1、 2019 年杭州市中考数学试卷年杭州市中考数学试卷 一、选择题（一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符 合题目要求） 1.计算下列各式， 值最小的是 （ ） A.20+1 9? B.20 1 9+ ? C.20 1 9+ - ? D.20 1 9+ + - 【考点】实数 【解析】8A 7B 7C 6D 【答案】故选 A 2.在平面直角坐标系中， 点 () ,2A m与点 () 3,bn关于 y 轴对称， 则 （ ） A. 3m =，2n = B.3m =-，2n = C.2m =，3n = D.2m =-，3n = 【考点】直角坐
2、标系 【解析】A，B 关于 y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同 【答案】故选 B 3. 如 图 ， P 为 O外 一 点 ， PA 、 PB 分 别切 O于 A 、 B 两 点 ， 若3PA=，则PB = （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】圆与切线长 【解析】因为 PA 和 PB 与O相切，所以 PAPB3 【答案】故选 B 4.已知九年级某班30位同学种树72棵， 男生每人种3棵， 女生每人种2棵， 设男生x人， 则 （ ） A. () 23 7230xx+-= B. () 32 7230xx+-= C. () 23 3072xx+-= D. () 32 3072xx+
3、-= 【考点】一元一次方程 【解析】设男生 x 人，则女生有(30x)人，由题意得： () 32 3072xx+-= 【答案】故选 D 5.点点同学对数据 26，36，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数被墨水涂污看不 到了， 则计算结果与被涂污数字无关的是 （ ） A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差 【考点】数据 【解析】这组数据中的中位数是 41，与涂污数字无关 【答案】故选 B 6.如图，在ABC中，D、E 分别在 AB 边和 AC 边上，/DEBC，M 为 BC 边上一点（不与 B、C O B A P 重合），连结AM交DE于点N，则 （ ） A. ADAN
4、 ANAE = B. BDMN MNCE = C. DNNE BMMC = D. DNNE MCBM = 【考点】相似三角形 【解析】/DEBC，ADNABM，ANEAMC , DNANANNEDNNE BMAMAMMCBMMC =? 【答案】故选 C 7.在ABC中， 若一个内角等于另外两个角的差， 则 （ ） A.必有一个角等于30 B. 必有一个角等于45 C. 必有一个角等于60 D. 必有一个角等于90 【考点】三角形内角和 【解析】设三角形的一个内角为 x，另一个角为 y，则三个角为(180xy)，则有三种情况： (180)9090xyxyyxy oo 或 (180)9090yxx
5、yxxy ooo 或 (180)9090xyxyxy ooo 或 综上所述，必有一个角等于 90 【答案】故选 D 8. 已 知 一 次 函 数 1 yaxb=+和 2 ybxa=+()ab， 函 数 1 y和 2 y的 图 象 可 能 是 （ ） A. B. C. D. 【考点】一次函数的图象 【解析】当0,0ab， 1 y、 2 y的图象都经过一、二、三象限 当0,0ab， 1 y、 2 y的图象都经过二、三、四象限 当0,0ab， 1 y的图象都经过一、三、四象限， 2 y的图象都经过一、二、四象限 E N M D C B A y x 1 O y x 1 O y x 1 O y x 1
6、O 当0,0ab， 1 y的图象都经过一、二、四象限， 2 y的图象都经过一、三、四象限 满足题意的只有 A 【答案】故选 A 9.如图， 一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边，（OCOB， 点 A、 B、 C、 D、 O在同一平面内） ， 已知ABa=， ADb=，BCOx?.则点 A 到 OC 的距离等于 （ ） A. sinsinaxbx+ B.coscosaxbx+ C.sincosaxbx+ D.cossinaxbx+ 【考点】三角函数、矩形的性质 【解析】过点 A 作 AEOB 于点 E， 因为四边形 ABCD 是矩形，且 ABa，ADb 所以 BCADb，ABC90 所以ABEBC
7、Ox 因为sin OB x BC ，cos BE x AB 所以sinOBbx，cosBEax 所以点 A 到 OC 的距离cossindBEOBaxbx 【答案】故选 D 10.在平面直角坐标系中，已知ab，设函数 ()() yxaxb=+的图像与 x 轴有 M 个交点，函数 ()() 11yaxbx=+的图像与 x 轴有 N 个交点，则 （ ） A. 1MN=-或1MN=+ B. 1MN=-或2MN=+ C. MN=或1MN=+ D. MN=或1MN=- 【考点】二次函数与 x 轴交点问题 【解析】对于函数 ()() yxaxb=+，当0y 时，函数与 x 轴两交点为（a，0） 、 （b，
8、0） ， ab，所以有 2 个交点，故2M 对于函数 ()() 11yaxbx=+ 0ab，交点为 11 (,0),(,0) ab ，此时2NMN 0,0ab，交点为 1 (,0) b ，此时11NMN 0,0ba，交点为 1 (,0) a ，此时11NMN 综上所述，MN或1MN 【答案】故选 C 二、填空题二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.因式分解： 2 1x-= . E 【考点】因式分解 【解析】二项用平方差公式， 222 11(1)(1)xxxx 【答案】(1)(1)xx 12.某计算机程序第一次算得 m 个数据的平均数为 x，第二次算得另外 n 个
9、数据的平均数为 y，则这 () mn+个数据的平均数等于 . 【考点】数据统计 【解析】平均数等于总和除以个数，所以平均数 mxny mn 【答案】 mxny mn 13.如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个 冰激凌外壳的侧面积等于 2 cm（计算结果精确到个位）. 【考点】圆锥的侧面积 【解析】3 123636 3.14113.04113Srl 侧 【答案】113 14.在直角三角形 ABC 中，若2ABAC=，则cosC = . 【考点】解直角三角形 【解析】如图所示，分两种情况讨论，AC 可以是直角边，也可以是斜边 当 AC 是斜边，
10、设 ABx，则 AC2x，由勾股定理可得： BC3x，则 33 cos 22 BCx C ACx 当 AC 是直角边，设 ABx，则 AC2x，由勾股定理可得： BC5x，则 222 5 cos 555 ACx C BCx 综上所述， 3 cos 2 C 或 2 5 5 【答案】 3 2 或 2 5 5 3x 2x x C B A 5x 2x x C A B 15.某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件 的函数表达式 . 【考点】函数的解析式 【解析】答案不唯一，可以是一次函数，也可以是二次函数 【答案】1yx 或 2 1yx 或1y
11、x等 16.如图，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF、GH 折叠（点 E、H 在 AD 边上，点 F、G 在 BC 边上） ，使得 点B、 点C落在AD边上同一点P处， A点的对称点为A点， D点的对称点为D点， 若90FPG?， A EP 的面积为 4，D PH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于 . 【考点】矩形性质、折叠 【解析】AEPF AEP=DPH 又A=A=90，D=D=90 A=D AEPDPH 又AB=CD，AB=AP，CD=DP AP= DP 设 AP=DP=x SAEP：SDPH=4：1 AE=2DP=2x SAEP= 2 11 24 22 AEAPxxx 0x 2
12、x AP=DP=2 AE=2DP=4 2222 422 5EPAEAP 1 =5 2 PHEP 1 1 2 DHDHAP 42 55 15 3 5ADAEEPPHDH 2ABAP 2 (3 55)6 510 ABCD SABAD 矩形 D1 A1 G P F E C D B A H 质量（千克） 序号 -3 -2 -1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 质量（千克） 序号54321 54 53 52 51 50 49 48 47 【答案】6 510 三、解答题三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66 分） 17.（本题满分 6 分） 化简： 2 42 1 42 x xx - - 圆圆的
13、解答如下： ()() 2 2 2 42 14224 42 2 x xxx xx xx -=-+- - =-+ 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答. 【解析】圆圆的解答不正确.正确解答如下： 原式 2 42(2)4 (2)(2)(2)(2)(2)(2) xxx xxxxxx 2 4( 24 )(4 ) (2 ) (2 ) xxx xx (2 ) (2 ) (2 ) x x xx 2 x x . 18.（本题满分 8 分）称重五筐水果的质量，若每筐以 50 千克为基准，超过基准部分的千克数记为 正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称重读数，乙组为记录数据，并把所得数据 整理成如
14、下统计表和未完成的统计图（单位：千克） 补充完整乙组数据的折线统计图； 甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系； 甲、乙两组数据的平均数分别为 2 S甲、 2 S乙，比较 2 S甲与 2 S乙的大小，并说明理由. 【解析】 （1）补全折线统计图，如图所示. 实际称重读数和记录数据统计表 4-1-32-2 5449475248 54321 乙组 甲组 数据 序号 实际称量读数折线统计图实际称量读数折线统计图 记录数据折线统计图记录数据折线统计图 （2）50xx甲乙. 22 SS 甲乙，理由如下： 因为 222222 1( 2 )(2)( 3)( 1)(4) 5 Sx
15、xxxx 乙乙乙乙乙 乙 22222 1 ( 4 8 5 0)( 5 25 0)( 4 75 0)( 4 95 0)( 5 45 0) 5 xxxxx 乙乙乙乙乙 22222 1(48 )(52)(47)(49)(54) 5 xxxxx 甲甲甲甲甲 2 S 甲， 所以 22 SS 甲乙. 19.（本题满分 8 分）如图，在ABC中，ACABBC. 已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连结 AP，求证：2APCB?； 以点 B 为圆心， 线段 AB 的长为半径画弧， 与 BC 边交于点 Q， 连结 AQ， 若3A Q CB?， 求B 的度数. 【解析】 （1）证明：因为点 P 在
16、 AB 的垂直平分线上， 所以 PA=PB， 所以PAB=B， 所以APC=PAB+B=2B. （2）根据题意，得 BQ=BA， 所以BAQ=BQA， 设B=x， 所以AQC=B+BAQ=3x， 所以BAQ=BQA=2x， 在ABQ 中，x+2x+2x=180， 解得 x=36，即B=36. P CB A Q A BC 20.（本题满分 10 分）方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行使到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车 的行使时间为 t（单位：小时） ，行使速度为 v（单位：千米/小时） ，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时. 求 v 关于 t 的函数表达式； 方方上午 8 点
17、驾驶小汽车从 A 出发. 方方需在当天 12 点 48 分至 14 点（含 12 点 48 分和 14 点）间到达 B 地，求小汽车行驶速度 v 的范围. 方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地？说明理由. 【解析】 （1）根据题意，得480vt ， 所以 480 v t ， 因为4800， 所以当120v 时，4t ， 所以 480 (4)vt t （2）根据题意，得4.86t ， 因为4800， 所以 480480 64.8 v， 所以80100v 方方不能在 11 点 30 分前到达 B 地.理由如下： 若方方要在 11 点 30 分前到达 B 地，则3.5t ， 所以 480
18、 120 3.5 v ，所以方方不能在 11 点 30 分前到达 B 地. 21.（本题满分 10 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为 1 S，点 E 在 CD 边上，点 G 在 BC 的延长线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为 2 S，且 12 SS=. 求线段 CE 的长； 若点 H 为 BC 边的中点，连结 HD，求证：HDHG=. 【解析】根据题意，得 AD=BC=CD=1，BCD=90. （1）设 CE=x（0x1） ，则 DE=1x， G FE H D C B A 因为 S1=S2，所以 x2=1x， 解得 x= 51 2 （负
19、根舍去） ， 即 CE= 51 2 （2）因为点 H 为 BC 边的中点， 所以 CH= 1 2 ，所以 HD= 5 2 ， 因为 CG=CE= 51 2 ，点 H，C，G 在同一直线上， 所以 HG=HC+CG= 1 2 51 2 = 5 2 ，所以 HD=HG 22.（本题满分 12 分）设二次函数 ()()12 yxxxx=-（ 1 x、 2 x是实数）. 甲求得当0x =时，0y =；当1x =时，0y =，乙求得当 1 2 x =时， 1 2 y =-.若甲求得的结果都 正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由； 写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值（用含 1 x、 2 x的代
20、数式表示） ； 已知二次函数的图像经过( ) 0, m，( ) 1, n两点（m、n 是实数） ，当 12 01xx时， 求证： 1 0 16 mn. 【解析】 （1）乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点（0，0） ， （1，0） ， 所以(1)yx x， 当 1 2 x 时， 1111 (1) 2242 y ， 所以乙求得的结果不正确. （2）函数图象的对称轴为 12 2 xx x ， 当 12 2 xx x 时，函数有最小值 M， 2 121212 12 () 224 xxxxxx Mxx （3）因为 12 ()()yxxxx， 所以 12 mx x， 12 (1)(1)
21、nxx， 所以 22 12121122 (1)(1)()()mnx xxxxxxx 22 12 1111 () () 2424 xx 因为 12 01xx，并结合函数(1)yxx的图象， 所以 2 1 111 0() 244 x ， 2 2 111 0() 244 x 所以 1 0 16 mn， 因为 12 xx，所以 1 0 16 mn 23.（本题满分 12 分）如图，已知锐角ABC内接于O， ODBC于点 D，连结 AO. 若60BAC?. 求证： 1 2 ODOA=； 当1OA=时，求ABC面积的最大值； 点 E 在线段 OA 上，OEOD=， 连接 DE， 设ABCm OED?，AC
22、Bn OED?（m、 n 是正数） ， 若ABCACB?，求证：20mn-+ = 【解析】 （1）证明：连接 OB，OC， 因为 OB=OC，ODBC， 所以BOD= 1 2 BOC= 1 2 2BAC=60， 所以 OD= 1 2 OB= 1 2 OA 作 AFBC，垂足为点 F， 所以 AFADAO+OD= 3 2 ，等号当点 A，O，D 在同一直线上时取到 由知，BC=2BD=3， 所以ABC 的面积 1133 33 2224 BC AF 即ABC 面积的最大值是 3 3 4 （2）设OED=ODE=，COD=BOD=， O E D C B A 因为ABC 是锐角三角形， 所以AOC+AOB+2BOD=360， 即()180mn o （*） 又因为ABCACB， 所以EOD=AOC+DOC 2m 因为OED+ODE+EOD=180， 所以2(1)180m o（*） 由（*） ， （*） ，得2(1)mnm， 即20mn
