1、（新高考）2021 届高三第一次模拟考试卷 数数 学（学（一一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040
2、分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 1 |1Ax x ， |lg(3)Bx yx，则（） A(,1)AB B(0,3)AB CAB R D()1,)AB R 2若复数z满足(1 i)1 2iz ，则z （） A 2 2 B 3 2 C 10 2 D 1 2 3某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为 2 3 ，并在扇形弧上正面等距安装7分发彩色 光的小灯泡且在背面用导线相邻（弧的两端各一个，导线接头忽略不计） 已知扇形的半径为30厘 米，则连接导线大致需要的长度最小为（） A58厘米B63厘米C69厘米D76
3、厘米 4已知a，b R，“1ab ”是“2ab”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分古人认为，天下万物皆由金、 木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木，水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系 若 从这五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为（） A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 1 2 6函数 2 ( )sinf xxx的图像大致为（） AB CD 7已知函数 2 ( )sincosf xxx（0, xa）的值域为 5 1, 4 ，则实数a的取值范围是（） A (0, 6 B
4、 (0, 3 C , 6 2 D , 3 2 8已知抛物线 2 4yx上有三点A，B，C，直线AB，BC，CA的斜率分别为3，6，2， 则ABC的重心坐标为（） A 14 (,1) 9 B 14 (,0) 9 C 14 (,0) 27 D 14 (,1) 27 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 “悦跑圈”是一款社交型的跑步应
5、用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况某人根 据2019年1月至2019年11月每月跑步的里程（十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线 图，下列结论正确的是（） 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 A月跑步里程数逐月增加 B月跑步里程数的最大值出现在9月 C月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数 D1月至5月的月跑步里程数相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 10在增删算法统宗中有这样一则故事： “三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半， 如此六日过其关 ”则下列说法正确的是（） A此人第三天走了四十八里路 B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C
6、此人第二天走的路程占全程的 1 4 D此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍 11如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，22ABADDC，E为BC边上一点， 且 3BCEC ，F为AE的中点，则（） A 1 2 BCABAD B 11 33 AFABAD C 21 33 BFABAD D 12 63 CFABAD 12已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，( )(1) x f xex，则下列命题正确的是 （） A当0 x 时，( )(1) x f xex B函数( )f x有3个零点 C函数( )0f x 的解集为(, 1)(0,1) D 1 x， 2 x
7、R，都有 12 ()()2f xf x 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13已知(1,2)a，(0, 3)b，则向量b在向量a方向上的投影为 14一般都认为九章算术是中国现存最古老的数学著作然而，在1983年底到1984年初，荆 州城西门外约1.5千米的张家山247号墓出土的算数书 ，比现有传本九章算术还早二百年有 某高校数学系博土研究生5人，现每人可以从算数书 九章算术 周髀算经 孙子算经 术 五部著作（每部著作有多本）中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有 种 （请用数字作答） 15已知 525 01
8、25 (3)(1)(1)(1)xaa xaxa x，则 135 aaa 16如图，直线l 平面，垂足为O，三棱锥ABCD的底面边长为和侧棱长都为4，点C在平 面内，点B是直线l上的动点，则点B到平面ACD的距离为，点O到直线AD上的距离 的最大值为 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在 21 1 2 n nn a a ， 1 2 nn Ska， 2 2 nn Sannk这三个条件中任选一个， 补充至横线上若问题中的正整数m存在，求出m的值；若m不
9、存在，请说明理由 已知数列 n a中 1 1a ，其前n项和为 n S，且，是否存在正整数m，使得 m S， 1m S ， 2m S 构成等差数列？ 18 （12 分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ()sinsinsinabAcCbB （1）求角C； （2）若 1 2 ADAB ，2c ，求CD的最大值 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO 平面 ABCD，E为BC的中点 （1）求证：平面PAC 平面PBD； （2）若3PE ，求二面角DPEB的余弦值 20 （12 分）今年1月至2月由新型冠状病毒感染的新冠肺炎病
10、例陡然增多，为了严控疫情传播，做 好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人这100人 中确诊患新冠肺炎的有10人，其中50岁以下的占 3 10 （1） 请将下面的22列联表补充完整， 并判断是否有95%的把握认为确诊患新冠肺炎与年龄有关； （2）为了研究新型冠状病毒的传染源和传播方式，从10名确诊人员中随机抽出5人继续进行血清 的研究，X表示被抽取的5人中50岁以下的人数，求X的分布列以及数学期望 参考表： 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 21 （12 分）设椭圆 22 22 :1(
11、0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为e，动点 00 (,)P xy在椭圆C上运动，当 2 PFx轴， 0 1x ， 0 ye （1）求椭圆C的标准方程； （2） 延长 1 PF， 2 PF， 分别交椭圆C于A，B（A，B不重合） 两点 设 11 AFFP ， 22 BFF P ， 求的最小值 22 （12 分）设函数 2 ( )2ln(1)f xxxax （1）讨论( )f x的单调性； （2）设( )( ) x g xf xe，若 1 ( ) 1 g x x 在(0,)上恒成立，求实数a的取值范围 （新高考）2021 届高三第一次模拟考试卷 数数 学（学（
12、一一）答答 案案 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 【答案】C 【解析】由题意得 |01Axx， |3Bx x， (0,1)AB ，(,3)AB ，AB R ，()3,)AB R ， 故 A，B，D 选项错误，C 选项正确， 故选 C 2 【答案】C 【解析】 1 2i(1 2i)(1 i)3i3i 1 i(1 i)(1 i)222 z ， 3i 22 z ， 22 3110 ( )() 222 z ，故选
13、 C 3 【答案】B 【解析】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为 2 302063 3 （厘米） ，故选 B 4 【答案】A 【解析】方法一：对a，b R，有 22 2abab，当且仅当ab时，等号成立， 2 ()4abab 1ab ， 2 ()4ab，2ab，“1ab ”是“2ab”的充分条件； 反之，若2ab，如 1 3 a ，2b ，1ab， “1ab ”不是“2ab”的必要条件，故选 A 方法二：在平面直角坐标系中作出直线2ab和曲线 1 b a ，a，b R，如图 则1ab 表示的平面区域为曲线 1 b a
14、在第一象限右上方的部分， 2ab表示的平面区域为直线2ab在第一象限右上方的部分 1ab 表示的平面区域是2ab表示的平面区域的真子集，即为充分不必要条件， 故选 A 5 【答案】D 【解析】从金、木、水、火、土五类元素中任取两类，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、 木土、水火、水土、火土，10种结果， 其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土，共5种结果， 所以两类元素相生的概率为 51 102 ，故选 D 6 【答案】B 【解析】由题意，知 22 ()()() sin()sin( )fxxxxxxxf x ，( )f x是偶函数，排除 D 选项； 当0 x 时，( )2sin
15、cos(sin )(1cos )0fxxxxxxxxx ，所以( )f x在(0,)上单 调递增，排除 A，C 选项， 故选 B 7 【答案】D 【解析】 22 15 ( )1 coscos(cos) 24 f xxxx ，0, xa， 令costx， 2 155 ( )()1, 244 g tt ，且当 1 2 t 时， 5 ( ) 4 g t ， 令( )1g t ，得0t 或1t 由0, xa可知，当0 x 时，1t ，结合( )g t的图像（图略） ， 当01t 时， 5 ( )1, 4 g t ， 1 0cos 2 a， , 3 2 a故选 D 8 【答案】C 【解析】设 11 (
16、,)A x y， 22 (,)B xy， 33 (,)C xy， 则 1212 22 121212 4 3 44 AB yyyy k yyxxyy ，得 12 4 3 yy， 同理 23 42 63 yy， 31 4 2 2 yy ，得 123 0yyy 再与结合，解得 1 2 3 y ， 2 2y ， 3 4 3 y ， 2 1 1 1 49 y x ， 2 2 2 1 4 y x ， 2 3 3 4 49 y x ，则 123 14 327 xxx ， 故所求重心的坐标为 14 (,0) 27 ，故选 C 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分
17、分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】BCD 【解析】根据折线图可知，2月跑步里程数比1月小，7月跑步里程数比6月小，10月跑步里程数 比9月小，A 选项错误； 根据折线图可知，9月的跑步里程数最大，B 选项正确； 一共11个月份，将月跑步里程数从小到大排列，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应 的里程数，C 选项正确； 根据折线图可知 D 选项正确， 故选 BCD 10 【答案】ABD 【解析
18、】设此人第n天走 n a里路，则数列 n a是首项为 1 a，公比 1 2 q 的等比数列 所以 6 6 1 1 6 1 1 ( ) (1) 2 378 1 1 1 2 a aq S q ，解得 1 192a ， 则 2 31 1 19248 4 aa q，所以 A 正确； 易得 61 378 192186Sa，而192 1866，所以 B 正确； 21 1 19296 2 aa q，而 1 37894.596 4 ，所以 C 不正确； 2 1231 11 (1)192 (1)336 24 aaaaqq， 则 456 37833642aaa，而42 8336 ，所以 D 正确， 故选 ABD
19、11 【答案】ABC 【解析】 11 22 BCBAADDCABADABABAD ，A 正确； 1111211 () 2222323 AFAEABBEABBCABBC 11111 () 23233 ABABADABAD ，B 正确； 1121 3333 BFBAAFABABADABAD ，C 正确； 11112 23363 CFCDDAAFABADABADABAD ，D 不正确， 故选 ABC 12 【答案】BCD 【解析】函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，( )(1) x f xex， 当0 x 时，0 x ，则()(1) x fxex ，( )()(1) x f xfxe
20、x 当0 x 时，(0)0f， (1),0 ( )0,0 (1),0 x x exx f xx exx 令( )0f x ，可得1x 或0 x 或1x ，函数( )f x有三个零点0，1，1 因此 A 不正确，B 正确； 当0 x 时，( )(1) x f xex，( )(2) x fxex， 可得函数( )f x在(, 2) 上单调递减，在( 2,0)上单调递增， 且在2x 时，函数( )f x取得极小值 2 ( 2)fe 根据奇函数图像的对称性作出函数( )f x的图像，如图 结合图像可得，函数( )0f x 的解集为(, 1)(0,1) 1 x， 2 x R，都有 12 ()()(0 )
21、(0 )2f xf xff ，因此 C，D 正确， 故选 BCD 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】 6 【解析】向量b在向量a方向上的投影为 03 2 cos,6 3 a b ba b a 14 【答案】1500 【解析】 方法一： 由题意得， 恰有两部没有任何人选择的情况共有 1122 3 5453 5 22 22 C CC C () A1500 AA （种） 方法二：根据题意，得从五部著作中选择三部著作的情况有 3 5 C种， 然后每个人有放回地依次选择一部，则有 5 3种情况 但其中他们选择同一部著作的情况
22、有 1 3 C种，恰好选择两部著作的情况有 251 32 C (2C )种， 所以恰有两部没有任何人选择的情况共有 351251 5332 C 3CC (2C )1500（种） 15 【答案】121 【解析】令2x ，得 012345 1aaaaaa， 令0 x ，得 5 012345 3243aaaaaa，所以 135 1243 121 2 aaa 16 【答案】 4 6 3 ，2 2 2 【解析】由题意可知，三棱锥ABCD为正四面体，ACD的边长为4， 则任一边的中线长为 3 4 2 ，点B到平面ACD的距离为 22 234 6 4(4) 323 易知点O是以BC为直径的球面上的点，则点O
23、到直线AD的距离是以BC为直径的球面上的点到 AD的距离，最大距离为分别过BC和AD的两个平行平面间的距离加球的半径 如图，在三棱锥ABCD中，分别取BC，AD的中点E，F， 连接BF，CF，EF，则BFCF，EFBC， 同理可得EFAD，分别过点E，F作EMAD，FNBC，直线BC，EM确定平面， 直线AD，FN确定平面， 则EFFN，FNADF，EF， 同理可证EF，EF的长为两平行平面间的距离 1642 3CF ， 1242 2EF ， 点O到直线AD的最大距离为2 2 2 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过
24、程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】见解析 【解析】若选择条件 21 1 2 n nn a a ，则 21 12 2 n nn aa 两式相除得到 2 4 n n a a ， 所以数列 n a的奇数项和偶数项分别构成公比为4的等比数列 因为 1 1a ，所以 3 4a 因为 12 2a a ，所以 2 2a ，因此 1 a， 2 a， 3 a成等比数列 故数列 n a是等比数列，且公比为2，所以 1 2n n a ， 所以21 n n S ，则21 m m S， 1 1 21 m m S ， 2 2 21 m m S 若 m S， 1m S ， 2m S 构成等差
25、数列，则 12 2(21)(21)(21) mmm ， 整理得20 m ，此方程无解， 所以不存在正整数m，使得 m S， 1m S ， 2m S 构成等差数列 若选择条件 1 2 nn Ska 因为 1 1a ，所以 1 1 2 k，则 3 2 k ，所以 31 22 nn Sa， 当2n时， 11 31 22 nn Sa 两式相减，得 1 33 22 nnn aaa ，于是 1 3 n n a a ， 所以数列 n a是首项为1，公比为3的等比数列，因此 1 3n n a ， 1 (31) 2 n n S 若 m S， 1m S ， 2m S 构成等差数列，则 12 111 2(31)(3
26、1)(31) 222 mmm 整理，得4 30 m ，此方程无解， 所以不存在正整数m，使得 m S， 1m S ， 2m S 构成等差数列 若选择条件 2 2 nn Sannk 因为 1 1a ，所以1 1 1 2k ，则1k ，因此 2 21 nn Sann 当2n时， 2 11 (1)2(1)1 nn Sann 两式相减，得 1 23 nnn aaan ， 于是 1 23 n an ，所以21 n an 当1n 时， 1 2 1 11a ，成立于是数列 n a是等差数列，且 2 n Sn 若 m S， 1m S ， 2m S 构成等差数列，则 222 2(1)(2)mmm，此方程无解，
27、所以不存在正整数m，使得 m S， 1m S ， 2m S 构成等差数列 18 【答案】 （1） 3 C ； （2） 3 【解析】 （1）由()sinsinsinabAcCbB， 根据正弦定理，得 22 ()ab acb，即 222 abcab ， 根据余弦定理，得 222 1 cos 22 abc C ab ， 又(0,)C， 3 C （2）由 1 2 ADAB 可知，D是AB的中点，如图 在ACD中， 222 2cosACADCDAD CDADC ， 即 22 12cosbCDCDADC 在BCD中， 222 2cosBCBDCDBD CDBDC ， 即 22 12cosaCDCDBDC
28、又ADCBDC，coscosADCBDC ， 222 1 () 1 2 CDab 由（1）及2c ，得 22 22 4 2 ab abab ，当且仅当2ab时，等号成立 22 1 ()4 2 ab，则 222 1 () 13 2 CDab CD的最大值为 3 19 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 29 29 【解析】 （1）四边形ABCD为正方形，ACBD， PO 平面ABCD，AC 平面ABCD，POAC， OP，BD 平面PBD，且OPBDO，AC 平面PBD， AC 平面PAC，平面PAC 平面PBD （2）取AB的中点M，连接OM，OE，易知OM，OE，OP两两垂直， 如图，
29、分别以OM，OE，OP所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz 在POERt中，2OE ，3PE ， 5PO ， (2,2,0)B，( 2, 2,0)D ，(0,0, 5)P，(0,2,0)E 设平面PBE的法向量为 111 ( ,)x y zm， ( 2,0,0)BE ，(0,2,5)PE ， 由 0 0 BE PE m m ，得 1 11 0 250 x yz ，取(0, 5,2)m； 设平面PDE的法向量为 222 (,)xy zn， (2,4,0)DE ，(0,2,5)PE ， 由 0 0 DE PE n n ，得 22 22 240 250 xy yz ，取( 2 5
30、, 5,2) n， 93 29 cos, 293 29 m n m n m n 二面角DPEB为钝二面角，二面角DPEB的余弦值为 3 29 29 20 【答案】 （1）列联表见解析，有95%的把握认为确诊患新冠肺炎与年龄有关； （2）分布列见解 析，()1.5E X 【解析】 （1）补充完整的22列联表如下： 2 2 100 (7 573 33)25 4.1673.841 40 60 10 906 K 所以有95%的把握认为确诊患新冠肺炎与年龄有关 （2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3 5 7 5 10 C1 (0) C12 P X ， 41 73 5 10 C C5 (1) C
31、12 P X ， 32 73 5 10 C C5 (2) C12 P X ， 23 73 5 10 C C1 (3) C12 P X ， 故X的分布列为 故 551 ()1231.5 121212 E X 21 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2） 2 3 【解析】 （1）由题意知， c e a ，1c ，所以点(1, ) c P a 在椭圆上， 所以 2 2 22 1 1 c a ab ，所以 22 222 1 1 bc a bb ，解得1b ，所以2a ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）由题意得，点P不在x轴上，从而 0 0y 设 11 ( ,)A x
32、 y， 22 (,)B xy， 由 11 AFFP ，得 1100 ( 1,)(1,)xyxy ，所以 10 1xx ， 10 yy ， 由 2 2 1 1 1 2 x y，得 2 2 0 0 (1) ()1 2 x y ，而 2 2 0 0 1 2 x y， 联立消去 0 y，得 2 00 (32)(22)10 xx ，即 0 (32)1(1)0 x， 由题意知0，所以10 ， 0 1 32x ， 同理可得 0 1 32x ，所以 0 2 000 116 (22) 323294 x xxx 故当 0 0 x 时，取最小值 2 3 22 【答案】 （1）见解析； （2）(,2 【解析】 （1）
33、( )f x的定义域为( 1,)， 2 2(1) ( )22 11 axa fxx xx 当0a 时，( )0fx 在( 1,)上恒成立，此时( )f x在( 1,)上单调递增； 当0a 时，令( )0fx ，得1 2 a x 或1 2 a x （舍去） 故当( 1, 1) 2 a x 时， ( )0fx，( )f x单调递减； 当( 1,) 2 a x 时， ( )0fx，( )f x单调递增， 综上，当0a 时，( )f x在( 1,)上单调递增； 当0a 时，( )f x在( 1, 1) 2 a 上单调递减，在( 1,) 2 a 上单调递增 （2）由题意，得 2 11 2ln(1) 1
34、x xxax xe 在(0,)上恒成立 若0a 时，ln(1)0 x ，ln(1)0ax， 22 2ln(1)2xxaxxx 令 2 11 ( )2 1 x h xxx xe ，0 x ，则 2 11 ( )22 (1) x h xx xe ，0 x 0 x ， 1 ( 1,0) x e ， 2 11 ( )220 (1) x h xx xe ， ( )h x在(0,)上单调递增，( )(0)0h xh恒成立， 故0a 时， 1 ( ) 1 g x x 恒成立； 若0a ，令( )1(0) x m xexx，则( )10 x m xe ， ( )m x在(0,)上单调递增，( )(0)0m x
35、m，即10 x ex ， 11 1 x xe ，即 11 0 1 x xe 要使 11 ( ) 1 x f x ex 成立，必有( )0f x 成立 由（1）可知，当0a 时， min ( )( 1) 2 a f xf 又(0)0f，则必有10 2 a ，即02a 此时， 22 11111 ( )2ln(1)22ln(1) 111 xx g xxxaxxxx xexex 令 2 11 ( )22ln(1)(0) 1 x t xxxxx ex ， 则 3 222 211312(1)3(1) 1 ( )2222 1(1)1(1)(1) x xx t xxx xexxxx 2 22 2(1)3(1) 1(21) 0 (1)(1) xxxx xx ， 即( )0t x 恒成立，故( )t x在(0,)上单调递增， ( )(0)0t xt， 故02a时， 1 ( ) 1 g x x 恒成立， 综上所述，实数a的取值范围是(,2
