1、福建省福建省 2021 届高三数学适应性练习卷（一）届高三数学适应性练习卷（一） 福建省福州一中高三备课组命题福建省福州一中高三备课组命题 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1已知集合 2 0Ax xx， |1Bx x或0 x ，则 ABABAB CAB RDAB 2命题“2x ，3 1x ”的否定为 A 0 2x ， 0 31x B2x ，31x C 0 , 2x ， 0 31x D 0 , 2x ， 0 31x 3在复平面内，复数
2、i,zab a bR对应向量OZ （O为坐标原点） ，设OZr ， 以射线Ox为始边，OZ为终边的角为，则cosisinzr，法国数学家棣莫弗发 现棣莫弗定理：设 1111 cosisinzr， 2222 cosisinzr，则 1 21 21212 cosisinz zrr ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： cosisincosisin n nn zrrnn ，则 10 13i A1024 1024 3i B 1024 1024 3i C512 512 3i D512 512 3i 4已知函数 32 11 ,0 ( )32 e ,0 x xxx f x x ， ， 则 2 (3)(2 )f
3、xfx的解集为 A(, 3)(1,) B( 3,1)C(, 1)(3,) D( 1,3) 5在梯形ABCD中，/AB CD，90DAB， 2AB ，1CDAD，若点M在线 段BD上，则AM CM 的最小值为 A 3 5 B 9 20 C 3 5 - -D 9 20 6将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通 一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为 A 3 20 B 3 40 C 9 20 D 9 40 7已知F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂 线，垂足为 A，
4、与另一条渐近线交于 B，且满足3AFFB ，则双曲线的离心率为（） A3B 6 2 C2D6 8已知实数, ,a b cR，且 ln ,1 eee abc abc b ，则, ,a b c大小关系为 AabcBa cbCbcaDbac 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有有多多项符合项符合 题目要求。题目要求。全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9刘女士的网店经营坚果类食品，2020 年各月份的收入、支出（单位：百元）情况
5、的统计 如图所示，下列说法中正确的是 A4 至 5 月份收入的平均变化率与 11 至 12 月份收入的平均变化率相同 B支出最高值与支出最低值的比是5:1 C第三季度月平均收入为 5000 元 D利润最高的月份是 3 月份和 10 月份 10下列函数中是奇函数，且值域为R的为 A 3 ( )f xxB 1 ( )f xx x C( )sinf xxxD 5 ( )f xx 11嫦娥奔月是中华民族的千年梦想2020 年 12 月我国 嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回 某校 航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器 在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以 km/
6、sv的速度进入距离月球表面kmn的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点） ， 环绕周期为 st ，已知远月点到月球表面的最近距离为kmm，则 A圆形轨道的周长为2kmvtB月球半径为km 2 vt n C近月点与远月点的距离为km t mn D椭圆轨道的离心率为 mn mn 12莱布尼茨说： “音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受” 1807 年法国 数学家傅里叶指出任何乐声都是形如Asin()yt之各项之和， ( )0.03sin10000.02sin2000f ttt0.01sin3000 t的图象就可以近似表示小提琴 演奏的某音叉的声音图象，则 A 1 ( )() 500
7、f tf tB( )f t的图象关于点 1 (,0) 1000 对称 C( )f t的图象关于直线 1 2000 t 对称D( )f t在 11 , 4000 4000 单调递增 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13在各项都为正数的等比数列 n a中，已知 1 01a，其前 n 项之积为 n T，且 126 TT， 则 n T取最小值时，n的值是_ 14 如果 3 1 3 n x x 的展开式中各项系数之和为 4096， 则n的值为_， 展开式中x的 系数为_ 15抛物线 2 :2(0)C ypx p，过C焦点F的直线l与C
8、相交于 ,A B两点，且,A B在准 线上的射影分别为,M N，AFM的面积与BFN的面积互为倒数， 则MFN的面积 为 16如图，已知ABC的顶点C在平面上，点,A B在平面同一侧， 且2 3,2ACBC，若,AC BC与平面所成角分别为 5 , 124 则 ABC面积的取值范围是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （10 分）分） 已知集合|2 ,Ax xn n N，|3 , n Bx xn N，将AB中所有元素按从小 到大的顺序排列构成数列 n a，设数列
9、 n a的前 n 项和为 n S （1）若27 m a ，求 m； （2）求 50 S （18） （12 分）分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知A是锐角，cossinbAaAc （1）求角C的大小； （2）若 3 B ，延长线段AB至点D，使得3CD ，且ACD的面积为 3 3 4 ，求线 段BD的长度 （19） （12 分）分） 如图，直角三角形ABD所在的平面与半圆弧 BD所在平面相交于BD， 2ABBD， E,F分别为AD,BD的中点，C是 BD上异于B，D的点， 2EC （1）证明：平面CEF 平面BCD； （2）若C为半圆弧 BD上的一个三等分点(靠
10、近点D)，求二面角 A CEB的余弦值 （20） （12 分） 甲、乙、丙、丁四只球队进行单循环小组赛（每两个队比赛一场） ，比赛分三轮，每轮两场 比赛， 第一轮第一场甲乙比赛， 第二场丙丁比赛； 第二轮第一场甲丙比赛， 第二场乙丁比赛； 第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛规定：比赛获胜的球队记 3 分，输的球队记 0 分，打平两队各记 1 分三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决 定排名，排名前两位的队伍小组出线假设四只球队水平相当，即每场比赛双方获胜、负、 平的概率都为 1 3 （1）三轮比赛结束后甲的积分记为X，求(3)P X ； （2）若前二轮比赛结束后，甲、乙
11、、丙、丁四个球队积分分别为 3、3、0、6，问甲能小组 出线的概率 （21） （12 分）分） 已知椭圆 22 22 :+1(0) xy Cab ab ， 长轴为 4， 不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘 积为定值 1 4 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l过右焦点 2 F，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存 在，求出点D坐标，若不存在，请说明理由 （22） （12 分）分） 已知函数 sinsin2f xaxx ，aR （1）若 fx在0, 2 上有极值点，求a的取值范围； （2）若1
12、a ， 2 0, 3 x 时 cosf xbxx ，求 b 的最大值 福建省福建省 2021 届高三数学适应性练习卷（一）届高三数学适应性练习卷（一） 参考答案参考答案 一、一、选择题选择题 181D；2A；3D；4B；5B；6C；7B；8D 二、二、选择题选择题 9 ACD10 AC11 BC12 ABD 1 【解析】 2 0 xx，解得 01A，则=AB ，故选 D 2 【解析】 :,pxM p x ，那么 00 :,pxMp x，故选 A 3 【解析】 10 10 22 13i2 cosisin 33 1010 202013 2cosisin2i 3322 故选 D 4 【解析】0 x
13、时， 322 11 ,0, 32 fxxxfxxxfx在,0上单调递增， f x在0 +，上单调递增，且 0 0e ，所以 f x在+- ，上单调递增，所以原不等 式得解集即为 2 32xx 的解集，3,1x ，故选 B 5 【解析】以 A 为原点，,AB AD 为 , x y轴正方向建立平面直角坐标系，则 0,0 ,2,0 ,1,1 ,0,1ABCD由于M在线段BD上，设 2 ,01DMDB ,2 ,1,21,AMCM ,所以 53AM CM ,设 53f，由于 3 0,1 10 min 39 1020 ff ， 故选 B 6 【解析】6 人平均分成 2 组有 33 63 20CC种分法记“
14、甲乙至少一人参加指挥交通且甲丙 不在同一组”为事件 A，则 A 包含的基本事件有以下 3 种情况：甲指挥交通，乙和丙宣传 资料，有 21 31 3CC种；乙和丙指挥交通，甲宣传资料，有 12 32 3CC种；甲和乙指 挥交通，丙宣传资料，有 12 32 3CC种所以 3339 2020 P A ，故选 C 7 【解析】作 1 A与A关于x轴对称，由双曲线渐近线的对称性知 1 A在渐近线OB上，且 11 ,FAOB FAFA, 在 1 RtFAB中 ， 1 1 3 AF BF , 那 么 1 sin=, 3 OBA所 以 1 cos=, 3 BOA记tan ,0, 2 b a ，那么 2 121
15、 =2cos1,cos,tan 332 ， 则 2222222 36 2,3, 22 ab cabb ee ，故选 B 8【解析】0,1,1cab， 下面比较a与b的大小： 由1a 知0lnaa， 那么 ln ee aa aa ， 设 1 ,0, ee xx xx f xfxf x 在1,上单调递减，由 f af b知ab， 故选 D. 9 【解析】对于 A,4 至 5 月收入的平均变化率为 1030 20 54 ，11 至 12 月收入的平均变 化率为 3050 20 1211 ，故 A 正确； 对于 B,支出最高值为 60，最低值为 10，所以比值为61 ：，故 B 错误； 对于 C，第三
16、季度的平均收入为50 3 605040 ，即 5000 元，故 C 正确； 对 于 D ， 因 为 利 润 等 于 收 入 减 去 支 出 ， 所 以 1 至 12 月 的 每 月 利 润 分 别 为 ： 20,20,30,20,20,20,20,10,20,30,20,20，所以 3 月和 10 月利润最高，故 D 正确. 故选 ACD 10 【解析】对于选项 A, C，显然都是奇函数，且值域为 R，故 A、C 都正确； 对于 B，该函数是奇函数，其值域是(22,) ，,故 B 错误； 对于 D，该函数是奇函数，但是值域为0)(0,)（ ，故 D 错误. 故选 AC 11 【解析】对于 A,
17、 因为飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以svkm/ 的速度进入距离月球表面nkm的环月圆形轨道，环绕周期为ts，则可得环绕的圆形轨道周 长为vtkm，半径为km vt 2 ，故 A 错误； 对于 B，月球半径为kmn vt ) 2 ( ，故 B 正确; 对于 C，近月点于远月点的距离为kmn vt m)( ，故 C 正确； 对于 D，设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x ，则, caRm)( ,为月球的半径RcaRn， 所以22 ,amnR2,cmn所以 2 mn e mnR , 故 D 错误. 故选 BC 12 【解析】对于 A,因为 1111 ()0.03si
18、n1000 ()0.02sin2000 ()0.01sin3000 ()( ), 500500500500 f ttttf t 故 A 正确. 对于 B,因为 1111 ()0.03sin1000 ()0.02sin2000 ()0.01sin3000 ()( ) 500500500500 fttttf t ， 所以 1 ()( )0, 500 ftf t所以( )f t的图象关于 1 (,0) 1000 对称，故 B 正确. 对于 C,因为 1111 ()0.03sin1000 ()0.02sin2000 ()0.01sin3000 () 1000100010001000 ftttt 0.0
19、3sin10000.02sin20000.01sin3000( )tttf t，故 C 错误. 对于 D，( )30 cos100040 cos200030 cos3000f tttt， 1000,xt令则0, 4 x ，则( )30 cos40 cos230 cos3 ,f txxx 记 ( )3cos3cos3 ,g xxx 则 ( )3sin9sin3 ,g xxx 因为0, 4 x ，所以20,sin20, 2 xx 3 30,sin30, 4 xx 于是( )0g x， 所以 ( )g x 单调递减，( )( )0, 4 g xg 又因为cos20 x ， 所以( )0ft ， 即
20、( )f t在 4000 1 , 0 单调递增, 又因为)(tf是奇函数，所以 ( )f t在 11 , 4000 4000 单调递增，故 D 正确. 故选 ABD 三、填空题三、填空题 139；146，1215；152；163,3 13 【解析】由 126 TT知 7812 1,aaa所以 3 910 ()1aa，故 910 1aa，又因为 n a 是各项都为正数的等比数列， 1 01a， 所以1q ， 当9n1时，01 n a， 当10n 时，1 n a ，所以当9n 时， n T取最小值 9.答案为 9 14 【解析】在 3 1 3 n x x 中令1x 得44096 n ，所以6n ，
21、所以 6 3 1 3x x 展开 式 的 通 项 为 5 6 66 2 166 3 1 (3 )()3 r rrrrr r TCxCx x ， 令 5 1 2 r 6-得2r ， 所 以 6 3 1 3x x 展开式中x的系数是 26 2 6 3=1215.C 答案为 6，1215 15 【解析】设,AFxAFm BFn则 22222 111 sinsin()sin1 224 AMFBFN SSmnm n ，所 以 222 sin4m n，故 MFNAMFBFNAMNB SSSS 梯形 22 111 ()()sinsinsinsin2 222 mn mnmnmn答案为 2 16 【解析】过 C
22、 作平面的垂线l，依题意，AC,BC 分别在 以l为轴的圆锥侧面上运动， A,B 分别在两个圆周上运动， 当直 线 AC，BC,轴l在同一平面上时，ACB分别取到最大值，最 小 值 . 最 大 值 为+=, 4123 最 小 值 为=, 4126 所 以 , 6 3 ACB ， 1 sin 2 ABC SAC BCACB 1 2 32 sin2 3sin 3,3 2 ACBACB 答案为3,3 四、解答题四、解答题 17 【解析】 （1）因为27 m a ， 所以数列 n a中前 m 项中含有 A 中的元素为 2，4，6，26，共有 13 项， 数列 n a中前 m 项中含有 B 中的元素为
23、3，9，27，共有 3 项，所以16m （2）因为250100， 4 381100， 5 3243100 ， 所以数列 n a中前 50 项中含有 B 中的元素为 3，9，27，81 共有 4 项， 所以数列 n a中前 50 项中含有 A 中的元素为2 1,22,23,246，共有 46 项， 所以 50 (392781)(2 12223246)2282S 18 【解析】 （1）由cossinbAaAc及正弦定理可得sincossinsinsinBAAAC 因为sinsin()sincossincosCABABBA，所以 2 sinsincosAAB 因为A是锐角，所以sincossin()
24、 2 ABB ，所以 2 AB ，所以 2 C （2）设,BDm BCn，所以 2 3 ,2 3 ACn ABnCBD ， 2ADnm，所以 1 sin 2 3 3 4 ACD SAC ADA ， 所以(2)3nnm. 在BCD中，由余弦定理，可得 22 3mnmn 由解得1mn，即1BD 19 【解析】 （1）因为C半圆弧 BD上的一点，所以BC BD 在ABD中，,E F分别为,AD BD的中点，所以 1 1 2 EFAB，且/ /EFAB 于是在EFC中， 222 1 12EFFCEC ， 所以EFC为直角三角形，且EFFC 因为ABBD，/ /EFAB,所以EFBD 因为EFFC，EF
25、BD，BDFCF， 所以EF 平面BCD 又EF 平面CEF，所以平面CEF 平面BCD （2）由已知120BFC ，以F为坐标原点，分别以垂直于BD、向量,FD FE 所在方向 作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz， 则 3 1 (,0) 22 C ，(0,0,1)E，(0, 1,0)B，(0, 1,2)A, 31 =(,1) 22 CE ,(0,1,1)BE ,(0,1, 1)AE 设平面ACE的一个法向量为 111 (,)x y zm, 则 0 0 AE CE ， ， m m 即 11 111 0 31 0 22 yz xyz ， ， 取 1 1z ,得 3
26、 ,1,1 3 （）m 设平面BCE的法向量 222 (,)xyzn, 则 0 0 BE CE ， ， n n 即 22 222 0 31 0 22 yz xyz ， ， 取 2 1z ,得 3, 1,1（）n 所以 1105 cos,= |3521 5 3 m n m n mn ， 又二面角A CEB为锐角，所以二面角A CEB的余弦值为 105 35 20【解析】（1） 设甲的第i场比赛获胜记为(1,2,3) i A i ， 第i场比赛获平记为(1,2,3) i B i ， 第i场比赛获输记为(1,2,3) i C i ， 123123123123 (3)()()()()P XP B B
27、BP AC CP C A CP C C A 32 1114 ( )3( ) 33327 （2）分类 1：若第三轮甲胜丁，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为 6、3、0、6， 另一场比赛乙胜丙，这时甲、乙、丁积 6 分，丙积 0 分，所以要抽签决定，抽中前两名的概 率为 2 3 ，这时甲出线的概率为 2 1 12 ( ) 33 P ， 另一场比赛乙平丙或乙输丙，这时甲一定出线，甲出线的概率为 2 2 1 ( )2 3 P ， 分类 2：若第三轮甲平丁，则甲、乙、丙、丁积分变为 4、3、0、7， 另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为 4、3、3、7，甲一定出线，甲出线的概率 为 2 3 1 (
28、 ) 3 P ， 另一场比赛乙平丙，则甲、乙、丙、丁积分变为 4、4、1、7，所以要抽签决定，抽中前两 名的概率为 2 3 ，这时甲出线的概率为 2 4 11 ( ) 32 P ， 分类 3：若第三轮甲输丁，则甲、乙、丙、丁积分变为 3、3、0、9， 另一场比赛乙输丙，甲、乙、丙、丁积分变为 3、3、3、9，甲出线的概率为 2 5 11 ( ) 33 P ， 甲出线的概率为 12345 1 = 2 PPPPPP. 21 【解析】 （1）由题意可知，2, 42aa 设点 2211 ,yxByxA，BA,在椭圆上，所以 22 11 22 1 xy ab ,1 2 2 2 2 2 2 b y a x
29、 , 所以 12121212 22 0 xxxxyyyy ab ，所以 2 1212 2 1212 yyyya xxxxb 因为 1 . 4 ABOM kk ，所以 2112 2112 1 . 4 yyyy xxxx ，所以 2 2 1 4 b a ，所以 2 3b 所以椭圆 C 方程为 2 2 1 4 x y （2） 2 3,0F，设直线 3lyk x；，联立方程得 2222 148 31240kxk xk， 所以 22 1212 22 8 3124 , 1414 kk xxx x kk ，所以 2 22 4 33 , 1414 kk M kk 假设存在点D，则MD的直线方程为 2 22 3
30、14 3 () 1414 kk yx kkk ，所以 2 3 3 0 14 k D k ， 2 2 12 2 4(1) 1 14 k ABkxx k ， 2 2 222 4 31 14 3 10 1414 kk k MD kkk ， 若ABD为等边三角形，则 3 2 MDAB ， 即 2 2 34(1) 214 k k 2 2 4 31 14 kk k ，解得 2 1 3 k ，此时 2 3 39 147 k k ， 所以存在点 9 0, 7 D ，使得ABD为等边三角形 22 【解析】 （1） 2 ( )cos2cos24coscos2fxaxxxax， 依题意，( )fx 有变号零点，令c
31、osxt，则(0,1)t， 所以 2 ( )420g ttat在(0,1)有实根，注意到0 ， 所以(0)(1)0gg，解得2a （2）1a ， sinsin2f xxx， 当 2 x 时， 0f x ，cos0bxx ，所以 cosf xbxx成立， 当 0, 2 x 时，cos0 x ，所以tan2sinxxbx， 记( )tan2sinh xxxbx，则( )0h x 恒成立， 2 1 ( )2cos cos h xx b x ， 3 33 2sin2sin (1 cos) ( )2sin0 coscos xxx h xx xx ， ( )h x在(0,) 2 单调递增，(0)3hb ，
32、 若3b ，则(0)0 h ，记 1 cos,0, 2b ，则 22 0hbb bb ， 所以存在 0 0,x，使得 0 0h x，当 0 0,xx时，( )0h x，( )h x单调递减， 所以 0 0,xx时，( )(0)0h xh，不符题意， 当3b 时，( )(0)0h xh ，即0, 2 x 时，( )h x单调递增， 所以，( )(0)0h xh，符合题意， 当, 2 3 x 时，( )sin2sin cossin1 2cosf xxxxxx， 由 2 2cos12cos10 3 x ，sin0 x ，所以( )0f x ， 而3b 时，cos0bxx ，所以( )cosf xbxx成立， 综上所述，b的最大值为3
