1、圆与扇形圆与扇形 例题精讲例题精讲 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积 圆的面积 2 r；扇形的面积 2 360 n r； 圆的周长2r；扇形的弧长2 360 n r 一、跟曲线有关的图形元素： 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我们经常说 的 1 2 圆、 1 4 圆、 1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几 分之几那么一般的求法是什么呢？关键是 360 n
2、比如：扇形的面积所在圆的面积 360 n ； 扇形中的弧长部分所在圆的周长 360 n 扇形的周长所在圆的周长 360 n 2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积 一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积(除了半圆) ”弯角” ：如图：弯角的面积正方形-扇形 ”谷子” ：如图：“谷子”的面积弓形面积2 二、常用的思想方法： 转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) 等积变形(割补、平移、旋转等) 借来还去(加减法) 外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块一平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用 【例
3、【例 1】 如图，圆如图，圆 O 的直径的直径 AB 与与 CD 互相垂直，互相垂直，AB=10 厘米，以厘米，以 C 为圆心，为圆心，CA 为半径画弧。求月牙为半径画弧。求月牙形形 ADBEA（阴影部分）的面积。（阴影部分）的面积。 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第 9 题，10 分 【解析】月牙形 ADBEA(阴影部分)的面积半圆的面积+ABC 的面积扇形CAEBC的面积月牙形 ADBEA 的面积 2 11 5255025 24 （平方厘米）,所以月牙形 ADBEA 的面积是 25 平方 厘米。 【答案】25 【例【例 2】 三个半径为三个半径为 10
4、0 厘米且圆心角为厘米且圆心角为 60的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是_厘厘 米米 （取取 3.14） 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，4 题 【解析】三个扇形的弧长相当于半径 100 厘米，圆心角为 1800的扇形的弧长， 180 23.14314 360 厘米； 【答案】314 【例【例 3】 分别以一个边长为分别以一个边长为 2 厘米的等边三角形的三个顶点为圆心厘米的等边三角形的三个顶点为圆心， 以以 2 厘米为半径画弧厘米为半径画弧， 得到右图得到右图； 那么那么， 阴影图形的周长是阴影图形
5、的周长是_厘米厘米(取取 3.14) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】每段弧长为 1 6 C圆，所以 1 6 6 CCC 圆圆阴影 C 阴影=6 1 6 C 圆= C 圆，所以12.56C 阴影 【答案】12.56 【例【例 4】 下图中每一个小正方形的面积是下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】割补法如右图，格线部分的面积是 36 平方厘米 【答案】36 【巩固】下图中每一个小正方形的面积是【巩固】
6、下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】割补法如右图，格线部分的面积是 36 平方厘米 【答案】36 【例【例 5】 如图，在如图，在 188 的方格纸上，画有的方格纸上，画有 1，9，9，8 四个数字那么，图中的阴影面积占整个方格纸面四个数字那么，图中的阴影面积占整个方格纸面 积的几分之几？积的几分之几？ 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】我们数出阴影部分中完整的小正方形有 8+15+15+1654 个，其中部分有 6+6+820 个， 部
7、分有 6+6+820(个)，而 1 个和 1 个正好组成一个完整的小正方形， 所以阴影部分共包含 54+2074(个)完整小正方形，而整个方格纸包含 818144(个)完整小正方 形所以图中阴影面积占整个方格纸面积的 74 144 ，即 37 72 【答案】 37 72 【巩固】在【巩固】在 47 的方格纸板上面有如阴影所示的的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧问阴影面积占纸板面积字，阴影边缘是线段或圆弧问阴影面积占纸板面积 的几分之几？的几分之几？ 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】矩形纸板共 28 个小正方格，其中弧线都是 1 4 圆周，非阴影部分有
8、 3 个完整的小正方形，其余部分可 拼成 6 个小正方格因此阴影部分共 2863=19 个小正方格所以，阴影面积占纸板面积的 19 28 【答案】 19 28 【例【例 6】 在一个边长为在一个边长为 2 厘米的正方形内，分别以它的三条边为厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的 面积为面积为平方厘米平方厘米 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【关键词】西城实验 【解析】采用割补法如果将阴影半圆中的 2 个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的 等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面
9、积和，即正方形面积的一半， 所以阴影部分的面积等于 2 1 22 2 平方厘米 【答案】2 【巩固【巩固】如图如图，在一个边长为在一个边长为 4 的正方形内的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆以正方形的三条边为直径向内作三个半圆求阴影部分的面积求阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为4428 【答案】8 【例【例 7】 如图如图， 正方形边长正方形边长为为1， 正方形正方形的的4个顶点个顶点和和4条边分别条边分别为为4个圆的圆心和半径个圆的圆心和半径， 求阴影部分面积求阴影部分面积
10、 ( ( 取取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】把中间正方形里面的 4 个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四 个正方形面积与四个90的扇形的面积之和，所以， 22 1 4 4444 1 147.14SSSSS 圆阴影 圆 【答案】7.14 【例【例 8】 图中的图中的 4 个圆的圆心是正方形的个圆的圆心是正方形的 4 个顶点个顶点， 它们的公共点是该正它们的公共点是该正方形的中心方形的中心 如果每个圆的半径都如果每个圆的半径都 是是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米，那么阴影部分的总面积是
11、多少平方厘米？厘米？ 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】如下图所示： 可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为1 1240.542 （）（平方厘 米） ，所以阴影部分的总面积为248（平方厘米） 【答案】8 【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为 2m，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是 ? 2 ? m ? 2 ? m 或 ? 2 ? m 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】填空 【解析】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公 式也可以求出阴影部分面积如图，割补后
12、阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于 22 2216 m（）（） 【答案】16 【例【例 9】 如右图如右图，有有 8 个半径为个半径为 1 厘米的小圆厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这图中的黑点是这 些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解 如右上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形可以看出，与原图相比，正方 形的每一条边上都多了
13、一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地 方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 1 4 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 22 4 119(平方厘米) 【总结】在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形， 从而利用面积公式进行求解这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需 要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、 【答案】19 【例【例 10】如图中三个圆的半径都是如图中三个圆的半径都是 5cm，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和( (圆周率取圆
14、周率取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为 2 5 5 3.14239.25(cm ) 【答案】39.25 【巩固【巩固】如图如图，大圆半径为小圆的直径大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为已知图中阴影部分面积为 1 S，空白部分面积为空白部分面积为 2 S，那么这两个部分那么这两个部分 的面积之比是多少？的面积之比是多少？( (圆周率取圆周率取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】如图添加辅助线， 小圆内部的阴影部分可以填到外侧来， 这样， 空白部分就是一个圆的内接正方形 设
15、大圆半径为r，则 2 2 2Sr， 22 1 2Srr，所以 12 :3.142 :257:100SS 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系 【答案】57:100 【例【例 11】计算图中阴影部分的面积计算图中阴影部分的面积( (单位：分米单位：分米) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】将右边的扇形向左平移，如图所示两个阴影部分拼成个直角梯形 5105275237.5(平方分米) 【答案】37.5 【巩固】【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？如图，阴影部分的面积是多少？ 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】首先观察阴影部分，我们发现阴影
16、部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积， 那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路， 那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！ 观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长 为 4 的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积则阴影部分面积 (222)4(22)48 【答案】8 【例【例 12】请计算图中阴影部分的面积请计算图中阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【解析】法一： 为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了 要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆
17、切成两半后，从两端去扣掉也是一样如此一来，就会出现一 个长方形的面积 因此，所求的面积为 2 10330 cm （） 法二： 由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形： 如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移3cm就会得到右上图中的组合图形，而 这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积 显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积 因此，所求的面积是 2 10330 cm （） 【答案】30 【例【例 13】求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】如图，连接BD，可知阴影部分的面积与三角形BCD的
18、面积相等，即为 11 12 1236 22 【答案】36 【例【例 14】求如图中阴影部分的面积求如图中阴影部分的面积( (圆周率取圆周率取3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】2 星【题型】解答 【解析】可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90，则阴影部分转化为四分之一圆减去一 个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为 2 11 4444.56 42 【答案】4.56 【巩固】【巩固】如图，四分之一大圆的半径为如图，四分之一大圆的半径为 7，求阴影部分的面积，其中圆周率，求阴影部分的面积，其中圆周率取近似值取近似值 22 7 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】原
19、题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内 的等腰直角三角形面积即为所求因为四分之一大圆的半径为 7，所以其面积为： 22 1122 7738.5 447 四分之一大圆内的等腰直角三角形ABC的面积为 1 7724.5 2 ，所以阴影部分的面积为 38.524.514 【答案,14 【例【例 15】求下列各图中阴影部分的面积求下列各图中阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为 10，高为 5 的三角形，利用三角形面积公式可 以求得 110 1025 22 S 阴影 ； 在图(2
20、)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为 b，宽为 a 的长方形，利用长方形面积公式可以 求得Sabab 阴影 【答案】25，ab 【巩固】求下列各图中阴影部分的面积【巩固】求下列各图中阴影部分的面积( (图中长度单位为图中长度单位为cm，圆周率按，圆周率按 3 计算计算) )： 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】4.54121.54.5 【答案】4.54121.54.5 【例【例 16】如图，如图，ABCD是正方形，且是正方形，且1FAADDE，求阴影部分的面积，求阴影部分的面积( (取取3) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：两个分割开的阴影
21、部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、 补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现 由于对称性，我 们可以发现，弓形 BMF 的面积和弓形 BND 的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图 形 BDWC 的面积因为 ABCD 是正方形，且 FAADDE1，则有 CDDE那么四边形 BDEC 为平行四边形，且E45我们再在平行四边形 BDEC 中来讨论，可以发现不规则图形 BDWC 和扇形 WDE 共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积平行四边形 BDEC-扇 形 DEW 2 455 1 1 1 3608 方法二：先看
22、总的面积为 1 4 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总 面积扣除一个等腰直角三角形，一个 1 4 圆，一个45的扇形那么最终效果等于一个正方形扣除一 个45的扇形面积为 2 15 1 13 1 88 【答案】 5 8 【巩固】【巩固】求图求图中中阴影阴影部分的面积部分的面积( (单位：单位：cm) ) 【考点】圆与扇形【难度】2 星【题型】解答 【解析】从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积， 所以阴影部分面积为 2 1 (24)39cm 2 【答案】9 【例【例 17】如图，如图，长方形长方形ABCD的的长是长是8cm，则则阴影部分的面积阴影部分的面
23、积是是 2 cm( (3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】2 星【题型】填空 【解析】阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以 2 即 可 长方形的长等于两个圆直径，宽等于 1 个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于： 2 8 8282226.88 所以左图阴影部分的面积等于6.8823.44平方厘米 【答案】3.44 【例【例 18】如图所示，在半径为如图所示，在半径为4cm的图中有两条互相垂直的线的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积段，阴影部分面积A与其它部分面积与其它部分面积B之差之差 ( (大减大减小小) )是是 2 cm 【考点】圆与
24、扇形【难度】3 星【题型】填空 【关键词】西城实验，期末考试 【解析】如图，将圆对称分割后，B与A中的部分区域能对应，B仅比A少了一块矩形，所以两部分的面积 差为： 2 221 28cm 【答案】8 【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺 寸的四块寸的四块现甲取现甲取、两块两块，乙取乙取、两块两块如果这种金属板每平方厘米价值如果这种金属板每平方厘米价值 1000 元元，问问：甲甲 应偿付给乙多少元？应偿付给乙多少元？ ? 5cm ? 7.5cm ?
25、3cm ? 2cm ? ? ? ? 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】如右上图所示，的面积与的面积相等，的面积等于与的面积之和可见甲比乙多拿的部 分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为： 2 537.5225.511 cm（） （）（），而原本应是两 人平分，所以甲应付给乙： 11 10005500 2 (元) 【答案】5500 【例【例 19】求右图中阴影部分的面积求右图中阴影部分的面积( (取取 3) ) 【考点】圆与扇形【难度】3 星【题型】解答 【解析】看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积， 因为阴影部分非常不规则，无
26、法入手 这样，平移和旋转就成了我们首选的方法 ? C ? B ? A (法 1)我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积之和即可，其中、 面积相等易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边 AB 的长度未知单独求 部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如右下图所示，则、部分变为一个以 AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC10两个四分之一圆的面积 和为 150，而、部分的面积和为 1 10 1050 2 ，所以阴影部分的面积为15050100(平方厘 米) (法 2)欲求图中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转
27、 180，使 A 与 C 重合， 从而构成如右图的样子， 此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积 所以阴影部分面积为 2 11 1010 10100 22 (平方厘米) 【答案】100 【例【例 20】如图，边长为如图，边长为 3 的两个正方形的两个正方形 BDKE、正方形正方形 DCFK 并排放置，以并排放置，以 BC 为边向内侧作等边三角形为边向内侧作等边三角形， 分别以分别以 B、C 为圆心，为圆心，BK、CK 为半径画弧求阴影部分面积为半径画弧求阴影部分面积( (3.14) ) 【考点】圆与扇形【难度】4 星【题型】解答 【关键词】走美，决赛 【解析】根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线，所以 22 3218r ，如右图将左边的阴影翻转右 边阴影下部，SSS 阴影扇形柳叶 11 182(183 3) 34 1838.58 【答案】8.58
