1、 太原市太原市 20212021 年高三年级模拟考试（三）年高三年级模拟考试（三） 数学试题（理）参考答案及评分标准数学试题（理）参考答案及评分标准 一选择题：一选择题：B C A D D B C A C B A B 二填空题：二填空题：13.6 . 014. 2 15. 2 9 ,2216. 2 1 三解答题：三解答题： 17.（）解：在PBC中，由正弦定理得 )sin(sin BCPB ，3 分 )sin( sin BC PB)26(50 )3045sin( 30sin100 m；6 分 （）由（）得)26(50PB，105180APB，30PAB， 由正弦定理得 105sin30sin
2、ABPB , 30sin 105sinPB AB)32(100,10 分 BEADABDE24033100)32(100m.12 分 18.解:由题意得该市区 100 天中空气质量好,且 2 SO的浓度不超过150的天数为 4675628， 所以该市一天的空气质量好，且 2 SO的浓度不超过150的概率估计值为 0.46； 4 分 () 由题意可得22列联表如下： 8 分 （）假设该市一天的空气质量与当天 2 SO的浓度没有关系，9 分 则 )()()( )( 2 dbcadcba bcadn k 30704456 )24102046(100 2 635. 6936. 8， 所以有%99的把握
3、认为该市一天的空气质量与当天 2 SO的浓度有关.12分 19.（）证明：由题意得 21O O平面PAB，APOO 21 ， 2 AO为直径， 2 POAP ， 2212 OOOPO，AP平面 21O PO， 4 分 AP平面 1 APO，平面 1 APO平面 21O PO；6 分 （）由（）得 21O O平面PAB，以 2 O为坐标原点，向量 122 ,OOAO的方向为x轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直 角坐标系xyzO 2 ，由题意得)0 , 0 , 0( 2 O，)2 , 0 , 0( 1 O，)00 , 2(，A， )0 , 0 , 2(B，)0 , 1 , 1 (P或)0 ,
4、 1, 1 ( P，由对称性，不妨取)0 , 1 , 1 (P， 设),( 111 zyxm 是平面 1 APO的一个法向量， 则 , 0 , 0 1 POm APm , 02 , 0 111 11 zyx yx 令1 1 y，则 , 1 , 1 1 1 z x ) 1 , 1 , 1 (m，8 分 设),( 222 zyxn 是平面 1 BPO的一个法向量， 则 , 0 , 0 1 POn BPn , 02 , 03 222 22 zyx yx 令3 2 y，则 , 1 , 1 2 2 z x ) 1, 3, 1 (n，10 分 11 33 113 3 | ,cos nm nm nm ， 二
5、面角BPOA 1 的余弦值为 11 33 .12 分 20（）由题意可知点A与B分别在直线xy和xy上，2 分 不妨设)0)(,(mmmA，则16 2 mS AOB ，4m，)4 , 4(A， 点A在抛物线pxy2 2 上，2p，4 分 此抛物线的方程为xy4 2 ，焦点的F坐标为)0 , 1 (；6 分 （） 由 （） 得)0 , 1 (F， 直线l的方程为1 2 1 yx， 设),( 11 yxP，),( 22 yxQ，),( 00 yxM， 由 xy yx 4 , 1 2 1 2 得042 2 yy,2 21 yy， 2 3 , 1 00 xy，) 1 , 2 3 (M，9 分 由题意可
6、设椭圆C的标准方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b x a y ，10 分 1 4 91 22 ba ， 2222 494baab， 222 )94(4abb， 0ba， ,) 94(4 , 094 222 2 bbb b 2 13 2 3 b， 椭圆C短轴长的取值范围是)13, 3(.12 分 21.()解：由题意得)0( 2 1 )(xx x a xf， 2 1 1 2 )2( a f，1a，2 分 x x x x xf 2 2 2 11 )( 2 ，令0)( x f，则20 x；令0)( x f，则2x， )2, 0(是)(xf的单调递增区间，),2是)(xf的单调递减区间；4 分
7、 ()由()得2ln 4 1 ln)( 2 bxxxf， 012ln12ln)2(bbf，1b，5 分 ) 0( 2ln1 4 1 ln)( 2 xxxxf,且)(xf在)2, 0(上单调递增，在),2上单调递减， 由题意得mxfxf)()( 21 ，且 21 20 xx， mxx4 2 3 12 )()(2 2 3 1212 xfxfxx 2ln4 2 5 2 1 ln2 2 1 ln2 2 111 2 222 xxxxxx，7 分 令 2 1 2 1 ln2)(xxxxt，2x， x xx xt )2)(1( )( 1 ， 令0)( 1 xt，则22 x；令0)( 1 xt，则2x， )(
8、 1 xt在2 ,2(上单调递增，在), 2( 上单调递减，2ln2)2()( 11 txt， 9 分 令 2 2 2 1 ln2)(xxxxt，20 x， x xx xt ) 1)(2( )( 2 ， 令0)( 2 xt，则10 x；令0)( 2 xt，则21 x， )( 2 xt在) 1 , 0(上单调递增，在)2, 1 上单调递减， 2 3 ) 1 ()( 22 txt，11 分 mxx4 2 3 12 2ln4 2 5 ) 1 ()2( 21 tt02ln21， mxx4 2 3 12 .12 分 22.解：() 将 cos3sin ,sin3cos2 y x 的参数消去得4)2( 2
9、2 yx，3 分 由 sin ,cos y x 可得曲线C的极坐标方程为cos4；5 分 ()设点B的极坐标为) 22 )(,( ，由题意得2|OA,cos4, OAB的面积AOBOAS OAB sin| 2 1 | ) 3 sin(|cos4 8 分 32| 2 3 ) 3 2sin(|2 ， 当 12 时,OAB的面积取得最大值32.10 分 23 解： （）当2m时，原不等式为2| 12| 12|xx， 2)21 () 12( , 2 1 xx x 或 2)21 (12 , 2 1 2 1 xx x 或 , 2) 12(12 , 2 1 xx x 3 分 2 1 x或 2 1 2 1 x或, 原不等式2)(xf的解集为 2 1 |xx；5 分 （）令 4 7 )( 2 xxxg，则)(xg是对称轴为 2 1 x，且开口向下的抛物线， m xxm m xxm xxm xf 1 , 2)2( , 1 2 1 ,)2( , 2 1 , 2)2( )( 有最小值，20m， ) 1 2 1 () 2 1 (mf1 2 ) 1 ( mm f，) 1 2 1 () 2 1 ()( min mfxf，8 分 2 3 ) 2 1 () 1 2 1 (gm，21m， 综上，实数m的取值范围为2 , 1 (.10 分 以上各题其他解法，请酌情赋分以上各题其他解法，请酌情赋分. .
