1、高等数学第 1页 共 2 页 南昌工学院南昌工学院20192019年专升本考试试题年专升本考试试题 课程名称: 高等数学 考试时间: 6月1日15:10-16:50 考试形式: 闭卷 考生姓名：准考证号： 注意事项： 1.答题前，将姓名和准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在试题和答题纸规定的位置上； 2.每小题作出答案后， 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案书写在答题纸规定处， 不能作答在试题卷上； 3.本科目满分 100 分，考试时间为 100 分钟。 一、选择题。 （共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 1. 函数 x xy 1 arctan3的定义域为（） A. 3,00,B. 3,0
2、0, C.3,D.,3 2. 极限 x x x 5tan 2sin lim 0 （） A. 2 5 B.2 C. 5 2 D.5 3. 函数 1, 1, 12 )( 2 xx xx xf在1x处（） A.连续且可导B.左连续但不右连续 C.连续但不可导D.右连续但不左连续 4. 已知2) 3( f ，则 h fhf h ) 3()3( lim 0 （） A.3B.2 C.3D.2 5. 设xxfln)(， 2 )(ln)(xxg，则下面正确的是（） A. 2 1 2 1 )()(dxxgdxxfB. 2 1 2 1 )()(dxxgdxxf C. 2 1 2 1 )()(dxxgdxxfD.不
3、确定 高等数学第 2页 共 2 页 二、填空题。 （共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 6. 极限 x x x 5 ln lim（） 7. 设 x xxxf2log)( 2 2 ，则 ) 1 ( f（） 8. dxex x 2（） 9. 正弦曲线xysin在,0上与x轴所围成的平面图形的面积等于（） 10. 设 x t dtex cos 1 2 )(，则)(x（） 三、计算题。 （共 9 题，每题 7 分，共 63 分） 11. 给出 x x xf tan 所有的间断点并说明间断点的类型. 12. 求极限) 1 1 1 2 (lim 2 1 xx x . 13. 设函数 1 1, , )
4、( 2 x x x bax xf，为了使函数)(xf在1x处连续且可导，ba,应取何值？ 14. 求曲线 ty tx 3 3 sin cos 上对应于 6 t点处的切线方程和法线方程. 15. 求函数 3 2 ) 1(2)(xxf的极值. 16. 计算不定积分xdxx ln 2 . 17. 设 x dt t t xf 0 sin )( ，计算 0 )(dxxf. 18. 计算dxxx 22 1 1 - 1）（ . 19. 设一长方形内接于椭圆)0,0( ,1 2 2 2 2 ba b y a x ，问此长方形长、宽各为多少时其面积最大？ 四、计算题。 （共 1 题，每题 7 分，共 7 分）
5、20. 证明：当0 x时，xx1 2 1 1. 高等数学第 3页 共 2 页 南昌工学院南昌工学院20192019年专升本考试参考答案和评分标准年专升本考试参考答案和评分标准 课程名称: 高等数学 考试时间: 6月1日15:10-16:50 考试形式: 闭卷 一、选择题。 （共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 1. B;2. C;3. B;4. D;5. A 二、填空题。 （共 5 空，每空 3 分，共 15 分） 6. 0;7.2ln2 2ln 1 2;8.C ex x 2ln1 2 ;9.2;10.xe x sin 2 cos 三、计算题。 （共 9 题，每题 7 分，共 63 分）
6、 11. 解：,.2, 1, 0 2 0kkxx ，为 xf的可去间断点4 分 ,.2, 1kkx为 xf的无穷间断点7 分 12. 解：) 1 1 1 2 (lim 2 1 xx x 1 12 lim 2 1 x x x 3 分 2 1 2 1 lim 1 x x 7 分 13. 解：1lim)(lim 2 11 xxf xx ，1) 1 (,)lim)(lim 11 fbabaxxf xx （，3 分 由函数在0 x处连续，则1ba 因此a x ba a x fxf f xx 1 lim ) 1 (-1 ( lim) 1 ( 00 ） 2 ) 1 (-1 ( lim) 1 ( 0 x fx
7、f f x ） ，5 分 又函数在1x处可导，因此可知2a,故1b7 分 14. 解： 3 1 ,cossin3,sincos3 6 22 t t t dx dy ttyttx4 分 6 t时得 8 1 , 8 33 yx，5 分 因此曲线在该点的切线方程和法线方程分别为: 8 33 3 1 8 1 xy和 8 33 3 8 1 xy7 分 15. 解：)(xf的定义域为，-，1 分 高等数学第 4页 共 2 页 3 1 1 1 3 2 -)( x xf，1-x是不可导点4 分 当0)(1xfx，当0)(1xfx，因此2)-1(f为极大值.7 分 16. 解：xdxx ln 2 ) 3 (ln
8、 3 x xd3 分 dxxxx 23 3 1 ln 3 1 5 分 Cxx) 3 1 (ln 3 1 3 7 分 17. 解：dxxf xfxxdfxxfdxxf 00 0 0 )()()()()(3 分 dx x xx f 0 sin )(5 分 2sin sin- )( 00 dxxdx x xx f 7 分 18. 解：dxxx 22 1 1 - 1）（ dxxxxx）（ 222 1 1 - 1123 分 1 1 - 1 1 - 2 12dxdxxx=27 分 19. 解：设长方形的长、宽分别为yx 2 ,2，则长方形面积S为 xyS41 分 因为长方形内接于椭圆1 2 2 2 2 b
9、 y a x ，因此 2 4 222 16)( a x xbSxf3 分 令0 4 216)( 2 3 2 a x xbxf，得驻点 0 1 x（舍去） ，ax 2 2 2 ,ax 2 2 3 （舍去）5 分 所以当byax 2 2 , 2 2 时， 即长方形的长、宽分别为ba2,2时，长方形面积可以取到最大ab2.7 分 四、证明题(共 1 题，每题 7 分，共 7 分） 高等数学第 5页 共 2 页 20. 证明：令xxxf1 2 1 1)(2 分 则)0(0 12 11 12 1 2 1 )( x x x x xf4 分 故)(xf在,0单调增加5 分 于是当0 x时，0)0()( fxf，6 分 即有xx1 2 1 17 分
