1、1 2021 年撞上高考题目录年撞上高考题目录 数学（理）数学（理） 撞题点一 集合.3 撞题点二 常用逻辑用语. 4 撞题点三 函数图象的识别. 5 撞题点四 函数的基本性质. 6 撞题点五 幂指对函数的图象与性质.7 撞题点六 导数的几何意义. 8 撞题点七 函数零点（小题）. 9 撞题点八 函数零点（解答题）.10 撞题点九 导数的应用（参数取值范围）.12 撞题点十 利用导数处理恒成立问题.13 撞题点十一 利用导数证明不等式.15 撞题点十二 三角恒等变换. 16 撞题点十三 三角函数的图象与性质.17 撞题点十四 解三角形（小题型）.19 撞题点十五 解三角形（大题型）.20 撞题
2、点十六 向量线性运算及有关概念.22 撞题点十七 平面向量的数量积.24 撞题点十八 等差数列. 25 撞题点十九 等比数列. 26 撞题点二十 数列的综合应用. 27 撞题点二十一 数列解答题. 28 撞题点二十二 三视图. 29 撞题点二十三 与球相关的组合体问题.30 撞题点二十四 空间角问题（小题型）.32 撞题点二十五 立体几何解答题（空间角与距离）.34 2 撞题点二十六 立体几何解答题（探索性问题）.36 撞题点二十七 直线与圆的位置关系.38 撞题点二十八 椭圆的基本性质.39 撞题点二十九 双曲线的基本性质.40 撞题点三十 抛物线的基本性质.42 撞题点三十一 圆锥曲线的轨
3、迹问题.43 撞题点三十二 圆锥曲线中的定点、定值问题.44 撞题点三十三 圆锥曲线中的最值问题.46 撞题点三十四 解析几何中的探索性问题.48 撞题点三十五 古典概型与几何概型.49 撞题点三十六 条件概率与相互独立事件的概率.51 撞题点三十七 统计图表问题. 53 撞题点三十八 排列与组合. 54 撞题点三十九 二项式定理. 55 撞题点四十 回归分析. 56 撞题点四十一 正态分布. 59 撞题点四十二 独立性检验. 61 撞题点四十三 离散型随机变量的分布列、期望问题.63 撞题点四十四 线性规划. 65 撞题点四十五 基本不等式的应用.66 撞题点四十六 推理与证明. 67 撞题
4、点四十七 程序框图. 69 撞题点四十八 复数. 70 撞题点四十九 坐标系与参数方程.71 撞题点五十 不等式选讲. 72 3 撞题点一撞题点一 集合集合 1（2021石家庄质检）若集合A，B，U满足：A BU苘 ，则集合U A U ABB U BAC U ABD U BA 【答案】【答案】B 【解析】【解析】因为集合A，B，U满足：A BU苘 ，如图，所以集合 U UBA故选 B 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 集合作为送分题，根据 10 年高考大数据分析，主要考查集合的交、并、补运算（尤其是抽象集合）， 综合考查函数的定义域、值域及指数函数与对数函数的性质、一元二次
5、不等式的解法等 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 AB；AB； U AB；集合元素个数；子集个数；根据集合的关系求参数的范围 比如比如：（2021衡阳一模）已知集合M，N为R的子集，若MN R ，1,2,3N ，则满足题意的 集合M的个数为 A3B4C7D8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】因为MN R ，1,2,3N ，所以MN， 因为集合N的子集个数为 3 28，所以满足题意的M的个数为 8故选 D 【方法总结】【方法总结】 （1）认清元素的属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简 集合是正确求解的两个先决条件 （2）注意元素的互异性在解决含参数的集合问
6、题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能 会因为不满足“互异性”而导致错误 4 （3）防范空集在解决有关 AB=，AB 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑的情 况，以防漏解 撞题点二撞题点二 常用逻辑用语常用逻辑用语 2 （2021海淀区一模）已知点 2 11 ,()A x x， 2 22 ,()B x x， 1 (0, ) 4 C，则“ABC是等边三角形”是“直线AB的 斜率为0”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 【解析【解析】由点 2 11 ,()A x x， 2 22 ,()B x x，可得点A，B在抛物线 2 y
7、x上，根据抛物线的对称性，只有点A， B关于y轴对称时ABC才有可能是等边三角形，此时直线AB的斜率为0； 反之直线AB的斜率为0时，虽然点A，B关于y轴对称，但是ABC不一定是等边三角形 综上，可知“ABC是等边三角形”是“直线AB的斜率为0”的充分不必要条件故选 A 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 根据 10 年大数据分析，本撞题点热点：充分必要性；易错点：否命题与命题的否定；难点：命题真假 的判断要注意区分否命题与命题的否定，否命题需同时否定命题的条件与结论，而命题的否定只需否 定命题的结论 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 充分必要性的判断、四种命题的相互关系、对
8、含有一个量词的命题的否定 【方法总结】【方法总结】 充分、必要条件的三种判断方法充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件 （2）等价法：利用 pq 与非 q非 p， q p 与非 p非 q， p q 与非 q非 p 的等价关系，对于条件 或结论是否定式的命题，一般运用等价法 （3）集合法：若 A B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A= B，则 A 是 B 的充要条件 5 撞题点三撞题点三 函数图象的识别函数图象的识别 3（2021江西模拟）音乐是
9、用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空气 中的振动可以用三角函数来刻画，在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦， 某二和弦可表示为 ( )sin2sin3f xxx ，则函数 ( )yf x 的图象大致为 AB CD 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据题意， ( )sin2sin3f xxx ，定义域为R， 则 ()sin( 2 )sin( 3 )(sin2sin3 )( )fxxxxxf x ，所以函数 ( )f x为奇函数，排除选项 D， 当0 6 x 时，( )0f x ，函数( )f x的图象在x轴上方，由此可排除选项 C， 当0 6
10、x 时，函数sin2yx与函数sin3yx都是增函数，函数图象增加最快，排除选项 B，故选 A 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 函数图象也是新课标高考的常客，一般给出函数的表达式，研究函数图象的形状；也可能以实际背景给 出变量间的关系，研究函数图象的形状 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 给定函数图象判断解析式，给定解析式判断函数的图象 比如比如：（2021广东月考）利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似如图所示的 函数称为m型函数，写出一个定义域为 2,2 且值域为0,2的m型函数是 【答案】【答案】 ( )2|(2 |)( 22)f xxxx （答案
11、不唯一） 【解析】【解析】根据题意，要求函数的定义域为 2,2 且值域为0,2， 其图象关于y轴对称，是偶函数，可以考虑二次函数变换得到， 则 ( )2|(2 |)( 22)f xxxx ，故答案为 ( )2|(2 |)( 22)f xxxx （答案不唯一） 6 【方法总结】【方法总结】 函数图象的辨识可以从以下方面入手：函数图象的辨识可以从以下方面入手： （1）从函数定义域、值域判断； （2）从函数的单调性判断变化趋势； （3）从函数的奇偶性判断函数的对称性； （4）从函数的周期性判断； （5）从函数的特征点，排除不符合要求的图象； （6）极限思想 撞题点四撞题点四 函数的基本性质函数的基本
12、性质 4（2021蚌埠三模）若把定义域为R的函数 ( )f x的图象沿x轴左、右平移后，可以得到关于原点对称的 图象，也可以得到关于y轴对称的图象，则关于函数 ( )f x的性质叙述一定正确的是 A ()( )0fxf x B (1)(1)f xfx C ( )f x是周期函数 D ( )f x存在单调递增区间 【答案】【答案】C 【解析【解析】因为定义域为R的函数 ( )f x的图象沿x轴左、右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可 以得到关于y轴对称的图象，所以 ( )f x的图象既有对称中心又有对称轴，但( )f x不一定具有奇偶性，例 如( )sin() 3 f xx 对于 A：由(
13、)( )0fxf x，则( )f x为奇函数，故 A 不符合题意； 对于 B：由 (1)(1)f xfx ，可得函数的图象关于直线0 x 对称，故 B 不符合题意； 对于 D：当 ( )0f x 时， ( )f x不存在单调递增区间，故 D 不符合题意； 对于 C：设 ( )f x图象的一条对称抽为直线xa ，一个对称中心为( ,0) b ，且ab， 则 (2)()faxfx ， ()(2)fxfbx ，所以 (2)(2)faxfbx ， 所以 (22 )(22 )( )faxbfbxbf x ， 所以 (44 )(22 )(22 )( )f xabfbxbf xabf x ， 所以 ( )f
14、 x的一个周期为4()Tab ，故 C 正确故选 C 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 函数的性质包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象变换等，本类题型属于高考 中的高频撞题点，经常与抽象函数、分段函数、复合函数结合到一起考查，尤其是单调性与对称性的双 剑合璧题更是命题者青睐的撞题点 7 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）已知分段函数的单调性求参数的取值范围； （2）若 ( )f x是定义在R上的奇函数， 当(0,)x时， 2 ( )2f xxx，求 ( )f x的解析式； （3）若方程 ( )f xm 有三个不同的根，求 m 的取值范围； （4）若
15、 ( )f x是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有(2)(2)f xf x ，当 0,2x 时， 2 ( )2f xxx，计算 (0)(1)(2)(2021)ffff 的值 【方法总结】【方法总结】 判断函数周期性的方法：判断函数周期性的方法： （1） 1 () ( ) f xa f x ，则 ( )f x的周期2Ta ； （2） ()()f xaf xa ，则 ( )f x的周期2Ta ； （3）若函数 ( )f x的图象关于点( ,0)a ，( ,0) b 对称，则 ( )f x是周期函数，且2|Tab ； （4）若函数 ( )f x的图象有两条对称轴xa ，xb，则 ( )f x是
16、周期函数，且2|Tab ； （5）若函数 ( )f x的图象关于点( ,0)a 对称，且关于直线xb对称，则 ( )f x是周期函数，且4|Tab 撞题点五撞题点五 幂指对函数的图象与性质幂指对函数的图象与性质 5（2021江苏四校高考数学联考）若 ln2ln3ln5 235 235 abc ，则 Aln5ln2ln3cabBln2ln5ln3acb Cln3ln5ln2bcaDln2ln3ln5abc 【答案】【答案】A 【解析】【解析】令 ln ( ) x f x x ，则 2 1ln ( ) x fx x ，可知当 (0,e)x 时， ( )0fx ，当 (e,)x，( )0fx ， 又
17、 ln22ln2ln4 (2)(4) 244 ff， ln3ln4ln2ln5 3425 ， 所以 ln2ln3ln5 235523ln5ln2ln3 235 abccab cab故选 A 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 幂指对函数作为基本初等函数，其图象与性质的应用仍然是高考中的热点，而幂、指数式和对数式的运 算有所降低重要题型：比较指数式与对数式的大小方法指点：利用指数函数、对数函数及幂函数的 性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减 性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较
18、大小， 另一方面注意特殊值 0，1 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小 8 【方法总结】【方法总结】 比较大小的方法：比较大小的方法： （1）利用函数的单调性； （2）利用中间量； （3）利用作差法或作商法； （4）利用数形结合法 撞题点六撞题点六 导数的几何意义导数的几何意义 6（2021河南省普通高中高考数学适应性试卷）若函数 1 ( )1e( x f xxaa 为常数)存在两条均过原点 的切线，则实数a的取值范围是 A 1 (0, ) e B 1 ( ,) e C(0,e)D(e,) 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题可得 1 ( )1e x fxa ，设切点坐标为 0
19、 00 1 1e(,) x xxa ， 则过原点的切线的斜率 0 0 1 1 0 0 1e 1e x x k xa a x ，整理可得 0 1 0 1 ex a x ， 因为存在两条过原点的切线，所以 0 1 0 1 ex a x 存在两个不同的解 设 1 e ( 1 ) x g x x ，则 111 22 (1)ee (1) e 1) ( ) ( xxx xx x g x x ， 当 (,0)x 时， ( )0g x ， 又1x ，所以 ( )g x在(, 1) ，( 1,0) 上单调递减， 当 (0,)x时，( )0g x ，所以 ( )g x在(0,)上单调递增， 因为当x 时， ( )
20、0g x 且 ( )0g x ，当x 时， ( )g x ， 作出 ( )g x的大致图象，如图所示， 又 1 (0) e g，所以当 1 e a 时， 0 1 0 1 ex a x 存在两个不同的解， 故实数a的取值范围是 1 ( ,) e 故选 B 9 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 曲线的切线方程问题是课标卷中的熟面孔了，一般比较基础用导数求切线方程的关键在于求出切点 00 (,)P xy及斜率，其求法为设 00 (,)P xy是曲线( )yf x上的一点，则以P为切点的切线方程为 0 yy 00 ()()fxxx 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）已知切点求
21、切线方程； （2）已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程； （3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围； （4）已知两个不同曲线有相同切线，求参数问题 【易错分析】【易错分析】 注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别： （1） ( )f x在点 00 (,()xf x处的切线方程为 000 ()()yyfxxx； （2）求曲线 ( )yf x 过点( , ) a b的切线方程，应先设切点坐标为 00 (,()xf x，由 000 ()()yyfxxx过 点( , ) a b，求得 0 x的值，从而求得切线方程另外，要注意切点既在曲线上又在切线
22、上 撞题点七撞题点七 函数零点（小题）函数零点（小题） 7（2021山东省济南市十一所学校高考数学联考）如果两个函数均存在零点，分别设为，若满足 | n ，则称这两个函数互为“n度零点函数”若 ( )ln(2)f xx 与 2 ( )lng xaxx互为“2度零 点函数”，则实数a的取值范围为 【答案】【答案】 1 (0, 2e 【解析】【解析】由题可知函数 ( )ln(2)f xx 的零点为 1 3x ， 设函数 2 ( )lng xaxx的零点为 2 x，则 2 |32x ，所以 2 15x， 则 2 22 ln0axx，可得 2 2 2 2 ln (15) x ax x ， 设 2 ln
23、 ( )(15) x h xx x ，则 3 12ln ( ) x h x x ， 当1 ex 时， ( )0h x ；当 e5x 时， ( )0h x ， 10 所以函数 ( )h x在1, e)上单调递增，在( e,5上单调递减， 所以 max 1 ( )( e) 2e h xh，又(1)0h， ln5 (5)0 25 h，所以 1 0 2e a， 故实数a的取值范围为 1 (0, 2e 故答案为 1 (0, 2e 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 函数的零点问题是数形兼具的题型，也是高频撞题点，经常作为压轴小题来考查处理思想：把函数问 题转化为方程解的问题，调整结构转
24、化为两个易画图象的交点个数问题 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 二分法确定零点的区间、零点范围问题、零点个数问题、零点与导数的问题 【方法总结】【方法总结】 利用函数的零点情况求参数值或取值范围的方法：利用函数的零点情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为求函数的值域问题； （3）转化为两个熟知函数的图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 撞题点八撞题点八 函数零点（解答题）函数零点（解答题） 8（2021深圳一模）已知函数 2 ( )ln2 (1ln )f xaxxx，aR （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）若函数 22
25、( )e( )2g xf xa有且仅有3个零点，求a的取值范围（其中常数e2.71828，是自然 对数的底数） 【解析】【解析】（1）由题可知函数 ( )f x的定义域为(0,)，( )2ln (1) a fxx x ， 若0a ，则10 a x ，当(0,1)x时，( )0fx，( )f x单调递增， 当 (1,)x时，( )0fx ， ( )f x单调递减； 若01a，当 (0, )xa 时， ( )0fx ，当 ( ,1)xa 时， ( )0fx ，当 (1,)x时，( )0fx ， 所以 ( )f x在(0, )a和(1,)上单调递减，在( ,1)a 上单调递增； 若1a ，则 ( )
26、0fx ，所以 ( )f x在(0,)上单调递减； 若1a ，当 (0,1)x 时， ( )0fx ，当 (1, )xa 时， ( )0fx ，当 ( ,)xa时，( )0fx ， 所以 ( )f x在(0,1)和( ,)a 上单调递减，在(1, )a上单调递增， 11 综上所述，当0a 时， ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；当01a 时， ( )f x在(0, )a和 (1,)上单调递减， 在( ,1)a 上单调递增； 当1a 时，( ) f x在(0,)上单调递减； 当1a 时，( ) f x在(0,1) 和( , )a 上单调递减，在(1, )a上单调递增 （2
27、）令 ( )0g x ，则 2 2 2 ( ) e a f x ，由题可知函数 ( )yf x 的图象与直线 2 2 e 2a y 有3个不同的交点， 由（1）可知必有01a或1a 当01a时， ( )f x在(0, )a和(1,)上单调递减，在( ,1)a 上单调递增， 所以 ( )f x的极大值为(1)2f ，极小值为 2 22 2 2 ( )(ln2ln2)(ln1)1 e a f aaaaaaa， 所以函数 ( )yf x 的图象与直线 2 2 e 2a y 的图象至多有1个交点，不合题意， 当1a 时， ( )f x在(0,1)和( ,)a 上单调递减，在(1, )a上单调递增， 所
28、以 ( )f x的极小值为(1)2f ， ( )f x的极大值为 2 ( )(ln2ln2)f aaaa， 所以必有 2 2 2 2 2(ln2l e n2) a aaa成立，因为 2 2 2 2 e a ，所以ea ， 所以 2 2 2 2 (l e n2ln2) a aaa，即 2 2 2 lnl2 e 2 n a aa(*) 下面求不等式(*)的解集， 令lnax，则不等式(*)等价于 22 2e22 x xx ， 令函数 22 ( )22e2 x h xxx ，则 2 ( )222exh xx ， 令 2 222exyx ，则 2 22exy ， 所以函数 2 222exyx 在( ,
29、2 上单调递增，在(2, )上单调递减， 又当2x 时， 2 222e0 x yx ，所以 ( )0h x 恒成立，故函数 ( )h x单调递减， 又(2) 0h ，所以当且仅当2x 时，( ) 0h x ， 所以不等式 22 2e22 x xx 的解集为( ,2) ，所以ln2a ， 所以 2 0ea，又 ea ，故 2 2 2 lnl2 e 2 n a aa的解集为 2 (e,e )， 所以a的取值范围为 2 (e,e ) 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 函数的零点问题是近几年高考中的热点题型常见题型有：利用导数讨论零点的个数；利用导数证明零 12 点的唯一性；根据零
30、点个数讨论参数的范围 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）若函数 22 ( )e( )2g xf xa至多有一个零点，求a的取值范围； （2）若关于x的方程 22 ( )e( )02g xf xa有三个不同的实数根，求a的取值范围； （3）若关于x的方程 22 ( )e( )02g xf xa至多有一个实数根，求a的取值范围 【方法总结】【方法总结】 判断函数零点个数的常用方法：判断函数零点个数的常用方法： （1）直接研究原函数，明确函数的单调性，求出函数的极值与最值，画出草图函数的零点个数即函 数图象与 x 轴的交点个数； （2）分离出参数，转化为 ( )mx ，利用导数知识明确函数 (
31、 ) x 的单调性、极值与最值，结合图象， 函数的零点个数即直线y m 与 ( )yx 图象的交点个数 撞题点九撞题点九 导数的应用（参数取值范围）导数的应用（参数取值范围） 9（2021江西上饶一模）已知函数( )e(lnln ) x f xaxaxx，若不等式 ( )f xx 在 (0,)x上恒成 立，则实数a的取值范围为 A(1, ) B2 e ,)C 1 e,)D 2 1 e,) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由 ( )f xx 可得e(lnln ) x axaxxx，即 e lnln1 x a axx x ， 故 (lnln )0 elnlne0 a xx axx 在 (0,)
32、x上恒成立 因为( )exg xx在R上单调递增，所以lnln0axx在 (0,)x上恒成立， 所以lnlnaxx在 (0,)x上恒成立，令( )lnh xxx ，则 11 ( )1 x h x xx ， 当 (0,1)x 时， ( )0h x ，( ) h x单调递增；当(1,)x时，( )0h x ，( ) h x单调递减， 所以 max ( )(1)1h xh ，所以ln1a ，解得 1 e a ， 所以实数a的取值范围为 1 e,)，故选 C 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 导数应用是高考命题的热点内容，应用导数研究函数的单调性、极值、最值，难度中等偏上，属于综合
33、 13 性较强的内容 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 求函数的单调区间（极值或最值）、根据单调性（极值或最值）求范围、比较大小、根据零点个数确定 范围 【方法总结】【方法总结】 （1） 利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题， 往往根据已知与所求合理构造函数， 常用构造方法有： 条件含有 ( )( )f xfx ，就构造( )e( ) x g xf x； 若 ( )( )f xfx ，就构造 ( ) ( ) ex f x g x ； 若2 ( ) ( )f xfx ，就构造 2 ( )e( ) x g xf x； 若2 ( ) ( )f xfx ，就构造 2 ( ) ( ) e x f x
34、g x ； 若 ( )( )nf xxfx ，就构造( )( ) n g xx f x （2）同构技巧： 1 11ln1 ln lneln( ln ) x x yxxxfx x ； 1 ln 111 111 ln1 ln(ln) eln x x y x f xxx x ； e11 e() x x y xxfx ； e(e)() e xx x x yxxfx 撞题点十撞题点十 利用导数处理恒成立问题利用导数处理恒成立问题 10（2021江西省高考数学教学质量检测）已知函数( )ecos x f xxaxbx，e为自然对数的底数 （1）当0b 时，讨论函数 ( )f x极值点的个数； （2）当2b
35、 ，0 x 时，都有( )2e4 x f x ，求实数a的取值范围 【解析】【解析】（1）当0b 时，( )e( )(1)e xx f xxaxfxxa， 记 ( )( )g xfx ，( )(2)exg xx，令 ( )0g x ，得2x ， 2 1 ( 2) e fa ， 当2x 时， ( )0g x ， ( )g x单调递减， 2 1 ( ) e afxa， 14 当2x 时， ( )0g x ， ( )g x单调递增， 2 1 ( ) e fxa， 当 2 1 0 e a ，即 2 e 1 a 时，( )0fx，( )f x单调递增，无极值点； 当 2 1 0 e a 且0a ，即 2
36、 0 e 1 a时，( )0fx有两个不同的根，( )f x有两个极值点， 当0a 时， ( )0fx 有一个根， ( )f x有一个极值点 （2）依题意(2)e2cos40 x xaxx对任意的0 x 恒成立， 记( )(2)e2cos4 x h xxaxx，(0) 0h ，则( )(1)e2sin x h xxax， (0)1ha ， 令( ) ( )t xh x ，则( )e2cos x t xxx，所以0, 2 x 时，e0 x x，2cos 0( )0 xt x ， ,) 2 x 时， 2 ee2 2 x x ， ( )22cos0t xx ，所以 ( )h x 在(0, )上单调递
37、增， 10a 即1a 时， ( )(0)10h xha ， 所以( ) h x在(0,)上单调递增，所以( )(0)0h xh 恒成立； 10a 即1a 时， (0)0h ， 4 (4)(3)e2sin(4)32sin(4)0 a haaaaaaa ， 所以存在 0 (0,4)xa，使得 0 ()0h x，当 0 0 xx时，( )0h x，所以( )h x在 0 0,x上单调递减， 当 0 0 xx时，( )(0)0h xh，与题意不符 综上所述，实数a的取值范围是1, ) 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 在不等式恒成立或不等式有解的条件下求参数的取值范围，一般利用等价
38、转化的思想将其转化为函数 的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）对于任意的 1 , xa b，总存在 2 , xm n，使得 121 max2max ()()()()f xg xf xg x； （2）对于任意的 1 , xa b，总存在 2 , xm n，使得 121 min2min ( )()( )()f xg xf xg x； （3）若存在 1 , xa b，对于任意的 2 , xm n，使得 121 min2min ( )()( )()f xg xf xg x； （4）若存在 1 , xa b，对于任意的 2
39、, xm n，使得 121 max2max ()()()()f xg xf xg x； （5）对于任意的 1 , xa b， 2 , xm n，使得 121 max2min ()()()()f xg xf xg x； 15 （6）对于任意的 1 , xa b， 2 , xm n，使得 121 min2max ()()()()f xg xf xg x； （7）若存在 1 , xa b，总存在 2 , xm n，使得 121 min2max ()()()()f xg xf xg x； （8）若存在 1 , xa b，总存在 2 , xm n，使得 121 max2min ()()()()f xg
40、xf xg x 【方法总结】【方法总结】 恒成立问题的处理方法：参变分离；数形结合；含参讨论；端点效应；必要性探路等方法 撞题点十一撞题点十一 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 11（2021江苏省镇江市高三下学期模拟信息卷）已知e为自然对数的底数，函数( )eln(1) x f xax （1）设1x 是 ( )f x的极值点，求a的值和函数( )f x的单调区间； （2）当 0, x时， ( )sine2 x f xx恒成立，求a的取值范围 【解析】【解析】（1）因为( )e 1 x a fx x ，由 ( )01 f ，得2ea ， 所以 e (1)2e ( )e 1 2e 1 x x
41、 x fx xx ， 当 ( 1,1)x 时， ( )0fx ；当 (1,)x时，( )0fx 所以函数 ( )f x在( 1,1) 上单调递减，在(1, )上单调递增 （2）令( )( )sine22eln(1)2sin xx g xf xxaxx， 0, x， 当 0, x时， ( )sine2 x xfx恒成立等价于( ) (0)0g xg 恒成立 由于( )( )cose2ecos 1 xx a g xfxxx x ， 0, x， 所以，当0a 时，( )2e10 x g x ，函数 ( )yg x 在0, 上单调递增， 所以当 0, x时，( )(0)0g xg 恒成立，符合题意；
42、当0a 时，( )2ecos 1 x a g xx x 在0, 上单调递增，(0)211gaa 当10a，即10a 时， ( )(0)10g xga ， 函数 ( )yg x 在0, 上单调递增，所以当0, x时，( )(0)0g xg 恒成立，符合题意； 当10a，即1a 时， (0)10ga ，( )2e1 1 a g ， 若 ( )0g ，即(1) 21)e(a 时， ( )g x 在(0, ) 上恒小于0， 则 ( )g x在(0, )上单调递减，( )(0)0g xg ，不符合题意； 16 若 ( )0g ，即(1)(2e1)1a 时，存在 0 (0, )x 使得 0 ()0g x，
43、 所以当 0 (0,)xx时，( )0g x ，则 ( )g x在 0 (0,)x上单调递减，所以( )(0)0g xg，不符合题意 综上所述，a的取值范围为 1, ) 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 利用导数证明不等式是高考热点题型，解题关键是构造辅助函数，通过构造辅助函数将不等式的证明 问题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 构造函数证明不等式、双变量不等式证明、极值点偏移题型、数列型不等式的证明 【方法总结】【方法总结】 此类试题此类试题的解题策略：的解题策略： （1）构造差函数( ) ( )( )h xf xg x 根据差函数
44、导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等 量关系，进而证明不等式 （2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利 用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数 撞题点十二撞题点十二 三角恒等变换三角恒等变换 12（2021安阳一模）已知 2cos(2) 3 7 sin() 6 ，则cos() 3 A 1 2 B 1 4 C 2 7 D 2 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题可得 2 2cos(2)212sin () 36 7 sin()sin() 66 ，所以 2 212sin ()7sin() 66 ， 化简可得4sin()1sin()2
45、0 66 ，因为sin() 1,1 6 ，所以 1 sin() 64 ， 所以 1 cos()cos()sin() 36264 故选 B 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 三角函数化简求值是高考常考撞题点，对诱导公式、同角基本关系式、二倍角公式的考查是本类问题 17 的重要考查方向之一，本撞题点高考要求不高，掌握课本习题难度即可 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简、三角函数式的证明 【方法总结】【方法总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角 进行合理的拆分，从而正确使用公式
46、 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式， 常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通 分”，“遇根式要升幂”等 撞题点十三撞题点十三 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 13（2021济南一模）函数 ( )yf x 在 2 ,2 上的图象如图所示，则( )f x的解析式可能是 A ( )sincosf xxx B ( ) |sin|cosf xxx C ( )sin |cosf xxx D ( )sin |cos|f xxx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由函数图象可得，函数 ( )f x的图象关于y轴对称，可得函数
47、( )f x是偶函数 对于 A：因为( )sincos2sin() 4 f xxxx ，所以选项 A 不符合题意； 对于 C：若 ( )sin |cosf xxx ，当 ,2 x 时，sin | sinxx ， 所以( )sincos2sin()2 4 f xxxx ，所以当 3 42 x 时，即 5 4 x 时，( )f x取得最小值为 2 ，与图中 ( )f x的最小值为 1矛盾，故选项 C 不符合题意； 对于 D：因为函数 ( )f x的图象经过点( , 1) ，而选项 D 中 ( )1f ，所以选项 D 不符合题意； 故选 B 考题猜测全视角 【为什么猜这道题】【为什么猜这道题】 三角
48、函数的图象与性质属于高考必考撞题点，难度中等或偏上常考题型有：三角函数的图象变换， 求三角函数的解析式，三角函数的定义域、值域、周期性、单调性与对称性 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 判断三角函数的最值（周期、对称性等）、三角函数的图象变换、已知函数图象求函数的解析式 18 比如比如：（2021江西质检）已知函数( )2sin()(0,) 2 f xx 的一个周期的图象如图所示， 其中 (0)1f ， (1)0f ， 12 1 ()() 2 f xf x ，则 21 (2)f xx A 7 4 B 15 4 C 7 4 D 15 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由 (0)1f ，可得
49、 1 sin 2 ，又 2 ，所以 5 6 ， 由 (1)0f 可得 2k ，k Z，可得2 6 k ，k Z， 因为周期 4(10)4T ，所以 2 4 ，所以0 2 ，所以 6 ，所以 2 12T ， 所以 5 ( )2sin() 66 f xx ，因为 11 51 ()2sin() 662 f xx ，所以 1 51 sin() 664 x ， 因为 3 (4)2sin2 2 f ，所以点 1 ( 2 , 1) x ， 2 ( 2 , 1) x 关于直线4x 对称， 设 1 55 (4)() 6666 x ，则 1 351 sin()sin() 2664 x ，所以 1 cos 4 ，
50、又 21 55 ()()2 6666 xx ，所以 21 ()2 6 xx ， 所以 2121 517 (2)2sin()2sin(2 )2cos22(21) 6362164 f xxxx 故选 A 【方法总结】【方法总结】 （1）已知函数 sin()(0,0)yAxB A 的图象求解析式， maxminmaxmin |, 22 yyyy AB ； 由函数的周期T求， 2 T ； 利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求 （2）函数 sin()(0,0)yAxB A 的性质： max yAB， min yAB ； 周期 2 T ； 由 () 2 xkkZ求对称轴； 19 由 2
