1、 高三数学答案（第1页，共7页） 20202121 年年新高考全国新高考全国 I I 卷（山东卷）模拟题卷（山东卷）模拟题 数学参考答案及评分标准 一、单选题一、单选题 C B A A C D C D 二二、多选题多选题 9.A C 10. ACD 11. ABD 12. BD 三、填空题三、填空题 13. 1 5 14.(23,1)(1,23)+ 15.2026 16.12 四、解答题四、解答题 17.解：设数列 n a的公差为0d ， 若选条件：因为 2 324 4aa a=+， 所以 2 (12 )(1)(1 3 )4ddd+=+， 1 分 化简可得， 2 4d = ，所以2d = ，
2、2 分 因为0d ，所以2d =， 3 分 故12(1)21 n ann= +=. 4 分 若选条件：因为 n S n 是公差为1的等差数列，() 1 11 1 n SS nn n =+ =， 于是 2 n Sn=， 1 分 当2n 时， 1 21 nnn aSSn =. 2 分 当1n =时， 11 1aS=， 3 分 所以21 n an=. 4 分 若选条件：因为 2 428 SSS=， 所以()()() 2 462828ddd+=+， 1 分 整理得 2 20dd= . 2 分 因为0d ，所以2d =， 3 分 从而数列 n a的通项公式为21 n an=. 4 分 高三数学答案（第2
3、页，共7页） 由已知可得 1 2 22 nn n b =， 5 分 所以(21) 2n nnn ca bn=， 6 分 23 1 23 25 2(21) 2n n Tn= + + +， 2341 21 23 25 2(21) 2n n Tn + = + + +， 两式相减可得， 231 22(222 )(21) 2 nn n Tn + =+ 1 11 2(1 2) 4(21)2(32 )26 1 2 n nn nn + + = ， 8 分 所以 1 (23) 26 n n Tn + =+， 1 1 (23) 26(25) 26(21) 2 nnn nn TTnnn + =+=， 显然，当2n
4、时， 1 0 nn TT ，即 1nn TT ， 9 分 又因为 78 67 9 261158,11 262822TT=+=+=， 所以最小正整数n的值为7. 10分 18. 解： （1）因为BCA+=， 所以 2 1cos7 4cos(22 )2cos2cos3 22 A AAA + = +=， 2 分 即 2 4cos4cos10AA+ =， 解得 1 cos 2 A =， 4 分 因为(0, )A，所以 3 A =. 5 分 （2）在ABD中，由正弦定理知 sinsinsin BDADAB BADABDADB = ，6 分 即 2 3 3 2 sin sinsin() 33 b c AB
5、D ABD = ， 所以3sinbABD=， 2 2sin() 3 cABD =， 8 分 所以 22 2sin()2sin 33 cbABDABD = 高三数学答案（第3页，共7页） 3cossin2cos() 6 ABDABDABD =+ 10 分 因为 2 (0,) 3 ABD ，所以 5 (,) 666 ABD +， 所以 33 cos()(,) 622 ABD + ， 11 分 所以 2 3 cb的范围为(3, 3). 12 分 19.解： （1）因为 11 /BCBC, 11 BC 面 11 ADC B,BC 面 11 ADC B, 所以/BC面 11 ADC B, 所以BC到平面
6、 11 ADC B的距离等于点B到面 11 ADC B的距离， 1 分 解法一：在 1 ADB中， 11 5,2,7ABADDB=，故 1 5475 cos 102 25 B AD + = , 所以 1 95 sin 10 B AD=， 2 分 可得 1 19519 52 2102 AB D S= =, 而 13 13 22 ABD S= =， 3 分 设点B到面 11 ADC B的距离为h， 则有 1 11 2 33 AB DABD ShS =， 4 分 解得 2 57 19 h =， 所以点B到面 11 ADC B的距离为 2 57 19 . 6 分 解法二：如图建立空间直角坐标系Oxyz
7、， 2 分 可得 1 13 (1,0,0),( 1,0,0),( ,2) 22 ADB， 高三数学答案（第4页，共7页） 1 13 ( 2,0,0),(,2) 22 ADAB= = , 13 (,0) 22 AB = , 3 分 设 111 ( ,)x y z=n为平面 1 ADB的一个法向量，则有 1 111 20 13 20 22 x xyz = += ，令 1 4 3y =，可得(0,4 3, 3)=n， 4 分 点B到面 11 ADC B的距离为 |62 57 |1957 AB d = n n . 6 分 （2）由（1）解法二可知， 1 13 ( 2,0,0),( ,2) 22 ADD
8、E= = ， 设 222 (,)xyz=m，则有 2 222 20 13 20 22 x xyz = += ， 令 2 4 3y =，可得(0,4 3,3)=m， 9 分 所以 4893913 cos, 57195757 = m n， 11 分 故二面角 11 BADE的余弦值为 13 19 . 12 分 20.解： （1）设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为 1 a和 2 a，所以所求的概率 121212 22332233 33 (2,3)(3,2)(3,3) 41343143297 ( )( )( )( )( )( ) 55454454500 PP aaP aaP aa CC =+=+=
9、=+= 3 分 所以他们在一轮竞赛中能获得一个积分的概率为 297 500 . 4 分 （2）他们在一轮竞赛中获得一个积分的概率 121212 (2,3)(3,2)(3,3)PP aaP aaP aa=+=+= 22332233 3112132212 (1) ()()(1)CppppCpppp=+ 2222 1212121212 3()5(45)p pppp pp pp p=+= 6 分 因为 1 01p， 2 01p，且 12 4 3 pp+=，所以 1 1 1 3 p， 2 1 1 3 p， 高三数学答案（第5页，共7页） 所以 2 12 12 1 () 92 pp p p + ，当且仅当
10、 12 2 3 pp=时，等号成立. 即 12 14 99 p p. 8 分 令 12 p pt=，则 1 4 , 9 9 t， 所以 32 1 4 ( )54 , , 9 9 P tttt= +， 2 ( )158P ttt= +，当 1 4 , 9 9 t时，( )0P t 恒成立， 9 分 所以当 4 = 9 t时， max 256 ( ) 729 P t=. 10 分 甲乙两同学在n轮竞赛中获得的积分数X满足( ,)XB n P:， 所以由5nP ，即 256 5 729 n得， 729 514.2 256 n ， 11 分 所以若甲乙同学想至少获得5个积分，理论上至少要进行15轮竞赛
11、. 12 分 21.解： （1）由题意可得： 2242 3 3 2 ac c a +=+ = ，解得 2 3 a c = = ， 2 分 又因为 222 431bac=， 3 分 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y+=. 4 分 （2）因为 2( 3,0) F，设直线l的方程为:3xmy=+，() 11 ,A x y，() 22 ,B xy5 分 由 2 2 1 4 3 x y xmy += =+ 消去x得() 22 :42 310mymy+ =， 所以 12 2 12 2 2 3 4 1 4 m yy m y y m += + = + ， 7 分 又()() 12121212 ,2
12、3,OAOBxxyymymyyy+=+=+ ， 所以 ()() 2 2 1212 2 3OAOBmymyyy+=+ () 22 2 222 2 8 32 3348 2 44 4 mm mm m + =+ = + + ，9 分 高三数学答案（第6页，共7页） 令 2 11 0, 44 t m = + ，则 () () () 2 2 2 22 22 2 3 36 3436 348 363 1 434 m m t tt mm t + + + =+ + ， 因为二次函数 2 363ytt=+在 1 0, 4 t 上显然单调递增， 所以( 2 3630,3ytt=+， 11 分 因此 () 2 2 2
13、348 2(0,2 3 4 m OAOB m + += + ，显然当0m =时，取得最大值； 综上知，(0,2 3OAOB+ . 12 分 22.解： （1） 2 ( )e (21)1 x fxmxmx=+， 1 分 因为函数( )f x在1x =处取得极大值，所以(1)e(32)0fm=+=，解得 2 3 m = . 当 2 3 m = 时， 2 21 ( )e (1) 33 x fxxx=+， 令( )0fx=，解得 3 2 x = 或1x =， 2 分 所以当 3 (,)(1,) 2 x +时，( )0f x ，( )f x在(0,1)上单调递增， 所以满足函数( )f x在1x =处取
14、得极大值， 3 分 所以 2 3 m = . 4分 （2）当1m =时， 2 ( )e () x f xxx=+， 2 ( )eln1 x g xxaxax=+， 因为对0 x ，不等式 22 e ()eln1 xx xxxaxax+恒成立， 即e(ln ) 1 x xa xx+恒成立， 5 分 所以 +ln e(ln ) 1 xx a xx+对0 x 恒成立. 6 分 令ln()xxt t+=R，所以上式可化为对t R，e10 t at 恒成立. 令( )e1 t h tat=，则( )eth ta=， 7 分 高三数学答案（第7页，共7页） 所以当0a 时，( )0h t恒成立，( )h
15、t在(,) +上单调递增， 又 1 ( 1)10 e ha=+ 时， 令( )0h t=， 解得lnta=， 所以当(,ln )ta 时，( )0h t，( )h t在(ln ,)a +上单调递增，9 分 所以 min ( )(ln )ln1h thaaaa=，要使对t R，e10 t at 恒成立， 只需(ln )ln10haaaa= ， 10 分 令( )ln1aaaa=， 所以( )lnaa= ，令( )0a=，解得1a =， 易知在(0,1上，( )0a，( )a单调递增，在1,)+上，( )0a，( )a单调递减， 所以 max ( )(1)0a=， 11 分 所以，( )0a在(0,)+上恒成立，所以当且仅当1a =时，( )0a成立， 所以1a =. 12 分
