 4 页） 联立 2 2 1 2 2 2 xy p ypx ，消 x 得 2 2 10 2 2 yy p ， 由韦达定理得 2 12 2 2 p yy ， 2 12 y yp . 1 2 AFBF ， 21 =2yy，由解得2p .6 分 （）设 33 ,C x y，(0, )Pt，由（）知(1,0)F. 则直线 AB 方程为(1)yt x 联立 2 (1) 4 yt x yx ，消 x 得 2 440ty
15、yt， 由韦达定理得 12 4 yy t ， 12 4y y .弦长 2 2 4(1t ) AB t .9 分 设直线 PC 方程为ykxt，联立 2 4 ykxt yx ，消 x 得 2 440kyyt， 由直线 PC 与抛物线相切得16 160kt ，即1kt . 由韦达定理得 3 4 24yt k ， 2 ( ,2 )C tt. 点 C 到直线 AB 的距离为 3 2 1 tt d t 由直线 AC 方程为 1313 4yyyxy y，得 13 4 D y y x ， 同理可得 23 4 E y y x . 2 1212132312 111 441 2264 SSDFyEFyy yy y
16、y yt 3 2 2 21 1 2 t SAB d t 2 12 222 2 1111 4416 1 1 SSt S t t t ，等号成立当且仅当1t .15 分 数学参考答案 第 4 页 （共 4 页） 22 解： （） 当5a 时, e21 x fxx为增函数,且 00f, 所以 fx在,0 递减,在0,递增,所以 min 01 629f xfa .6 分 （）因为 2 ln111 ee lneln xxx x gx xxxx , 由于函数 2e ln x yxx在0,上单 增,且 1 2 1 ee0, 1e0 e e gg , 所以存在唯一的 0 1 ,1 e x , 使得 0 0gx
17、. 且 0 min g xg x. 再令 ln , 1 lnu xxx uxx , 可知 u x在1,单增, 而由 0 0gx可知 00 00 11 e,1,1e xx uu xx , 所以 0 0 1 e x x . 于是 0 0 0 00 1 ln 1 e1 x x g x xx ,所以 min1g x.10 分 又 e26 x fxxa为增函数,当0a时, 050fa , 当0a 时, 2 e60 2 a a f ; 又当6a时, 2 e60 2 a a f , 当6a 时, 3 3e0fa, 所以对任意aR, 存在唯一实数 3 x, 使得 3 0fx, 即 3 3 e26 x ax, 且 3 min fxfx. 由题意,即使得 minmin 48fxg xa, 也即 333 3333 e6e261 4e8248 xxx xxxx, 即 3 33 3e1 0 x xx , 又由于 e1 x v xx单增且 00v, 所以 3 x的值范围为0,3, 代入 3 3 e26 x ax求得a的取值范围为 3 5,e .15 分
