1、1-2-2-2.整数裂项.题库教师版page 1 of 4 整数裂项整数裂项 知识点拨知识点拨 整数裂项基本公式 (1)1 22334.(1)nn 1 (1)(1) 3 nnn (2) 1 1 23234345.(2)(1)(2)(1) (1) 4 nnnnnn n 例题精讲例题精讲 【例【例 1 1】1 223344950 =_ 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。 设 S1 223344950 123123 23323（41）234123 34334（52）345234 495034950（5148）=49505148
2、4950 3S12323334349503495051 S495051341650 【答案】41650 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】1 22334455667788 99 10 _ 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然 不能这样进行计算对于项数较多的情况，可以进行如下变形： 121111 11211 333 n nnnn n n nn nnnn n ， 所以原式 11111 1 232341 239 10 118 9 10 33333 1 9 10 11330 3 另解：由于 2
3、1n nnn，所以 原式 222 112299 222 129129 11 9 10 199 10 62 330 采用此种方法也可以得到 1 1 223112 3 nnn nn 这一结论 【答案】330 【例【例 2 2】1 4477 104952=_ 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】设设 S1 4477 104952 1-2-2-2.整数裂项.题库教师版page 2 of 4 149147142 47947（101）4710147 7109710（134）710134710 . 495294952（5546）495255464952 9S495255142 S=（
4、495255142）915572 【答案】15572 【例【例 3 3】1 232343459 10 11 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】 11 12123112 44 n nnn nnnnn nn，所以， 原式 11111 1 23423451 2349 10 11 128 9 10 11 44444 1 9 10 11 12 4 2970 从中还可以看出， 1 1 2323434512123 4 nnnn nnn 【答案】2970 【例【例 4 4】 计算：计算：1 3 53 5717 1921 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】可以进行整数
5、裂项 3 5791 3 57 3 57 8 ， 579 113 579 579 8 ， 17 1921 23 15 17 1921 17 1921 8 ， 所以原式 3 5791 3 5717 1921 23 15 17 1921 1 3 5 88 17 1921 23 1 3 57 1 3 5 8 17 1921 231 3 5 8 19503 也可适用公式 原式323325255219219192 222222 32352519219 333 351943519 3333 135194135193 而 333333333333 135191232024620 2222 11 2021810
6、11 44 19900， 2 1351910100，所以原式199004 100319503 1-2-2-2.整数裂项.题库教师版page 3 of 4 【答案】19503 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：10 16221622287076 8276 82 88 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】可进行整数裂项： 原式 10 1622284 10 1622162228 3410 162228 = 2424 7076 82 88647076 8276 82 88 947076 82 88 2424 10 1622284 10 1622162228 3410 1622
7、28 = 24242424 7076 82 88647076 8276 82 88 947076 82 88 24242424 76 82 88 944 10 1622 = 2424 76 82 88 944 10 1622 = 24 =2147376 【答案】2147376 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：1 234345656789798 99 100 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上， 再进行计算 记原式为A，再设23454567678 9969798 99B ，
8、则1 234234534569798 99 100AB 1 9798 99 100 1011901009880 5 ， 现在知道A与B的和了，如果能再求出A与B的差，那么A、B的值就都可以求出来了 1 23423453456456756789798 99 100AB 4(1 23345567.9798 99) 2222 42(21)4(41)6(61)98(981) 3333 4(24698 )4(24698) 22 11 4 84950410049 42 48010200 所以，1901009880480102002974510040A 【答案】974510040 【例【例 5 5】2004
9、200320032002200220012001 20002 1 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】原式200322001 2321 2 213520012003 21200310022 2008008 其中也可以直接根据公式 2 135721nn得出 2 135200120031002 【答案】2008008 【例【例 6 6】1 1! 22! 3 3!20082008! 【考点】整数裂项【难度】4 星【题型】计算 1-2-2-2.整数裂项.题库教师版page 4 of 4 【解析】【解析】观察发现22!22 1(3 1)2 13! 2! ， 3 3!3 32 1(
10、41)32 14! 3! ， 20082008!2008200820072 1 (20091)200820072 12009! 2008! ， 可见，原式1! (2! 1!)(3! 2!)(2009! 2008!)2009! 【答案】2009! 【例【例 7 7】 计算： 1 2345699 100 234598 99 【考点】整数裂项【难度】5 星【题型】计算 【解析】设原式= B A 1 2233498 9999 100AB 1 1 230 1 22341 2399 100 10198 99 100 3 1 99 100 101333300 3 1 23299250 1005000BA 33330050003383 33330050003283 B A 【答案】 3383 3283
