1、6-1-12.周期问题.题库教师版page 1 of 13 教学目标教学目标 1. 掌握各种周期问题的求解方法 2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。 知识精讲知识精讲 知识点说明： 周期问题： 周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的 时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期. 分类： 1图形中的周期问题； 2数列中的周期问题； 3年月日中的周期问题 周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题 的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几
2、问题等。 观察、逆推等方法找规律，找出周期确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期， 结果就为周期里的最后一个； 例如：1，2，1，2，1，2，那么第 18 个数是多少？ 这个数列的周期是 2，1829，所以第 18 个数是 2 如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个； 例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，那么第 16 个数是多少？ 这个数列的周期是 3，16351，所以第 16 个数是 1 如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算 例如：1，2，3，2，3，2，3，那么第 16 个数是多少？ 这个数列从第二个数开始循环，周期是 2，(161
3、)271，所以第 16 个数是 2 例题精讲例题精讲 板块一、图形中的周期问题 【例【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列： 你知道它们所排列的这些小球中，第你知道它们所排列的这些小球中，第 90 个是什么球？第个是什么球？第 100 个又是什么球呢？个又是什么球呢？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】仔细观察图中球的排列， 不难发现球的排列规律是： 2 个黑球， 1 个白球； 2 个黑球， 1 个白球； 也就是按“2 个黑球， 1 个白球”的顺序循环出现， 因此， 这道题的周期为 3 （
4、2 个黑球， 1 个白球） 再 看看 90、100 里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是 有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个因为90330，正好有 30 个周期，第 90 个是白球1003331，有 33 个周期还多 1 个，所以，第 100 个是黑球 【答案】第 90 个是白球，第 100 个是黑球 【巩固】【巩固】 美美有黑珠、白珠共美美有黑珠、白珠共 102 个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序 周期问题周期问题 6-1-12.周期问题.题库教师版page
5、 2 of 13 排列的：排列的： 那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？ 美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4 个珠子组成一组，并且不断重复出现的我 们先算出 102 个珠子可以这样排列成多少组，还余多少我们可以根据排列周期判断出最后一个 珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子因为1024252，所以最后一个珠子是
6、第 26 个周期中的第二个，即为黑色在每一个周期中只有 1 个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共 有25126 （个） 【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有26个 【巩固】【巩固】 黑珠、白珠共黑珠、白珠共 101 颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_色的色的, 这种颜色的珠子在这串中共有这种颜色的珠子在这串中共有_颗颗. 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】观察图形可知从第二个珠子开始每隔 3 个出现一个黑色的， 即 4 个一循环。 所以：（1011） 4=25， 判定最后一个为黑
7、色，共有 25 颗。 【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有25个 【巩固】【巩固】 这样的一排图形中第这样的一排图形中第 87 个是什么图形，在个是什么图形，在 87 个图形中一个图形中一 共有多少共有多少个五角星？个五角星？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】87(23) 172第 87 个图形是圆形172135 （个） 【答案】35 【例【例 2】 甲、乙、丙三个网站定期更新，甲网站每隔一天更新甲、乙、丙三个网站定期更新，甲网站每隔一天更新 1 1 次；乙网站每隔两天更新次；乙网站每隔两天更新 1 1 次，丙网站次，丙网站 每隔三天更新每隔三天更新 1
8、1 次。在一个星期内，三个网站最多更新次。在一个星期内，三个网站最多更新次。次。 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，二试 【解析】甲最多 4 次，乙最多 3 次，丙最多 2 次，和为 9 次 【答案】35 【例【例 3】 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列 第第 73 颗是什么颜色的？颗是什么颜色的？ 第第 10 颗黄珠子是从头起第几颗？颗黄珠子是从头起第几颗？ 第第 8 颗红珠子与第颗红珠子与第 11 颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有
9、几颗珠子？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有 5 颗73514(组)3(颗)，第 73 颗是第 15 组的第 3 颗，所以是蓝色的 第 10 颗黄珠子前面有完整的 9 组，一共有5 945(颗)珠子第 10 颗黄珠子是第 l0 组的第 2 颗，所以它是从头数的第 47 颗列式：59245247(颗) 第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间一共有 14 颗珠子第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间有 完整的两组(第 9、10 组)，共 l0 颗珠子，第 8 颗红珠子后面还有 4 颗珠子，所以是 14 颗列式： 524104
10、14(颗) 【答案】蓝色4714 【巩固】【巩固】 在一根绳子上依次穿在一根绳子上依次穿 2 个红珠个红珠、2 个白珠个白珠、5 个黑珠个黑珠，并按此方式反复并按此方式反复，如果从头开始数如果从头开始数，直到直到 第第 50 颗，那么其中白珠有多少颗？颗，那么其中白珠有多少颗？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】50(225) 5552212（个） 【答案】12 6-1-12.周期问题.题库教师版page 3 of 13 【例【例 4】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接盏蓝灯、再接 1 盏黄灯，然
11、后盏黄灯，然后又是又是 5 盏红灯、盏红灯、4 盏蓝灯、盏蓝灯、1 盏黄灯、盏黄灯、这样排下去问：这样排下去问： 第第 150 盏灯是什么颜色？盏灯是什么颜色？ 前前 200 盏彩灯中有多少盏蓝灯？盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 1 盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个 周期就是54110 （盏）灯150(541)15，150 盏灯刚好 15 个周期，所以第 150 盏应 该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯 如果是 200 盏灯，就是200(541)20的周期每个周期都有 4 盏蓝灯，20480（
12、盏） 前 200 盏彩灯中有 80 盏蓝灯 【答案】黄色80 【巩固】【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就 是说是说， 从第一盏白灯起从第一盏白灯起， 每一盏白灯后面都紧接着有每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯盏彩灯 那么第那么第 73 盏灯是什么颜色的灯？盏灯是什么颜色的灯？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是： 1，5，9，13，这些编号被 4 除所得的余数都是 17
13、34 181，即 73 被 4 除的余数 是 1，因此第 73 盏灯是白灯 【答案】白灯 【巩固】【巩固】 按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第 100 个三角形是什么颜色的？在这个三角形是什么颜色的？在这 100 个三角形中有个三角形中有 多少个白色的三角形？多少个白色的三角形？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】从图中可以看出，按照 6 个为一个周期，因为1006164，所以第 100 个三角形应该是这一 个周期当中的第四个，应该是黑色的每个周期里有 3 个白色的，一共有 16 个周期就有 48 个白 色三角形，余下的 4 个三角形中还
14、有 3 个白色的，所以一共有163351 个 【答案】51 【巩固】【巩固】 流水线上给小木球涂色的次序是：先流水线上给小木球涂色的次序是：先 5 个红、再个红、再 4 个黄、再个黄、再 3 个绿、在个绿、在 2 个黑、再个黑、再 1 个白，然个白，然 后又依次是后又依次是 5 红红、 4 黄黄、3 绿绿、2 黑黑、1 白白如此继续涂下去如此继续涂下去，到第到第 2003 个小球该涂什么颜色？个小球该涂什么颜色？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】小木球的涂色顺序是：“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”，也就是每涂过“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、 1 白”循环一次，
15、给小木球涂色的一个周期是5432115 ，因此只要用 2003 除以 15， 2003 151338 根据余数是 8 就可以判断：第 2003 个小木球出现在上面所列一个周期中第 8 个，所以第 2003 个小球是涂黄色 【答案】涂黄色 【例【例 5】 奥运会就要到了奥运会就要到了，京京特意做了一些京京特意做了一些“北京欢迎你北京欢迎你”的条幅的条幅，这些条幅连起来就成了这些条幅连起来就成了：“北京欢迎北京欢迎 你北京欢迎你北京欢迎你你北京欢迎你北京欢迎你”依次排列，第依次排列，第 28 个字是什么字？个字是什么字？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】这道题是按“北京欢迎你”
16、的规律重复排列，即 5 个字为一个周期因为28553，所以 28 个 字里含有 5 个周期还多 3 个字，即第 28 个字就是所列一个周期中的第 3 个字，所以第 28 个字是 “欢”字 【答案】“欢” 【巩固】【巩固】 在图所示的表中在图所示的表中，将每列上将每列上、下两个字组成一组下两个字组成一组，例如第一组为例如第一组为（新奥新奥），第二组为第二组为（北林北林）， 那么第那么第 50 组是什么？组是什么？ 新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运 奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会 【考点】周期问题【难度】
17、2 星【题型】解答 【解析】要知道第 50 组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第 50 个字分别应该是什么第 一行“新北京新奥运”是 6 个字一个周期，50682，第 50 个字就是北再看第二行“奥林匹 克运动会”是 7 个字一个周期，50771，第 50 个字就是奥把第一行和第二行合在一起， 6-1-12.周期问题.题库教师版page 4 of 13 第 50 组就是“北奥” 【答案】“北奥” 【例【例 6】 小莉把平时积存下来的小莉把平时积存下来的 200 枚硬币按枚硬币按 3 个个 1 分，分，2 个个 2 分，分，1 个个 5 分的顺序排列起来分的顺序排列起来 最后最后 1
18、 枚是几分硬币枚是几分硬币 这这 200 枚硬币一共价值多少钱？枚硬币一共价值多少钱？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】每个周期有3216 枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以 6，根据余数来判断 2006332，所以最后一枚是 1 分硬币 每个周期中 6 枚硬币共价值1 3221 512 （分） ， 用这个数乘以周期次数再加上余下的， 就可以得到一共价值多少了12332398（分），所以，这 200 枚硬币一共价值 398 分 【答案】1 分硬币398 分 【巩固】【巩固】 桌子上摆了很多硬币桌子上摆了很多硬币，按一个一角按一个一角，两个五角两个五角，三个一元的次序排列三个
19、一元的次序排列，一共一共 19 枚硬币枚硬币问问：最最 后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】19631,14622,所以,第 19 枚硬币是一角的,第 14 枚硬币是五角的 【答案】最后一个是一角的,第十四个是五角的 【例【例 7】 有有 249 朵花，按朵花，按 5 朵红花，朵红花，9 朵黄花，朵黄花，13 朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？ 这这 249 朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？朵花中，什么花最多，什么花最
20、少？最少的花比最多的花少几朵？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】这些花按 5 红、9 黄、13 绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有591327（朵）花因为 2492796，所以，这 249 朵花中含有 9 个周期还余下 6 朵花按花的排列规律，这 6 朵 花中前 5 朵应是红花，最后一朵应是黄花在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在 249 朵花中，自然也是绿花最多，红花最少少几朵呢？有两种解法： （方法 1）249(5913)96 红花有：5 9550（朵） 绿花有：13 9117（朵） 红花比绿花少：1175067（朵） （方法 2）249(5913)96，一个周期
21、少的：1358（朵） ，9 872（朵） ，余下的 6 朵中还有 5 朵红花，所以72567（朵）. 【答案】红花最少，少67朵 【巩固】【巩固】 如图所示如图所示， 每列上每列上、 下两个字下两个字 （字母字母） 组成一组组成一组， 例如例如， 第一组是第一组是“我我，A”， 第二组是第二组是“们们，B” 我我们们爱爱科科学学我我们们爱爱科科学学我我 ABCDEFGABCD 写出第写出第 62 组是什么？组是什么？ 如果如果“爱，爱，C”代表代表 1991 年，那么年，那么“科，科，D”代表代表 1992 年年问问 2008 年对应怎样的组？年对应怎样的组？ 【考点】周期问题【难度】2 星【
22、题型】解答 【解析】要求第 62 组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母） ，上面一行是以“我们爱 科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG”七个字母为一个周期 625122 ,62786，所以第 62 组是“们，F” 2008 是 1991 之后的第 17 组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按 “DEFGABC” 七个字母为一个周期：2008199117（组），17532 17723，所以 2008 年对应的组为“学，F” 【答案】第 62 组是“们，F”2008 年对应的组为“学，F” 【例【例 8】 如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个
23、小正方形的边长如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是是 1 米，米，A、B、C 三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小 鸟飞来飞去鸟飞来飞去，四处觅食四处觅食，它最初停留在它最初停留在 0 号位号位，过了一会儿过了一会儿， 它跃过水洼它跃过水洼，飞到关于飞到关于 A 点对称的点对称的 1 号位号位；不久不久，它又飞到它又飞到 关于关于 B 点对称的点对称的 2 号位号位；接着接着，它飞到关于它飞到关于 C 点对称的点对称的 3 号号 位位，再飞到关于再飞到关于 A 点对称的点对称的 4 号位号位，如此继续如此继续，一直一直 对称地飞下去对称地
24、飞下去。由此推断由此推断，2004 号位和号位和 0 号位之间的距离是号位之间的距离是 6-1-12.周期问题.题库教师版page 5 of 13 多少米？多少米？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】0 米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到 0 号位置！2004 是 4 的倍数， 所以第 2004 号位和 0 号位之间的距离是 0 米。 【答案】0 米 板块二、数列中的周期问题 【例【例 9】 小和尚在地上写了一列数：小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3 你知道他写的第你知道他写的第 81 个数是多少吗？个数是多少吗？ 你能求出这
25、你能求出这 81 个数相加的和是多少吗？个数相加的和是多少吗？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】从排列上可以看出这组数按 7，0，2，5，3 依次重复排列，那么每个周期就有 5 个数81 个数 则是 16 个周期还多 1 个，第 1 个数是 7，所以第 81 个数是 7，815161 每个周期各个数之和是：7025317 再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下 的各数，即可得到答案17 167279，所以，这 81 个数相加的和是 279 【答案】第 81 个数是 7这 81 个数相加的和是 279 【巩固】【巩固】 根据下面一组数列的规律求出根据下面一组数列的规律求出
26、 51 是第几个数？是第几个数？ 1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组， 十位数字依次增加， 04 共五个数， 则可列式为： 59 1=46，即 51 为第 46 个数。 【答案】第 46 个数 【巩固】【巩固】 如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第 99 行右边第一个数是几？行右边第一个数是几？ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】每 7 个数，分成两行一个周期，992=491，第 98 行中最大的那个数为
27、：（497-1）2=684， 所以第 99 行从左到右的数依次为：686、688、690 ，第 99 行右边第一个数是 690 【答案】690 【巩固】【巩固】 某个早晨某个早晨,容器中容器中有有200个细菌个细菌,白天有光照白天有光照,容器中的细菌将减容器中的细菌将减少少65个个,夜间无光照夜间无光照,容器中的细菌容器中的细菌 将增加将增加 40 个个.则在第几个白天则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡！容器中的细菌全部死亡！ 【考点】周期问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.一昼夜细菌减少 6540=25 个，20025=8 天，该解法有误
28、.第 6 天的时候剩余细菌：200-256=50，则第 7 天就可. 【答案】第 7 天 【例【例 10】44 4（25 个个 4），积的个位数是几？），积的个位数是几？ 24 个个 2 相乘，积末位数字是几？相乘，积末位数字是几？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，奇数个 4 相乘得数的末 位数字是 4，偶数个 4 相乘得数的末位数是 6，所以252121，25 个 4 相乘，积的末位数字 是 4 按照乘数的个数，末位数字的规律是 2，4，8，6，2，4，8，6，4 个一组2446，所 以 24 个 2 相乘，积
29、末位数字是 6 【答案】末位数字是 4末位数字是 6 6-1-12.周期问题.题库教师版page 6 of 13 【巩固】【巩固】 紧接着紧接着 1989 后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如， 8 972，在在 9 后面写后面写 2，9218，在在 2 后面写后面写 8得到一串数字得到一串数字：19892868，问问：这串这串 数字从数字从 1 开始，往右数，第开始，往右数，第 l999 个数字是几？这个数字是几？这 1999 个数字的和是多少？个数字的和是多少？ 【考点】周期问题【难度】3
30、星【题型】解答 【解析】根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842“286884”这 6 个数字重复出 现，周期是 6 第 1999 个数字是：因为(19994)63323，所以，第 l999 个数字是 6 这 1999 个数字的和是： (1989)(286884)332(286)27119521611995 【答案】第 l999 个数字是 6；这 1999 个数字的和是11995 【例【例 11】12 个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图 从从 1 号同学开始，顺时针传号同学开始，顺时针传 l00 次，手绢应在谁手中？次，手绢应在谁
31、手中？ 从从 1 号同学开始，逆时针传号同学开始，逆时针传 l00 次，手绢又在谁手中？次，手绢又在谁手中？ 从从 1 号同学开始，先顺时针传号同学开始，先顺时针传 l56 次，然后从那个同学开始逆时针传次，然后从那个同学开始逆时针传 143 次，再顺时针传次，再顺时针传 107 次，最后手绢在谁手中？次，最后手绢在谁手中？ 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为一圈有 l2 个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从 1 号开始，顺时针传 l00 次， 我们先用除法求传了几圈、还余几次100128(圈)4(次)从 1
32、 号同学顺时针传 4 次正好传 到 5 号同学手中 与第一小题的道理一样，先做除法100128(圈)4(次)这 4 次是逆时针传，正好传到 9 号同学手中(如图) 先顺时针传 156 次，然后逆时针传 l43 次，相当于顺时针传15614313(次)；再顺时针传 l07 次，与 13 次合并，相当于顺时针传13107120(次)，1201210(圈)，手绢又回到 l 号同学手 中 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【答案】5 号同学9 号同学l 号同学 【巩固】【巩固】 8 个队员围成一圈做传球游戏个队员围成一圈做传球游戏，从从号开始号开始，按顺时针方向向下一个人传球按顺时
33、针方向向下一个人传球在传球的同时在传球的同时，按按 顺序报数当报到顺序报数当报到 72 时，球在几号队员手上？时，球在几号队员手上？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】将 8 名队员看作一组，每组报 8 个数，72 个数可以分成几组：7289组，没有余数，球正好 在一组的最后一位队员手中，因此球应该在 8 号队员手上 6-1-12.周期问题.题库教师版page 7 of 13 【答案】8 号队员 【巩固】【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈现在，一只红跳蚤从标有数字的如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈现在，一只红跳蚤从标有数字的 圆圈按
34、顺时针方向跳了圆圈按顺时针方向跳了 1991 步步，落在一个圆圈里落在一个圆圈里一只黑跳蚤也从标有数字一只黑跳蚤也从标有数字的圆圈起跳的圆圈起跳，但但 它是沿着逆时针方向跳了它是沿着逆时针方向跳了 1949 步步，落在另一个圆圈里落在另一个圆圈里问问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？这两个圆圈里数字的乘积是多少？ 0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键本题 中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳 12 步就回到了原来的位置，如此循 环，周期
35、为 12 因为1991 1216511，所以，红跳蚤跳了 1991 步后落到了标有数字 11 的圆圈 因为1949121625，所以，黑跳蚤跳了 1949 步后落到了标有数字 7 的圆圈 所求的乘积是11 777. 【答案】77 【巩固】【巩固】 如下图如下图，把把 18 八个号码摆成一个圆圈八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球现有一个小球，第一天从第一天从 1 号开始按顺时针方向前号开始按顺时针方向前进进 329 个位置个位置，第二天接着按逆时针方向前进第二天接着按逆时针方向前进 485 个位置个位置，第三天又顺时针前进第三天又顺时针前进 329 个位置个位置，第四第四 天再逆时针前进天再逆时
36、针前进 485 个位置个位置如此继续下去如此继续下去， 问至少经过几天问至少经过几天， 小球又回到原来的小球又回到原来的 1 号位置？号位置？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针两天一个周期循环变换方向.每一个周期 中，小球实际上是按逆时针方向前进 485-329=156（个）位置.1568=194，就是说，每个 周期（2 天）中，小球是逆旋转了 19 周后再逆时针前进 4 个位置. 要使小球回到原来的 1 号位， 至少应逆时针前进 8 个位置. 84=2（个）周期，22=4（天），所以至少要用 4 天，小球才又回 到原来“1”号
37、位置. 【答案】4 天 【巩固】【巩固】 如下图，有如下图，有 16 把椅子摆成一个圆圈，依次编上从把椅子摆成一个圆圈，依次编上从 1 到到 16 的号码的号码.现在有一人从第现在有一人从第 1 号椅子顺时号椅子顺时 针前进针前进 328 个，再逆时针前进个，再逆时针前进 485 个，又顺时针前进个，又顺时针前进 328 个，再逆时针前进个，再逆时针前进 485 个，又顺时针个，又顺时针 前进前进 136 个，这时他到了第几号椅子？个，这时他到了第几号椅子？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这个人顺时针前进了 328+328+136=792 个位置，由于 79216=498
38、，所以他走到 9 号位置.又这 个人逆时针共退回 485+485=970 个位置， 由于 970166010， 因此这个人到了第 15(=9+16-10) 号椅子. 【答案】15 6-1-12.周期问题.题库教师版page 8 of 13 【例【例 12】甲、乙两人对一根甲、乙两人对一根 3 米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色 5 厘米，间隔厘米，间隔 5 厘米厘米 不涂色不涂色，再涂再涂 5 厘米黑色厘米黑色，这样交替做到底这样交替做到底。然后然后，乙从木棍同一端点开始留出乙从木棍同一端点开始留出 6 厘米不涂色厘米不涂色， 然后涂然
39、后涂 6 厘米黑色，再间隔厘米黑色，再间隔 6 厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长 度是多少？度是多少？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】此题最好画图为同学们示意：在前 30 厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在 31-60 厘米内的是：4， 2，因此 60 厘米一个周期： （1+3+5+4+2）300/60=75 厘米 . 【答案】75 厘米 【例【例 13】右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891，那么，那么 B 代表多少？代表多少
40、？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相 隔 2 个小圆圈的小圆圈中的数是相同的. 于是：B=891(99)=11. 【答案】11 【巩固】【巩固】 课外活动时课外活动时，甲甲、乙乙、丙丙、丁四人排成一个圆圈依次报数丁四人排成一个圆圈依次报数甲报甲报“1”，乙报乙报“2”，丙报丙报“3”，丁报丁报 “4”，这样每人报的数总比前一个人多，这样每人报的数总比前一个人多 1问问“34”是谁报的？是谁报的？“71”是谁报的？是谁报的？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据题意，
41、甲从“1”开始报数，一共报了 34 次因为是 4 个人在报数，所以报 4 次就要重复一遍， 也就是说是以 4 为一个周期重复的34 里面有 8 个周期还余 2 次，所以“34”应是重复 8 遍以后第 二个人报的，即乙报的714173，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的 【答案】 “34”是乙报的； “71”是丙报的 【巩固】【巩固】 同学们在科技馆参加活动同学们在科技馆参加活动， 谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法， 大家排成一排大家排成一排 12 报数报数， 报报 2 的同学再的同学再 12 报数，这样依次进行下去，最后报报数，这样依次进行下去，最后
42、报 2 的这名同学先玩，如果这列一共有的这名同学先玩，如果这列一共有 12 人，最先玩的同学是这一列中的第几个？人，最先玩的同学是这一列中的第几个？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】第一次 12 报数，报 2 的是第 2，4，6，8，10，12 这几个同学，这些同学再 12 报数，报 2 的是第 4，8，12 这三名同学，最后这三名同学再 12 报数，就只剩下第 8 个同学是报 2，所以 最先玩的这个同学是这列中的第 8 个 【答案】第 8 个 【巩固】【巩固】 1999 名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一名同学从前往后排成一列，
43、按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一 个同学就要报出这个数与个同学就要报出这个数与 9 的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这 个数的个位数与个数的个位数与 6 的和。现让第一个同学报的和。现让第一个同学报 1，那么最后一名同学报的数是，那么最后一名同学报的数是()。 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】填空 【解析】列出前几个数：1、10、6、15、11、10、6、15、11、10、6、 可以看出除去第一个数之外后面每四个数一循环，所以（19991）4=4992，那么最后一 名同学报的数是 6。
44、 【答案】6 【例【例 14】某班某班 4343 名同学围成一圈名同学围成一圈。由班长起从由班长起从 1 1 开始连续报数开始连续报数，谁报到谁报到 100100，谁就表演一个节目谁就表演一个节目；然后然后 再由这个同学起从再由这个同学起从 1 1 开始连续报数，结果第一个表演节目的是小明，第二个演节目的是小强。开始连续报数，结果第一个表演节目的是小明，第二个演节目的是小强。 那么小明和小强之间有那么小明和小强之间有_名同学。名同学。 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，初赛 6-1-12.周期问题.题库教师版page 9 of 13 【解析】10043214
45、 。小明和小强之间有同学14212（名）或43 1429。 【答案】29 【例【例 15】实验室里有一只特别的钟，一圈共有实验室里有一只特别的钟，一圈共有 20 个格每过个格每过 7 分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过 9 个格，今天早晨个格，今天早晨 8 点整的时候，指针恰好从点整的时候，指针恰好从 0 跳到跳到 9，问：昨天晚上，问：昨天晚上 8 点整的时候指针指着几？点整的时候指针指着几？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】昨晚 8 点至今早 8 点，共经历60 12720(分钟)，72071026，说明从今早 8 点整起，7 分钟，7
46、 分钟往回数，昨晚 8 点后，第 1 次指针跳是 8 点 6 分，直到今早 7 点 53 分，指针正好 跳到“0”位，指针共跳了 102 次 由于每次跳 9 格，所以共跳了9 102918(格)每 20 格一圈，918204518，因此从“0”位 开始，往回倒 45 圈，还要倒回 18 格，正是昨晚 8 点时指针所指处：20182，因此昨晚 8 点 整时指针正指着 2 【答案】2 【巩固】【巩固】 有有A、B、C三个蜂鸣器三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是每次持续鸣叫的时间比例是3:4:5每个蜂鸣器每次鸣叫完后停每个蜂鸣器每次鸣叫完后停8秒秒 钟又开始鸣叫最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，钟又开始
47、鸣叫最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，14分钟后第二次同时开始鸣叫，此时分钟后第二次同时开始鸣叫，此时B蜂鸣器蜂鸣器 已是第已是第43次鸣叫了问：最初同时开始鸣叫后的多少秒次鸣叫了问：最初同时开始鸣叫后的多少秒A与与C第一次同时结束鸣叫？第一次同时结束鸣叫？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】14 分钟即1460840秒，根据题意可知在 840 秒内B蜂鸣器已经鸣叫了 42 次，也停了 42 次， 那么B蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为8404220秒， 所以B蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为： 20812秒，那么A蜂鸣器每次鸣叫持续9秒，C蜂鸣器每次鸣叫持续15秒， 则A、C两个蜂鸣器每
48、次鸣叫加停止的时间分别为9817秒和15823秒， 由于17,23391，所以经过391秒之后A与C要第二次同时开始鸣叫，由于在此时A与C都停止 鸣叫了8秒，所以A与C第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第3918383秒 【答案】383秒 【例【例 16】有一个有一个 111 位数，各位数字都是位数，各位数字都是 1，这个数除以，这个数除以 6，余数是几？商的末位数字是几？，余数是几？商的末位数字是几？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】我们可以用列表的方法寻求周期 被除数中“1”的个数1234567 除以 6 后余数的末位数字1531531 除以 6 后商的末位数字0
49、185185 通过表格我们可以发现，余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1 个“1”上相对应的商为“0”，从第 二个“1”开始，商的末位数字的周期为 3（1，8，5） 因为111337，所以这个数除以 6 后余数的末位数字是 3； 因为(111 1)3362，所以这个数除以 6 后商的末位数字是 8 【答案】8 【巩固】【巩固】 有一个有一个 1111 位数，各位数字都是位数，各位数字都是 1，这个数除以，这个数除以 6，余数是几？商的末位数字是几？，余数是几？商的末位数字是几？ 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1 个“1”上相对
50、应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位 数字的周期为 3（1，8，5），因为111133701，所以这个数除以 6 后余数的末位数字是 1； 因为(1111 1)3370，所以这个数除以 6 后商的末尾数字是 5 【答案】5 【例【例 17】求求 12829 2829的个位数字的个位数字. 【考点】周期问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由 128432 知， 128 28的个位数与 4 8的个位数相同，等于 6。由 292141 知， 29 29的个 位数与 1 9的个位数相同，等于 9.因为 69，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为 169 7. 【答案】7 【巩固】【巩固
