高等数学

1、专专升本高等数学升本高等数学（二（二）必必考公式、考公式、必必考试题考试题 与模拟试卷与模拟试卷 高等数学高等数学( (二二) )必考公式必考公式 1.1.预备知识预备知识 2.2.极限与连续极限与连续 3.3.导数及应用导数及应用 4.4.不定积分不定积分 5.5.定积分及应用定积分及应用 6.6.多元函数微分学多元函数微分学。

2、专升本高等数学知识点汇总 常用知识点：常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下：一、常见函数的定义域总结如下： （1） cbxaxy bkxy 2 一般形式的定义域：xR （2） x k y 分式形式的定义域：x0 （3）xy 根式的形式定义域：x0 （4）xy a log 对数形式的定义域：x0 二、函数的性质二、函数的性质 1、函数的单调性 当 21 xx 时，恒有)()( 21 xfxf。

3、专专升本升本高等数学高等数学真真题试卷题试卷 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分选择题部分 注意事项注意事项: : 1.答题前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题一。

4、高等数学 b1期中考试 第1页（共3页） 河南理工大学 2016-2017 学年 第 1 学期 高等数学 b1期中考试试卷（A 卷） 总得分总得分 阅卷人阅卷人 复查人复查人 考试方式考试方式 本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩学生总评成绩比例比例 闭卷 20 % 1、下列函数的极限中，错误错误的是。

5、高数数学 bc2期末试卷（A 卷）第1页（共 2 页） 河南理工大学 2018-2019 学年第 二 学期 高等数学 b2期末试卷（A 卷） 考试方式 本试卷考试分数占 学生总评成绩比例 总得分 闭卷 60% 1两平面02 zyx和052zyx的夹角为（ ） A 4 ； B 6 ； C 3 ； D 3 1 arccos 2下列级数中发散的是（ ） A 1 2 3 n。

6、高等数学 b1期中考试 第1页（共3页） 河南理工大学 2015-2016 学年 第 1 学期 高等数学 b1期中考试试卷（A 卷） 总得分总得分 阅卷人阅卷人 复查人复查人 考试方式考试方式 本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩学生总评成绩比例比例 闭卷 20 % 1、极限)sin 11 sin(l。

7、高等数学 b1期中考试试卷第1页（共3页） 河南理工大学 2017-2018 学年第 一 学期 高等数学 b1期中考试试卷（A 卷） 考试方式考试方式 本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩比例学生总评成绩比例 总得分总得分 闭卷 20% 分数分数 得分得分 1、设 xf在点 0 x处存在左、右导数，则 xf。

8、91029102高等数学高等数学 2013 年上半年第 1 批次 单选 题 A：a B：b C：c 参考答案：B 单选 题 A：a B：b C：c 参考答案：A 单选 题 A：a B：b C：c 参考答案：B 单选 题 A：a B：b C：c 参考答案：B 单选 题 A：a B：b C：c 参考答案：C 单选题 A：A B：B C：C 参考答案：B 2013 年上半年第 2 批次 判断题连续的奇函。

9、1. 函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间 断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确 定方程在给定区间上有无实根。 2. 一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导） 、利用 洛比达法则求不定式极限、 函数极值与最值、 方程根的个数、 函数不等式的证明、 与中值定理相关的证明、在。

10、1. 函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间 断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确 定方程在给定区间上有无实根。 2. 一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用 洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、 与中值定理相关的证明、在物理和经济。

11、1 答案详解答案详解 第一部分第一部分高等数学高等数学 一、选择题一、选择题 1.1.【答案】【答案】(C) 【解析】【解析】 2 0,0, 1 ( ) ( )( ) 2,0, x f g xg xg x xx =+= 所以, 22 ( ),( )0,0,0, ( ) ( ),( )0,0. f xf xx g f x fxf xxx ,在区间 ,0)d-上( )f x有界。

12、(一)含有 ax+b 的积分 1.Cbax a baxd baxa dx +=+ + = + ln 1 )( 11 bax 2.()()C ua bax baxd a dx u uu + + + =+=+ ) 1( )( )(bax 1 bax 3.Cbaxbbax abax baxd a b dax bax bax a dx bax bbax a dx bax ax a dx bax x。

13、1 - 第一部分第一部分高等数学高等数学 一、选择题一、选择题 1.1.设() 1 ( )| 2 f xxx=+， 2 ,0, ( ) ,0, x x g x xx = 则( ) (A) 2, 0, ( ) 0,0. xx f g x x = (B) 2, 0, ( ) ,0. xx g f x x x = (C) 2 0,0, ( ) ,0. x f g。

14、（2018 至 2019 学年第一学期） 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 一、一、 单项选择题（单项选择题（15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1、当x时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A） x Cosxx （B） x Sinx （C） 12 1 x （D） 2函数)(xf在点 0 x处连续是函数在该点可导的（ ） （A）必要条件 （B）充分条件 x x ) 1 1 ( （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 3设)(xf在),(ba内单增，则)(xf在),(ba内（ ） （A）无驻点 （B）无拐点 （C）无极值点 （D）0)( x f 4设)(xf在ba，内连续，且0)()(bfaf，则至少存在一点 ）。

15、拿答案：1144,766, 066 2020 年春季高等数学（入学测试）高等数学入学测试卷 1. 单选题 答案资料卜载诘参考帮助中心说明 A. B. C. D. 答:D 2. 单选题 A. x=0 B. x=l C. x=-l D. x=3 答: - C - 3. 单选题 A. 1 B. -1 C. O D. 2 答:A- 4. 单选题 A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 答: - 5. 单选题 A. y=x+l B. y=2x+l C. y=x-l D. y=2x-l 答: - .单选题 A. 1 B. 2 C. D. 下 列 定 积 分 中 积 分 值 为 0的是（ ） A. B. C. D. 答: - 8. 单选题 A. x=2 B. x2 C. x=3 D. x2 且 xK3 答: - 9. 单选题 A. 1 B. 3 C. C. 12 奥鹏作业答案 q 1 12 9 0 21 答: -。

16、二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上。

17、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在。

18、第十节,一、最值定理,二、介值定理,*三、一致连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论.,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,二、介值定理,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 证。

19、第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,( P56 , 题 4 (2) ),解答见课件第二节 例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无。

20、二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第六节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋。

21、第一章,一、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,(P36定。

22、习题课,一、与定积分概念有关的问题的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,第五章,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1) 思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,原式,不对 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,如, P265 题4,解：将数列适当放大和缩小，以简化成。

23、二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1. 若,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,机动 目录 上页 下。

24、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,。

25、二、无界函数反常积分的审敛法,第五节,反常积分,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,一、无穷限反常积分的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分的审敛法,函数,第五章,一、无穷限反常积分的审敛法,定理1.,若函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,根据极限收敛准则知,存在 ,定理2 . (比较审敛原理),且对充, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: 不失一般性 ,因此,单调递增有上界函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 已知,得下列比较审敛法.,极限存在 ,定理3. (比较审敛法 1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 判。

26、二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分,(广义积分),反常积分,第五章,一、无穷限的反常积分,引例. 曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1. 设,若,存在 ,则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散 .,类似地 , 若,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定义,( c 为任意取定的常数 ),只要有一个极限不存。

27、第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的概念及性质,第五章,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机。

28、第四节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 混合法,机动 目录 上页 下页 返。

29、习题课,一、 求不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多次分部积分的 规 律,机动 目录 上页 下。

30、二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解:,令,则,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似,例5. 求,。

31、第五节,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表, 以备查用.,如 P347附录 .,积分表的结构: 按被积函数类型排列,积分表的使用:,1) 注意公式的条件,2) 注意简单变形的技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple,等数学软件的符号演算功能求得 .,的效率,积分表的使用,第四章,例1. 求,解:,应使用 P352 公式105 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解法1,令,则,原式,(P349 公式 37),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解法2 令,则,原式,( P348 公式 21 ),机动 目。

32、第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分部积分法,第四章,例1. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解: 令,则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序。

33、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不定积分的概念与性质,第四章,一、 原函数与不定积分的概念,引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如引例中,的原函数有,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函。

34、习题课,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,线面积分的计算,第十章,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,练习题: P184 题 3 (1), (3), (6),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P184 3 (1),P184 3(3). 计算,其中L为。

35、三、环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,*四、向量微分算子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,一、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证:,情形1 与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).,则有,简介 目录 上页 下页 返回 结束,则,(利用格林公式),定理1 目录 上页 下页 返回 结束,因此,同理可证,三式。

36、（2018 至 2019 学年第一学期） 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 一、一、 单项选择题（单项选择题（15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1、当x时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A） x Cosxx （B） x Sinx （C） 12 1 x （D） x x ) 1 1 ( 2函数)(xf在点 0 x处连续是函数在该点可导的（ ） （A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 3设)(xf在),(ba内单增，则)(xf在),(ba内（ ） （A）无驻点 （B）无拐点 （C）无极值点 （D）0)( x f 4设)(xf在ba，内连续，且0)()(bfaf，则至少存在一点 ）。

37、极限计算方法总结高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1定义：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；等等。