1、,二阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第十二章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示,P327 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P327 题3 求下列微分方程的
2、通解,提示: (6) 令,则方程变为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P327 题4(2) 求解,提示: 令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P327 题8 设函数,在 r 0,内满足拉普拉斯方程,二阶可导, 且,试将方程化为以 r 为自变,量的常微分方程 , 并求 f (r) .,提示:,利用对称性,
3、即,( 欧拉方程 ),原方程可化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解初值问题:,则原方程化为,通解:,利用初始条件得特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征根 :,例1. 求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解 :,代入方程定 A, B, 得,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原微分方程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,题 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1 . 建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方
5、程 ( 共性 ),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件 ( 个性 ),初始条件,边界条件,可能还要衔接条件,2 . 解微分方程问题,3 . 分析解所包含的实际意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,解:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M ,卫星,的质心到地心的距离为 h ,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原方程, 得,两边积分得,利用初始条件, 得,因此,注意到,机动 目录 上页 下页 返回 结
6、束,为使,因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求质点的运动规,例5.,上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数,提示:,两边对 s 求导得:,牛顿第二定律,为 k),开方如何定 + ?,已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦,力, 求链条滑下来所需的时间 .,解: 建立坐标系如图.,设在时刻 t , 链条较长一段,下垂 x m
7、 ,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,当 x = 20 m 时,(s),微分方程通解:,思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的,数学模型是什么 ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来 所需时间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测,要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函,数关系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,
8、在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正,比 , 比例系数为 k ( k 0 ) ,试建立 y 与 v 所满足的微分,方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ),提示: 建立坐标系如图.,质量 m 体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,质量 m 体积 B,作业 P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) 8 ; *11(1),得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,有特,而对
9、应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1. 设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,的和.,解: (1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(02考研),所以,(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入初始条件可得,故所求级数的和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
