1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴 处” 。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28 铅笔在答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不 能答在试卷上， 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
2、答案：不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1. 设集合 A= x|-2x4. B = 2,3,4,5,则 AB= A.2B.2,3C.3,4,D.2,3,4 2.已知 z=2-i，则(z(? th= A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i 3.已知圆锥的底面半径为 ?，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A.2 B.2 ?C.4D.4 ? 4.下列区间中，函数 f(x)=7sin(x
3、 ? ?)单调递增的区间是 A.(0, ? ? ) B.( ? ? ,)C.( , ? ? )D.( ? ? ,? ) 5.已知 F1,F2是椭圆 C：? ? ? ? ? ? ? ? 的两个焦点，点 M 在 C 上，则|MF1|MF2|的最大值为 A.13B.12C.9D.6 6.若 tan=-2,则 sin ?sin? sin?cos = A. ? ? B. ? ? C. ? ? D. ? ? 7.若过点（a,b)可以作曲线 y=ex的两条切线，则 A. eba B. eab C. 0aeb D. 0bea 8.有 6 个相同的球，分别标有数字 1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次
4、,每次取 1 个球，甲表示 事件 “第一次取出的球的数字是 1” ， 乙表示事件 “第二次取出的球的数字是 2” ， 丙表示事件 “两 次取出的球的数字之和是 8” ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7” ，则 A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9.有一组样本数据 x1，x2,xn,由这组数据得到新样本数据 y1，y2,yn,其中 yi=xi+c(i=1,2,n),c 为非零
5、常数，则 A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 10.已知 O 为坐标原点，点 P1(cos,sin),P2(cos，-sin),P3(cos(+),sin(+)，A(1，0), 则 A.|OP? ?|=|OP?| B. |AP? ?|=|AP?| C.OA ? ?OP? ? =OP? ?OP? ? D. OA ? ?OP? ? ? OP? ?OP? ? 11.已知点 P 在圆(? ?h?+ (? ?h?=16 上，点 A（4,0） ，B（0,2） ，则 A.点 P 到直线 AB 的距离小于 10
6、B.点 P 到直线 AB 的距离大于 2 C.当PBA 最小时，|PB|=3 ? D.当PBA 最大时，|PB|=3 ? 12.在正三棱柱 ABC-?中，AB=A? ? ，点 P 满足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，其中0,1，? 0,1，则 A当=1 时，?P 的周长为定值 B. 当=1 时，三棱锥 P-?BC 的体积为定值 C. 当=? ?时，有且仅有一个点 P，使得? ? D.当=? ?时，有且仅有一个点 P，使得?B平面 A?P 三选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知函数 f(x)=?(? ? ?h是偶函数，则 a=_ 14.已知O为坐标原点，抛
7、物线C:y? ?px(p0）的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQOP,若|FQ|=6，则C的准线方程为_ 15. 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为 20dmXl2dm 的长方形纸.对折 1 次共可以得到 10dmX2dm . 20dmX6dm 两种规格的图形， 它 们的面积之和?=240 dm2,对折 2 次共可以得 5dmX12dm ，10dmX6dm，20dmX3dm 三种 规格的图形,它们的面积之和?180dm2.以此类推.则对折 4 次共可以得到不同规格
8、图形的种数 为_:如果对折 n 次，那么 ? ? ?=_dm2 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分)已知数列?满足?=1，? an? ?，n 为奇数 an? ?，n 为偶数 (1)记?=?，写出?，?，并求数列?的通项公式； (2)求?的前 20 项和 18.(12 分) 某学校组织一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题 中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一 类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问 题回答正
9、确得 20 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。 己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8 ,能正确回答 B 类问題的概率为 0.6 . 且能正确 回答问题的概率与回答次序无关。 （1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列： （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 19.(12 分) 记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a.，b.，c,已知?=ac,点 D 在边 AC 上，BDsin ABC = asinC. (1)证明：BD = b： (2)若 AD = 2DC .求 c
10、osABC. 20.(12 分) 如图，在三棱锥 A-BCD 中.平面 ABD 丄平面 BCD，AB=AD.O 为 BD 的中点. (1)证明：OACD： (2)若OCD 是边长为 1 的等边三角形.点 E 在 棱 AD 上. DE = 2EA .且二面角 E-BC-D 的大小为 45，求三棱锥 A-BCD 的体积. 21.(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，己知点?(-?7,0)，?(?7,0),点 M 满足|MFt|-|MF2|=2. 记 M 的轨迹为 C. (1)求 C 的方程; (2)设点 T 在直线 ? ? ? ?上， 过 T 的两条直线分别交 C 于 A， B 两点和 P，
11、 Q 两点,且|TA| |TB|=|TP|TQ| ,求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和 22.(12 分) 已知函数 f(x)=x（1-lnx) (1)讨论 f(x)的单调性 (2)设 a,b 为两个不相等的正数,且 blna-alnb=a-b 证明:? ? a ? ? b e 新高考卷数学答案解析 1.B 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.CD 10.AC 11.ACD 12.BD 13.a=1 14.? ? ? ? 15.1 16.5；?0 ? ? ? ? 17. （1）解：由题意得 b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=5 b1=a2=a1+
12、1,a2-a1=1. b2=a4=a3+1=a2+3 a4-a2=3. 同理 a6-a4=3 bn=a2n-a2n-2=3. 叠加可知 a2n-a1=1+3(n-1) a2n=3n-1 bn=3n-1.验证可得 b1=a2=2，符合上式. （2）解：a2n=a2n-1+1 a2n-1=a2n-1=3n-2. 设an前 20 项和为 S20 S20=(a1+a3+a19)+(a2+a4+a20) =145+155=300 18. （1）解： 由题意得 x=0,20,100. P（x=0）=0.2 P(x=20)=0.80.4=0.32 P(x=100)=0.48 X020100 P0.20.32
13、0.48 （2）解： 小明先选择 B，得分为 y y=0,80,100 P（y=0）=0.4 P(y=80)=0.60.2=0.12 P(y=100)= 0.60.8=0.48 Ex=54.4Ey=57.6 小明应先选择 B. 19. （1）由正弦定理 得 ? ?t? ? ? ?t?,即 ?t?= ?t? ? 又由 BD?t?=asinc，得 BD?t? ? =asinc, 即 BD b ? ac b? ac BD=b y080100 p0.40.120.48 (2) 由 AD=2DC,将? ? ?=2? ?,即? ?=? ? ? ?=? ? ? ? |? ? ?|2 ? ? ?|? ? ?|
14、2+ ? ?|? ? ?|2+ ? ? ? ? ? ? ? b?=? ?c 2+? ?a 2+? ?ca ?b? ? ? ? ? ? ? ?-11ac+3?=0 a=? ?c 或 a= ? ?c ? ? ? ?c ? ? ? ? ? ? cos? ?b? ? = ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?c ? ? ? ? ? ?cos? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(x) 综上 cos?= ? ? 20. (1)证明： 由已知，ABD 中 AB=AD 且 O 为 BD 中点 AOBD 又平面 ABD平面 BCD AO平面 BCD 且 CD平面 BCD AOCD (2
15、)由于 OCD 为正三角形，边长为 1 OB=OD=OC=CD BCD=?0 取 OD 中点 H，连结 CH，则 CHOD 以 H 为原点，HC,HD,HZ 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 由可知，平面 BCD 的法向量? ? (00?h 设 C( ? ? 00)，B(0, ? ? 0)，D(0,? ?0) 则? ? ? ? (0 ? ?h DE=2EA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (0 ? ? ? ? ? h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (0 ? ? ? ? h且? ? ? ? ( ? ? ? ?0h 设?平面 BEC ?=(x,y,z) ? ? ? ?
16、 0 ? ? ? ? 0 ，即 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ( ? ? ? ? h 由于二面角 E-BC-D 为 ? cos? ? ? ? |cos ? ?| ? ? ? ? ? ? ? ? h ? ? ?三棱锥 ?= ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? 21.（1）? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? 表示双曲线的右支方程：? ? ? ? ?(? ? ?h （2）设 ?( ? ?h，设直线 AB 的方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
17、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设?t? ?，同理可得 ? ?t ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
18、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? 0 22.（1）f(x)=x-xlnx f(xh ? ? lnx ? ? lnx(x0h 令 f(x)0，则 0 x1， 令 f(x)0，则 x1 f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+). (2)ln? ? ? ln? ? ? ? ? ? ? 即?ln? ? ? ?ln? ? ，即 f(? ?)=f( ? ?) 令 p=? ?，q= ? ?，不妨设 0p1q，下面证明 2p+qe. 1先证 p+q2，当 p2 时结论显然成立. 当 q(1,2)时，p+q2,，则 p2-q，2-q1.只需设 f(p)f(2-q). 即
19、证当 q(1,2)时，由 f(p)f(2-q) 令 g(x)=f(x)-f(2-x). g(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln-(x-1)2+1 当 x(1,2)时，-(x-1)2+11，所以 g(x)0, g(x)在(1,2)上单调递增， g(q)g(1)=0，即 f(q)f(2-q) 再设 p ? q e, 当 x 0e 时，? ? ? 0，当 ? ? ? ?时，? ? 0 ? ? 0 P ?e p ? e ? ? ? 要证 q e p 只需证 f q ? f e p 即证当 P 0? 时，有 f P ? f e p 设 h x ? f x f e x ，x 0? ，hx ? fx ? fe k ? lnx ln e x ? ln ? ? ? ? 设 ? ? ? ? 小于 1 的根为?0，则? 在 0?0单调递增，在 ?0? 单调递减. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 证毕
