1、绝密启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数数学学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷 和答题纸规定的位置上。 2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试 题卷上的作答一律无效。 参考公式： 如果事件A， B互斥， 那么 ()( )( )P ABP AP B 如 果 事 件 A ， B 相
2、互 独 立 ， 那 么 ()( ) ( )P ABP A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( )C(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SSh 其中 12 ,S S 分别表示台体的上、 下底面积，h表示 台体的高 柱体的体积公式V Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的 高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的 高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共
3、40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1设集合 1Ax x ， 12Bxx ，则 AB （） A 1x x B 1x x C 11xx D 12xx 2已知aR， 1i i3 ia （i 为虚数单位） ，则a （） A 1 B1C 3 D3 3已知非零向量 , ,a b c ，则“ a cb c”是“ab”的（ ） A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分 也不必要条件 4某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A 3 2 B3C 3 2 2
4、D3 2 5若实数 x，y 满足约束条件 10 0 2310 x xy xy ，则 1 2 zxy 的最小值是（） A 2 B 3 2 C 1 2 D 1 10 6如图，已知正方体 1111 ABCDABC D ，M，N 分别是 1 AD ， 1 D B 的中点，则（） A直线 1 AD 与直线 1 D B 垂直，直线MN平面ABCD B直线 1 AD 与直线 1 D B 平行，直线MN 平面 11 BDD B C直线 1 AD 与直线 1 D B 相交，直线MN平面ABCD D直线 1 AD 与直线 1 D B 异面，直线MN 平面 11 BDD B 7已知函数 2 1 ( ), ( )si
5、n 4 f xxg xx ，则图象为如图的函数可能是（） A 1 ( )( ) 4 yf xg x B 1 ( )( ) 4 yf xg x C ( ) ( )yf x g x D ( ) ( ) g x y f x 8已知 , 是互不相同的锐角，则在sin cos,sincos ,sincos 三个值中，大 于 1 2 的个数的最大值是（） A0B1C2D3 9已知 ,0a babR ，函数 2 ()f xaxb xR 若 (),( ),()f stf sf st 成等比 数列，则平面上点 , s t 的轨迹是（） A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线 10已知数列 n a 满
6、足 * 11 1, 1 n n n a aan a N 记数列 n a 的前 n 项和为 n S ，则 （） A 100 1 3 2 S B 100 34S C 100 9 4 2 S D 100 9 5 2 S 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和 中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示） 若直角三角形直角边的长分别是 3， 4，记大正方形的面积为 1 S ，小正方形的面积为 2 S ，则 1 2 S S _ 12已知aR
7、，函数 2 4,2 ( ) 3,2, xx f x xa x 若 63ff ，则a _ 13 已 知 多 项 式 34432 1234 (1)(1)xxxa xa xa xa ， 则 1 a _ ， 234 aaa _ 14在 ABC 中， 60 ,2BAB ， M 是BC的中点， 2 3AM ，则AC _， cosMAC_ 15袋中有 4 个红球，m 个黄球，n 个绿球现从中任取两个球，记取出的红球数为，若 取出的两个球都是红球的概率为 1 6 ，一红一黄的概率为 1 3 ，则m n _， E _ 16已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，焦点 1( ,0)Fc ， 2( ,0
8、) F c(0)c ，若过 1 F 的直线 和圆 2 22 1 2 xcyc 相切，与椭圆在第一象限交于点 P，且 2 PFx 轴，则该直线的 斜率是_，椭圆的离心率是_ 17 已知平面向量 (, ,0)a b c c 满足 1,2,0,0 aba babc 记向量d在 , a b 方向上的投影分别为x， y， da 在c方向上的投影为z， 则 222 xyz 的最小值是_ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本题满分 14 分） 设函数 sincos ()f xxx xR （）求函数 2 2 yfx 的最小正周期； （）求函数 (
9、) 4 yf x fx 在 0, 2 上的最大值 19 （本题满分 15 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 PABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 120 ,1,4,15ABCABBCPA ， M ， N 分 别 为 ,BC PC 的 中 点 ， ,PDDC PMMD （）证明：AB PM ； （）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值 20 （本题满分 15 分） 已知数列 n a 的前 n 项和为 n S ， 1 9 4 a ，且 * 1 439() nn SSn N （）求数列 n a 的通项公式； （） 设数列 n b 满足3 (4)0 nn bna * ()n
10、N ， 记 n b 的前 n 项和为 n T ， 若 nn Tb 对任意 * nN 恒成立，求实数的取值范围 21 （本题满分 15 分） 如图，已知 F 是抛物线 2 20ypx p 的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且 2MF . （）求抛物线的方程； （）设过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若斜率为 2 的直线 l 与直线 ,MA MB AB ， x 轴依次交于点 P，Q，R，N，且满足 2 RNPNQN ，求直线 l 在 x 轴上截距的取值范 围 22 （本题满分 15 分） 设 a，b 为实数，且 1a ，函数 2( )e x f xabxxR （）求函数 fx 的单调区间； （）若对任意 2 2eb ，函数 fx 有两个不同的零点，求 a 的取值范围； （）当 ea 时，证明：对意 4 eb ，函数 fx 有两个不同的零点 12 ,x x ，满足 2 21 2 lne 2e bb xx b （注：e 2.71828是自然对数的底数）
