1、6-1-2.还原问题（二）.题库教师版page 1 of 11 6-1-2.6-1-2.还原问题（二还原问题（二） 教学目标教学目标 本讲主要学习还原问题通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用 倒推法解决问题 1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题 3. 培养学生“倒推”的思想 知识点拨知识点拨 一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以 新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题 还原问题又叫做逆推运算问题解这类问题
2、利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的 叙述顺序由后向前逆推计算在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推 二、解还原问题的方法 在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反 方法：方法：倒推法。 口诀：口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数 关键：关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变 减为加，变乘为除，变除为乘列式时还要注意运算顺序，正确使用括号. 例题精讲例题精讲 模块一、单个变量的还原问题 【例【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大
3、瓶矿泉水狂喝他第一口就喝了整瓶水的一半，第二他第一口就喝了整瓶水的一半，第二 口又喝了剩下的口又喝了剩下的 1 3 ，第三口则喝了剩下的，第三口则喝了剩下的 1 4 ，第四口再喝剩下的，第四口再喝剩下的 1 5 ，第五口喝了剩下的，第五口喝了剩下的 1 6 此时此时 瓶子里还剩瓶子里还剩 0.5 升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？ 【考点】单个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】最开始瓶子里有矿泉水： 11111 0.5111113 23456 （升） 【答案】3升 6-1-2.还原问题（二）.题库教师版pag
4、e 2 of 11 【例【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（）斗酒。）斗酒。 【考点】单个变量的还原问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级 【解析】【解析】设李白壶中原有x斗酒，则三次经过店和花之后变为0 2 2(21)1 10 x 870 x 7 8 x 即壶中原有 7 8 斗酒. 【答案】 7 8 斗 【例【例 3】 有有 60 名学生名学生，男生男生、女生各女生各 30 名名，他们手拉手围成一个圆圈他们手拉手围成一个圆圈如果让原本牵着
5、手的男生和女生放如果让原本牵着手的男生和女生放 开手，可以分成开手，可以分成 18 个小组那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了个小组那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_个小个小 组组 【考点】单个变量的还原问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3 题 【解析】【解析】方法一：男生和女生放手分成18个组，说明有男生被计算18次，男生与男生放开手后分成的组数和 男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则， 原来有男生30人，被计算302=60（次） ，所以60182=21（次）分成了21组。 方法二：60
6、名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有60对牵着的手，其中男生与女生牵手 的有18对，假设男生与男生牵手的有x人，那么，参与围圈的男生一共有21829xx人，所 以930 x，21x那么原来牵手的男生和男生放手，分成了21个小组 【答案】21个小组 模块二、多个变量的还原问题 【例【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书 280 本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护， 于是从甲调于是从甲调 14 本给乙本给乙，从乙调从乙调 15 本给丙本给丙，从丙调从丙调 17 本给丁本给丁，从丁调从丁调 1
7、8 本给甲本给甲。这时四个组的书这时四个组的书 一样多。这说明甲组原来有书一样多。这说明甲组原来有书_ 本。本。 【考点】多个变量的还原问题【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】甲得到 4 本，乙失去 1 本，丙失去 2 本，丁失去 1 本后，四个人书一样多，为 2804=70，所以甲原 来有 70-4=66 本书 【答案】66本书 【例【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戏一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲他们分为甲、乙两个组乙两个组，共有共有 140 只沙袋只沙袋如果甲组先给乙组如果甲组先给乙组 5 只只，乙乙 组又给甲组组又给甲组 8 只，这时两组沙袋数相等
8、两个组原来各有沙袋多少只只，这时两组沙袋数相等两个组原来各有沙袋多少只? 【考点】多个变量的还原问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为 140 只，所以这时 两组各有沙袋 70 只解答时可以从70开始倒推列表倒推如下： 解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所 6-1-2.还原问题（二）.题库教师版page 3 of 11 以应从两组各有沙袋 70 只开始倒推 【答案】甲67，乙73 【巩固】【巩固】 甲甲、乙两班各要种若干棵树乙两班各要种若干棵树，如果甲班
9、拿出与乙班同样多的树给乙班如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出乙班再从现有的树中也拿出 与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有 28 棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28214（棵） ，乙班有281442（棵） ，如 果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42221（棵） ，甲班原有树142135 （棵） 列表倒推如下: 【答案】甲班原有树35棵，乙班
10、原有树21棵 【例【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和 乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次 又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好 都是都是 32 个问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？个问甲、乙两堆棋子
11、原来各有多少个？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】我们从最后一步倒着分析因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是 32 个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32216(个)棋子，而甲堆的棋子数是 321648(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向所 以，甲堆原有 44 个棋子；乙堆原有 20 个棋子 采用列表法非常清楚 【答案】甲乙两堆棋子原来各有44个和20个 【巩固】【巩固】 有一个两层书架有一个两层书架，一共摆放一共摆放 224 本书本书，先从上层取出与下层本数同样多的
12、书放入下层先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现再从下层现 有书中有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整这算进行了一轮调整若如此共进行了两轮若如此共进行了两轮 6-1-2.还原问题（二）.题库教师版page 4 of 11 调整后调整后， 两层摆放书的本数相等两层摆放书的本数相等， 上层书架原来摆放上层书架原来摆放_本书本书,下层书架原来摆放下层书架原来摆放_本书本书 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 8 题，可逆思想方法 【解析】【解析】还原法 结果：上层 1
13、12 本；下层 112 本 上层56本；下层168本 上层 140 本；下层 84本 上层 70本；下层 154 本 上层 147 本；下层 77本 【答案】上层147本，下层77本 【例【例 7】 三人有不等的存款三人有不等的存款，只知如果甲给乙只知如果甲给乙 40 元元，乙再给丙乙再给丙 30 元元，丙再给甲丙再给甲 20 元元，给乙给乙 70 元元，这样三这样三 人各有人各有 240 元，三人原来各有存款多少元？元，三人原来各有存款多少元？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】甲：2404020260（元） ； 乙：24040307016
14、0（元） ；丙：240302070300 【答案】甲260元， 乙160元，丙300元 【巩固】【巩固】 小巧小巧、小亚小亚、小红共有小红共有90个玻璃球个玻璃球，小巧给小亚小巧给小亚6个个，小亚给小红小亚给小红5个个，小红给小巧小红给小巧8个个，他们的他们的 玻璃球个数正好相等小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？玻璃球个数正好相等小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了2个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都是 90330（个） ， 所以小巧原来有30228（
15、个） ， 小亚原来有30129 （个） ， 小红原来有30333 （个） 【答案】所以小巧原来有28个，小亚原来有29个，小红原来有33个 【例【例 8】 三棵树上共有三棵树上共有 36 只鸟，有只鸟，有 4 只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有 8 只鸟从第二棵树上飞到第三只鸟从第二棵树上飞到第三 棵树上，有棵树上，有 10 只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多原来每棵树上各只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多原来每棵树上各 有几只鸟有几只鸟? 【考点】多个变量的还原问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法
16、 【解析】这道题要采用倒推法， 最后三棵树上的鸟同样多， 那每棵数上就是36312（只） ， 第一棵树上的鸟， 先是飞了 4 只到第二棵树上，然后又有 10 只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了 6 只，这样比较就 能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了 4 只，然后又有飞走了 8 只，现在和原 来比少了 4 只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了 8 只，然后 又飞走了 10 只，现在和原来比少了 1 只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数列式：现在一 样多的：36312（只） ，第一棵树上的小鸟只数：121046（只）或12(104)6（只）
17、， 第二棵树上的小鸟只数：128416（只）或12(84)16（只） ，第三棵树上的小鸟只数： 1210814（只）或12(108)14（只）原来第一棵树上有 6 只小鸟，第二棵树上有 16 只小鸟， 第三棵树上有 14 只小鸟 【答案】原来第一棵树上有 6 只小鸟，第二棵树上有 16 只小鸟，第三棵树上有 14 只小鸟 【巩固】【巩固】 三棵树上共有三棵树上共有 27 只鸟，从第一棵飞到第二棵只鸟，从第一棵飞到第二棵 2 只，从第二棵飞到第三棵只，从第二棵飞到第三棵 3 只，从第三棵飞到第一只，从第三棵飞到第一 棵棵 4 只，这时，三棵树上的鸟同样多原来每棵树上各有几只鸟？只，这时，三棵树上
18、的鸟同样多原来每棵树上各有几只鸟？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】三棵树上的鸟同样多的只数：2739（只） ，第一棵数上鸟的只数：9427（只） ，第二棵数 上鸟的只数：92310（只） ，第三棵数上鸟的只数：93410（只） ，第一棵数上有 7 只鸟， 第二棵数上有 10 只鸟，第三棵数上有 10 只鸟 【答案】第一棵数上有 7 只鸟，第二棵数上有 10 只鸟，第三棵数上有 10 只鸟 6-1-2.还原问题（二）.题库教师版page 5 of 11 【巩固】【巩固】 3 个笼子里共养了个笼子里共养了 78 只鹦鹉只鹦鹉， 如果从第如果从
19、第 1 个笼子里取出个笼子里取出 8 只放到第只放到第 2 个笼子里个笼子里， 再从第再从第 2 个笼子里个笼子里 取出取出 6 只放到第只放到第 3 个笼子里个笼子里， 那么那么 3 个笼子里的鹦鹉一样多个笼子里的鹦鹉一样多 求求 3 个笼子里原来各养了多少只鹦鹉个笼子里原来各养了多少只鹦鹉? 【考点】多个变量的还原问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】3 个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78 只的总数始终不变变化后“3 个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出 现在每个笼里的是78326（只） 根据“从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里”，可以知道 第 1 个笼子
20、里原来养了26834（只） ；再根据“从第 2 个笼子里取出 6 只放到第 3 个笼子里”，得 出第2个笼子里有：266824（只） ，第 3 个笼子里原有26620（只） 【答案】第 1 个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第 3 个笼子里原有20只。 【巩固】【巩固】 3 个笼子里共养了个笼子里共养了 36 只兔子只兔子， 如果从第如果从第 1 个笼子里取出个笼子里取出 8 只放到第只放到第 2 个笼子里个笼子里， 再从第再从第 2 个笼子里个笼子里 取取出出 6 只放到只放到第第 3 个笼子里个笼子里， 那那么么 3 个笼子里的兔子一样多个笼子里的兔子一样多 求求 3 个笼子里
21、原来各养了多少只兔子？个笼子里原来各养了多少只兔子？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】3 个笼子里的兔子不管怎样取，36 只的总数始终不变变化后“3 个笼子里的兔子一样多”，可以求出 现在每个笼里的兔子是36312（只） 根据“从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里”，可以 知道第 1 个笼子里原来养了12820（只） ；再根据“从第 2 个笼子里取出 6 只放到第 3 个笼子里”， 所以第 3 个笼子里原有：1266（只） ，第2个笼子里原有：3620610(只) 【答案】第 1 个笼子里原来养了20只，第2个笼子里原有10只
22、，第 3 个笼子里原有6只。 【例【例 9】 张张、王王、李李、赵四个小朋友共有课外读物赵四个小朋友共有课外读物 200 本本，为了广泛阅读为了广泛阅读，张给王张给王 13 本本，王给李王给李 18 本本，李李 给赵给赵 16 本，赵给张本，赵给张 2 本这时本这时 4 个人的本数相等他们原来各有多少本？个人的本数相等他们原来各有多少本？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物 200 本，经过互相交换后，这 200 本书的总 数没有变化，仍然是 200 本后来这 4 个人的本数相等时，每个人的本数
23、是200450(本) 用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果 50 本开始，把给出的本数加上，收进的本 数减去，就得到各人原有课外读物的本数 张原有读物的本数：5013261(本) 王原有读物的本数：50181355(本) 李原有读物的本数：50161848(本) 赵原有读物的本数：5021636(本) 【答案】张原有读物61本，王原有读物55本，李原有读物48本，赵原有读物36本。 【例【例 10】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调 35 人支援第三队，又抽调剩下人支援第三队，又抽调剩下 的一半支援
24、第四队，后来又调进的一半支援第四队，后来又调进 8 人，这时第一队还有人，这时第一队还有 30 人，求第一队原有多少人？人，求第一队原有多少人？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有30人”，可知不调进8人有30822(人)由“又抽调剩 下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有22244(人)；由“抽 调35人支援第三队”后还有44人， 可知之前有443579(人)； 由“从第一队抽调一半人支援第二队” 后还有79人，可知第一队原有792158(人) 列式为：(308)23
25、52792158(人) 还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。 【答案】158人 【例【例 11】科学课上，老师说：科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的土星直径比地球直径的 9 倍多倍多 4800 千米，土星直径除以千米，土星直径除以 24 等于水星直径，等于水星直径， 水星直径加上水星直径加上 2000 千米是火星直径，火星直径除以千米是火星直径，火星直径除以 2 减去减去 500 千米等于月亮的直径，月亮直径千米等于月亮的直径，月亮直径是是 3000 千米千米.”请你算一算，地球的直径是多少？请你算一算，地球的直径是多少？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】
26、4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 6-1-2.还原问题（二）.题库教师版page 6 of 11 【解析】先求土星直径：(3000500)2200024120000(千米) 再求地球直径：(1200004800)912800(千米)，即：地球的直径是 12800 千米. 【答案】12800千米 【例【例 12】有有 18 块砖块砖，哥哥和弟弟争着去搬哥哥和弟弟争着去搬弟弟抢在前面弟弟抢在前面，刚摆好砖刚摆好砖，哥哥赶到了哥哥赶到了哥哥看弟弟搬得太多哥哥看弟弟搬得太多， 就抢过一半弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少就抢过一半弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一
27、半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少 2 块块， 从弟弟那儿拿走一半多从弟弟那儿拿走一半多 2 块块，结果是爸爸比哥哥多搬了结果是爸爸比哥哥多搬了 3 块块，哥哥比弟弟多搬了哥哥比弟弟多搬了 3 块块问最初弟弟问最初弟弟 准备搬多少块准备搬多少块? 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖如果爸爸给弟弟3块，那么 3 个人搬的砖数就一 样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了1836(块)，弟弟搬了633(块)，爸爸搬了 639(块)爸爸从弟弟处搬了一半多 2 块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖
28、数是 32210（）(块)，哥哥的砖数是18108(块)；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下 的砖数一样，是 8 块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是8216(块)，那时，弟弟的砖数 是18162(块)；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是 2 块所以，哥 哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是224(块)，那时，哥哥的砖数是18414(块)所以，最初， 弟弟准备搬 4 块砖即： 最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：1836(块)，爸爸：639(块)，弟弟： 633(块) 爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：6228（）(块)， 弟弟
29、：32210（）(块) 弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：8216(块)，弟弟：18162(块) 哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟：224(块)，哥哥：18414(块) 【答案】4块 【巩固】【巩固】 有砖有砖 26 块，兄弟二人争着去挑弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了哥哥看弟弟挑的太多，块，兄弟二人争着去挑弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了哥哥看弟弟挑的太多， 就抢过一半就抢过一半弟弟不肯弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半又从哥哥那儿抢走一半哥哥不服哥哥不服，弟弟只好给哥哥弟弟只好给哥哥 5 块块，这时哥哥比弟这时哥哥比弟 弟多挑弟多挑 2 块问最初弟弟准备挑多少块
30、？块问最初弟弟准备挑多少块？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】先算出最后各挑几块： （和差问题）哥哥是262214（）（块） ，弟弟是261412（块） ，然后来 还原： 哥哥还给弟弟 5 块：哥哥是1459（块） ，弟弟是12517（块） ； 弟弟把抢走的一 半还给哥哥： 抢走了一半， 那么剩下的就是另一半， 所以哥哥就应该是9918（块） ， 弟弟是1798 （块） ； 哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8816（块） 【答案】16块 【例【例 13】口渴的三个和尚分别捧着一个水罐口渴的三个和尚分别捧着一个水罐最初最初，老和尚的
31、水最多老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝并且有一个和尚没水喝于是于是，老和老和 尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、 小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚就这样，三人轮流谦让就这样，三人轮流谦让 了一阵了一阵结果太阳落山时结果太阳落山时，老和尚的水罐里有老和尚的水罐里有 10 升水升水，小和尚的水罐则装着小和尚的水罐则装着 20 升水升水请问请问：最初最初 大和尚的水罐里有多
32、少升水？大和尚的水罐里有多少升水？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每次分完水以后分水的人自己一定没有水 了于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水 10、0、20 升列表分析如下： 6-1-2.还原问题（二）.题库教师版page 7 of 11 回到最后的状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有这三种状态又因为已知最初老 和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分水前相同所以大和尚的水罐里最初有 10 升水 【答案】10升 【例【例 14】兄弟三人分兄弟三人分 24 个桔子个桔子，
33、 每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的如果老三先把所得的桔子的 一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔 子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各多少岁？问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】由于总共有 24 个桔子， 最后三人所得到的桔子数
34、相等，因此每人最后都有2438(个)桔子.由此列 表逆推如下表： 由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子 13，7，4 个，现在的年龄依次为 16，10，7 岁. 逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以 2；另两人各增加拿出桔子的人拿出 桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半 【答案】三个人的年龄依次为 16，10，7 岁 【例【例 15】甲甲、乙乙、丙丙 3 人共有人共有 192 张邮票张邮票从甲的邮票中取出乙那么多给乙后从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么再从乙的邮票中取出丙那么 多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙多给丙，
35、最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙 3 人邮票数相同，甲、乙、丙原人邮票数相同，甲、乙、丙原 来各有多少张？来各有多少张？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】甲、乙、丙原共有 192 张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票 192 张，而且三人邮票数相 同，即 3 人各有邮票：192364（张） 第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交 换前甲有邮票64232（张） ，丙有邮票：643296（张） ，依此类推，就可以推出答案了最 后相等时各有192364（张） ，列表倒推如下： 【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为8
36、8，56，48张 【巩固】【巩固】 有甲、乙、丙三堆苹果共有甲、乙、丙三堆苹果共 96 个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从 乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆； 第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放 入甲堆中，这时三堆苹果数相等原来甲堆有入甲堆中，这时三堆苹果数相等原来甲堆有个苹果，乙堆有个苹果，乙堆有个苹果，丙对有个苹果，丙对有 个苹果个苹果 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而
37、思杯，2 年级，第 12 题，可逆思想方法 【解析】如下表： 6-1-2.还原问题（二）.题库教师版page 8 of 11 【答案】甲44，乙28，丙24 【例【例 16】、 、 、 、 、 、ABCDEFG七个人都各有一些珠子七个人都各有一些珠子。从从A开始依序进行以下操作开始依序进行以下操作，每次都分给其他六每次都分给其他六 个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当G操作后，每个人手中都恰好各有操作后，每个人手中都恰好各有256颗珠颗珠 子，请问子，请问D原先有多少颗珠子？原先有多少颗珠子？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题
38、型】解答 【关键词】可逆思想方法，2008 年，台湾，小学数学竞赛 【解析】本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示、 于是D之前的珠子个数是114颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化 一下求解过程， 因为最终结果D有256颗珠子， 所以在G操作之前，D的珠子个数应该减半为128颗， 在F操作前应该再减半为64颗，在E操作前应该再减半到32颗，在D操作前，其余所有人的珠子 应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应该减半，也就是(256732)2880， 这些都是D分给他们的，所以在D操作前，D应该有88032912颗珠子，于是在C操作前，D的 珠子应该减半到
39、9122456，于是在B操作前，D的珠子数应该减半到4562228，于是在A操 作前，D的珠子数目应该减半到2282114颗。也就是说D之前的珠子数目是114颗。 【答案】114颗 【例【例 17】一班、二班、三班各有不同数目的图书如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这一班、二班、三班各有不同数目的图书如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这 两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增 加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各
40、增加一倍这时，三加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍这时，三 个班的图书数目都是个班的图书数目都是 48 本求三个班原来各有图书多少本？本求三个班原来各有图书多少本？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一 个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是 48 本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三 个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加 一倍才是 48 本，因此增加前各应有 24
41、 本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班其余 各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示： 【答案】三个班原来各有图书78本，42本，24本 【巩固】【巩固】 3 个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌第一局，甲输给了乙和丙，个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌第一局，甲输给了乙和丙， 使他们每人的钱数都翻了一番使他们每人的钱数都翻了一番 第二局第二局， 甲和乙一起赢了甲和乙一起赢了， 这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍 第第 三局三局，甲和丙又赢了甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍这样他们俩钱袋里的钱都
42、翻了一倍结果结果，这这 3 位探险家每人都赢了两局而位探险家每人都赢了两局而 输掉了一局输掉了一局， 最后最后 3 人手中的钱是完全一样的人手中的钱是完全一样的 细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了 100 6-1-2.还原问题（二）.题库教师版page 9 of 11 元你能推算出来甲、乙、丙元你能推算出来甲、乙、丙 3 人刚开始各有多少钱吗？人刚开始各有多少钱吗？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】假设最后每个人手中的钱是 8 份，三人总共 24 份，利用倒推法 从开始到最后甲的份数少了13
43、8（）份，说明每份是10013820（）元 所以刚开始时，甲有1320260(元)，乙有42080(元)，丙有720140(元) 【答案】刚开始时甲有260元，乙有80元，丙有140元 【巩固】【巩固】 A、B、C 三个油桶各盛油若干千克第一次把三个油桶各盛油若干千克第一次把 A 桶的一部分油倒入桶的一部分油倒入 B、C 两桶，使两桶，使 B、C 两桶内的两桶内的 油分别增加到原来的油分别增加到原来的 2 倍；第二次从倍；第二次从 B 桶把油倒入桶把油倒入 C、A 两桶，使两桶，使 C、A 两桶内的油分别增加到第两桶内的油分别增加到第 二次倒之前桶内油的二次倒之前桶内油的 2 倍；第三次从倍；
44、第三次从 C 桶把油倒入桶把油倒入 A、B 两桶，使两桶，使 A、B 两桶内的油分别增加到第两桶内的油分别增加到第 三次到之前桶内油的三次到之前桶内油的 2 倍倍，这样这样，各桶的油都为各桶的油都为 16 千克千克问问 A、B、C 三个油桶原来各有油多少千三个油桶原来各有油多少千 克？克？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法，第四届，小数报 【解析】用“倒推法”列出下表，从表中可以看出：原来 A 桶有油 26 千克，B 桶有油 14 千克，C 桶有油 8 千 克 【答案】原来 A 桶有油 26 千克，B 桶有油 14 千克，C 桶有油 8 千克 【巩固
45、】【巩固】 乙丙三人各有糖豆若干粒乙丙三人各有糖豆若干粒， 甲从乙处取来一些甲从乙处取来一些， 使自己的糖豆增加了一倍使自己的糖豆增加了一倍； 接着乙从丙处取来一些接着乙从丙处取来一些， 使自己的糖豆也增加了一倍使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍也使自己的糖豆增加了一倍现在三人的糖豆现在三人的糖豆 一样多如果开始时甲有一样多如果开始时甲有 51 粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】先假设后来三个人都是 4 份，还原后得到甲
46、、乙、丙分别是 3 份，5 份，4 份，实际上甲原来有 51 粒，51317，那么我们可以把 1 份看成 17 粒，所以乙最开始有糖豆17585（粒） 【答案】85粒 【巩固】【巩固】 甲甲、乙乙、丙三人各有铜板若干枚丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙丙，使乙使乙、丙的铜板数丙的铜板数各各 增加了增加了 1 倍倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙丙，使甲使甲、丙的铜板数各增加了丙的铜板数各增加了 1 倍倍；丙把自己的丙把自己的 铜板拿出一部分给乙铜板拿出一部分给乙、甲甲，使乙使乙、甲的铜板数各增加了甲的铜板数各
47、增加了 1 倍倍，这时三人铜板数都是这时三人铜板数都是 8 枚枚，原来每人原来每人 各有几枚？各有几枚？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】甲 13 枚，乙 7 枚，丙4枚 【答案】甲 13 枚，乙 7 枚，丙4枚 【例【例 18】三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原 来的来的 2 倍与倍与 3 倍倍， 第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中， 使它们的水
48、分别增加使它们的水分别增加到到 6-1-2.还原问题 （二） .题库教师版page 10 of 11 3 倍与倍与 2 倍倍， 第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中， 使它们的水都增加到使它们的水都增加到 2 倍倍， 这时三个容器中的水都为这时三个容器中的水都为 96 毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】可以列一个表，使每一步之间的关系一目了然，下列的表是从后面向前倒推的，具体的填法见下面 的解答。 先在第一
49、行填上三个 96，第二行的前 2 个数是96248，第 3 个数是963482192，第三 行的第1个数是48316， 第3个数是196296， 第 2个数是 4848 1619296176， 第四行第 2 个数是176288，第 3 个数是96332， 第 1 个数是 16176889632168，三个容器原来有水 168 毫升、88 毫升、32 毫升。 【答案】三个容器原来分别有水 168 毫升、88 毫升、32 毫升 【例【例 19】某工厂有某工厂有A、B、C、D、E五个车间五个车间，人数各不相等人数各不相等由于工作需要由于工作需要，把把B车间工人的车间工人的 1 2 调入调入A 车间车
50、间，C车间工人的车间工人的 1 3 调入调入B车间车间，D车间工人的车间工人的 1 4 调入调入C车间车间，E车间工人的车间工人的 1 6 调入调入D车间车间 现现 在五个车间都是在五个车间都是 30 人原来每个车间各有多少人？人原来每个车间各有多少人？ 【考点】多个变量的还原问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】采用倒推法，列表如下 所以原来A、B、C、D、E车间分别有 11、38、33、32、36 个工人解这种还原问题的关键是 从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减 为加，变乘为除，变除为乘列式时还要注意运算顺序，正
