1、1 2021 年撞上高考题年撞上高考题 目录目录 数学（文）数学（文） 撞题点一集合与常用逻辑用语.2 撞题点二复数.5 撞题点三初等函数及其性质. 6 撞题点四导数的几何意义. 10 撞题点五导数的应用（小题型）.10 撞题点六不等式的性质. 12 撞题点七线性规划. 13 撞题点八三角函数的图象与性质.14 撞题点九 向量的线性运算及有关概念.18 撞题点十 数列（小题）. 20 撞题点十一 立体几何（小题）.22 撞题点十二 直线与圆的位置关系.27 撞题点十三 圆锥曲线的基本性质.28 撞题点十四 概率统计（小题）.33 撞题点十五 创新题. 37 撞题点十六 概率统计解答题. 39
2、撞题点十七数列解答题. 42 撞题点十八解三角形解答题.44 撞题点十九立体几何解答题.46 撞题点二十圆锥曲线解答题.48 撞题点二十一函数导数解答题.54 撞题点二十二坐标系与参数方程.59 撞题点二十三不等式选讲. 62 2 撞题点一撞题点一集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 1 (四川省成都市川大附中 2021 届高三第二次模拟)已知R是实数集，集合| 2AxxZ，B |210 xx ，则()AB R A 1 ,1 2 B 1C 1,0D 1 (, ) 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】| 2=| 22 1,0,1Axxxx ZZ， 1 |210 | 2 Bxxx x ，则 1
3、 | 2 Bx x R ，所以() 1,0AB R .故选 C. 考题猜测全视角 【为什么猜这个题【为什么猜这个题？】 根据高考大数据分析，集合作为送分题，主要考查集合的交、并、补运算，同时结合考查函数的 定义域、值域及不等式的解法，也可能考查集合间的关系、集合的元素个数等 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）求两个集合的交集AB； （2）求两个集合的并集AB； （3）求两个集合的补集() U AB 或() U BA 或() U BA 或() U AB 等； （4）集合的元素个数； （5）n个元素集合的子集个数为2n，真子集的个数是2 1 n ，非空子集的个数是2 1 n ，非空真 子集的
4、个数是2 2 n 【方法总结】【方法总结】 （1）认清元素的本质属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形） 和化简集合是正确求解的两个先决条件特别是要注意集合的两种表示法中的列举法、描述法的等价 转换. （2）注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则会 因为不满足元素的“互异性”而导致解题错误 （3）注意空集在解决有关 AB=（为空集），AB 等集合问题时，易忽略空集的情况， 一定要讨论空集时的情况，以防漏解 3 2 （北京市丰台区 2021 届高三二模数学试题）“1a ”是“直线10 xay 与直线10axy 相互 垂直”的 A充分
5、不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】因为直线10 xay 与直线10axy 相互垂直， 所以1( 1)0aa ，所以aR. 当1a 时，直线10 xay 与直线10axy 相互垂直，所以“1a ”是“直线10 xay 与直 线10axy 相互垂直”的充分条件； 当直线10 xay 与直线10axy 相互垂直时，1a 不一定成立，所以“1a ”是“直线x ay 10 与直线10axy 相互垂直”的不必要条件. 所以“1a ”是“直线10 xay 与直线10axy 相互垂直”的充分不必要条件. 故选 A. 3(新疆巴音郭楞蒙古自治州第二
6、中学 2021 届高三上学期第二次摸底)若0ba，则下列不等式： ab；abab； 2 2 a ab b 中，正确的不等式的有 A0 个B1 个 C2 个D3 个 【答案】【答案】C 【解析【解析】 由0ba知：| | |ba ，0abab， 而 2 ()0ab， 则有 22 2abab ， 即 2 2 a ab b ， 即都正确.故选 C. 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 充分条件和必要条件是数学推理中非常重要的概念，也是高考的热点之一，涉及知识范围很广.涉及 充要条件的问题往往需要对知识有本质的了解，特别是那些容易出现错误的地方和那些理解的不够深入 4 的知识点，
7、考查充要条件问题可以很好地分辨学生掌握知识的水平和深度，高考试题中经常考查充分性 和必要性的判断 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）充要条件可以和立体几何的概念、定理进行组合，考查学生的空间想象能力； （2）充要条件可以和不等式的性质组合，反映不等式的推理论证关系； （3）充要条件的判断可以通过集合之间的关系得到 【方法总结】【方法总结】 充分条件、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假，并注意和图示相结合，例如“pq”为真， 则p是q的充分条件； （2）等价法：利用pq与 q p ，q p与p q 的等价关系，对于条件或结论是否定 式的命题，一
8、般运用等价法； （3）集合法：若AB，则A是B的充分条件且B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条 件 4(山东省德州市 2021 届高三二模)已知命题:0px ，ln10 x，则 p 为 A0 x ，ln10 x B 0 0 x， 0 ln10 x C0 x ，ln10 x D 0 0 x， 0 ln10 x 【答案】【答案】B 【解析【解析】对命题否定时，全称量词改成存在量词，同时否定结论，即 p 为： 0 0 x， 0 ln10 x . 故选 B 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 根据大数据分析，本撞题点考查全称命题和存在性命题，考查热点为命题的否定，易错点为
9、否命题 与命题的否定，难点为命题真假的判断要注意区分否命题与命题的否定，否命题需同时否定命题的条 件与结论，而命题的否定只需否定命题的结论 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）全称命题和存在性命题的否定的写法及与函数的性质相结合的一些问题； 5 （2）含有一个量词的命题的否定，可以是全称命题转化为存在性命题，也可以是存在性命题转化 为全称命题 【方法总结】【方法总结】 判断含有逻辑联结词的命题的真假， 需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假， 再依据“或” 一真即真，“且”一假即假，“非”真假相反，作出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围 时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据
10、“pq”“pq”“ p ”形式命题的真假，列出含有参数的不 等式（组）求解即可 撞题点二撞题点二复数复数 5 （河南省六市 2021 届高三第二次联考）在复平面内，复数z满足 2 1 i1 i2iz ，则复数z对 应的点位于 A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由已知得 2 1 i1 i2i3iz ， 则 3i1 i3i42i 2i 1 i1 i1 i2 z ， 所以复数z对应的点为2, 1，位于第三象限.故选 C 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 高考每年必考一道考查复数的题目，重点考查复数的代数形式的四则运算，偶尔也和其他
11、知识交汇 进行考查，比较基础，但是复数问题有逐渐加大难度的趋势经常涉及的基本概念有：复数的分类、实 部、虚部、复数的模、共轭复数、复数相等、复数的几何意义等备考指南：试题难度与课本上的题目 难度持平，掌握好课本上的习题，即可从容应考 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）复数的基本概念； （2）复数的运算； （3）复数的几何意义 6 【方法总结】【方法总结】 复数运算中的常用结论： （1）掌握in的运算，了解其具有周期性的特点： i4n=1，i4n 1=i，i4n2=1，i4n3=i， * nN （2）掌握复数的基本的运算技巧，加快解题的速度： z z=|z|2， 2 (1i)2i， 2 (
12、1i)2i ，1 i 1i =i， 1i 1i =i，|z1z2|=|z1|z2|， 1 1 22 z z zz （3）熟练运用复数的加、减、乘、除的运算法则. 撞题点三撞题点三初等函数及其性质初等函数及其性质 6(广西玉林市、柳州市 2021 届高三第二次模拟)函数 2 1 ( )sin 2 f xxxx的部分图象可能是 【答案】【答案】C 【解析【解析】 22 11 ()()()sin()sin( ) 22 fxxxxxxxf x ，即 fxf x，xR，则函数 f x是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项 A、B； 由 2 111 ( )( )(1)0 62662626 f ，可排除选项
13、 D， 故选 C 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 函数图象是高考的常考内容之一，在新的数学软件普遍使用的情况下，将三角函数与幂函数、指数 函数、对数函数、二次函数相结合成为命题的一种趋势.常见的命题方法是：（1）给出函数的表达式， 7 研究函数的图象；（2）以实际背景给出变量间的关系，研究函数的图象；（3）已知函数的图象判断函 数的解析式 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）给定函数图象判断函数的解析式； （2）给定函数的解析式判断函数的图象 【方法总结】【方法总结】 函数图象的辨识可以从以下方面入手： （1）从函数的定义域、值域判断，通过定义域可以判断图象的左、
14、右位置，将超出范围的图象去 掉； （2）从函数的单调性，判断变化趋势，可以根据函数的构成分析函数的单调性，也可以通过对函 数求导，研究函数的单调性，利用单调性确定函数的图象； （3）从函数的奇偶性判断函数图象的对称性，也可以通过函数图象的对称性确定函数的奇偶性； （4）从函数的周期性判断； （5）从函数图象过的特殊点，可以准确有效地排除不符合要求的图象，是解决图象类问题的一大 利器； （6）极限思想，借助分析函数值的变化趋势，从极端的角度分析，比如：研究x趋向于 0 或无穷 大等时的图象的可能情况 7. (四川省绵阳市 2021 届高三第三次诊断)已知 0.3 1 ( ) 3 a ， 1 3
15、log 0.3b ， b ca ，则a，b，c的大小 关系为 Abac B bca Ccba Dabc 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 0.3log0.30.3 1 11 3 33 log 0.3log 0.3 0.30.3 ( )( ) 111 (0.3 33)3 b ca ， 由于函数 0.3 yx在0,+上单调递增，所以 0.30.30.3 1 11( )0.30 3 ac， 由于函数 1 3 logyx 在0,+上单调递减，所以 11 33 1 log 0.3log1 3 b ， 所以bac. 故选 A 8 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 幂、指、对函数
16、作为基本初等函数，其图象与性质的应用仍然是高考中的热点，而对幂、指数式和 对数式的运算要求有所降低重要题型有： （1）比较指数式与对数式的大小； （2）解关于含有函数的不等式； （3）判定方程的解的个数问题； （4）确定函数的单调性和奇偶性，并证明； （5）不等式恒成立的问题. 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 已知函数 2 ( )log1f xx. （1）求满足不等式 2 (4)1f xf x的 x 的取值范围； （2）当 m 取何值时，方程 32fxm有一个解？两个解？ （3）求 2 (23)yf xx在区间0, )上的值域或单调性； （4）若不等式 2( ) 2 ( )30fxf xm在
17、 R 上恒成立，求 m 的取值范围 【方法总结【方法总结】利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个 实数或式子形式的异同，结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小，底数相同，考虑指数函 数的单调性；指数相同，考虑幂函数的单调性；当底数和指数都不相同时，考虑分析数或式子的大致范 围来比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用来比较大小 8(广西玉林市、柳州市 2021 届高三第二次模拟)已知关于x的方程ln2lnxax有三个不相等的实 数根，则实数a的取值范围是 A e ( ,) 2 B 2 e (,) 4 C(e,)D 2 (e
18、 ,) 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由关于x的方程ln2lnxax有三个不相等的实数根，可知直线lnyxa与函数 9 2lnyx的图象有三个交点.画出直线lnyxa与函数2lnyx的大致图象如图所示： 显然当0 x 时，直线lnyxa与函数2lnyx的图象有一个交点； 则当0 x 时，只需直线lnyxa与函数2lnyx的图象有两个交点即可. 令 2 1y x ，得2x ，则直线lnyxa与函数2lnyx的图象相切时，切点坐标为2,2ln2， 此时 2 e 4 a .由图象可知，当 2 e (,) 4 a时，直线 lnyxa与函数2lnyx的图象在0 x 时有 两个交点. 则当 2 e
19、(,) 4 a时，关于x的方程 ln2lnxax有三个不相等的实数根故选 B 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 函数的零点问题是数形兼具的题型，也是高频撞题点，经常作为压轴小题来考查解题思想：把函 数问题转化为方程解的问题，调整结构为两个易画图象的函数考查方式有：求函数的零点（或确定零 点所在的区间），零点个数的判断，所有零点的和，零点构成的式子的范围等 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）二分法确定零点的区间，此类问题比较基础； （2）零点范围问题，此类问题是确定解的精确度的问题； （3）零点个数问题，此类问题往往可以将函数问题转化为方程解的个数问题，也可以将方程
20、解的 个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题； （4）零点与导数的综合； （5）零点有关的创新试题 【方法总结】【方法总结】 利用函数的零点情况求参数值或取值范围的方法： 10 （1）利用零点存在性定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为求函数的值域问题； （3）转化为两个熟知函数的图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 撞题点四撞题点四导数的几何意义导数的几何意义 9(四川省绵阳市 2021 届高三第三次诊断)若曲线 2 eln x f xxmx在点 1,1f处的切线过点 0,0，则实数m_. 【答案】【答案】2e 【解析】【解析】 2e ln x f xxmx，则 2 2ex m f
21、xxx x ，所以 1e,13effm， 则曲线 2e ln x f xxmx在点 1,1f处的切线方程为e3e1ymx ， 又因为切线过点0,0，所以0e3e0 1m ，解得2em . 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 曲线的切线问题是课标卷中的常考内容之一， 一般考查利用导数求某一点处的切线方程， 难度不大， 近几年高考均有考查 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）已知切点坐标求切线方程； （2）已知切线方程（或斜率）求切点坐标或曲线方程； （3）已知曲线方程求切线倾斜角的取值范围； （4）已知两条不同的曲线有相同的切线，求参数问题 【方法总结】【方法总结】 用
22、导数求切线方程的关键在于求出切点 00 (,)P xy及切线的斜率设 00 (,)P xy是曲线( )yf x上的一 点，则以P为切点的切线方程为 0 yy 00 ()()f xxx 撞题点五撞题点五导数的应用（小题型）导数的应用（小题型） 10(江苏省徐州市 2021 届高三下学期第三次调研)已知函数 ( )f x是定义在区间(0,)上的可导函数， 11 满足( )0f x 且( )( )0f xfx （( )fx 为函数 ( )f x的导函数） ，若0 1ab 且1ab ，则下列 不等式一定成立的是 A( )(1) ( )f aaf bB( )(1) ( )f ba f a C( )( )
23、af abf bD( )( )af bbf a 【答案】【答案】C 【解析【解析】构造函数( )e( ) x F xf x，则( )e ( ( )( )0 x F xf xfx，即( )F x单调递减，01a b， ( )( )F aF b， 即e( )e( ) ab f af b， 即 1 ( ) ee ( ) a b a a f a f b ， 选项可变形为： A ( ) 1 ( ) f a a f b ， B ( )1 ( )1 f a f ba ，C 2 ( )1 ( ) f ab f baa ，D 2 ( ) ( ) f a a f b . 对于选项 C，证明 1 2 1 e a a
24、 a ，即证 1 2ln0(0,1)aaa a 成立，令 1 ( )2ln (0h aaaa a 1)，则 2 22 12(1) ( )10 a h a aaa ，( )h a在(0,1上单调递减，( )(1)0h ah，当 01a时， 1 2ln0aa a 成立，则选项 C 正确.若选项 B 成立，则必有 1 1 e 1 a a a ，即 1 a a ln(1)0(0,1)aa成立，取 1 e a ，则 111 eln(1)eln(e 1) 10 eee ，矛盾，则选项 B 不正确；同理选项 D 不正确. 故选 C. 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 导数的应用是高考
25、命题的热点，常应用导数研究函数的单调性、极值、最值，难度中等偏上，属 于综合性较强的内容根据题意合理地构造函数，再利用导数研究函数的单调性，得到问题的解答 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）求函数的单调区间（极值或最值）； （2）根据函数的单调性（极值或最值）求参数的取值范围； （3）不等式恒成立问题； （4）根据零点个数确定参数的取值范围 12 【方法总结】【方法总结】 掌握好常用的构造函数的几种方法： （1）条件中含有 ( )( )f xfx 时，构造( )e( ) x g xf x； （2）条件中含有 ( )( )f xfx 时，构造 ( ) ( ) ex f x g x ； （3
26、）条件中含有2 ( ) ( )f xfx 时，构造 2 ( )e( ) x g xf x； （4）条件中含有2 ( ) ( )f xfx 时，构造 2 ( ) ( ) e x f x g x ； （5）条件中含有 ( )( )nf xxfx 时，构造( )( ) n g xx f x 撞题点六撞题点六不等式的性质不等式的性质 11 （天津市部分区 2021 届高三下学期质量调查）设0a ，0b ，且 2 51abb ，则ab的最小值 为_. 【答案】【答案】 4 5 【解析】【解析】因为 2 51abb ，所以 2 11 555 bb a bb ， 所以 114 5555 bb abb bb
27、144 2 555 b b ， 当且仅当 3 10 a， 1 2 b 时，等号成立， 所以ab的最小值为 4 5 . 故答案为 4 5 . 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 近几年高考单纯考查基本不等式的题目很少，但并不意味着不考，基本不等式作为重要工具，经 常与其他知识点交汇进行考查，比如结合函数、解析几何的最值及范围问题等进行考查 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）利用基本不等式求最值； （2）求参数的取值范围； （3）证明不等式； 13 （4）实际应用问题 【方法总结】【方法总结】 利用基本不等式求最值时，要注意必须满足的三个条件，即一正二定三相等： （1）
28、“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必 须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定 值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 撞题点七撞题点七线性规划线性规划 12 （三省三校“333”2021 届高考备考诊断性联考）若实数x，y满足约束条件 10 10 220 xy xy xy ，则 22 1zxy的最小值为 A 1 2 B1 C 3 2 D 2 1 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】作出约束条件 10 10 220 x
29、y xy xy 表示的平面区域，如图中阴影部分所示， z的几何意义为平面区域内的点到原点的距离的平方加 1， 所以z的最小值为 2 22 | 1|3 ()1 2 11 .故选 C 14 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 高考中线性规划几乎每年必考，多出现在第 5-9 题或第 13-14 题的位置，题目比较简单，常见的类 型有截距型（ax by 型）、斜率型（ yb xa 型）和距离型（ 22 ()()xayb型），与其他知识点交汇 考查的可能性较小 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）求表示的平面区域的面积； （2）求目标函数的最值； （3）利用目标函数的最值求参数
30、的取值范围； （4）线性规划的实际应用 【方法总结】【方法总结】 线性规划问题需要明确的几个问题： （1）首先，明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线； （2）其次，确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率，还是 点到直线的距离等，特别是要将目标函数同几何意义进行联系，得到符合要求的解； （3）最后，结合图形确定目标函数的最值或取值范围 撞题点八撞题点八三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 13 （四省（四川云南贵州西藏） 名校 2021 届高三第一次大联考） 已知为锐角， 且满足sincos 3 3 ，则cos2的值为 A 5 3 B 5
31、 3 C2D 5 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由为锐角，且满足 3 sincos 3 ， 可知(,) 4 2 ，则2(, ) 2 ，可排除选项 A、B， 由 3 sincos 3 得 222 1 (sincos )sin2sincoscos1 sin2 3 ， 15 所以 2 sin2 3 ，所以 2 25 cos21 ( ) 33 故选 D 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 三角函数的化简求值是高考的常考题型，诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等是 重要的考查点，高考对本知识点的要求虽然不高，但是必须对三角函数公式正向、逆向的运用、变形 的运用熟
32、练掌握，才能拿到高考试题的分值 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）给角求值； （2）给值求值； （3）给值求角； （4）三角函数式的化简； （5）三角函数式的证明 【方法总结】【方法总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用 公式，要学会根据三角函数值来缩小角的范围的方法，合理有效地降低问题的难度； （2）二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； （3）三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”，“遇根 式要升幂”等 14 (江西
33、省赣州市会昌县七校 2021 届高三联合)已知函数( )sin(2)(0,|) 2 fxx 的图象的 相邻两条对称轴之间的距离为 2 ， 将函数 yf x的图象向左平移 3 个单位长度， 得到的图象关于原 点对称，则下列说法正确的是 A函数 f x的周期为 2 B函数 f x的图象关于点(,0) 6 对称 16 C函数 f x在, 2 2 上有且仅有 1 个零点 D函数 f x在, 12 3 上为减函数 【答案】【答案】D 【解析【解析】因为函数 f x的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 ，所以 22 T ，T ，故 A 错误； 由 2 2 得1， 则 sin(2)f xx， 将函数 yf
34、 x的图象向左平移 3 个单位长度后的图象 对应的解析式为 2 sin2()sin(2) 33 yxx ，其图象关于原点对称，所以sin(2yx 2 ) 3 为奇函数，则 2 sin()0 3 ，所以 2 , 3 kk Z，因为| 2 ，所以1k ， 3 ， 于是( )sin(2) 3 f xx ，因为 3 ( )sin(2)0 6632 f ，所以 B 错误； 因为()sin2 ()0 663 f ， 2 ( )sin()0 333 f ，故 C 错误； 由 123 x 得2 23 x ，所以函数 f x在, 12 3 上为减函数，故 D 正确. 故选 D 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？
35、】【为什么猜这个题？】 三角函数的图象与性质属于高考必考知识点，难度中等或偏上常考题型有：三角函数的图象变 换，求三角函数的解析式，三角函数的定义域、值域、周期性、单调性与对称性 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）考查三角函数的性质（最值、周期性、对称性等）； （2）三角函数的图象变换； （3）已知函数图象求函数的解析式 【方法总结】【方法总结】 （1）已知函数 sin()(0,0)yAxB A 的图象求函数的解析式： 17 maxminmaxmin , 22 yyyy AB ； 由函数的最小正周期T求 2 ,T ； 利用“五点法”中的特殊点求，一般用最高点或最低点解决此类问题的关键是将
36、解析式中的 , , ,A BT 与函数图象联系起来， 建立起关于, , ,A BT 的方程组， 通过解方程组得到, , ,A BT 的值，进而得到函数的解析式. （2）函数 sin()(0,0)yAxB A 的性质： maxmin +yA ByAB ，； 最小正周期 2 T ； 由 () 2 xkkZ求图象的对称轴； 由 ()xkkZ求图象的对称中心； 由 2 2 () 22 kxkkZ求函数的单调递增区间；由 3 2 2 ( 22 kxkk )Z求函数的单调递减区间解决此类问题的关键是将x 看成一个整体，再根据 x 需要满足 的条件确定函数的各种性质. 15 （河南省六市 2021 届高三第
37、二次联考）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若sin2 sinbAcB， 1 cos 4 B ，3b ，则ABC的面积为_. 【答案】【答案】 9 15 16 【解析】【解析】sin2 sinbAcBQ，由正弦定理得2bacb，即2ac， 由余弦定理得 222 cos 2 acb B ac ，即 22 2 149 44 cc c ，解得 2 9 4 c ， 又0c ， 3 2 c ，3a ， 0B ， 2 15 sin1 cos 4 BB ， 故ABC的面积为 113159 15 sin3 222416 ABC SacB . 18 故答案为 9 15 16 . 考题猜测全视
38、角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 如果解答题考查数列，则必考一道解三角形的小题，难度中等偏上主要考查利用正、余弦定理 解决边角问题，将正、余弦定理与面积相结合，与正弦定理相关的解的个数问题，判断三角形的形状， 正、余弦定理与平面向量、不等式、函数等知识的综合应用 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 （1）利用正、余弦定理解三角形； （2）判断三角形的形状； （3）与面积相关的问题； （4）解斜三角形 【方法总结】【方法总结】 解三角形问题，多为边、角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化 边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是： 第一步：定条件，即
39、确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实现边角之间的互化； 第三步：根据所给的条件，利用正弦定理、余弦定理、三角形的面积建立关于边角为未知数的方 程组，解方程组求出结果 撞题点九撞题点九 向量的线性运算及有关概念向量的线性运算及有关概念 16(2021 届云南省昆明市高考“三诊一模”第二次教学质量检测)已知点P是ABC所在平面内的一点， 且PA PBPC 0 uuruuruuu r ，则 A 12 33 PABABC B 21 33 PABABC C 12 33 PABABC D 21 33 PABABC 【答案】
40、【答案】D 【解析】【解析】由题意，,PABAPB PAACPC ，而PA PBPC 0 uuruuruuu r ， 3PA BAAC 0 ，又AC BCBA ，3 2PABABC 0 ， 19 21 33 PABABC .故选 D 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 考查平面向量的题目每年必考一道，重点考查向量的几何运算与代数运算，难度较小此类问题 一般单独命题，有时作为工具，在解答题中与其他知识交汇进行考查常见题型有：平面向量的有关 概念、平面向量的线性运算、共线向量定理及应用、平面向量基本定理等 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 平面向量基本概念的考查、共线向量定理
41、及应用、平面向量基本定理的应用、向量平行与垂直的 坐标运算 【方法总结】【方法总结】 若, ,A B C三点共线，P 是平面内任意一点，则存在实数t，使得1PCtPAt PB . 17 （云南省红河州 2021 届高中毕业生第一次复习统一检测）已知向量1,1m，2,2n， 若2mnmn，则的值为 A 8 3 B 11 3 C1D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】因为向量1,1m，2,2n，所以324,4mn，1, 1 mn， 又2mnmn，所以 23440 mnmn，解得 8 3 .故选 A 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 平面向量的数量积问题是高考重点考查的内
42、容，研究该问题主要有两个思路： （1）代数法：建立平面直角坐标系，利用坐标研究数量积问题； （2）利用基底表示目标向量，把问题转化为已知向量的数量积问题 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 平面向量的数量积的运算、向量的模、向量的夹角、向量的平行与垂直、与四心相关的问题、极 化恒等式、向量与其他知识的综合等 【方法总结】【方法总结】 平面向量数量积的类型及求法： 20 （1）求平面向量的数量积有三种方法： 夹角公式： |cos,a ba ba b，cos, | a b a b ab ； 设 11 (,)x ya， 22 (,)xyb，坐标公式： 1212 x xy ya b， 1212 2222
43、 1122 cos, x xy y xyxy a b； 利用数量积的几何意义 （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行 化简 撞题点十撞题点十 数列（小题）数列（小题） 18(浙江省东阳中学 2021 届高三暑期第三次检测)已知数列 n a的前 n 项和 2 1 (1)2 , nn Sn a na， 则 n a A 2 1n n B 2 2 (1)n C 1 21 n D 1 21n 【答案】【答案】A 【解析】【解析】当2n时， 2 nn Sn a，则 2 11 (1) nn Sna ，且 2 22 2Sa， 即 22 14aa，所以 2 1 3
44、a . -得 22 11 (1) nnnn SSnan a ， 即 22 11 (1) nnn anan a ，即 1 2 nn nana ， 所以 1 2 n n an an ，即 1 1 (2) 1 n n an n an . 则 123 22 1232 12322 114(1) nnn n nnn aaaannn aaa aaaannnn n .故选 A 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 数列如果不考解答题，一般会考两个数列小题，等差数列是其中一个考点，重点考查等差数列的 通项公式与前n项和公式的应用，也可能考查 n S与 n a的关系，或与其他知识综合进行考查
45、21 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 等差数列的基本量的计算，等差数列的性质，等差数列的判定，等差数列与函数、不等式的综 合等 【方法总结】【方法总结】 在解决等差数列的运算问题时，有两个处理思路： （1）利用基本量，将多元问题简化为一元问题，思路简单、目标明确； （2）利用等差数列的性质 注意注意：在应用性质时要注意其前提条件，有时需要进行适当变形在解决等差数列的运算问题时， 经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法 19(浙江省温州市 2021 届高三下学期 3 月高考适应性测试)已知递增等差数列 n a的前n项和为 n S， 若 5 15S ，且 123 ,1a a a 成等比
46、数列，则 A 110 0,45aSB 110 0,90aS C 110 1,100aSD 110 1,55aS 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设递增等差数列 n a的公差为(0)d d ， 因为 n a是递增的等差数列， 5 15S ， 所以 1 5 4 515 2 ad ，即 1 23ad， 由 123 ,1a a a 成等比数列，得 2 111 ()(21)ada ad， 整理得 222 11111 22aa ddaa da，即 2 1 da， 联立，解得 1 1 1 d a ，或 1 3 9 d a （舍去） ， 所以 10 10 9 10 1155 2 S .故选 D 考题猜测全
47、视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 等比数列是高考的一个重要考点，考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用， （1）运用等比数列的前n项和公式时，要注意对公比进行分类讨论； 22 （2）当公比不为 1 时， n n SAAq，其中 1 1 a A q ，同时要注意等比数列的首项与公比均不为零 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 等比数列的基本量的计算，等比数列的性质，等比数列的判定，等比数列与函数、不等式的综 合等 【方法总结】【方法总结】 （1）对于等差数列 n a来说， 11 (1)() n aanddnad， n a可以看作以n为自变量的一 次函数，且函数的定义域是正整数集或
48、它的有限子集，所以研究等差数列的通项问题时，可以利用一 次函数图象为直线的特点，通过几何特征研究等差数列； （2）对于等差数列 n a来说， 2 1 11 ()(1) () 2222 n n n aan nddd Snanan ，所以 n S可 以看作自变量为n的二次函数（当0d 时） ，且二项式系数等于公差的一半； （3）若数列 n a是各项为正的等比数列，则 1 1 1 nn n a aa qq q ， n a可以看作定义域为正整数 集的指数函数； （4）若数列 n a是各项为正的等比数列，则 111 (1) 111 n nn n aqaa SqAAq qqq ，其中 1 1 a A q
49、. 撞题点十一撞题点十一 立体几何（小题）立体几何（小题） 20(河南省新乡市 2021 届高三第三次模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的半径长是 A 5 B2C 6 D2 2 23 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据三视图可得该三棱锥的直观图如下， 分别取AB、AC的中点E、D，连接 PE，DE. 则有PE 平面ABC，90ABC，2BC ， 2 3AB ，3PE ， 所以1DE ，4AC ，2DC ，D是ABC的外心， 所以球心O在过点D，且与平面ABC垂直的直线上，连接 OP，OC. 设外接球的半径为R， 在ODC中，由 222 OCODDC ，得 22 4ROD ，
50、 在直角梯形PEDO中， 222 ()PODEPEOD，即 22 1 (3)ROD ，解得1OD ，5R . 故选 A. 考题猜测全视角 【为什么猜这个题？】【为什么猜这个题？】 高考中一般考查两道立体几何小题，且与数学文化问题相结合是高考的一个热点，此类问题主要 考查求空间几何体的表面积或体积 【还可能怎么考】【还可能怎么考】 此类问题还可以设计为生活中的数学问题、建筑问题、数学文化问题等. （1）将三视图还原成简单几何体，再求简单几何体的表面积或体积； （2）利用转化的方法求三棱锥的体积，所谓转化法就是转换三棱锥的底面或高，将原来不易求解 面积的底面转换为容易求解面积的底面，或将原来不易看
