1、（新（新高考高考）20212021 届届高三第高三第三三次模拟检测卷次模拟检测卷 数数 学（学（一一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题
2、每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 1 1 Ay y x ，集合 x By ye，则AB R I（） AB 0 C0,D,0 2设aR，则“2a ”是“ 2 320aa ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3已知复数z满足 2 7 6i 4 z （i为虚数单位） ，且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z 的虚部为（） A2iB3 C 3 2 D 3 i 2 4设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 11a ， 46 6a
3、a ，则下列结论正确的是（） A当且仅当6n 时， n S取最小值B当且仅当6n 时， n S取最大值 C当且仅当7n 时， n S取最小值D当且仅当7n 时， n S取最大值 5若向量(1,2)a，(0,1)b，且k ab与2ab共线，则实数k的值为（） A1B 1 2 C1D2 6把 5 名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有 1 名志愿 者的分法有（） A14 种B35 种C70 种D100 种 7若不等式 2 1634xaxxa对任意 2,4a 成立，则x的取值范围为（） A , 83, B,01, C8,6D0,3 8已知函数 fx是定义在R上的偶函数
4、，满足 1f xf x ，当0,1x时， cos 2 f xx，则函数 yf xx的零点个数是（） A2B3C4D5 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9已知函数( )sinf xx和( )cosg xx，则下列正确的是（） A( )f x的图象可由( )g x的图象向右平移 2 个单位得到 B 3 , 4 x 时，( )( )
5、g xf x C( )( )( )h xf xg x的对称轴方程为 4 xkk Z D若动直线xa与函数( )sinf xx和( )cosg xx的图象分别交于M，M两点，则MN的 最大值为 2 10在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC的面积为 S，下列ABC有 关的结论，正确的是（） A若ABC为锐角三角形，则sincosAB B若ab，则cos2cos2AB C 2 4sinsinsinSRABC，其中R为ABC外接圆的半径 D若ABC为非直角三角形，则tantantantantantanABCABC 11已知实数x，y满足方程 22 410 xyx 则下列选项
6、正确的是（） A 1 y x 的最大值是 2 2 B 1 y x 的最大值是 3 C过点1,2作 22 410 xyx 的切线，则切线方程为210 xy D过点1,2作 22 410 xyx 的切线，则切线方程为210 xy 12关于函数 2 lnf xx x ，下列说法正确的是（） A 0 2x 是 fx的极小值点 B函数 yf xx有且只有 1 个零点 C存在正整数k，使得 f xkx恒成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 12 f xf x，则 12 4xx 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13
7、设i为虚数单位，则 6 ix的展开式中含 4 x的项为_ 14函数 2 2 sincos2 ( ) 2cos xxxx f x xx 的图象关于点_成中心对称，记函数的最大值为M， 最小值为N，则MN_ 15 已知直线8:20kxylk过定点P， 过点P向圆 22 :1O xy作切线， 切点分别为,A B， 则弦AB所在的直线方程为_ 16已知正三棱柱 111 ABCABC的体积为2 3， 2AB ，过点B的平面与平面 1 ABC无公共 点，则三棱柱 111 ABCABC在平面内的正投影面积为_ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出
8、文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC中，D 为 AC 边上一点，3CD ，8BC ，7BD （1）求sinBDC的值； （2）若60A，求 AD 的长 18 （12 分）已知正项数列 n a的前n项和为 1 ,2 n SS ， 11 22 nnnn aaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若2 n a n bn，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角 形， 2ADAB ，45BCD，面PBC 面ABCD，E、F分别为BC、CD的中点 （1）
9、证明：面PEF 面PAB； （2）求面PEF与面PAD所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）2021 年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆 8 省市将迎来“3 12 ” 新高考模式“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一 科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种为了迎接新高考，某中学调查了 高一年级 1500 名学生的选科倾向，随机抽取了 100 人统计选考科目人数如下表： 选考物理选考历史共计 男生4050 女生 共计30 （1）补全2 2列联表； （2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的 3 名学生设这
10、 3 人中选考历史的人数 为X，求X的分布列及数学期望； （3）根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由 参考附表： 2 P Kk0.1000.0500.025 k2.7063.8415.024 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 21 （12 分）已知等轴双曲线的顶点 1 2,0F ， 2 2,0F分别是椭圆C的左、右焦点，且 4 3 3 x 是椭圆与双曲线某个交点的横坐标 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的上顶点M，求证：直 线l恒过定点 22 （12 分）设函数
11、 2 2ln1f xxmx （1）当 fx有极值时，若存在 0 x，使得 0 1f xm成立，求实数m的取值范围； （2）当1m 时，若在 fx定义域内存在两实数 12 xx，满足 12 xx且 12 f xf x，证明： 12 2xx （新高考）2021 届高三第三次模拟检测卷 数数 学（学（一一）答答 案案 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 【答案】A 【解析】由函数 1 1 y x 的值域为 ,00,
12、，可知 ,00,A ，则 0A R ； 由函数 x ye的值域为0,，可知0,B 所以 00,AB R ，故选 A 2 【答案】B 【解析】解不等式 2 320aa ，得12a， 因为1,2,2，所以“2a ”是“ 2 320aa ”的必要不充分条件，故选 B 3 【答案】C 【解析】设i( ,)zab a bR，则 222 7 2i6i 4 zabab，可得 22 7 4 26 ab ab ， 因为0a ，0b ，解得2a ， 3 2 b ，所以 3 2i 2 z ，则 3 2i 2 z 故选 C 4 【答案】A 【解析】因为 546 26aaa ，则 5 3a ，从而 51 2 4 aa
13、d ， 因此该等差数列是递增数列，所以112(1)213 n ann 由0 n a ，得 13 6.5 2 n ，则数列 n a的前 6 项为负数，从第 7 项起为正数， 所以当且仅当6n 时， n S取最小值，故选 A 5 【答案】B 【解析】(1,2)a，(0,1)b， 1,20,1,21kkkkab，21,22 0,11,4ab， k ab与2ab共线， 4210kk ，解得 1 2 k ，故选 B 6 【答案】C 【解析】甲社区恰有 1 名志愿者有 1 5 C种，对其余 4 人先分组，再分配 其余 4 人的分组有“3 和 1”及“2 和 2”两种分法： （1）按“3 和 1”分组，有
14、31 41 CC； （2）按“2 和 2”分组，有 22 42 2 2 CC A ； 故甲社区恰有 1 名志愿者的分法有 22 1312 42 5412 2 2 CC CCCA543270 A ，故选 C 7 【答案】A 【解析】由题得不等式 2 (4)3160 xaxx对任意2,4a 成立， 所以 2 2 (4)( 2)3160 (4)43160 xxx xxx ，即 2 2 5240 0 xx xx ，解得3x 或8x ， 故选 A 8 【答案】A 【解析】 1f xf x ， 21f xf xf xf x ， 2f xf x，即函数 fx是周期2T 的周期函数 又函数 fx是定义在R上的
15、偶函数，且0,1x时， cos 2 f xx， 当 1,0)x 时， ( )()cos()cos 22 f xfxxx， 令 0f xx，则函数 yf xx的零点个数即为函数 yf x和 g xx的图象交点个数， 分别作出函数 yf x和 g xx的图象，如下图， 显然 fx与 g x在 1,0)上有 1 个交点，在0,1上有一个交点， 当1x 时， 1g x ，而 1f x ， 所以1x 或1x 时， fx与 g x无交点 综上，函数 yf x和 g xx的图象交点个数为 2，即函数 yf xx的零点个数是 2 故选 A 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小
16、题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项符合题多项符合题 目要求目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】ABD 【解析】对 A，( )cosg xx的图象向右平移 2 个单位得到 cossin 2 yxxf x ， 故 A 正确； 对 B，当 3 , 4 x 时， 2 ( )1 2 g x ， 2 0( ) 2 f x ，即( )( )g xf x，故 B 正确； 对 C， ( )( )( )sincos2sin 4 h xf xg xxxx ， 令 ,
17、 42 xkkZ，解得 4 xkkZ， 即对称轴为 4 xkkZ，故 C 错误； 对 D， sincos2sin 4 MNxxx ，则MN的最大值为 2，故 D 正确， 故选 ABD 10 【答案】ABD 【解析】对于 A 中，若ABC为锐角三角形，可得 2 AB且 ,(0,) 2 A B， 可得 2 AB，且 (0,) 22 B， 根据正弦函数的单调性，可得 sinsin() 2 AB，所以sincosAB，所以 A 正确； 对于 B 中，在ABC中，由ab，根据正弦定理可得sinsinAB， 则 22 sinsinAB ，可得 1 cos21 cos2 22 AB ，解得cos2cos2A
18、B，所以 B 正确； 对于 C 中，由三角形的面积公式，可得in 1 2 sSabC， 由正弦定理知2 sinaRA，2 sinbRB，可得 2 2sinsinsinSRABC，所以 C 不正确； 对于 D 中，在ABC中，可得ABC，则ABC， 所以tan()tan()ABC，即 tantan tan 1 tantan AB C AB ， 可得tantantantantantanABCABC ， 则tantantantantantanABCABC，所以 D 正确， 故选 ABD 11 【答案】AD 【解析】对于 AB，设 1 y k x ，即1yk x， 由圆心2,0到直线1yk x的距离等
19、于半径时，直线与圆相切， 即 2 3 3 1 k k ，解得 2 1 2 k ， 即 max 2 2 k ， min 2 2 k ，即 1 y x 的最大值是 2 2 ，故 A 正确，B 错误； 对于 CD，显然点1,2在圆 22 (2)3xy上，过1,2与圆心2,0的直线斜率为 2k ，由切 线性质知，切线斜率 2 2 k ， 所以切线方程为 2 2(1) 2 yx ，整理得210 xy ，故 C 错误，D 正确， 故选 AD 12 【答案】ABD 【解析】对于 A 选项，函数的定义域为0,，函数的导数 22 212x fx xxx ， 0,2x时， 0fx ，函数 fx单调递减； 2,x时
20、， 0fx ，函数 fx单调递增， 2x 是 fx的极小值点，故 A 正确； 对于 B 选项， 2 lnyf xxxx x ， 2 22 17 2124 10 x y xxx ， 函数在0,上单调递减， 又 112ln1 110f ， 221 ln220f ， 函数 yf xx有且只有 1 个零点，故 B 正确； 对于 C 选项，若 f xkx，可得 2 2lnf xx k xxx ， 令 2 2ln x g x xx ，则 3 4lnxxx gx x ， 令 4lnh xxxx ，则 lnh xx ， 在0,1x上， 0h x ，函数 h x单调递增； 1,x上， 0h x ，函数 h x单
21、调递减， 130h xh ， 0gx ， 2 2ln x g x xx 在0,上函数单调递减，函数无最小值， 不存在正实数k，使得 f xkx成立，故 C 错误； 对于 D 选项，由 12 xx， 12 f xf x，结合 A 选项可知 1 2x ， 2 02x， 要证 12 4xx，即证 12 4xx，且 12 42xx， 由函数 fx在2,x是单调递增函数，所以有 12 4xffx， 由于 12 f xf x，所以 22 4xffx， 即证明 4,0,2f xfxx， 令 22 4lnln 4,0,2 4 m xfxfxxxx xx ， 则 2 2 2 82 0 4 x m x xx ，所
22、以 m x在0,2是单调递减函数， 所以 20m xm，即 4,0,2f xfxx成立， 故 12 4xx成立，所以 D 正确， 故选 ABD 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】 4 15x 【解析】 6 ix的展开式的通项公式为 6 16 Ci ,0,1,2,6 rr r r Txr ， 令64r ，则 2r = =， 此时 24 24 36 Ci15Txx ，即含 4 x的项为 4 15x ， 故答案为 4 15x 14 【答案】(0,1)，2 【解析】 2 sin ( )1 2cos xx f x xx ，记
23、 2 sin ( ) 2cos xx g x xx ， 22 sin()sin ()( ) 2()cos()2cos xxxx gxg x xxxx ， ( )g x是奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)中心对称， 则( )g x的最大值和最小值之和为0， 把( )g x的图象向上平移一个单位得到( )( ) 1f xg x的图象， 即( )f x的图象关于点(0,1)对称，且0 1 12MN 故答案为(0,1)，2 15 【答案】8210 xy 【解析】820kxykQ，820k xy， 由 80 20 x y ，得 8 2 x y ，8,2P PAOA，PBOB，点, , ,O A P B
24、四点共圆，且圆心C为OP的中点， 弦AB是圆O和圆C的公共弦， 又 80 20 , 22 C ，即4,1C ，且圆C的半径17 2 OP R ， 圆 2 22 41:17xyC， 又圆 22 :1O xy， 由，得弦AB所在直线方程为8210 xy ， 故答案为8210 xy 16 【答案】 11 7 7 【解析】依题意 2 1 3 2 3 4 ABAA ，解得 1 2AA ， 由题意得平面/平面 1 ABC 由于投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以就以平面 1 ABC为投影面 如图，构造四棱柱 1111 ACDEAC D E，作 11 C NCD， 11 AMAE， 连接 1 B M，
25、1 B N， 易得 1 C N 平面 11 CAE D， 1 AM 平面 11 CAE D， 则五边形 1 B MACN即为三棱柱 111 ABCABC在平面内的正投影 要计算的投影的面积即为图所示图形的面积， 由题知 11 3C D ， 1 2C C ， 在 11 C DCRt中，又 1 C NCD，可得 1 3 7 7 D N ， 4 7 7 CN ， 故所求正投影的面积为 13 74 711 7 22 2777 ，故答案为 11 7 7 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过
26、程或演算步骤 17 【答案】 （1） 4 3 7 ； （2）5 【解析】 （1）在BCD中，据余弦定理，有 222 7381 cos 2 7 37 BDC 又0BDC ，所以 2 14 3 sin= 1 77 BDC （2）因为BDCAABD ，则60ABDBDC ， 所以 4 31135 3 sinsin60 727214 ABDBDC 在ABD中，据正弦定理，有 sinsin ADBD ABDBAD ， 所以 5 3 7 sin 14 5 sin3 2 BDABD AD BAD 18 【答案】 （1）2 n an； （2） 1 31 44 99 n n n T 【解析】 （1）因为在正项数
27、列 n a中， 11 22 nnnn aaaa ， 可得 22 11 20 nnnn aaaa ，即 11 20 nnnn aaaa ， 又因为 1 0 nn aa ，所以 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是公差为 2 的等差数列， 又 11 2aS，所以2212 n ann （2）由（1）知， 2 24 nn n bnn， 所以 23 1 42 43 44n n Tn ， 所以 2341 41 42 43 41 44 nn n Tnn ， 所以 23111 4 14 14 34444444 1433 n nnnn n Tnnn ， 所以 1 31 44 99 n n n T 19 【
28、答案】 （1）证明见解析； （2） 6 4 【解析】 （1）设2AB ，则 2 2AD ，1CF ， 2CE ， 122 12cos451EF ， 222 CFEFCE ， EFCF 在等边三角形PBC中，E为BC的中点，PEBC， 面PBC 面ABCD，PE 面PBC，面PBC 面ABCDBC， PE 面ABCD CD 面ABCD，PECD EFCD，EFPEE，CD 面PEF /AB CD，AB 面PEF， AB面PAB，面PEF 面PAB （2）由（1）知2BD ，DEBC，以E为坐标原点，ED、EC、EP分别为x、y、z轴 建立空间直角坐标系， 则(0,0, 6)P，( 2,0,0)D
29、，(0,2,0)C，( 2, 2 2,0)A， 22 ,0 22 F ， (0,2 2,0)AD ，(2,0,6)DP 设面PAD的法向量为( , , )x y zm， 2 20 260 y xz ，取1z ，得 3x ，0y ，( 3,0,1)m， 面PEF的法向量为( 2,2,0)CD ， 66 cos, 2 24 CD m ， 面PEF与面PAD所成锐二面角的余弦值为 6 4 20 【答案】 （1）见解析； （2）分布列见解析， 9 10 ； （3）有95%的把握认为，详见解析 【解析】 （1）根据题意补全2 2列联表，如下： 选考物理选考历史共计 男生401050 女生302050 共
30、计7030100 （2）X的所有可能取值为 0，1，2，3，随机变量X服从二项分布， 由题意，学生选考历史的概率为 3 10 ，且 3 3,10XB ， 3 0 3 7343 0C 101000 P X ， 12 1 3 37441 1C 10101000 P X ， 21 2 3 37189 2C 10101000 P X ， 3 3 3 327 3C 101000 P X ， X的分布列为 X0123 P 343 1000 441 1000 189 1000 27 1000 39 3 1010 E X （3）由表中数据，计算 2 K的观测值 2 10040 20 10 30 4.7623.
31、841 50 50 70 30 k ， 参照附表知，有95%的把握认为“选考物理与性别有关” 21 【答案】 （1） 22 1 84 xy ； （2）证明见解析 【解析】 （1）由已知可得双曲线方程为 22 1 44 xy 4 3 3 x ，交点为 4 32 3 , 33 设椭圆C的方程为 22 22 1 4 xy bb ，代入 4 32 3 , 33 ，得 2 4b ， 椭圆C的方程为 22 1 84 xy （2）证明：显然直线l与x轴不垂直 设直线:2l ykxm m与椭圆 22 1 84 : x C y 相交于 11 ,A x y， 22 ,B xy， 由 22 1 84 ykxm xy
32、 ，得 222 214280kxkmxm， 12 2 4 21 km xx k ， 2 12 2 28 21 m x x k 90AMB， 1122 ,2,20 x yxy， 即 1212 220 x xyy， 121212 240 x xy yyy， 121212 240 x xkxmkxmkxmkxm， 整理得 2 2 1212 1220kx xk mxxm， 即 2 2 2 22 284 1220 2121 mkm kk mm kk 2m， 222 21242120kmk mkm， 整理得320m， 2 3 m ， 直线l恒过定点 2 0, 3 22 【答案】 （1）0,1； （2）证明
33、见解析 【解析】 （1） fx定义域为0,， 2 22 21fxmxmx xx ， 当0m 时， 0fx ，即 fx在0,上单调递增，不合题意， 0m； 令 2 10mx ，解得 1 x m 当 1 0,x m 时， 0fx ；当 1 ,x m 时， 0fx ， f x在 1 0, m 上单调递增，在 1 , m 上单调递减， max 1 f xf m ， 存在 0 x，使得 0 1f xm成立，则 max1mf x ，即 1 1mf m ， 又 111 2ln1lnfmm mmm ， 1lnmm ，即ln10mm ， 令 ln1h mmm，则 11 10 m h m mm ， h m在0,上
34、单调递增， 又 ln1 1011h ，01m ， 即实数m的取值范围为0,1 （2）当1m 时， 2 2ln1f xxx，则 2 2 2 1 222 2 x x fxx xxx ， 当0,1x时， 0fx；当1,x时， 0fx， f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减， 由 12 xx且 12 f xf x，知 12 01xx ， 令 2F xf xfx，0,1x， 则 2 22 2 12 2 1 41 20 22 x x x Fxx xxxx ， F x在0,1上单调递增， 10F xF，即 2f xfx， 11 2f xfx， 又 12 f xf x， 21 2f xfx； 1 0,1x ， 1 21,2x ， 又 2 1x且 fx在1,上单调递减， 21 2xx，即 12 2xx
