1、7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page1of9 7-4-3.7-4-3.排列的综合应用排列的综合应用 教学目标教学目标 1.使学生正确理解排列的意义； 2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 3.掌握排列的计算公式； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等 知识要点知识要点 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就 是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有
2、关，而且与各事物所在的先后顺序有关 一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果 两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺 序不同，它们也是不同的排列 排列的基本问题是计算排列的总个数 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个 元素的排列数，我们把它记做 m n P 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n
3、个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1n )个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n )种方法； 步骤m：从剩下的(1)nm个元素中任取一个元素排在第m个位置，有11nmnm（）(种)方法； 由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是121nnnnm（） （）（），即 12.1 m n Pn nnnm（）（）（），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共 有m个因数相乘 二、排列数 一般地，对于mn的情况，排列数公式变为123 2 1 n n Pnnn （） （） 表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数这种n个
4、排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n， 读做n的阶乘，则 n n P还可以写为：! n n Pn，其中!123 2 1nnnn （） （） 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 甲甲、乙乙、丙丙、丁丁、戊戊、己六个人站队己六个人站队，要求要求：甲乙两人之间必须有两个人甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？问一共有多少种站法？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人 要在内部全排列，剩下四个人再全排列
5、，所以站法总数有： 24 24 3PP144（种） 【答案】144 7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page2of9 【巩固】【巩固】 甲甲、乙乙、丙丙、丁丁、戊戊、己六个人站队己六个人站队，要求要求：甲乙两人之间最多有两个人甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？问一共有多少种站法？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有 3、4、 5 种位置选取方法，所以站法总数有： 24 24 (3+4+5)PP576（种） 【答案】576 【例【例 2】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，
6、要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边， 丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】先对丙定位，有 4 种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法， 剩下三个人进行全排列，所以站法总数有： 3 3 432P144 （种） 【答案】144 【例【例 3】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，
7、要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不 能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论： 如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有 6 种站法，剩下的五个人进行全 排列，站法总数有： 5 5 6P720（种） 如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有 4 种站法，丙还有 5 种站法， 剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 5 5 45P2
8、400 （种） 如果甲不在队伍最靠右的位置， 而乙在队伍最靠左的位置， 分析完全类似于上一种， 因此同样有 2400 种站法 如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的 位置选取一共有44214（种）方法丙还有 4 种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 5 5 144P6720 （种） 所以总站法种数为72024002400672012240（种） 【答案】12240 【例【例 4】4名男生，名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端；甲不在中间
9、也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端；甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起；男、女生分别排在一起； 男女相间男女相间 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随 意排，也就是8个元素全排列的问题，有 8 8 8765432 140320P (种)选择由乘法原 理，共有640320241920(种)排法 甲、乙先排，有 2 2 2 12P (种)排法；剩下的7个人随意排，有 7 7 765432 15040P (种)排法由乘法原理，共有2504010080(种)排法 分别把男生、女生看成一个
10、整体进行排列，有 2 2 2 12P (种)不同排列方法，再分别对男生、 女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有 4 4 432 124P (种)和 5 5 5432 1120P (种)排法 由乘法原理，共有224 1205760(种)排法 先排4名男生，有 4 4 432 124P (种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有 5 5 5432 1120P (种)排法由乘法原理，一共有24 1202880(种)排法 【答案】2880 【例【例 5】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
11、7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page3of9 （1）七个人排成一排；）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人）七个人战成两排，前排
12、三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排小新、阿呆不在同一排 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】（1） 7 7 5040P （种） （2）只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置 6 6 720P （种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6 个位置2 6 6 P=1440(种) （4）先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置 5 5 2240P(种) （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， 25 55 2400PP（种） . （6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的现在排成两排，不管
13、前后排各有几个人，7 个 位置还是各不相同的，所以本题实质就是 7 个元素的全排列 7 7 5040P （种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所 以只要求出其中一种的排法数，再乘以 2 即可43 5 5 P2=2880(种)排队问题，一般先考虑 特殊情况再去全排列 【答案】 （1） 7 7 5040P （种） （2） 6 6 720P （种）.（3）2 6 6 P=1440(种) （4） 5 5 2240P(种) （5） 25 55 2400PP（种）.（6） 7 7 5040P （种）.（7）43 5 5 P2=2880(种) 【
14、例【例 6】 一个正在行进的一个正在行进的 8 人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列。现在他们要变成排的人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列。现在他们要变成排的 2 列纵队列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列每列仍然是按从低到高的次序排列。同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮， 那么，那么，2 列纵队有列纵队有_种不同排法。种不同排法。 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 13 题 【解析】将这 8 人按身高从低到高依次编号为 1，2，3，4，5，6，7，8.，现在相当于
15、要求将这 8 个数填入下 面的42的方格中，每个方格中填一个数，使得每一行的方格中的数依次增大，而每一列中下面的 方格中的数比上面的方格中的数要大。 ? 8 ? 1 首先可以确定 1 和 8 只能分别在左上角和右下角的方格内，2 只能在第一行第二列或第二行第一 列的方格内，7 只能在第一行第四列或第二行第三列的方格内。2 和 7 的填法共有224种可能， 对这 4 种情况分别进行讨论：若 2 和 7 的位置如图，则第一行第三列的方格不可以填 6，但可 以填 3，4，5，这个方格填好后，第二行的三个空格只有唯一的填法。所以此时有 3 种填法； ? 7 ? 2 ? 8 ? 1 ? 7 ? 2 ?
16、8 ? 1 若 2 和 7 的位置如图， 现在需要从 3， 4， 5， 6 四个数中选取 2 个填入第一行的两个空格， 有 2 4 6C 种选法。所选出的 2 个数只有一种填法，且这两个数选出后，剩下的两个数填在第二行的两个空格， 也只有一种填法，所以这种情况下有 6 种填法；若 2 和 7 的位置如图，则第二行第二列的方格 内不能填 3，可以填 4，5，6，每一种填法就对应整个42方格的一种填法，所以此时有 3 种填法； ? 7 ? 2 ? 8 ? 1 ? 7 ? 2 ? 8 ? 1 若 2 和 7 的位置如图，则此时 3 和 6 只能分别填在中间22方格的左上角和右下角，4 和 5 填在
17、7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page4of9 剩下的 2 个方格，有 2 种填法。根据加法原理，共有363214种不同的填法。所以原题中二列 纵队有 14 种不同的排法。 【答案】14种 【例【例 7】 已知在由甲已知在由甲、乙乙、丙丙、丁丁、戊共戊共 5 名同学进行的手工制作比赛中名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次决出了第一至第五名的名次甲甲、 乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军很遗憾，你和乙都未拿到冠军”对乙说：对乙说：“你当然不你当然不 会是最差的会是最差的”从这个回答分析，从这个回答分析，
18、5 人的名次排列共有多少种不同的情况？人的名次排列共有多少种不同的情况？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿 到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的 排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排， 有 3 3 32 16P (种)排法由乘法原理，一共有3 3 654 (种)不同的排法 【答案】54 【例【例 8】 书架上有书架上有3本故事书，本故事书，2本作文选和本作文选和1本漫画书，全部竖起
19、来排成一排本漫画书，全部竖起来排成一排 如果同类的书不分开如果同类的书不分开， 一共有多少种排法？一共有多少种排法？ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？如果同类的书可以分开，一共有多种排法？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 可以分三步来排：先排故事书，有 3 3 32 16P (种)排法；再排作文选，有 2 2 2 12P (种)排 法；最后排漫画书有1种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先 后顺序有 3 3 32 16P (种)故由乘法原理，一共有62 1 672 种排法 可以看成3216 (本)书随意排，一共有 6 6 6543
20、2 1720P (种)排法 若同类书不分开，共有72种排法；若同类书可以分开，共有720种排法 【答案】720 【例【例 9】 一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少 种不同的串法？种不同的串法？ 把把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位 串起其中串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位 【考点】排列之综合运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】 可以先考
21、虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有5种选择；然后把剩下的6盏灯随意排， 是一个全排列问题，有 6 6 65432 1720P (种)排法 由乘法原理，一共有57203600(种) 先安排第一盏和第四盏灯第一盏灯不是紫灯，有6种选择；第四盏灯有5种选择；剩下的5盏 灯中随意选出2盏排列，有 2 5 5420P (种)选择由乘法原理，有6520600 (种) 【答案】600 【例【例 10】某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第 一天播出，一场体育比赛必须在第二天播
22、出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？ 【考点】排列之综合运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时 段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种 选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择剩下的5个节目随意 安排顺序，有 5 5 5432 1120P (种)选择由乘法原理，一共有434 1205760 (种)不同的 播放节目方案 【答案】5760 【例【例 11】从
23、从6名运动员中选出名运动员中选出4人参加人参加4 100接力赛试求满足下列条件的参赛方案各有多少种：接力赛试求满足下列条件的参赛方案各有多少种： 甲不能跑第一棒和第四棒；甲不能跑第一棒和第四棒； 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 先确定第一棒和第四棒第一棒是甲以外的任何一个人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下 的4个人中随意选择2个人跑第二棒和第三棒，有 2 4 4312P 种选择由乘法原理，一共有 7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page5of9 54 12240 (种)参赛方案 先不考虑甲、乙的
24、特殊要求，从6名运动员中随意选择4人参赛，有 4 6 6543360P 种选 择考虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应 3 5 54360P 种不同的选择，考虑 若乙跑第四棒，也对应60种不同的选择，但是，从360种中减去两个60种的时候，重复减了一 次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况这种情况下，对应于第一棒，第四棒已确定只需从剩下的 4人选择2人参赛的 2 4 4312P (种)方案，应加上 综上所述，一共有36060212252(种)不同的参赛方案 【答案】240252 【例【例 12】一台晚会上有一台晚会上有6个演唱节目和个演唱节目和4个舞蹈节目求：个舞蹈节目求： 当当4个舞蹈节
25、目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每当要求每2个舞蹈节目之间至少安排个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有 7 7 7!765432 15040P (种)方法第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节 目全排列的问题，有 4 4 4!432 124P (种)方法 根据乘法原理，一共有504024120960(种
26、)方法 首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，是6个元素全排列的问题，一共有 6 6 6!65432 1720P (种)方法 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“”的位置)，这相当于从 7个“”中选4个来排，一共有 4 7 7654840P (种)方法 根据乘法原理，一共有720 840604800(种)方法 【答案】120960604800 【巩固】【巩固】 由由4个不同的独唱节目和个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始 和最后一个节目必须是合唱，则
27、这台晚会节目的编排方法共有多少种？和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有 4 4 432 124P 种排法；其次在 独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题， 有 2 3 326P (种)排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法由乘法原 理，一共有2463432 (种)不同的编排方法 【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本题中，独唱节目排好之 后，合唱节目就可
28、以采取“插空”的方法来确定排法了总的排列数用乘法原理把若干个排列数相 乘，得出最后的答案 【答案】432 【例【例 13】用用2345， ， ，排成四位数：排成四位数： （1）共有多少个四位数？）共有多少个四位数？ （2）无重复数字的四位数有多少个？）无重复数字的四位数有多少个？ （3）无重复数字的四位偶数有多少个？）无重复数字的四位偶数有多少个？ （4）2 在在 3 的左边的无重复数字的四位数有多少个？的左边的无重复数字的四位数有多少个？ （5）2 在千位上的无重复数字的四位数有多少个？在千位上的无重复数字的四位数有多少个？ （6）5 不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？不在十位、
29、个位上的无重复数字的四位数有多少个？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如2?234 3?355 2?444 5 555， 等 依分步计数乘法原理共有 4 44444 （个） 4 4 24P （个） 个位上只能是2或4，有 2 2 212P （个） 7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page6of9 所有四位数中，2在3的左边或2在3的右边的数各占一半，共有 4 4 1 12 2 P （个） 2在千位上，只有1种方法，此后3 4 5、只能在另外的3个位置上排列，有 3 3 P6（个） 法一：5不在十位、个位上，所以
30、5只能在千位上或百位上，有 3 3 212P （个） 法二：从 5 5 P中减去不合要求的（5在十位上、个位上） ，有 432 432 2212PPP（个） 【答案】 4 44444 （个） 4 4 24P （个） 2 2 212P （个） 4 4 1 12 2 P （个） 3 3 P6（个） 法一： 3 3 212P （个）法二： 432 432 2212PPP（个） 【巩固】【巩固】 用数字用数字012345， ， ， ， ，组成没有重复数字的正整数组成没有重复数字的正整数 能组成多少个五能组成多少个五位数？位数？ 能组成多少个正整数？能组成多少个正整数？ 能组成多少个六位奇数？能组成多少
31、个六位奇数？ 能组成我少个能被能组成我少个能被25整除的四位数？整除的四位数？ 能组成多少个比能组成多少个比201 345大的数？大的数？ 求三位数的和求三位数的和 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位 置和特殊元素 （1）因为万位上的数字不能是0，所以万位上的数字的排法有 2 2 P种，其余四位上的排法有 4 5 P种， 所以，共可组成 14 55 P P600个五位数 （2）组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法依次有 11112131415 55555
32、555555 PP PP PP PP PP P， 所以，可组成 11112131415 55555555555 1?630PP PP PP PP PP P个正整数 （3）首位与个位的位置是特殊位置，0135， ， ，是特殊元素，先选个位数字，有 1 3 P种不同的选法；再考 虑首位，有 1 4 P种不同的选法；其余四个位置的排法有 4 4 P种 所以，能组成 114 344 288P P P 个六位奇数 （4）能被255整除的四位数的特殊是末两位数是25或50，这两种形式的四位数依次是 11 35 P P和 2 4 P 个 所以，能组成 112 334 21P PP个能被 25 整除的四位数
33、（5）因为210345除首位数字2以外，其余5个数字顺次递增排列，所以，210345是首位数是2的 没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为2的没有重复数字的最小六位数比它小 的六位数是首位数为1的六位数，共有 5 5 P个，而由012 3 4 5， ， ， ， ，组成的六位数有 65 65 PP个 所以，大于210345的没有重复数字的六位数共有 655 655 PPP1479 （）-（个） （6）由012 3 4 5， ， ， ， ，组成无重复数字的三位数共有 12 55 P P100（个）. 个位数字是1的三位数有 11 44 P P16（个） ，同理个位数字是 2、3、4、5
34、 的三位数都各有 16 个，所以， 个位数字的和是 11 44 P P(12345)；同样十位上是数字 1、2、3、4、5 的三位数也都各有 11 44 P P个， 这些数字的和为 11 44 P P(12345) 10；百位上是数字 1、2、3、4、5 的三位数都各自有 2 5 P个， 这些数字的和为 2 5 P(12345) 100 所以，这 100 个三位数的和为 21111 34444 P(1234) 100P P(12345) 10P P(12345)(12345) 21111 54444 (P100P P10P P )32640 【答案】本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或
35、间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位 置和特殊元素 （1） 14 55 P P600（2） 11112131415 55555555555 1?630PP PP PP PP PP P （3） 114 344 288P P P （4） 112 334 21P PP （5） 655 655 PPP1479 （）-（个） （6）32640 7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page7of9 【例【例 14】由由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数组成无重复数字的数 四位数有多少个？四位数有多少个？ 四位数奇数有多少个？四位数奇数有多少个？ 四位数偶数有多少个？四位数偶数有多少个？
36、整数有多少个？整数有多少个？ 是是 5 的倍数的三位数有多少个？的倍数的三位数有多少个？ 是是 25 的倍数的四位数有多少个？的倍数的四位数有多少个？ 大于大于 5860 的四位数有多少个？的四位数有多少个？ 小于小于 5860 的四位数有多少个？的四位数有多少个？ 由小到大排列的四位数中，由小到大排列的四位数中，5607 是第几个数？是第几个数？ 由小到大排列的四位数中，第由小到大排列的四位数中，第 128 个数是多少？个数是多少？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 13 55 PP300（个） （或 43 65 PP300（个） ） 个位上只能是 5 或 7，0
37、不能作千位数字，有 12 44 2PP96（个） 个位上只能是 0 或 2，6，8，个位上是 0 的有 3 5 A个，个位上的是 2，6，8 的有 12 44 3(P P )个，所以共 有 123 445 3(PP )P204（个） 包括一位数，二位数，六位数，共有 11112131415 65555555555 PPPPPPPPPPP1631（个） 5 的倍数只能是个位上的 0 或 5 的数，共有 211 544 PPP36（个） 末两位数只能是 25，50，75，共有 211 433 P2PP30（个） 共有 31 53 3P2P11861185 （个） 共有 321 543 P4P2P1
38、14（个） ，或者从总数 300 中减去大于和等于 5860 的数的个数 300185 1 114 （个） 小于 5607 的四位数，即形如2，50，52，5602的数，共有 32 54 P2P185 （个） 所以，5607 是第 86 个数 由小到大排列的四位数形如2，5，各有 3 5 60A 个，共 120 个；需再向后数 8 个，602， 605，各有 1 3 P个，然后是 6072，6075，这样，6075 是第12062128（个）数 所以，6075 为所求的数 【答案】 13 55 PP300 12 44 2PP96 123 445 3(PP )P204 1631 211 544
39、PPP36 211 433 P2PP30 31 53 3P2P11861185 114第 86 个数第12062128（个） 【例【例 15】从从 1，2，8 中任取中任取 3 个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式） 从从 8 位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？ 3 位同学坐位同学坐 8 个座位，每个座位坐个座位，每个座位坐 1 人，共有几种坐法？人，共有几种坐法？ 8 个人坐个人坐 3 个座位，每个座位坐个座位
40、，每个座位坐 1 人，共有多少种坐法？人，共有多少种坐法？ 一火车站有一火车站有 8 股车道，停放股车道，停放 3 列火车，有多少种不同的停放方法？列火车，有多少种不同的停放方法？ 8 种不同的菜籽，任选种不同的菜籽，任选 3 种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？ 【考点】排列之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8 个数字（8 个元素）取出 3 个往上排，有 3 8 P种 3 种职务 3 个位置，从 8 位候选人（8 个元素）任取 3 位往上排，有 3 8 P种 3 位同学看成是三个位置，
41、任取 8 个座位号（8 个元素）中的 3 个往上排（座号找人） ，每确定一 种号码即对应一种坐法，有 3 8 P种 3 个坐位排号 1，2，3 三个位置，从 8 人中任取 3 个往上排（人找座位） ，有 3 8 P种 3 列火车编为 1，2，3 号，从 8 股车道中任取 3 股往上排，共有 3 8 P种 土地编 1，2，3 号，从 8 种菜籽中任选 3 种往上排，有 3 8 P种 【答案】有 3 8 P种有 3 8 P种有 3 8 P种有 3 8 P种有 3 8 P种有 3 8 P种 7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page8of9 【例【例 16】现有男同学现有男同学 3 人人， 女同
42、学女同学 4 人人(女同学中有一人叫王红女同学中有一人叫王红)， 从中选出男女同学各从中选出男女同学各 2 人人， 分别参加数学分别参加数学、 英语、音乐、美术四个兴趣小组：英语、音乐、美术四个兴趣小组： (1)共有多少种选法共有多少种选法? (2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种? (3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种? (4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种? 【考点】排列之综合运用【难
43、度】3 星【题型】解答 【解析】（1） 从 3 个男同学中选出 2 人， 有 2 23 =3 种选法 从 4 个女同学中选出 2 人， 有 2 34 =6 种选法 在 四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有 4321=24 种选法 3624=432，所以共有 432 种选法 （2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有 2321=12 种选法 3612=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有 216 种 （3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从 3 个男同学中选出 2 人，从 3 个女 同学中选出 1 人，3 个人参加 3 个小组时的选法 33321=54
44、，所以参加数学小组的是王红时的选法有 54 种，432-54=378，所以参加数学小组的不 是女同学王红的选法有 378 种 （4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从 3 个男 同学中选出 2 人参加两个不同的小组，从 3 个女同学中选出 1 人参加美术小组时的选法 323=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有 18 种，216-18=198， 所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有 198 种 【答案】 （1）432 种 （2）216 种 （3）378 种 （4）198 种 【例【例 1717】
45、观察如图所示的减法算式发现观察如图所示的减法算式发现，得数得数 175 和被减数和被减数 571 的数字顺序相反的数字顺序相反。那么那么，减去减去 396 后后，使得使得 数与被减数的数字顺序相反的三位被减数共有数与被减数的数字顺序相反的三位被减数共有_个。个。 【考点】排列之综合运用【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 16 题 【解析】即396abccba1001039610010abccba4ac且(0 9ac， 56789 12345 0 90 90 90 90 9 aaaaa ccccc bbbbb 共5 1050个 【答案】50个 【例【例 1818】将将
46、 09 这十个数字分别填入下面算式的这十个数字分别填入下面算式的内，每个数字只能用一次；那么满足条件的正确填法共内，每个数字只能用一次；那么满足条件的正确填法共 有有_种种 【考点】排列之综合运用【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】根据弃九法(或者说四大同余定理之一)，两边的数除以 9 的余数应该相同，即各位数字之和应该相差 9n所以，如图 9 10 g ef cd ab ，则，设9Acdefg，10Bab 所以， 45 9 AB ABn 7-4-3 排列的综合应用.题库教师版page9of9 因为AB与AB同奇偶，所以AB不可能等于偶数，可以是 9，或者 27 当9AB时，27A ，18B ，则17ab，不成立 当27AB时，36A ，9B ，则8ab，成立 所以，a、b可能为2,63,56,25,3四种 当,2,6a b 则有113847ec 当,3,5a b 则有1248ec； 当,6,2a b 则有1578ec； 当,5,3a b 则有1468ec； 上面从右边分类看，共分 5 类，每一类中e与c都可以交换，g，f，d可以交换排列 所以每一类有 23 23 12PP种所以共有 512=60(种) 【答案】60种
