1、（新（新高考高考）20212021 届届高三第高三第三三次模拟检测卷次模拟检测卷 数数 学（学（三三） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题
2、每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1若集合ln1Axx， 2Bx yx，则AB R I（） A21xx B2xxe C21xx D2xxe 2已知复数 z 满足 2izz ，则 z 的虚部是（） A1B1 CiDi 3“0m ”是“函数( )lnf xxmx在0,1上为增函数”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4函数 2 2sin2cos3yxx的最大值是（） A1B1C 1 2 D5 5垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存
3、、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的 一系列活动的总称分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用进行垃圾分类收集可 以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的 效益已知某种垃圾的分解率v与时间t（月）满足函数关系式 t va b （其中a，b为非零常数） 若经过 12 个月， 这种垃圾的分解率为10%， 经过 24 个月， 这种垃圾的分解率为20%， 那么这种垃圾完全分解 （分 解率为100%）至少需要经过（） （参考数据lg20.3） A120 个月B64 个月C52 个月D48 个月 6如图，AB是O的直径，点C、D是半圆
4、弧 AB 上的两个三等分点，AB a，AC b，则AD 等 于（） A 1 2 abB 1 2 abC 1 2 abD 1 2 ab 7已知函数 2 (0 x yaa ，且1a ）的图象恒过定点A，若点A在椭圆 22 1 xy mn 上， 则mn的最小值为（） A12B10C8D9 8A，B，C，D，E五个人站成一排，则A和C分别站在B的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率 为（） A 1 6 B 1 3 C 3 10 D 3 5 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项符合题多
5、项符合题 目要求目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9设等比数列 n a的公比为 q，其前 n 项和为 n S，前 n 项积为 n T，并满足条件 1 1a ， 20192020 1aa， 2019 2020 1 0 1 a a ，下列结论正确的是（） A 20192020 SSB 20192021 10aa C 2020 T是数列 n T中的最大值D数列 n T无最大值 10在ABC中，如下判断正确的是（） A若sin2sin2AB，则ABC为等腰三角形 B若AB，则sinsinAB C若ABC为锐角三角形
6、，则sincosA B D若sinsinAB，则AB 11在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点 1 3,0F 和 2 3,0F连线的斜率之积等于 1 3 ，记点 P的轨迹为曲线E，直线 :2l yk x与E交于A，B两点，则（） AE的方程为 2 2 1 3 x yBE的离心率为3 CE的渐近线与圆( ) 2 2 21xy-+=相切D满足2 3AB 的直线l有 2 条 12已知函数 ln,0 ( ) 1,0 xx f x xx ，若函数( ( )yf f xa有 6 个不同零点，则实数a的可能取值是 （） A0B 1 2 C1D 1 3 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共
7、 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13给出下列说法： 回归直线 ybxa恒过样本点的中心(),x y； 两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近 1； 某 7 个数的平均数为 4，方差为 2，现加入一个新数据 4，此时这 8 个数的方差不变； 在回归直线方程20.5yx中，当变量 x 增加一个单位时， y 平均减少0.5个单位 其中说法正确的是_ 14 若 2022 22022 0122022 2xaa xa xax， 则 0242022 aaaa被 4 除得的余数为_ 15有以下四个条件： fx的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线； fx是偶函数； fx在0,上不是单调
8、函数； fx恰有两个零点 若函数同时满足条件，请写出它的一个解析式 f x _；若函数同时满足条件， 请写出它的一个解析式 g x _ 16设函数( )yf x的定义域为D，若对任意 1 xD，存在 2 xD，使得 12 ( )()1f xf x， 则称函数( )f x具有性质M，给出下列四个结论： 函数 3 yxx不具有性质M； 函数 2 xx ee y 具有性质M； 若函数 8 log (2)yx，0, xt具有性质M，则510t ； 若函数 3sin 4 xa y 具有性质M，则5a 其中，正确结论的序号是_ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 707
9、0 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在 22 6ab， 33 11ab； 3 12S ， 5 31T ，两个条件中选择一个，补充在下面的 问题中，并解答该问题 已知数列 n a为等差数列，数列 n b为等比数列，数列 n a前n项和为 n S，数列 n b前n项和为 n T， 1 1a ， 1 1b ，_ （1）求 n a， n b的通项公式； （2）求数列 n n a b 的前n项和 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 3sin3 cosacB
10、bC （1）求角B的大小； （2）若3b ，D为AC边上一点，2BD ，且_，求ABC的面积(从BD为B的平 分线，D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答) 19 （12 分）在2020年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局某企业统计了 2020年前5个月份企业的利润，如下表所示： 月份12345 企业的利润（万元）9095105100110 （1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润y（万元）关于月份x的回归直线方程 ybxa，并预测 2020年12月份该企业所获得的利润； （2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生
11、产的每一件产品必须要 经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三 个环节中生产的产品合格的概率为 1 2 ，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为100元，第四个环节 中产品合格的概率为 3 4 ，不合格产品需要的修复费用为50元，设每件产品修复的费用为元，写出的分 布列，并求出每件产品需要修复的平均费用 参考公式：回归直线方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx，x，y为样本数据的平均值 20 （12 分）图 1 是由正方形ABCD，ABERt，CD
12、FRt组成的一个等腰梯形，其中 2AB ，将 ABE、CDF分别沿 ,AB CD折起使得 E 与 F 重合，如图 2 （1）设平面ABE平面CDEl，证明：/l CD； （2）若二面角ABED的余弦值为 5 5 ，求AE长 21 （12 分）已知函数( ) ax f xeex，其中实数0a （1）讨论 fx的单调性； （2）当0 x 时，不等式 2 1fxx恒成立，求a的取值范围 22 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，过 F 的直线4 330 xy与椭圆在第一 象限交于 M 点，O 为坐标原点，三角形MFO的面积为 3 4 （1）求椭圆的方程； （
13、2）若ABC的三个顶点 A，B，C 都在椭圆上，且 O 为ABC的重心，判断ABC的面积是否为定 值，并说明理由 （新高考）2021 届高三第三次模拟检测卷 数数 学（学（三三）答答 案案 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 【答案】B 【解析】依题意， ln1Axxx xe，所以 |Ax xe R ， 因为 22Bx yxx x ，故 2ABxxe R ，故选 B 2 【答案】A 【解析】设i,zaba b
14、R， 因为 2izz ，可得ii2 i2izzababb ， 则22b，可得1b ，所以复数z的虚部是1，故选 A 3 【答案】A 【解析】由( )lnf xxmx可得 1 ( )fxm x ， 若( )lnf xxmx在0,1上为增函数，则( )0fx 在0,1恒成立， 即 1 m x 在0,1恒成立，则1m ， ,0,1， 则可得“0m ”是“函数( )lnf xxmx在0,1上为增函数”的充分而不必要条件，故选 A 4 【答案】C 【解析】 22 2sin2cos32 1 cos2cos3yxxxx 22 11 2cos2cos12(cos) 22 xxx ， 因为1cos1x，所以当
15、1 cos 2 x 时等号成立， 所以函数 2 2sin2cos3yxx的最大值是 1 2 ，故选 C 5 【答案】C 【解析】依题设有 12 24 120.1 240.2 vab vab ，解得 1 12 2b ，0.05a ， 故 1 12 0.052 t v t 令 1v t ，得 1 12 220 t ， 故 1 12 1 2 12 121 0.3lg201 lg2 log2052 1 0.3 lg2 lg2 12 t ，故选 C 6 【答案】D 【解析】连接CD、OD、OC，如图 由于点C、D是半圆弧 AB上的两个三等分点，则 60BODCODAOC ， OAOCOD，则AOC、CO
16、D均为等边三角形，60OACOCD ， OACBOD ，/OD AC，同理可知/CD AB， 所以，四边形AODC为平行四边形，所以， 1 2 ADAOAC ab， 故选 D 7 【答案】D 【解析】由于函数 1 (0 x ya a ，且1a ）向右平移两个单位得 2 1 (0 x ya a ，且1a ） ， 即为函数 2 (0 x yaa ，且1a ） ，所以定点2,1A， 由于点A在椭圆 22 1 xy mn ，所以 41 1 mn ，且0m ，0n ， 所以 414 552 49 nm mnmn mnmn ， 当且仅当 4nm mn ，即6m ，3n 时取等号，故选 D 8 【答案】B
17、【解析】A和C分别站在B的两边，则B只能在中间 3 个位置，分类说明： （1）若B站在左 2 位置，从A，C选一个排在B左侧，剩余的 3 个人排在B右侧， 故有 13 23 C A2 3 2 112 种排法； （2）若B站在 3 位置，从A，C选一个，从D，E选一个排在B左侧，并排列，剩余的 2 个人排在B右 侧， 故有 1122 2222 C C A A2 2 2 216 种排法； （3）若B站在右 2 位置，排法与（1）相同，即有 12 种排法； 所以A和C分别站在B的两边的排法总共有12 16 1240种排法； A，B，C，D，E五个人站成一排有 5 5 A5 4 3 2 1120n 种
18、排法， 故A和C分别站在B的两边的概率 401 1203 P ，故选 B 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项符合题多项符合题 目要求目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】AB 【解析】当0q时， 2 201920202019 0aaaq，不成立； 当1q 时， 2019 1a， 2020 1a， 2019 2020 1 0 1 a a 不成立； 故01q，且 2019 1a，
19、2020 01a，故 20202019 SS，A 正确； 2 201920212020 110aaa ，故 B 正确； 2019 T是数列 n T中的最大值，C、D 错误， 故选 AB 10 【答案】BCD 【解析】选项 A在ABC中，若sin2sin2AB，则22AB或22AB， 所以AB或 2 AB，所以ABC为等腰或直角三角形，故 A 不正确； 选项 B在ABC中，若AB，则ab， 由正弦定理可得2 sin2 sinRARB，即sinsinAB，故 B 正确； 选项 C若ABC为锐角三角形，则 2 AB， 所以 0 22 AB，所以 sinsincos 2 ABB ，故 C 正确； 选项
20、 D在ABC中，若sinsinAB，由正弦定理可得 22 ab RR ， 即ab，所以AB，故 D 正确， 故选 BCD 11 【答案】CD 【解析】令( , )P x y，由题意得 1 333 yy xx ，即得 2 2 1,3 3 x yx ，A 错误； 又 3a ，2c ，即 2 3 3 e ，故 B 错误， 由 E 的渐近线为 3 3 yx ，而( ) 2 2 21xy-+=圆心为(2,0)，半径为 1， (2,0)到 3 3 yx 距离为 2 3 3 1 1 1 3 d ， 故E的渐近线与圆( ) 2 2 21xy-+=相切，故 C 正确； 联立曲线 E 与直线l的方程，整理得 22
21、22 (1 3)123(41)0kxk xk， 2 10k ， 2 12 2 12 31 k xx k ， 2 12 2 3(41) 31 k x x k ，而 2 12 1| 2 3ABkxx， 代入整理 2 2 2 3(1) |2 3 |31| k AB k ， 即有 2 1k 或 2 0k (由0y 与 2 2 1,3 3 x yx 无交点，舍去)，故1k ，D 正确， 故选 CD 12 【答案】BD 【解析】画出函数 ln,0 ( ) 1,0 xx f x xx 的图象： 函数( ( )yf f xa有零点，即方程( ( )0f f xa有根的问题 对于 A：当0a 时，( ( )0f
22、f x， 故( )1f x ，( )1f x ，故0 x ，2x ， 1 x e ，xe， 故方程( ( )0f f xa有 4 个不等实根； 对于 B：当 1 2 a 时， 1 ( ( ) 2 f f x，故 1 ( ) 2 f x ，( )f xe， 1 ( )f x e ， 当 1 ( ) 2 f x 时，由图象可知，有 1 个根， 当( )f xe时，由图象可知，有 2 个根， 当 1 ( )f x e 时，由图象可知，有 3 个根， 故方程( ( )0f f xa有 6 个不等实根； 对于 C：当1a 时，( ( )1ff x， 故( )0f x ，( )f xe， 1 ( )f x
23、 e ， 当( )0f x 时，由图象可知，有 2 个根， 当( )f xe时，由图象可知，有 2 个根， 当 1 ( )f x e 时，由图象可知，有 3 个根， 故方程( ( )0f f xa有 7 个不等实根； 对于 D：当 1 3 a 时， 1 ( ( ) 3 f f x， 故 2 ( ) 3 f x ， 3 ( )f xe， 3 1 ( )f x e ， 当 2 ( ) 3 f x 时，由图象可知，有 1 个根， 当 3 ( )f xe时，由图象可知，有 2 个根， 当 3 1 ( )f x e 时，由图象可知，有 3 个根， 故方程( ( )0f f xa有 6 个不等实根， 故选
24、 BD 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】 【解析】对于中，回归直线 ybxa恒过样本点的中心( , )x y，所以正确； 对于中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数| |r就越接近 1， 所以是正确的； 对于中，根据平均数的计算公式可得 7 44 4 7 1 x ， 根据方差的计算公式 2 2 1 7 2441.752 8 s ，所以是不正确的； 对于中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程20.5yx中，当解释变量x增加一个单位时，预 报变量 y 平均减少0.5个单位，所以是正确的， 故答
25、案为 14 【答案】1 【解析】由题知，1x 时， 012320212022 1aaaaaa， 1x 时， 2022 01232022 3aaaaa， 由+，得 2022 0242022 1 31 2 aaaa， 故 20221011 0242022 111 ()(31)(91) 488 aaaa 1011 0101111010101011011 1011101110111011 C 11 8 118C8C8C1 88 010111101010101 101110111011 11 8C88 84 CC， 所以被 4 除得的余数是 1，故答案为 1 15 【答案】 2 2f xx （答案不唯一
26、） ， 2 2g xxx （答案不唯一） 【解析】根据条件可得 2 2f xx （答案不唯一） ， 根据函数同时满足条件，可得 2 2g xxx （答案不唯一） 故答案为 2 2f xx （答案不唯一） ， 2 2g xxx （答案不唯一） 16 【答案】 【解析】依题意，函数( )yf x的定义域为D，若对任意 1 xD，存在 2 xD，使得 12 ( )()1f xf x， 则称函数( )f x具有性质M 函数 3 yxx，定义域是 R，当 1 0 x R时，显然不存在 2 x R，使得 12 1f xf x， 故不具备性质M，故正确； 2 xx ee y 是单调增函数，定义域是 R， 0
27、 1 2 xx xx ee yeee ， 当且仅当0 x 时等号成立，即值域为1, 对任意的 1 0 x， 1 1f x，要使得 12 1f xf x，则需 2 1f x，而不存在 2 x R， 使 2 1f x，故 2 xx ee y 不具备性质M，故错误； 函数 8 log2yx在0,t上是单调增函数，定义域是0,t，其值域为 88 log 2,log2t 要使得其具有M性质，则对任意的 1 0,xt， 188 log 2,log2f xt ， 总存在 2 0,xt， 288 188 111 ,log 2,log2 log2log 2 fxt fxt ， 即 8 8 8 8 1 log 2
28、 log (2) 1 log (2) log 2 t t ，即 88 88 log 2 log (2)1 log 2 log (2)1 t t ，即 88 log 2 log21t， 故 8 8 2 1 log2log log 3 2 8t ，即 3 28t ，故510t ，故正确； 若函数 3sin 4 xa y 具有性质M，定义域是 R，使得sin1,1x ， 一方面函数值不可能为零，也即3sin0 xa对任意的x恒成立，而3sin3,3x ， 故3a 或3a ，在此条件下， 另一方面， 4 3sin y xa 的值域是 3sin 4 xa y 值域的子集 3sin 4 xa y 的值域为
29、 33 , 44 aa ； 4 3sin y xa 的值域为 44 , 33aa ， 要满足题意，只需 34 34 a a ， 34 34 a a ， 3a 时， 44 1,1 33 4 33 4 aaaa ，即 44 1 33aa ； 3a 时， 44 1,1 33 4 33 4 aaaa ，即 44 1 33aa ， 故 44 1 33aa ，即3316aa， 即 2 916a ，即 2 25a ，故5a 故错误， 故答案为 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
30、17 【答案】 （1）32 n an， 1 2n n b ； （2）868 2 n n 【解析】选择： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为0q q ， 由 1 1a ， 1 1b ， 22 6ab， 33 11ab， 得 2 16 1 211 dq dq ，解得 3 2 d q ， 所以32 n an， 1 2n n b （2）记 121 312 123 1 1 4 27 2322 n n n n aaaa An bbbb ； （1） 又 11231 21 24272352322 nn n Ann ， （2） （1）（2） ，得 121 1 1 3 22.2322 2
31、 nn n An ， 所以 121+1 26 22.2322 nn n An ， 所以 1 +11+1 11 1 22 2632226 1 2322 1 1 2 n nnn n Ann ， 所以868 2 n n An 选择： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为0q q ，且1q 由 1 1a ， 1 1b ， 3 12S ， 5 31T ， 得 5 3312 131 1 d qq ，解得 3 2 d q ， 所以32 n an， 1 2n n b （2）记 121 312 123 1 1 4 27 2322 n n n n aaaa An bbbb ； （1） 又
32、11231 21 24272352322 nn n Ann ， （2） （1）（2） ，得 121 1 1 3 22.2322 2 nn n An ， 所以 121+1 26 22.2322 nn n An ， 所以 1 +11+1 11 1 22 2632226 1 2322 1 1 2 n nnn n Ann ， 所以868 2 n n An 18 【答案】 （1） 3 B ； （2）选择： 3 3 2 ABC S ；选择： 7 3 8 ABC S 【解析】 （1）因为 3sin3 cosacBbC ， 所以3sinsinsin3sincosBCCBBC， 即得 3cossinsinsin
33、BCCB ，sin0C ，则有tan 3B ， 又因为0,B，所以 3 B （2）选择条件BD为B的平分线， 因为BD为B的平分线，所以 6 ABDDBC ， 又因为 ABCABDBDC SSS ， 所以 111 sin2 sin2 sin 232626 acac，即32acac， 又根据余弦定理得 222 2cosbacacB ，即 2 93acac， 则有 23 93 4 acac，即 2 4120acac，解得6ac 或2ac (舍)， 所以 13 3 sin 22 ABC SacB 选择D为AC的中点，则 3 2 ADDC，BDABDC，coscosBDABDC ， 则有 22 222
34、2 33 22 22 33 2222 22 ca ，可得 22 25 2 ac， 又根据余弦定理得 22 9acac ，解得 7 2 ac ， 则 17 3 sin 28 ABC SacB 19 【答案】 （1） 9173 22 yx，140.5万元； （2）分布列见解析，修复的平均费用为 325 2 元 【解析】 （1）由表格数据知 1 2345 3 5 x ， 9095 105 100 110 100 5 y ， 5 1 5 222222 22 1 5 1 902 953 1054 1005 1105 3 100 123455 3 5 ii i i i x yxy b xx 459 102
35、 ， 由回归直线经过样本点的中心, x y可知： 9 1003 2 a ， 173 2 a， 则回归直线方程为 9173 22 yx， 预测2020年12月份该企业所获得的利润为 9173 12140.5 22 （万元） （2）根据题意知所有可能取值为0，50，100，150，200，250，300，350， 3 133 0 2432 P ； 3 111 50 2432 P ； 2 2 3 1139 100C 22432 P ； 2 2 3 1113 150C 22432 P ； 2 1 3 1139 200C 22432 P ； 2 1 3 1113 250C 22432 P ； 3 133
36、 300 2432 P ； 3 111 350 2432 P ， 的分布列为： 050100150200250300350 P 3 32 1 32 9 32 3 32 9 32 3 32 3 32 1 32 3193933 050100150200250300 32323232323232 E 1 350 32 325 2 ， 即每件产品需要修复的平均费用为 325 2 元 20 【答案】 （1）证明见解析； （2） 5 【解析】 （1）因为/CD AB，AB平面ABE，CD 平面ABE， 所以/CD平面ABE， 又CD 平面ECD，平面ABE平面ECDl，所以/l CD （2）因为/AB C
37、D，CDDE，所以ABDE， 又ABAE，AEDEE，AE 平面ADE，DE 平面ADE， 所以AB 平面ADE， 因为AB平面ABCD，所以平面ABCD 平面AED， 过 E 作EOAD于点 O，则 O 是AD的中点， 因为平面ABCD平面AEDAD，EO 平面ADE， 所以EO 平面ABCD， 以 O 为原点，与AB平行的直线为 x 轴，OD所在直线为 y 轴，OE所在直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系Oxyz， 设EOh，则(0, 1,0)A，(0,1,0)D，(2, 1,0)B，(0,0, )Eh， (2,0,0)AB ，(0,1, )AEh ，(0,1,)EDh ，( 2,2,0)
38、BD ， 设平面ABE的法向量为 1 ( , , )x y zn， 则 1 1 0 0 AB AE n n ，即 20 0 x yhz ，取0,xyh，则1z ， 所以平面ABE的一个法向量 1 (0, , 1)hn； (0,1,)EDh ，( 2,2,0)BD ， 设平面BDE的法向量为 2222 (,)xyzn， 则 2 2 0 0 ED BD n n ，即 22 22 0 220 yhz xy ，取 2 xh，则 22 ,1yh z， 同理可求得平面BDE的一个法向量为 2 ( , ,1)h hn， 所以 2 12 12 22 12 1 5 cos, 5 121 h hh n n n n
39、 nn ，解得2h 或 3 3 ， 当 3 3 h 时， 2 12 12 22 12 2 15 3 cos,0 512 121 11 33 h hh n n n n nn ， 二面角ABED的平面角为钝角，舍去， 所以2h ，此时(0,1,2)AE ，5AE ， 所以 5AE 21 【答案】 （1）见解析； （2）1, 【解析】 （1）( ) ax fxaee， 当0a 时，( )0fx ，故 fx在, 上单调递减； 当0a 时，令 0fx ，解得 1 ln e x aa 即 fx在区间 1 ,ln e aa 上单调递减，在区间 1 ln, e aa 上单调递增 （2）当1x 时， 0 a e
40、e ，则1a 下证：当1a 时，不等式 2 (1)f xx在0,上恒成立即可 当1a 时，要证 2 1fxx，即 2 (1)0 ax exex， 又因为 axx ee ，即只需证 2 (1)0 x exex 令 2 ( )(1)(0) x g xexex x，( )22 x g xexe， 令 22 x h xexe，则 20 x h xe，解得ln2x 故 gx 在区间0,ln2上单调递减，在区间ln2,上单调递增， (0)30ge ，(1)0 g ，故ln20g 因此存在 0 0,ln2x ，使得 0 0gx 故 g x在区间 0 0,x上单调递增，在区间 0,1 x上单调递减，在区间1,
41、上单调递增 (0)0g，(1)0g，故 0g x 成立 综上，a的取值范围为1, 22 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）是定值 3 3 2 ，理由见解析 【解析】 （1）直线4 330 xy过左焦点 F，则有(3,0)F ， 所以 3c 且右焦点( 3,0) F ， 又 13 3 24 OMFM Sy ，得 1 2 M y， 代入直线方程有3 M x，所以 1 3, 2 M FMF为直角三角形且90 MF F ， 由椭圆定义，知 11 2|124 24 aMFMF，即2a ， 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （2）当直线BC的斜率不存在时，设直线BC的方程为 1 xx，
42、 若 11 ,B x y，则 11 ,C xy， O 为ABC的重心，可知 1 2,0Ax，代入椭圆方程，得 2 1 1x ， 2 1 3 4 y ， 即有 1 | 2|3BCy，A 到 BC 的距离为3d ， 113 3 |3 3 222 ABC SBCd ； 当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为ykxm， 设 11 ,B x y， 22 ,C xy， 由 2 2 1 4 x y ykxm ，得 222 148440kxkmxm，显然0， 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 44 41 m x x k ， 则 1212 2 2 2 41 m yyk xxm k ， O 为ABC的重心，可知 22 82 , 41 41 kmm A kk ， 由 A 在椭圆上，得 22 22 182 1 4 4141 kmm kk ，化简得 22 441mk， 2 222 222 12 22 3 1 413 |1| 4 14 1 414| k kmm BCkxxkk kmm ， 由重心的性质知：A 到直线BC的距离 d 等于 O 到直线BC距离的 3 倍，即 2 3| 1 m d k ， 13 3 | 22 ABC SBCd ， 综上得，ABC的面积为定值 3 3 2
