1、 教材教材: 主要参考书主要参考书: 高等数学高等数学(第六版第六版) 同济大学应用数学系同济大学应用数学系 主编主编 高等教育出版社高等教育出版社, 2007.4. 高等数学附册高等数学附册 学习辅导与习题选解学习辅导与习题选解 同济大学数学系同济大学数学系 编编 高等数学习题全解指南高等数学习题全解指南（上、下）（上、下） 高等教育出版社高等教育出版社, 2007.4. 数学数学 数学数学 而且是一种而且是一种思维模式思维模式; 不仅是一种不仅是一种知识知识, 而且是一种而且是一种素养素养; 不仅是一种不仅是一种科学科学, , 而且是一种而且是一种文化文化; 能否运用数学观念能否运用数学观
2、念定量思维定量思维是衡量是衡量 民族科学文化素质的一个重要标志民族科学文化素质的一个重要标志. 不仅是一种不仅是一种工具工具, 数学数学 目录 上页 下页 返回 结束 引引 言言 一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ? 初等数学 研究对象为常量常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 研究对象为变量变量, 运动运动和辩证法辩证法进入了数学. 数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数. 有了变数 , 运动运动进入了数学, 有了变数，辩证法辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯恩格斯 笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束 1. 分
3、析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册) (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程 主要内容主要内容 多元微积分 目录 上页 下页 返回 结束 二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学 ? 1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣. 2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 . 学而优则用学而优则用 , 学而优则创学而优则创 . 由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 . 马克思马克思 恩格斯恩格斯 要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学. 一门科学, 只有当它成功地运用
4、数学时, 才能达到真正完善的地步 . 第一节 华罗庚华罗庚 目录 上页 下页 返回 结束 给出了几何问题的统一 笛卡儿笛卡儿 (15961650) 法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发 表的几何学论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点. 把几何问题化成代数问题 , 作图法, 华罗庚华罗庚(19101985) 我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 自守函数论, 高维数值积分等广泛的数学领域中,程, 都作出了
5、卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇. 偏微分方多复变函数论, 矩阵几何学, 典型群, 他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽宽, 专专, 漫漫 ”, 即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业 知识漫到其他领域. 1984年来中国矿业大学视察时给 给师生题词: “ 学而优则用学而优则用, 学而优则创学而优则创 ”. 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 函数与极限 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合 第一节 映射与函数 目录 上页 下页
6、 返回 结束 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 一、一、 集合集合 1. 定义及表示法定义及表示法 定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合. 组成集合的事物称为元素元素. 不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . Ma( 或Ma) . .Ma 注注: M 为数集 * M表示 M 中排除 0 的集 ; M表示 M 中排除 0 与负数的集 . 简称集集 简称元元 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例例: 有限集合 n aaaA, 21 n ii a 1 自然数集,2,1,0nN
7、n (2) 描述法： xM x 所具有的特征 例例: 整数集合 ZxNx或 Nx 有理数集 q p Q , NZ qp p 与 q 互质 实数集合 Rx x 为有理数或无理数 开区间 ),(xbabxa 闭区间 ,xba bxa 目录 上页 下页 返回 结束 )( aa ),(xaU ),xbabxa ,(xbabxa 无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx 点的 邻域邻域 a ),(xaUaxa xax ax0 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 半开区间 去心 邻域邻域 左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 : . ),(aa 目录 上页 下页 返回 结
8、束 是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A , 2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算 定义定义2 .则称 A .BA 若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如, ZN Q Z RQ 显然有下列关系 : ;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , A 若Ax,Bx设有集合,BA 记作 记作 必有 目录 上页 下页 返回 结束 O y x Ac A B B 定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx 交集 xBAAxBx且 差集 xBA AxBx且 定义下列运算: A B BA 余集 )(ABBAB c A 其中 直积 ),(yxBA,AxB
9、y 特例:RR 记 2 R 为平面上的全体点集 A BA B BA BA Bx或 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 映射映射 某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合 按一定规则入座 引例引例1. 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2. xxysin RxRy 引例引例3. Ox y 1 Q P 1),( 22 yxyxC 11), 0(yyY (点集) (点集) CP点 向 y 轴投影 YQ投影点 xysin xy O x y 1 x 2 x xxysin 目录 上页 下页 返回 结束 定义
10、定义4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作.:YXf 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像, 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ; Y 的子集)(XfR f Xxxf)(称为 f 的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. XYf x y 目录 上页 下页 返回 结束 对映射 YXf: 若YXf
11、)(, 则称 f 为满射满射; X Y f )(Xf 若, 2121 xxXxx有 )()( 21 xfxf 则称 f 为单射单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. X Y )(Xf f 引例引例2, 3 引例引例2 引例引例2 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.三角形)(三角形集合 海伦公式 b c a S面积),0( 例例2. 如图所示, S x y O x ye x ),0 x 对应阴影部分的面积),0S 则在数集 ),0 自身之间定义了一种映射(满射满射) 例例3. 如图所示, x y O ),(yx r cosrx sinry 2 ),(R
12、yx f )2,0),0),(r :f 则有 (满射满射) (满射满射) 目录 上页 下页 返回 结束 X (数集 或点集 ) 说明说明: 在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集) f f 称为X 上的泛函 X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的函数 映射又称为算子. 名称. 例如, 目录 上页 下页 返回 结束 定义域 三、函数三、函数 1. 函数的概念函数的概念 定义定义5. 设数集,RD则称映射RDf :为定义在 D 上的函数 , 记为 Dxxfy, )( 称为值域 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy )(DfD 自变量
13、因变量 x y ) ,(baD abx y O DxxfyyDfR f ),()( 目录 上页 下页 返回 结束 Dx f DxxfyyDfRy f ),()( (对应规则)(值域)(定义域) 例如, 反正弦主值 xxfyarcsin)( , 1, 1D,)( 2 2 Df 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 定义域值域 xxf)(又如, 绝对值函数 x y O xy 0,xx 0,xx 定义域 RD 值 域 ),0)(Df 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； O y 2
14、 1 1 x 2 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知函数 1,1 10,2 )( xx xx xfy 解解: )( 2 1 f及. )( 1 t f写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 f (x) 的定义域 ),0D 值域 ),0)(Df 2 1 2 1 2)(f2 )( 1 t f 10t, 1 1 t 1t , 2 t x y O xy2 xy1 1 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的几种特性函数的几种特性 设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性有界性 ,Dx,0M使,)(Mxf称 )(xf , Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf 说明说明: 还可定
15、义有上界、有下界、无界 . (2) 单调性单调性 为有界函数. 在 I 上有界. ,Dx 使 若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf 则称 f ( x ) 无界无界. 称 为有上界有上界 称 为有下界有下界 ,)(,Mxf ),(,xfM 当时， 2121 ,xxIxx , )()( 21 xfxf若称 )(xf为 I 上的 , )()( 21 xfxf若称 )(xf为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . 1 x 2 x x y O (见 P11 ) 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 奇偶性奇偶性 ,Dx且有,Dx 若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数; 若, )()
16、(xfxf则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若)(xf在 x = 0 有定义 , . 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时, x y Oxx 则当 必有 例如, 2 ee )( xx xfy xch 偶函数 x y O x e x e xych 双曲余弦 记 目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数 xsh双曲正弦 记 再如, x x y ch sh 奇函数 xth双曲正切 记 说明: 给定 ),(),(llxxf 则 2 )()( 2 )()( )( xfxfxfxf xf 偶函数偶函数 奇函数奇函数 O y x 1 1 xyth x y O x e x e xysh2 ee )(
17、xx xfy xx xx ee ee 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 周期性周期性 ,0,lDx且,Dlx )()(xflxf 则称)(xf为周期函数 , xO2 y 2 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 周期为 2 注注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数Cxf)( 狄利克雷函数)(xf x 为有理数 x 为无理数 , 1 ,0 t )(tf 2 2 O 目录 上页 下页 返回 结束 3. 反函数与复合函数反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质 若函数)(:DfDf为单射, 则存在一新映射 习惯上, Dxxfy, )(的反函数记成 )(,)
18、( 1 Dfxxfy 称此映射 1 f为 f 的反函数 . , 其反函数(减) (减) . 1) yf (x) 单调递增,)( 1 存在xfy 且也单调递增 性质: ,)(: 1 DDff 使 ,)(, )( 1 xyfDfy 其中 ,)(yxf 目录 上页 下页 返回 结束 2) 函数)(xfy 与其反函数 )( 1 xfy 的图形关于直线 xy 对称 . 例如 , ),(,exy x 对数函数),0(,lnxxy 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 . 指数函数 x y O )(xfy )( 1 xfy xy ),(abQ ),(baP 目录 上页 下页 返回 结束
19、 g R (2) 复合函数 f Duufy),( ,),(Dxxgu fg DR 且 则Dxxgfy, )( 设有函数链 称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 fg DR 不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,cosxu ,cosarcsinxy xR 但可定义复合函数 2 1xu时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数, 可定义复合函数 1, 1, )1arcsin( 2 xxy 当改 D g f D f y u x 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy 可定义复合函数: , 2 cot x y ,
20、) 12( ,2(kkxZk 0 2 cot, 2 2 x k x k时 ),2, 1, 0(,cotkkvvu ),(, 2 x x v 约定约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件. 目录 上页 下页 返回 结束 4. 初等函数初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 . 例如 , 2 xy y 0,xx 0,xx 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 ,称为初等函数 . 可表为故为初等函数. 又
21、如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 . ( 自学, P17 P20 ) 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例: 符号函数 xysgn 当 x 0,1 当 x = 0,0 当 x N 时, SAn 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 (刘徽割圆术) 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn 或. n x n x 称为通项(一般项) . 若数列 n x及常数 a 有下列关系 : ,0,N正数当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a aa )( axa n )(Nn 即),(aUxn )
22、(Nn axn n lim或)(naxn 1N x 2N x axn 则称该数列 n x的极限为 a , 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n xn)(1n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n n n x n n 1 ) 1( )(1n ,2,8,4,2 n n n x2)(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x 趋势不定 收 敛 发 散 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知 , ) 1( n n x n n 证明数列 n x的极限为1. 证证: 1 n x
23、1 ) 1( n n n n 1 ,0欲使,1 n x即, 1 n 只要 1 n 因此 , 取, 1 N则当Nn 时, 就有 1 ) 1( n n n 故1 ) 1( limlim n n x n n n n 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知, ) 1( ) 1( 2 n x n n 证明.0lim n n x 证证: 0 n x 0 ) 1( ) 1( 2 n n 2 ) 1( 1 n1 1 n , ) 1 ,0(欲使,0 n x只要, 1 1 n 即n 取 , 1 1 N则当 Nn 时, 就有,0 n x 故 0 ) 1( ) 1( limlim 2 n x n n n n ,
24、0 1 1 1 nn n x 故也可取 1 N 也可由 2 ) 1( 1 0 n n x . 1 1 N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明说明: 取 1 1 N 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设 ,1q证明等比数列 ,1 12n qqq 证证:0 n x0 1 n q , ) 1 ,0( 欲使,0 n x只要, 1 n q即 ,lnln) 1(qn亦即 因此 , 取 q N ln ln 1 , 则当 n N 时, 就有 0 1n q 故 0lim 1 n n q . ln ln 1 q n 的极限为0 . 1 n q 目录 上页 下页 返回 结束 2 3ba a
25、b 22 ab n ab ax 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 证证: 用反证法.axn n lim及,limbxn n 且 . ba 取, 2 ab 因,limaxn n 故存在 N1 , , 2 ab n ax 从而 2 ba n x 同理, 因,limbxn n 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 2 ba n x 1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 2 ba 2 ab 2 ab 假设 22 ab n ab bx n ba x 22 3ab , 2 ab n bx 从而 2 ba n x 矛盾,因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时,
26、,max 21 NNN 取 故假设不真 ! n x满足的不等式 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列),2, 1() 1( 1 nx n n 是发散的. 证证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取, 2 1 则存在 N , 2 1 2 1 axa n 但因 n x交替取值 1 与1 , ),( 2 1 2 1 aa内, 而此二数不可能同时落在 2 1 a 2 1 a a 长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有 因此该数列发散 . n x 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界. 证证: 设,limaxn n 取 ,1,
27、N 则当 Nn 时, 从而有 n xaaxna1 取 ,max 21N xxxMa1 则有. ),2,1(nMxn 由此证明收敛数列必有界. 说明说明: 此性质反过来不一定成立. 例如, 1 )1( n 虽有界但不收敛 . aaxn)( , 1axn 有 数列 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性. 若,limaxn n 且, 0a ,时当Nn 有0 n x )0( )0( 证证: 对 a 0 , 取, 2 a ,时当Nn axn 2 a n x0 2 a a ax 2 a 2 a 推论推论: 若数列从某项起, 0 n x,limaxn n 且 0a则 )0
28、(. )0( (用反证法证明) O ,NN 则 ,NN 则 目录 上页 下页 返回 结束 * ,ax k n 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证证: 设数列 k n x是数列 n x的任一子数列 . 若,limax n n 则 ,0 ,N 当 Nn 时, 有 axn 现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有 k n K n N 从而有 由此证明 .limax k n k * N K n N x K n x 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则三、极限存在准则 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如，
29、),2, 1() 1( 1 nx n n ; 1lim 12 k k x1lim 2 k k x 发散 ! 夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 . 则原数列一定发散 . 说明说明: 目录 上页 下页 返回 结束 azy n n n n limlim)2( 1. 夹逼准则夹逼准则 (准则1) (P50) ),2, 1() 1 (nzxy nnn axn n lim 证证: 由条件 (2) ,0, 1 N 当 1 Nn 时, ayn 当 2 Nn 时, azn 令 ,max 21 NNN 则当Nn 时, 有 ,aya n ,aza n 由条件 (1) nnn zxya a 即,axn故 .
30、limaxn n , 2 N 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明1 1 2 1 1 lim 222 nnnn n n 证证: 利用夹逼准则 . 1 2 1 1 222 nnnn n 2 2 nn n 2 2 n n 且 lim 2 2 nn n n n n 1 1 lim 1 lim 2 2 n n n 2 1 1 lim n n 1 n n lim 1 2 1 1 222 nnnn 1 由 目录 上页 下页 返回 结束 2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) Mxxxx nn 121 mxxxx nn 121 )(limMaxn n )(li
31、mmbxn n n x 1n x M 1 x 2 x x m n x 1n x 1 x 2 x x ( 证明略 ) a b 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, ),2, 1()1 ( 1 nx n n n 证明数列 n x 极限存在 . (P53P54) 证证: 利用二项式公式 , 有 n n n x)1 ( 1 1 n n 1 ! 12 1 !2 ) 1( n nn 3 1 !3 )2)(1( n nnn n n n nnnn 1 ! ) 1() 1( 11 ) 1( 1 ! 1 nn ) 1( 2 n ) 1( 1 n n )1( 1 !2 1 n )1( 1 !3 1 n )1
32、( 2 n 目录 上页 下页 返回 结束 11 n x ) 1( 1 ! 1 nn ) 1( 2 n ) 1( 1 n n )1( 1 !2 1 n )1( 1 !3 1 n )1( 2 n 11 1n x)1( 1 1 !2 1 n )1)(1( 1 2 1 1 !3 1 nn )1()1)(1( 11 2 1 1 ! ) 1( 1 n n nnn 大大 大大 正正 ),2, 1( 1 nxx nn 11)1 ( 1 n n n x !2 1 !3 1 ! 1 n 又 比较可知 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列 n x 记此极限为 e , e)1 (lim 1 n n n
33、 e 为无理数 , 其值为 590457182818284. 2e 即 有极限 . 11)1 ( 1 n n n x !2 1 !3 1 ! 1 n 11 2 1 2 2 1 1 2 1 n 又 3 2 1 2 1 1 1 1 n 1 2 1 3 n 内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 *3. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55) 数列 n x极限存在的充要条件是: ,0存在正整数 N , 使当 NnNm,时, mn xx 证证: “必要性”.设,limaxn n 则 ,0 NnNm,时, 有 使当 , 2 axn 2 axm 因此 mn xx)()(axax mn
34、 axnaxm “充分性” 证明从略 . ,N 有 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知),2, 1(21,1 11 nxxx nn , 求 n n x lim 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设,limaxn n 由递
35、推式两边取极限得 aa211a 不对不对!此处 n n xlim 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P30 1, *3 (2) , *4 P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示: 222 n x 1 2 n x 可用数学归纳法证 2 n x 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在， 备用题备用题 1.1.设 )( 2 1 1 n nn x a xx ),2,1(n ,0a ,0 1 x, 且 求.lim n n x 解：解： 设 Axn n lim 则由递推公式有)( 2 1 A a AA aA )( 2 1 1 n nn x a xx n x n x a a n n
36、 x x 1 )1( 2 1 2 n x a )1( 2 1 a a 1 数列单调递减有下界， ,0 1 x故axn n lim 利用极限存在准则 ,0 n x 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, ),2, 1(0iai 证证: 显然, 1 nn xx 证明下述数列有极限 . )1 ()1)(1 ()1)(1 (1 2121 2 1 1 n n aaa a aa a a a n x ),2, 1(n 即 n x 单调增, 又 n k k k n aa a x 1 1 )1 ()1 ( 1 1 1 1 a 1(1) n k k aa2 11 )1 ()1 ( 1 )1 ()1 ( 1 1k
37、 aa )1 ()1 ( 1 1 1n aa 1 n n x lim存在 “拆项相消拆项相消” 法法 目录 上页 下页 返回 结束 刘徽刘徽(约约225 295年年) 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 .他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要 极限思想 .
38、 的方法 : 目录 上页 下页 返回 结束 柯西柯西(1789 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积 分在几何上的应用 等,有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠基人之一, 他为微积 分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 第三节 , )(xfy 对 0 )1(xx 0 )2(x
39、x 0 )3(xx x)4( x)5( x)6( 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容本节内容 : 函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义 引例引例. 测量正方形面积.面积为A ) 边长为(真值:; 0 x 边长 面积 2 x 直接观测值 间接观测值 任给精度 , 要求 Ax 2 确定直接观测值精度 : 0 xx 0 x A x 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数)(xf 在点 0 x的某去心邻
40、域内有定义 , ,0,0 当 0 0 xx时, 有 Axf)( 则称常数 A 为函数)(xf当 0 xx 时的极限, Axf xx )(lim 0 或)()( 0 xxAxf当 即 ,0,0当),( 0 xUx 时, 有 若 记作 Axf)( Axf xx )(lim 0 极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 这表明: A A 几何解释几何解释: O A x 0 x y )(xfy 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明)(lim 0 为常数CCC xx 证证:Axf)(CC 0 故 ,0 对任意的 ,0 当 0 0 xx时 , 0CC 因此CC xx 0 lim 总有 目录 上页
41、下页 返回 结束 例例2. 证明1)12(lim 1 x x 证证: Axf)(1) 12(x12x 欲使,0 取, 2 则当10 x时, 必有 1) 12()(xAxf 因此 ,)( Axf只要 , 2 1 x 1)12(lim 1 x x 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明2 1 1 lim 2 1 x x x 证证:Axf)(2 1 1 2 x x 21 x 故,0取,当10 x时, 必有 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 x x x 1 x 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明: 当0 0 x 证证:Axf)( 0 xx 0 0 1 xx x
42、欲使 ,0 且 . 0 x 而0 x可用 0 xx 因此 ,)( Axf只要, 00 xxx 0 0 limxx xx .lim 0 0 xx xx 时 0 0 xx xx 故取 ,min 00 xx则当 0 0 xx时, 00 xxx保证 . 必有 O x 0 xx 目录 上页 下页 返回 结束 2. 保号性定理保号性定理 定理定理1 . 若,)(lim 0 Axf xx 且 A 0 , ,),( 0 时使当xUx . 0)(xf )0)(xf 证证: 已知 ,)(lim 0 Axf xx 即,0, ),( 0 xU 当 时, 有.)(AxfA 当 A 0 时, 取正数 ,A 则在对应的邻域
43、上 . 0)(xf ( 0) )(A 则存在 ( A 0 ) ),( 0 xU ),( 0 xUx ),( 0 xU (P37定理3) )0( A A 0 x 0 x A x 0 x y )(xfy O 目录 上页 下页 返回 结束 AxfA)( :0A :0A 若取 , 2 A 则在对应的邻域上 若,0)(lim 0 Axf xx 则存在使当 时, 有. 2 )( A xf 推论推论: 2 3 )( 2 A xf A 2 )( 2 3A xf A ),( 0 xU , ),( 0 xU ),( 0 xUx (P37定理3) 分析分析: A A 0 x 0 x A x 0 x y )(xfy
44、O 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在 0 x的某去心邻域内 0)(xf )0)(xf , 且 ,)(lim 0 Axf xx 则 . 0A )0(A 证证: 用反证法.则由定理 1, 0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知 所以假设不真, .0A (同样可证0)(xf的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A 不能不能! 0lim 2 0 x x 存在 如 假设 A 0 , 0 0 0 xx一切满足不等式的 x , 总有 则称函数)(xf当 0 xx 时为无穷大, 使对 0 lim( ) xx f x 若在定义中将 式改为 Mxf
45、)( 则记作 )(lim )( 0 xf x xx )(lim( )( 0 xf x xx )(Xx )(x (lim( ). x f x (正数正数 X ) , 记作 , )(Mxf 总存在 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf )2( nf)(n当2n 但0)( 2 nf ,时所以x )(xf不是无穷大 ! xxycos Ox y 目录 上页 下页 返回 结束 例例 . 证明 1 1 lim 1xx 证证: 任给正数 M , 要使,
46、1 1 M x 即, 1 1 M x 只要取, 1 M 则对满足10 x的一切 x , 有 M x 1 1 所以. 1 1 lim 1 xx 1 1 x y 若 ,)(lim 0 xf xx 则直线 0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 . 铅直渐近线 说明说明: x y O1 目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系 若)(xf为无穷大, )( 1 xf 为无穷小 ; 若)(xf为无穷小, 且,0)(xf 则 )( 1 xf 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,
47、说明说明: 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2 思考与练习思考与练习 P42 题1 , *3 P42 题*3 提示: 2 1 x y,2 1 x210 1 4 0 x 作业作业 P42 *2 (2) ; 4 (1) ; 8 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节 极限运算法则 目录 上页 下页 返回 结束 时, 有,min 2
48、1 一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则 定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim 0 xx ,0lim 0 xx ,0,0 1 当 10 0 xx时 , 有 2 , 0 2 当 20 0 xx时 , 有 2 取则当 0 0 xx 22 因此 .0)(lim 0 xx 这说明当 0 xx 时,为无穷小量 . 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 ! 例如，例如， 1 2 1 1 lim 222 nnnn n n 1 ( P57 题 4 (2) ) 解答见课件第二节解答见课件第二节 例例5 类似可
49、证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),( 10 xUx Mu 又设,0lim 0 xx 即,0,0 2 当),( 20 xUx 时, 有 M 取,min 21 则当),( 0 xUx 时 , 就有 uu M M 故,0lim 0 u xx 即u是 0 xx 时的无穷小 . 推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求. sin lim x x x 解解: 1sinx 0 1 lim xx 利用
50、定理 2 可知.0 sin lim x x x 说明说明 : y = 0 是 x x y sin 的渐近线 . Ox y x x y sin 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 ,)(lim,)(limBxgAxf则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxf 证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有 BxgAxf)(,)( (其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf )()(BA 由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小 BA 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理定理 3 . 若 目录 上页 下页 返回 结束
