1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学乙卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设 2（z+? ?）+3(z-? ?)=4+6i，则 z=( ). A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 2.已
2、知集合 S=s|s=2n+1,nZ ，T=t|t=4n+1,nZ ，则 ST=( ) A. B.S C.T D.Z 3.已知命题 p：xR，sinx1；命题 q：xR，?1，则下列命题中为真 命题的是（ ） A.pq B.pq C.p q D.(pVq) 4.设函数 f(x)=? ?t，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 为 B1D1的中点，则直线 PB 与 AD1所成的 角为（ ） A.? ? B. ? ? C. ? ? D. ? ? 6.将 5 名北京冬奥会志
3、愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进 行培训，每名志愿者只分到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同 的分配方案共有（ ） A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种 7.把函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的? ?倍，纵坐标不变，再把所 得曲线向右平移? ?个单位长度，得到函数 y=sin(x- ? ?)的图像，则 f(x)=（ ） A.sin( ? ? ? ?) B. sin( ? t ? ?) C. sin(? ? ?) D. sin(?t ? ?) 8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取 1 个数，则两数之和大于? ?
4、的概率为（ ） A. ? ? B. ? ? C. ? ? D. ? ? 9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量 海盗的高。如图，点 E,H,G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且 等高的测量标杆的高度，称为“表高” ，EG 称为“表距” ，GC 和 EH 都称为“表 目距” ，GC 与 EH 的差称为“表目距的差” 。则海岛的高 AB=（ ）. A： 表高表距 表目距的差 t表高 B： 表高表距 表目距的差 ?表高 C： 表高表距 表目距的差 t表距 D： 表高表距 表目距的差 ?表距 10.设 a0，若 x=a 为函数 f x = a x
5、a ? x b 的极大值点，则（ ）. A：ab B：ab C：aba2 D：aba2 11.设 B 是椭圆 C： x? a? t y? b? = ?（ab0）的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满 足 PB ?b，则 C 的离心率的取值范围是（ ）. A： ? ? ,? B： ? ? ,? C： 0, ? ? D： 0, ? ? 12.设 a = ?ln?.0?，b = ln?.0?，c =?.0? ?，则（ ）. A：abc B：bca C：bac D：cab 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知双曲线 C：x ? m y?= ?（m0）的一条渐近线为
6、 ?x+my=0，则 C 的焦 距为. 14.已知向量 a=（1，3） ，b=（3，4） ，若（a-b）b，则=。 15.记ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为 ?， B=60， a2+c2=3ac， 则 b=. 16.以图为正视图和俯视图， 在图中选两个分别作为侧视图和俯视图， 组成某个三棱锥的三视图， 则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写 出符合要求的一组答案即可）. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 （一）必考题：共 60
7、 分。 17.（12 分） 某厂研究了一种生产高精产品的设备， 为检验新设备生产产品的某项指标有无提 高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数 据如下： 旧设9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 备 新设 备 10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 ?和? ?， 样本方差分别 记为 s12和 s22 （1） 求 ?，? ?， s12，s22； （2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ? ?- ? ?
8、 ?t? ? ? ? ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著 提高，否则不认为有显著提高）. 18.(12 分) 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，PD底面 ABCD，PD=DC=1，M 为 BC 的中点，且 PBAM， （1） 求 BC； （2） 求二面角 A-PM-B 的正弦值。 19.（12 分） 记 S n为数列an的前 n 项和，bn为数列Sn的前 n 项和，已知 ? ? t ? ?=2. （1） 证明：数列bn是等差数列； （2） 求an的通项公式. 20.（12 分） 设函数 f（x）=ln（a-x），已知 x=0 是函数 y=xf（x）的极值点。 （1）
9、求 a； （2） 设函数 g（x）= tf（x） f（x） ，证明：g（x）1. 21.（12 分） 己知抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2+（y+4）2=1 上 点的距离的最小值为 4. （1）求 p； （2）若点 P 在 M 上，PA,PB 是 C 的两条切线，A,B 是切点，求PAB 的最大值. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。 22.选修 4 一 4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，C 的圆心为 C（2，1），半径为 1. （1）写出C 的一个参数方程；的极
10、坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点 F（4,1）作C 的两条切线, 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 23.选修 4 一 5：不等式选讲（10 分） 已知函数 f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）若 f（x） a ,求 a 的取值范围. 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学乙卷（参考答案） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其
11、他答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 1-5 CCABD 6-10 CBBAD 11-12 CB 13.4 14.? ? 15.2 ? 16.或 17.解： （1）各项所求值如下所示 ?= ? ?0(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 ? ?= ? ?0(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 ? ? = ? ?0 x (9.7-10.0) 2 + 2 x (9.8-10.0)2+
12、(9.9-10.0)2+ 2 X (10.0-10.0)2+ (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2 = 0.36, ? ?=? ?0 x (10.0-10.3)2+3 x (10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2 = 0.4. (2)由(1)中数据得? ?- ?=0.3,2 ? ?t? ? ? ?0 0.34 显然? ?- ?2 ? ?t? ? ? ?0 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显 著提高。 18.解：（1） 因为
13、 PD平面 ABCD， 且矩形 ABCD 中， ADDC， 所以以? ? ?, ? ?, ? ? 分别为 x，y，z 轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz。 设 BC=t，A（t，0，0） ，B（t，1，0） ，M（? ?，1，0） ，P(0,0,1),所以? ? ?=（t， 1，-1） ，? ?=（ ? ?，1，0） ， 因为 PBAM，所以? ? ?=-? ?+1=0，所以 t= ?，所以 BC= ?。 （2）设平面 APM 的一个法向量为 m=（x，y，z） ，由于? ? ?=（- ?，0，1） ， 则 ?AP ? ? =?x t z = 0 ?AM ? ? = ? ? x
14、 t y = 0 令 x= ?，得 m=（ ?，1，2） 。 设平面 PMB 的一个法向量为 n=（xt，yt，zt） ，则 ?CB ? ? =?= 0 ?PB ? ? =?t ? ?= 0 令?=1，得 n=(0,1,1). 所以 cos（m，n）= ? ? ?= ? ? ?= ? ? ? ,所以二面角 A-PM-B 的正弦值为 ?0 ? . 19.（1）由已知 ? ?+ ? ?=2,则 ? ?t?=Sn(n2) ? ? + ? ?=22bn-1+2=2bnbn-bn-1= ? ?(n2),b1= ? ? 故bn是以? ?为首项， ? ?为公差的等差数列。 （2）由（1）知 bn=? ?+（
15、n-1） ? ?= ?t? ? ,则 ? ?+ ? ?t?=2Sn= ?t? ?t? n=1 时，a1=S1=? ? n2 时，an=Sn-Sn-1=?t? ?t?- ?t? ? = ? ?软?t?晦 故 an= ? ? ,? = ? ? ? ?t? ,? ? ? 20.（1）xf(x)=xf(x)+xf(x) 当 x=0 时，xf(x)=f(0)=lna=0,所以 a=1 （2）由 f(x)=ln(1-x),得 x1 当 0 x1 时，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0；当 x0 时，f(x)=ln(1-x)0，xf(x) 0 故即证 x+f(x)xf(x),x+ln(1-x)-xln
16、(1-x)0 令 1-x=t(t0 且 t1)，x=1-t,即证 1-t+lnt-(1-t)lnt0 令 f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则 f(t)=-1-? ?-(-1)lnt+ ? ? =-1+? ?+lnt- ? ? =lnt 所以 f(t)在（0,1）上单调递减，在（1,+）上单调递增，故 f(t)f（1）=0,得 证。 21.解： （1）焦点 F 0, P ? 到x?t y t ? ? = ? 的最短距离为P ? t ? = ?，所以 p=2. （2）抛物线 y = ? ? x?，设 A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，则 l?= y = ? ? x?
17、x ?t y?= ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ?, l? = ? ? ? ? ?,且x0 ? = y0 ? 8y0 ?. l?, l?都 过 点 P(x0,y0） , 则 y0= ? ? x?x0 y?, y0= ? ? x?x0 y?, 故 l?0= ? ? 0 ? ? ， 即 ? = ? ? 0 ? ?0. 联立 y = ? ? x0 x y0 x?= ?y ，得x? ?x0 x t ?y0= 0， = ?x0 ? ?y0. 所以 AB =? t x0 ? ? ?x0 ? ?y0= ? t x0 ? x0 ? ?y0，d?= 0 ?0 0 ?t? ， 所以 S?=
18、? ? ? ? d?= ? ? x0 ? ?y0 x0 ? ?y0= ? ? x? ? ?y0 ? ? = ? ? y0? ?y0 ? ? ?. 而y0 ?, ? .故当 y0=-5 时，S?达到最大，最大值为 ?0 ?. 22. (1)因为C的圆心为(2,1)， 半径为1.故C的参数方程为 = ? t ? ? = ? t ?鐀? （为 参数). (2)设切线 y=k（x-4)+1,即 kx-y-4k+1=0.故 ?t? ?t? =1 即|2k|= ? t ?,4?=? t ?，解得 k= ? ? .故直线方程为 y= ? ? (x-4)+1, y= ? ? (x-4)+1 故两条切线的极坐标方程为sin= ? ? cos - ? ? ?+1 或sin= ? ? cos + ? ? ?+1. 23.解：(l)a = 1 时，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3| 6 的解集. 当 x1 时，2x 十 2 6,得 x 2; 当-3x-a,而由绝对值的几何意义，即求 x 到 a 和-3 距离的最小值. 当 x 在 a 和-3 之间时最小，此时 f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|-a. A-3 时,2a+30，得 a-? ?；a-a,此时 a 不存在. 综上，a-? ?.
