1、（新高考）2021 届高三第一次模拟考试卷 数数 学（学（四四） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040
2、分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合0,1,2,3,46,5,U ，0,1,2A，1,2,3B ，则（） AABUB1,2AB C3,4,5 UA D4,5,6 UB 2复数 3i 1 2i z 的虚部是（） A 6 i 5 B 3 i 5 C 3 5 D 6 5 3甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、 乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有（）种 A18B24C30D36 4将地球近似看作球体设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半 年取正值
3、，冬半年取负值） ，为该地的纬度值，如图已知太阳每年直射范围在南北回归线之间， 即 23 26,23 26 北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北 纬39 54 27， 若某天的正午时刻， 测得华表的影长恰好为9.57米， 则该天的太阳直射纬度为 （） A北纬5 5 27B南纬5 5 27C北纬5 5 33D南纬5 5 3 5某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽 样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人 数为（） A900B950 C1000D1050 6渔民出海打鱼，
4、为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的主甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度三 甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度 下降，鱼体开始变质，进而腐败） ，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏已知某种鱼 失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为 t hm a ，若出海后20分钟，这种鱼 失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船 的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（）参考数据：1 20.3g A33分钟B43分钟 C50分钟D56分钟 7已知ABC是边长为3的正三角形，点M是AB
5、的中点，点N在AC边上，且 2ANNC， 则BN CM （） A 3 2 B 3 2 C 3 3 2 D 9 2 8设函数 2 1 2 1 ( )log (1) 12 x f xx ，则使得( )(21)f xfx成立的x的取值范围是（） A(,1B1,)C 1 ,1 3 D 1 (, 1,) 3 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分
6、分 9下列判断正确的是（） A抛物线 2 yx与直线20 xy仅有一个公共点 B双曲线 22 1xy与直线20 xy仅有一个公共点 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 C若方程 22 1 41 xy tt 表示焦点在x轴上的椭圆，则 5 4 2 t D若方程 22 1 41 xy tt 表示焦点在y轴上的双曲线，则4t 10已知曲线 1: cosCyx， 2 2 :sin(2) 3 Cyx，则下面结论正确的是（） A把曲线 1 C向左平移 6 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标 不变） ，得到曲线 2 C B把曲线 1 C向左平移 3 个单位长
7、度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标 不变） ，得到曲线 2 C C把曲线 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的曲线向左平移 6 个单 位长度，得到曲线 2 C D把曲线 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的曲线向左平移 12 个单 位长度，得到曲线 2 C 11若实数m，0n ，满足21mn，以下选项中正确的有（） Amn的最大值为 1 8 B 11 mn 的最小值为4 2 C 29 12mn 的最小值为5D 22 4mn 的最小值为 1 2 124支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）
8、，任两支球队之间胜率都是 1 2 单循 环比赛结束， 以获胜的场次数作为该队的成绩， 成绩按从大到小排名次顺序， 成绩相同则名次相同 下 列结论中正确的是（） A恰有四支球队并列第一名为不可能事件B有可能出现恰有三支球队并列第一名 C恰有两支球队并列第一名的概率为 1 4 D只有一支球队名列第一名的概率为 1 2 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，若F到直线3yx的距离为3，则p 14已知等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 n S和 n T，若 523 1 n n an b
9、n ，则使得 n n S T 为整数的正 整数n共有个 15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示， 1 O为圆孔及轮廓圆弧AB所 在圆的圆心， 2 O为圆弧CD所在圆的圆心，点A是圆弧AB与直线AC的切点，点B是圆弧AB与 直线BD的切点，点C是圆弧CD与直线AC的切点，点D是圆弧CD与直线BD的切点， 12 18cmOO ， 1 6 cmAO ， 2 15cmCO ，圆孔 1 O的半径为3 cm，则图中阴影部分的的面积 为_ 2 cm 16已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，4AB ，ADBC 2，四面体ABCD的体积最大值为 四、解答题：本四
10、、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在(sinsin)()(sinsin)AB abCB c，sincos( ) 6 aBbA， sinsin 2 BC baB 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答 问题： 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 2 3bc ， 6a ， 求ABC的面积 18 （12 分）已知等比数列 n a满足 2 1 a， 7 a， 2 4 a成等比数列， 1 a， 7 2a， 4 3a成等差数列 （1）求数列 n
11、 a的通项公式； （2）记数列 n a的前n项和为 n S，则是否存在正整数m使 2m S为12 m S， 42mm SS的等比中项？ 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 19 （12 分）某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为 进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了100名市民进行调查，其中男士 与女士的人数之比为3:2，男士中有10人表示政策无效，女士中有25人表示政策有效 （1）根据下列22列联表写出a和b的值，并判断能否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有 关”； （2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取10名
12、市民，再从这10名市民中任意抽取4名，对 政策的有效性进行调研分析， 设随机变量X表示抽取到的4名市民中女士的人数， 求X的分布列及 数学期望 参考公式： 2 2 () () ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 20 （12 分）已知三棱锥ABCD，ABD和BCD是边长为2的等边三角形，平面ABD 平 面BCD （1）求证：ACBD； （2）设G为BD中点，H为ACD内的动点(含边界)，且GH平面ABC，求直线GH与平面 ACD所成角的正弦值的取值范围 21 （12 分）已知函数( )ln(0)f xaxx a （1）当a e 时，求曲线( )f x在1x 处
13、的切线方程； （2）讨论函数( )f x的零点个数 22 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0): xy ab a C b 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点(0,2)M是椭圆 的一个顶点， 12 FMF是等腰直角三角形 （1）求椭圆C的方程； （2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程； （3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为 1 k， 2 k，且 1 k 2 8k ，探究：直线AB是否过定点，并说明理由 （新高考）2021 届高三第一次模拟考试卷 数数 学（学（四四）答答 案案 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共
14、8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 【答案】B 【解析】A0,1,2,3ABU，错误； B1,2AB ，正确； C3,4,5,6 UA ，错误； D0,4,5,6 UB ，错误 2 【答案】C 【解析】因为 3i3i(1 2i)3i663 i 1 2i(1 2i)(1 2i)555 ，所以复数z的虚部是 3 5 3 【答案】C 【解析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素 的全排列共有 23 43 C A种， 再排除
15、甲乙被分在同一地方的情况共有 3 3 A种， 所以不同的安排方法种数是 233 433 C AA36630，故选 C 4 【答案】D 【解析】由题可知，天安门广场的太阳高度角90(39 54 27)50 5 33 ， 由华表的高和影长相等可知45，所以4550 5 335 5 33 所以该天太阳直射纬度为南纬5 5 33 5 【答案】B 【解析】由高一、高二、高三共有2800名学生，用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本， 因为从高二学生中抽取的人数为19人，可得高二学生的人数为 19 2800950 56 人 6 【答案】A 【解析】由题意可得 20 30 (20)0.2 (30)0.4
16、 hma hma ，解得 1 10 2a ，0.05m ， 故 1 10 ( )0.05 (2 )th t 令 1 10 ( )0.05 (2 )0.5 t h t，可得 10 210 t ， 两边同时去对数，故 lg1010 1033 lg20.3 t 分钟 7 【答案】D 【解析】如下图所示： 因为M是AB的中点， 所以 111111 ()() 222222 CMCBCACBCABCBABCBABC ， 又因为 1112 () 3333 BNBCCNBCCABCBABCBABC ， 所以 22 11212129 ()99 2336363 () 2 BABCBABBN CCBABCM ， 故
17、选 D 8 【答案】C 【解析】由题意，函数( )f x的定义域为R， 又 2 1 2 1 ()log (1)( ) 12 x fxxf x ，所以函数( )f x为偶函数， 当0 x 时， 2 1 2 1 ( )log (1) 12x f xx ， 利用复合函数的单调性可知：函数( )f x在0,)时单调递减， ( )(21)f xfx，又函数( )f x为偶函数，()(211)2fxxfxx， 两边平方后，化简得 2 3410 xx ，解得 1 1 3 x， 故使不等式成立的x取值范围是 1 ,1 3 ，故选 C 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5
18、 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】BD 【解析】对于 A，抛物线 2 yx与直线方程20 xy， 联立方程，消去x，可得 2 20yy，14 20 ， 所以抛物线 2 yx与直线20 xy有两个个公共点，故 A 错误； 对于 B，双曲线 22 1xy的渐近线方程为y x ，直线20 xy与渐近线y x 平行， 故双曲线 22 1xy与直线20 xy仅有一个公共点，故 B 正确； 对于 C，若
19、方程 22 1 41 xy tt 表示焦点在x轴上的椭圆， 则410tt ，解得 5 1 2 t ，故 C 错误； 对于 D，若方程 22 1 41 xy tt 表示焦点在y轴上的双曲线， 则 40 10 t t ，解得4t ，故 D 正确 10 【答案】AD 【解析】 2 sin(2)sin(2)cos(2) 3266 yxxx， 所以将曲线 1: cosCyx向左平移 6 个单位长度，得cos() 6 yx， 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ， 得到曲线cos(2) 6 yx；或将曲线 1: cosCyx上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不
20、变） ，得到cos2yx， 再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到 cos2()cos(2) 126 yxx 11 【答案】AD 【解析】对 A，因为m，0n ，所以1 22 2mnmn ，所以 1 8 mn ， 当且仅当 2nm mn ，即 1 4 m ， 1 2 n 时，等号成立， 所以mn的最大值为 1 8 ，故 A 正确； 对 B，因为m，0n ， 所以 111122 ()(2)213 nmnm mn mnmnmnmn 2 3232 2 nm mn ， 当且仅当 2nm mn ，即 2 1 2 m ， 21n 时，等号成立， 故 11 mn 的最小值为3 2 2 ，故 B 错误
21、； 对 C，因为21mn，所以2(1)(2)5mn， 所以 2912912(2)18(1) ()2(1)(2)(49) 12512512 nm mn mnmnmn 12(2)18(1)12(2) 18(1) (49)(132)5 512512 nmnm mnmn ， 当且仅当 2(2)18(1) 12 nm mn ，即0m ，1n 时，等号成立，不符合题意，故 C 错误； 对 D，因为m，0n ，21mn，所以 22 2 421 () 224 mnmn ， 即 22 1 4 2 mn， 当且仅当2mn，即 1 4 m ， 1 2 n 时，等号成立， 故 22 4mn 的最小值为 1 2 ，故
22、D 正确， 故选 AD 12 【答案】ABD 【解析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有 2 4 C6场比赛，比赛的所有结果共有 6 264 种 选项 A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得 分值不可能都一样，故是不可能事件，正确； 选项 B，其中( , )a b，( , )b c，( , )c d，( , )d a，( , )a c，( , )d b，6场比赛中，依次获胜的可以是a， b，c，a，c，b，此时3队都获得2分，并列第一名，正确； 选项 C，在( , )a b，( , )b c，( , )c d，( , )d a，( , )a c，
23、( , )d b，6场比赛中，从中选2支球队并列第 一名有 2 4 C6种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a，b，c，d，a，b和a，b，d， c，a，b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种， 故恰有两支球队并列第一名的概率为 6 43 648 ，错误； 选项 D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢， 则另外3场的可能有 3 28 种， 故只有一支球队名列第一名的概率为 81 4 642 ，正确， 故选 ABD 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】4 【解析】抛物线 2 2(0)
24、ypx p的焦点为(,0) 2 p F， 因为F到直线3yx的距离为3，所以 3 2 3 3 1 p ，解得4p 14 【答案】6 【解析】因为等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 n S和 n T，且 523 1 n n an bn ， 所以 121 12121 121 12121 (21)() 2523 2 (21)() 12 2 n nnnn n nnnn naa aaaaSn nbb bnbbbT ， 即 21 21 52318 5 11 n n Sn Tnn ，所以 5515(3)3636 5 333 n n Snn Tnnn ， 所以当1n ，3，6，9，15，33时， n
25、n S T 为整数，所以正整数n共有6个 15 【答案】189 3 72 【解析】如图所示： 12 O MCO，则 2 9O M ， 12 18OO ， 1 9 3O M ， 1221 2 33 OO MCO DAO B， 1121221 OAO O CBO O DCO DAO B SSSSSS 圆梯形梯形扇形扇形 ， 222 11212 2(6 15) 9 315 36189 372 22323 S ， 故答案为189 3 72 16 【答案】2 【解析】如图所示，四面体ABCD内接于球O， AB为球O的直径， 2 ADBACB ， 4AB ，2ADBC， 2 3BDAC ，过C作CEAB于
26、E， 112 2 3 3 224 AB CEBC ACCE ， 点C在以E为圆心， 3CE 为半径的小圆上运动， 当面ABD 面ABC时，四面体ABCD的体积达到最大， max 11 11 1 ()(2 3 2)32 33 23 2 ABD VSCEBD AD CE 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】条件选择见解析，ABC的面积为 3 2 【解析】若选，由正弦定理，得()()()ab abcb c， 即 222 bcabc ，所以 222 1 cos
27、 222 bcabc A bcbc ， 因为(0,)A，所以 3 A 因为 2222 ()3abcbcbcbc，6a ，2 3bc，所以2bc ， 所以 113 si n2 sin 2232 ABC SbcA 若选，由正弦定理，得sinsinsincos () 6 ABBA 因为0B，所以sin0B ，所以sincos() 6 AA， 化简得 31 sincossin 22 AAA ，所以cos()0 6 A 因为0A，所以 3 A 因为 222 2cos 3 abcbc， 6a ， 2 3bc ，所以2bc ， 所以 113 si n2 sin 2232 ABC SbcA 若选，由正弦定理，
28、得sinsinsinsin 2 BC BAB 因为0B，所以sin0B ，所以sinsin 2 BC A 因为 222 BCA ，所以cos2sincos 222 AAA 因为0A， 0 22 A ，所以cos0 2 A ，所以 1 sin 22 A ，所以 3 A 因为 2222 ()3abcbcbcbc，6a ，2 3bc，所以2bc ， 所以 113 si n2 sin 2232 ABC SbcA 18 【答案】 （1）见解析； （2）存在，3m 【解析】 （1）设等比数列 n a的公比为q，易知 1 0a ，0q 由 2 1 a， 7 a， 2 4 a成等比数列得 22 147 aaa
29、，即 266 11 aqa q，则 3 1 1a，故 1 1a 由 1 a， 7 2a， 4 3a成等差数列得 147 34aaa， 则 33 (41)(1)0qq，故1q 或 2 3 2q ， 所以当1q 时，1 n a ； 当 2 3 2q 时， 2(1) 1 3 ( 1)2 n n n a （2）假设存在正整数m，使12 m S， 2m S， 42mm SS成等比数列， 则 2 242 12() mmmm SSSS， 若1q ，则 n Sn，故 2 (2 )12 (42 )mmmm，则0m ， 此时不存在符合条件的正整数m； 若 2 3 2q ，则 22 2 11 21 (1)12(1)
30、(1) 111 mmm m aqaqq a qqq ， 即 2 112 mm qq，(41)(31)0 mm qq， 因为31 m q无正整数解，所以 1 4 m q ，解得3m， 即当公比 2 3 2q 时，存在唯一正整数3m ，使 2m S为12 m S， 42mm SS的等比中项 19 【答案】 （1）50a ，15b ，没有99%的把握认为； （2）分布列见解析， 5 ( 8 )E X 【解析】 （1）由题意知，男士人数为 3 10060 5 ，女士人数为 2 10040 5 ， 由此填写22列联表如下： 可知50a ，15b ， 由表中数据，计算 2 2 100 (50 1525 1
31、0) 5.5566.635 60 40 75 25 K ， 所以没有99%的把握认为对“政策是否有效与性别有关” （2）从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取10名市民， 男士抽取 60 106 100 人，女士抽取4人，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4， 4 6 4 10 C1 (0) C14 P X ， 13 46 4 10 C C8 (1) C21 P X ， 22 46 4 10 C C3 (2) C7 P X 31 46 4 10 C C4 (3) C35 P X ， 4 4 4 10 C C 1 (4) 210 P X ， 所以X的分布列为 数学期望为 183418
32、 1234 1421 () 7352105 0E X 20 【答案】 （1）证明见解析； （2） 15 2 6 , 55 【解析】 （1）证明：取BD中点G，连接AG，CG ABD和BCD是等边三角形， AGBD CGBD AGB BD DG 面ACG，AC 面ACGACBD （2）以G为原点，以GC所在直线为x轴，以GD所在直线为y轴建立空间直角坐标系取AD中 点E，CD中点F，连接GE，GF，EF， 则平面GEF平面ABC，所以H在线段EF上运动， 则()0,0,0G，()0, 1,0B，()3,0,0C，()0,1,0D，()0,0, 3A， 13 0, 2 () 2 E ， 3 1 (
33、, 2 ),0 2 F ， 设1)0(EHEF ， 3133 (,) 2222 GH 设平面ACD的一个法向量( , , )x y zn，则 0 0 AC CD n n ，即 330 3 +0 xz x y ， 平面的一个法向量(1, 3,1)n， 设直线GH与平面ACD所成角为， 则 2 315 2 6 sin, 5533 51 22 GH GH n n ， 所以直线GH与平面ACD所成角的正弦值的范围为 15 2 6 , 55 21 【答案】 （1）(1)0exye ； （2）见解析 【解析】 （1）当a e 时，函数( )lnf xexx，可得( )1 e fx x ， 所以(1)1f，
34、(1)1fe ， 可得切线方程为1(1)(1)yex ，即(1)0exye ， 所以曲线( )f x在1x 处的切线方程为(1)0exye （2）由函数( )ln(0)f xaxx a的定义域为(0,)，且( )1 aax fx xx ， 当0 xa时，( )0fx ，函数( )f x单调递增； 当x a 时，( )0fx ，函数( )f x单调递减， 所以函数( )f x在xa处取得极大值为( )ln(ln1)f aaaaaa， 当0ae时，( )0f a ，( )0f x 恒成立，函数( )f x无零点； 当a e 时，( )0f a ，函数( )f x有唯一零点； 当ae时，( )ln(
35、ln1)0f aaaaaa， 因为(1)10f ，所以函数( )f x在(0, )a上有一个零点， 易得 222 ()ln(2ln)f aaaaaaa， 令( )2ln()h xxx xe，则 2 ( )0 x h x x ， 所以函数( )h x在( ,)e 上单调递减，则( )2ln20h xeee ，所以 2 ()0f a， 所以函数( )f x在( ,)a 上有一个零点，所以函数( )f x在(0,)上有两个零点 综上可得，当0ae时，函数( )f x无零点； 当ae时，函数( )f x有唯一零点； 当ae时，函数( )f x有两个零点 22 【答案】 （1） 22 1 84 xy ；
36、 （2） 2 2 (1)1 2 x y； （3）过定点，定点为 1 (, 2) 2 【解析】 （1）由点(0,2)M是椭圆的一个顶点，可知2b ， 又 12 FMF是等腰直角三角形，可得 2ab ，即 2 2a ， 所以 2 8a ， 2 4b ， 所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy （2）设 00 (,)P xy，线段PM的中点坐标( , )Q x y，可得 0 0 0 2 2 2 x x y y ，即 0 0 2 22 xx yy ， 又点P是椭圆C上一动点，所以 22 2(22) 1 8 ( 4 )xy ，整理得 2 2 (1)1 2 x y， 所以线段PM的中点Q的轨迹方程是
37、2 2 (1)1 2 x y （3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意2m ， 联立 22 1 84 ykxm xy ，得 222 (1 2)4280kxkmxm 由已知0，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 由韦达定理得： 12 2 4 1 2 km xx k ， 2 12 2 28 12 m x x k ， 12 8kk， 1212 1 12 221 2222yykxmkxm xxx kk x 12 2 1212 114 2(2)()2(2)2(2)8 28 xxkm kmkmkm xxx xm ， 4 2 km k m ，整理得 1 2 2 mk， 故直线AB方程为 1 2 2 ykxk，即 1 ()2 2 yk x， 所以直线AB过定点 1 (, 2) 2 若直线AB的斜率不存在， 设AB方程为 0 xx，设 00 (,)A xy， 00 (,)B xy， 由已知得 00 00 22 8 yy xx ，解得 0 1 2 x ， 此时直线AB方程为 1 2 x ，显然过点 1 (, 2) 2 ； 综上，直线AB过定点 1 (, 2) 2
