1、教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 1 4-2-1.4-2-1.基本图形的面积计算基本图形的面积计算 知识点拨知识点拨 小学数学平面图形计算公式：小学数学平面图形计算公式： 1 、正方形：周长边长4；面积=边长边长 2 、正方体：表面积=棱长棱长6；体积=棱长棱长棱长 3 、长方形：周长=(长+宽)2；面积=长宽 4 、长方体：表面积(长宽+长高+宽高)2；体积=长宽高 5、 三角形：面积=底高2 6 平行四边形：面积=底高 7 梯形：面积=(上底+下底)高2 例题精讲例题精讲 模块一、基本公式的应用 【例【例 1】 如图如图，两个正方形边长分别是两个正方形边长分别是 5 厘米
2、和厘米和 4 厘米厘米，图中阴影部分为重叠部分图中阴影部分为重叠部分。则两个正方形的空白部则两个正方形的空白部 分的面积相差多少平方厘米？分的面积相差多少平方厘米？ 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 9 题，10 分 【解析】5544=9（平方厘米） ，两个正方形的空白部分的面积相差 9 平方厘米。 【答案】9平方厘米 【巩固】如图如图 12，边长为，边长为 4cm 的正方形将边长为的正方形将边长为 3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等 于于 2 cm。 【考点】基本图形的面积计
3、算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，19 题 【解析】空白部分的面积差等于两个正方形的面积差，即 443 37（平方厘米） 。 【答案】7平方厘米 【例【例 2】 在一个正方形水池的四周在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽环绕着一条宽 2 米的路米的路(如图如图)，这条路的面积是这条路的面积是 120 平方米平方米，那么水池那么水池 的面积是的面积是_ 平方米。平方米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，19 题 【解析】四个边角的面积和为 224=16，则水池的边长为：10424=13，所以水池的面积是：131
4、3=169 平 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 2 方米。 【答案】169平方米 【例【例 3】 每边长是每边长是 10 厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽 1 厘米的方框。把五个厘米的方框。把五个 这样的方框放在桌面上这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案成为一个这样的图案(如图所示如图所示)。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是问桌面上被这些方框盖住的部分面积是 多少平方厘米多少平方厘米? 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 2 题 【解析】方框的面积
5、是 22 108。每个重叠部分占的面积是一个边长为 1 厘米的正方形。重叠部分共有 8 个 22 10851 83658172 (平方厘米)。故被盖住的面积是 172 平方厘米。 【答案】172平方厘米 【例【例 4】 如图如图 4 所示所示，长方形长方形 ABCD 的长为的长为 25，宽为宽为 15。四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图 上标出，且横向的两组平行线都与上标出，且横向的两组平行线都与 BC 平行。求阴影部分的面积。平行。求阴影部分的面积。 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 1
6、7 题，10 分 【解析】方法一、先计算四个长条形面积之和，再减去重叠部分 S阴影=325+125+215+315-2l-23-31-33=155. 方法二、可将四组平行线分别移至端线处，如图所示，移动后阴影部分面积不变。 长方形 ABCD 面积为：2515=375；中间空白的长方形面积为：(25-2-3)(15-1-3)=220。 所以：S阴影=375-220=155。 【答案】155 【例【例 5】 如图，长方形被分成面积相等的如图，长方形被分成面积相等的 4 部分。部分。X=（）厘米。）厘米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 2
7、题 【解析】根据图形知道上面的长方形的面积为16232（平方厘米），所以四部分的面积分别为 32 平方厘 米，因为三角形的面积和右边的长方形面积相等 x 分别是长方形的宽和三角形的直角边，所以三角 形的另一条直角边和长方形的长之间是 2 倍关系为 116 16 123 ，所以 x 值为： 16 326 3 （厘米） 【答案】6厘米 【例【例 6】 如图，长如图，长 9 厘米，宽厘米，宽 8 厘米的长方形的中间有一个由两个长方形构成的十字形的阴影如果阴影厘米的长方形的中间有一个由两个长方形构成的十字形的阴影如果阴影 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 3 部分的面积恰好等于空白部
8、分的面积，那么部分的面积恰好等于空白部分的面积，那么 x=厘米厘米 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 7 题 【解析】直线形汁算，首先单独看竖直的阴影正好将长方形分为相等的三份，要使阴影部分与空白部分面积 相等，那么水平的阴影与竖直阴影不重合的部分应该等于半份，3 82(93)2x 【答案】2 【例【例 7】 如图是一块黑白格子布如图是一块黑白格子布白色大正方形的边长是白色大正方形的边长是 14 厘米厘米，白色小正方形的边长是白色小正方形的边长是 6 厘米厘米问问：这这 块布中白色的面积占总面积的百分之几？块布中白色的面积占总面积的百分之
9、几？ 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 5 题 【解析】格子布的面积是下图面积的 9 倍，格子布白色部分的面积也是图上白色面积的 9 倍，下图中白色部 分所占面积的百分比是： 14 146 6 2020 0.5858，格子布中白色部分的面积是总面积的 58. 【答案】58% 【例【例 8】 如图，周长为如图，周长为 52 厘米的厘米的“L”形纸片可沿虚线分成两个完全相同的长方形如果最长的边是形纸片可沿虚线分成两个完全相同的长方形如果最长的边是 16 厘厘 米米 那么该那么该“L”形纸片的面积是形纸片的面积是_平方厘米平方厘米 【考点】基本图形的面
10、积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 11 题 【解析】120 ，如图，周长 52 厘米-2最长边 16 厘米=2 个长所以长=10 厘米，宽=6 厘米，“L”形纸片面 积是2 10 6120平方厘米 【答案】120平方厘米 【例【例 9】 如图，正方形如图，正方形ABCD的边长是的边长是 l2 厘米，厘米，E点在点在CD上，上，BOAE于于O,OB长长 9 厘米，则厘米，则AE长长 _厘米。厘米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 10 题，6 分 【解析】方法一：连结BE三角形ABE的面积是正方形面积的
11、一半，根据三角形的面积公式算出 12 1222916AE 厘米。 方法二：在四边形 OECB 中，2+OEC=180，因为3+OEC=180，所以2=3，1=DAC, 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 4 所以, ABOB AEAD ,即 129 12AE ,所以16AE 【答案】16厘米 【例【例 10】如图如图 3，边长为，边长为 4 的正方形的正方形ABCD和边长为和边长为 6 的正方形的正方形BEFG并排放在一起，并排放在一起， 1 O和和 2 O分别是两个分别是两个 正方形的中心正方形的中心(正方形对角线的交点正方形对角线的交点)，则阴影部分的面积是，则阴影部分的面
12、积是_. 【考点】基本图形的面积计算【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 10 题，6 分 【解析】等于一个直角梯形减去两个直角梯形的面积,(2+3)52-222-332=6. 【答案】6 【例【例 11】如图所示如图所示， 长方长方形形 AEGH 与正方与正方形形 BFGH 的面积比的面积比为为 3： 2， 则正方则正方形形 ABCD 的面积是正方的面积是正方形形 BFGH 的面积的的面积的_ 倍倍(结果写成小数结果写成小数) 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】第三届，五年级，复赛，第 15 题，6 分 【解析】由于长方形 AEGH 的
13、面积与正方形 BFGH 的面积之比为 3：2.，则 EG:GF=3:2，令正方形 ABCD 的 边长为 5，则 AH=3，BH=2,所以正方形 GHFB 的面积为 4 而正方形 ABCD 的面积为 25，所以正方形 ABCD 的面积是 BFGH 的面积的 254=6.25 倍。 【答案】6.25倍 模块二、简单的割补 【例【例 12】图中图中“风车风车”（阴影部分）的面积等于（阴影部分）的面积等于 2 cm。 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，18 题 【解析】由割补法知：这个风车可以拼成一个长为 2 厘米的正方形，所以它的面积是 4 平方
14、厘米。 【答案】4平方厘米 【例【例 13】如图如图，正方形硬纸片正方形硬纸片 ABCD 的每边长的每边长 20 厘米厘米，点点 E、F 分别是分别是 AB、BC 的中点的中点，现沿图现沿图 a 中的虚中的虚 线剪开，拼成图线剪开，拼成图 b 所示的一座所示的一座“小别墅小别墅”，则图，则图 b 中阴影部分的面积是中阴影部分的面积是平方厘米。平方厘米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 7 题，5 分 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 5 【解析】2020 1 2 1 2 =100（平方厘米） 。 【答案】100平方厘米
15、 【例【例 14】下列各图中，阴影部分的面积与整个图形面积的比值最大的是图下列各图中，阴影部分的面积与整个图形面积的比值最大的是图。 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 9 题，6 分 【解析】4 个图比值分别为 1/3,3/8,1/4,1/4，比值最大的是图 B 【答案】B 【例【例 15】在半径为在半径为 7 厘米的圆形场地边缘等距离地插厘米的圆形场地边缘等距离地插 6 面彩旗，则相邻的两面彩旗的距离等于面彩旗，则相邻的两面彩旗的距离等于米。米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第
16、8 题，5 分 【解析】在圆上等距离的插6面彩旗相当于将圆六等分，这样6面旗刚好围成一个正六边形，变长为半径， 所以相邻两面旗的距离等于 7 米。 【答案】7米 【例【例 16】如图所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线如图所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线 l 将原图形分为面积相等的两部分。将原图形分为面积相等的两部分。l 与与 AB 的交点为的交点为 E，与，与 CD 的交点为的交点为 F。若线段。若线段 CF 与线段与线段 AE 的长度之和为的长度之和为 91 厘米，那么小正方形厘米，那么小正方形 的边长是的边长是厘米。厘米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星
17、【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 4 题，10 分 【解析】因为l将图形分成面积相等的两部分，所以AECF恰好是3.5个边长，所以，正方形的周长为 913.526厘米 【答案】26厘米 【例【例 17】如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 (). （A） 1 2 （B） 2 3 （C） 2 5 （D） 5 12 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 1 题 【解析】A，每个空白正六边形能分成六个相同的正三角形，所
18、以空白部分总共包含 12 个这样的正三角形； 而整个大平行四边形能分成 24 个这样的正三角形，所以空白部分占整个平行四边形的一半，那么阴 影部分也占整个平行四边形的一半。所以选 A。 【答案】A 【例【例 18】如图如图 3，正六边形（各边相等，各内角相等），正六边形（各边相等，各内角相等）ABCDEF 的面积是的面积是 24，M，N 分别是分别是 AF，CD 的中的中 点点， 若若 MPAB， MOEF， PNBC， ONED， 那么那么， 菱形菱形 （四条边相等四条边相等） MPNO 的面积是的面积是。 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 6 ? O ? P ? N ?
19、M ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 6 题，5 分 【解析】根据图形分割思想，知道正六边形的面积是里面菱形面积的3倍，所以菱形面积是2438 【答案】8 【例【例 19】如图所示的四边形的面积等于如图所示的四边形的面积等于。 13 12 12 13 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 18 题，4 分 【解析】割补，面积为 1212=144 【答案】144 【例【例 20】如图，四边形如图，四边形ABCD内有一点内有一点P到四条边到四条
20、边ABBCCDDA、的距离的距离PEPFPMPN、都等于都等于 6 厘米。如果四边形厘米。如果四边形ABCD的周长是的周长是 57 厘米，那么四边形厘米，那么四边形ABCD的面积是的面积是_平方厘米。平方厘米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，16 题 【解析】5762171 平方厘米。 【答案】171平方厘米 【例【例 21】如图如图 5 所示阴影部分的面积是所示阴影部分的面积是 66 平方厘米，则图中正方形的面积是平方厘米，则图中正方形的面积是_平方厘米。平方厘米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望
21、杯，五年级，初赛，第 20 题，5 分 【解析】边长为 a，则有 5a+2a+52=66，a=8，所以正方形面积为 88=64 平方厘米 【答案】64平方厘米 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 7 【例【例 22】如图所示如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池，水池长水池长 8 米米、宽宽 3 米米，水池周围用边长水池周围用边长 为为 1 米的方砖一圈一圈的向外铺米的方砖一圈一圈的向外铺.恰好铺了若干圈，共用了恰好铺了若干圈，共用了 152 块方砖，那么共铺了块方砖，那么共铺了圈圈. 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星
22、【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复赛，第 7 题 【解析】由于水池的四周均铺上方砖， 那么铺上方砖后得到的大长方形的长与宽之差等于水池的长与宽之差， 为835如果水池中也铺上方砖，需要8 324块，那么整个大长方形需要15224176块， 而17616 11，16 与 11 的差恰好为 5，所以大长方形的长为 16 米，共铺了(168)24圈 【答案】4圈 模块三、简单的旋转 【例【例 23】如图如图 ，最外面的正方形的面积是，最外面的正方形的面积是 60 平方厘米，则最里面的正方形的面积是平方厘米，则最里面的正方形的面积是平方厘米。平方厘米。 【考点】基本图形的面积计算【难度】2
23、星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，15 题 【解析】将中间的正方形旋转 45 度，则中间的正方形的面积为 602=30 平方厘米， 最里面的正方形的面积等 于 302=15 平方厘米. 【答案】15平方厘米 【例【例 24】如图如图，桌面上有桌面上有 A、B、C 三个正方形三个正方形，边长分别为边长分别为 6，8，10。B 的一个顶点在的一个顶点在 A 的中心处的中心处，C 的的 一个顶点在一个顶点在 B 的中心处，这三个正方形最多能盖住的面积是的中心处，这三个正方形最多能盖住的面积是_。 【考点】基本图形的面积计算【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第
24、 14 题，5 分 【解析】可以证明，无论这个图形形状如何，正方形两两之间重叠的部分面积都是固定的，正方形 A、B 重 叠 的 部 分 为 664=9 ， 正 方 形 B 、 C 重 叠 的 部 分 为 884=16 ， 它 们 能 盖 住 的 面 积 为 100+64+36-16-9=175。 【答案】175 模块四、七巧板 【例【例 25】在七巧板中（如下图在七巧板中（如下图） ，所有三角形面积的和是大正方形面积的，所有三角形面积的和是大正方形面积的倍。倍。 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初试，5 题 【解析】算出所有三角形的面积，包括组合
25、的三角形，面积是正方形的 1.75 倍 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 8 【答案】1.75倍 【例【例 26】如图是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为如图是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为 1 的七巧板拼成（如图的七巧板拼成（如图 b） 。那么这个长方形的面。那么这个长方形的面 积是（积是（） 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 2 题，10 分 【解析】 15 8 【答案】 15 8 【例【例 27】如图（如图（a） ，ABCD 是一个长方形，其中阴影部分是由一副面积为是一个长方形，其中阴影部分是由一副面积为 10 平
26、方厘米的七巧板（图（平方厘米的七巧板（图（b） ） 拼成。那么，长方形拼成。那么，长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ 【考点】基本图形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 14 题，15 分 【解析】设右边的正方形的对角线长为a， 根据勾股定理， 222 1010200a 。 左边的长方形ABCD， 宽AD 等于右边的图形中正方形的边长和三角形的直角边长之和，长AB等于右边的图形中正方形 的边长与三角形的直角边长及三角形的直角边长的2倍之和。从右图中可以看出，三角形的 直角边长为 2 a ，正方形的边长和三角形的直角边长均为 4
27、a ，所以， 3 244 aaa AD ， 5 2 2444 aaaa AB ，长方形ABCD的面积为： 2 351515 200187.5 441616 aa a（平方厘米） 。 【答案】187.5平方厘米 【例【例 28】如果左图是常见的一副七巧板的图，右图是用这副七巧板的如果左图是常见的一副七巧板的图，右图是用这副七巧板的 7 块板拼成的小房子图，那么，第块板拼成的小房子图，那么，第 2 块板的面积等于整幅图的面积的几分之几块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第第 4 块板与第块板与第 7 块板面积的和等于整幅图的面积的几分块板面积的和等于整幅图的面积的几分 之几之几? 【考点】基本图
28、形的面积计算【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，3 题 【解析】如下图，我们在图中标出图 6-4 中各块图形的位置 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 9 设整个七巧板组成的正方形的边长为 1，显然整幅图形的面积为 1， 且有第 2 块的面积为 1 2 1 2 1 2 = 1 8 有 3 S= 4 S， 2 S= 5 S= 7 S=2 3 S， 有 2、3、4、5、7 五块图形的面积之和为 1 2 ，所以 4 S= IGFB S长方形， 7 S= 1 8 所以第 2 块板的面积等于整幅图面积的 1 8 ，第 4 块板与第 7 块板面积和为整幅图面积的 1 16 + 1 8 = 3 16 【答案】 3 16
