1、1 一选择题 2021 年浙江省高考数学试题 1. 设集合Ax x 1，B x 1 x 2，则AI B （ ） A.x x 1B.x x 1C.x 1 x 1D.x 1 x 2 2. 已知aR，1aii 3i，(i为虚数单位)，则a（ ） A.1 B. 1 C.3D. 3 3.已知非零向量a,b,c，则“ac bc”是“ab”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） 3 A.B. 3 22 x 1 0 D.3 5. 若实数 x，y 满足约束条件x y 0 2x 3y 1 0 ，则z
2、 x 1 y的最小值是（） 2 A.2 B. 3 2 C. 1 D. 1 210 6.如图已知正方体ABCDA1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（） C. 3 2 2 2 1an A. 直线A1D与直线D1B垂直，直线 MN /平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN平面BDD1B1 C. 直线A1D与直线D1B相交，直线MN /平面 ABCD D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN平面BDD1B1 7. 已知函数f (x) x2 1 ,g(x) sin x，则图象为如图的函数可能是（） 4 A.y f (x) g(x) 1 B.y 4 f ( x) g( x
3、) 1 4 C.y f (x)g(x)D.y g(x) f (x) 8.已知,是互不相同的锐角，则在sincos,sincos,sincos三个值中，大于 1 的个数的最 2 大值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知a,bR,ab 0，函数fx ax 2 b(xR) .若 f (s t), f (s), f (s t)成等比数列，则平面上点 s,t的轨迹是（） A 直线和圆B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线 10.已知数列a满足a1,a an nN .记数列a的前 n项和为S，则（ ） n 1n1 nn 3 1234 A. 1 S3 B.3 S 4C.
4、4 S 9 D. 9 S 5 2 100 100 100 22 100 二填空题 11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正 方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3，4，记大正方形的面积为S1，小正 方形的面积为S ，则 S1 . S1 x 2 4,x2 12. 已知aR，函数f (x) x3 a,x 2, 若f f6 3，则a. 13. 已知多项式(x 1)3(x 1)4 x4a x3a x2a x a，则 a ， 1 a2 a3a4 . 14.在VABC中，B60,AB2，M是BC中点，AM 2 3，则A
5、C， cosMAC . 15. 袋中有 4 个红球 m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是 红球的概率为 1 ，一红一黄的概率为 1 ，则mn，E. 63 16. 已知椭圆 x2 y2 1(ab ，焦点F(c,0)，F (c,0) (c 0)，若过F的直线和圆 1 2 a2b2 0) 121 x c 2 y2 c2相切，与椭圆在第一象限交于点 P，且PF2 x轴，则该直线的斜率是， 椭圆的离心率是. rrr rrrr 17. 已知平面向量a,b,c,(c 0)满足a 1,b 2,ab 0,a bc 0.记向量d在a,b方向上投影分 2 4 别为 x，y，
6、d a在c方向上的投影为 z，则x2 y2 z2的最小值为. 三解答题 18. 设函数fx sin x cosx(xR). 2 （1）求函数y fx 2 的最小正周期； （2）求函数y f (x) f x 在 0, 上的最大值. 4 2 19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC120,AB1,BC 4,PA 15， M，N分别为BC, PC的中点，PD DC,PM MD. （1）证明：AB PM； （2）求直线AN与平面 PDM 所成角的正弦值. 20.已知数列a的前 n项和为S，a 9 ，且4S 3S 9. n （1）求数列an的通项； n1 4 n1n （2）设数
7、列bn满足3bn(n4)an0，记bn的前 n 项和为Tn，若Tnbn对任意nN恒成立，求 的范围. 21. 如图，已知 F是抛物线y 2 2pxp 0的焦点，M 是抛物线的准线与 x轴的交点，且MF 2， 5 2 （1）求抛物线方程； （2）设过点 F 的直线交抛物线与 AB两点，斜率为 2 的直线 l 与直线MA,MB, AB，x轴依次交于点 P，Q， R，N，且RN 2 PN QN，求直线 l 在 x 轴上截距的范围. 22. 设 a，b实数，且a 1，函数fx axbx e2(xR) （1）求函数fx的单调区间； （2）若对任意b 2e2，函数fx有两个不同的零点，求a的取值范围； b
8、lnbe2 （3）当a e时，证明：对任意b e4，函数fx有两个不同的零点 x1,x2，满足x 2e2 x . 1 b (注：e 2.71828是自然对数的底数) 答案： 1 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 D 解析解析 由题意结合交集的定义可得结果. 【详解】由交集的定义结合题意可得：. 故选：D. 6 2 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 C 解析解析 首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值. 【详解】， 利用复数相等的充分必要条件可得：. 故选：C. 3 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 B 解析解析 考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件
9、关系. 【详解】若，则，推不出；若， 则必成立， 故“”是“”的必要不充分条件 故选：B 4 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 A 解析解析 根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积. 7 【详解】几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形 ， 该等腰梯形上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为， 故， 故选：A. 5 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 B 解析解析 画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在 轴上截距的最大值即可. 【详解】画出满足约束条件的可行域， 8 如下图所示： 目标函数化为， 由，解得，设， 当直线过点时，
10、取得最小值为. 故选：B. 6 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 A 解析解析 由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论. 9 【详解】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项B错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面 对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 7 正确
11、答案及相关解析 10 正确答案正确答案 D 解析解析 由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，该函数为非奇非偶函 数，与函数图象不符，排除A； 对于B，该函数为非奇非偶函数，与函 数图象不符，排除B； 对于C，则 ， 当时，与图象不符，排 除C. 故选：D. 8 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 C 解析解析 11 利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数 式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有， 同理， ， 故， 故不可能均大于. 取， 则 ， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选
12、：C. 12 法2：不妨设，则 ， 由排列不等式可得： ， 而 ， 故不可能均大于. 取， 则 ， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意 根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 9 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 C 解析解析 首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 13 【详解】由题意得，即 ， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以或， 其中为双曲线，为直线. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行
13、恒等变形，提现了核心素 养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. 10 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 A 解析解析 14 显然可知，利用倒数法得到 ，再放缩可得 ，由累加法可得，进而由 局部放缩可得，然后利用累乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解 【详解】因为，所以， 由 15 ，即 根据累加法可得，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以 ，即 故选：A 【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得 ，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到 16 的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得 11 正确答案及相关解析
14、正确答案正确答案 25 解析解析 分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可. 【详解】由题意可得，大正方形的边长为：， 则其面积为：， 小正方形的面积：， 从而. 故答案为：25. 12 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 2 解析解析 由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 17 【详解】， 故， 故答案为：2. 13 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 (1).;(2). 解析解析 根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论. 【详解】， ， 所以， ， 所以. 故答案为：. 14 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 (1).(2). 解析解
15、析 18 由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得. 【详解】由题意作出图形，如图， 在中，由余弦定理得 ， 即，解得（负值舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； 在中，由余弦定理得 . 19 故答案为：；. 15 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 (1). 1(2). 解析解析 根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出 【详解】 ，所以 ， , 所以 , 则 由于 20 故答案为：1； 16 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 (1).(2). 解析解析 不妨假设，根据图形可知，再根据同角三角函数基本关系即可 求出；再根据椭圆的定义求出
16、，即可求得离心率 【详解】 如图所示：不妨假设，设切点为， ， 21 所以, 由，所以 ，于是 ，即，所以 故答案为：； 17 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 解析解析 设，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 22 所以在方向上的投影 ， 即, 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最 小值. 18 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 23 （1）；（2）. 解析解
17、析 （1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可 得解. 【详解】（1）由辅助角公式得 ， 则 ， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， 24 ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 19 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 （1）证明见解析；（2） 解析解析 （1）要证，可证，由题意可得，易证 ，从而平面，即有，从而得证； （2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐 标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角 的向量公式求出 【详解】（1）在中， 由余弦定理可得
18、， 25 所以，由题意 且，平面，而平面 ，所以，又，所以 （2）由，而与相交，所以 平面，因为，所以，取 中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所 示，建立空间直角坐标系, 则 , 又为中点，所以 . 由（1）得平面，所以平面的一个法向量 从而直线与平面所成角的正弦值为 26 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑 ， 题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问 思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出 20 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 （1）；（2） 解析解析 （1）由，结合与的关系，
19、分讨论，得到 数列为等比数列，即可得出结论； （2）由结合的结论，利用错位相减法求出， 对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范 围关系，即可求解. 【详解】（1）当时， 27 ， 当时，由， 得，得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得 ， 所以 ， ， 28 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，得； 时，得； 所以. 【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意 变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对 29 讨论，还要注意时，分离参数 不等式要变号. 21 正确答案及相关解析 正确答案正确答
20、案 （1）；（2） . 解析解析 （1）求出的值后可求抛物线的方程. （2）设，联立 直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线 的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得 ，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：. （2）设， 所以直线，由题设可得且. 30 由可得，故 ， 因为，故 ，故 . 又，由可得 ， 同理， 由可得， 31 所以， 整理得到 ， 故， 令，则且， 故 ， 32 故即， 解得或或. 故直线在轴上的截距的范围为或或 . 【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程 的形式，从而便于代数量的计算，对
21、于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化 为常见函数的范围问题. 22 正确答案及相关解析 正确答案正确答案 (1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为； (2)； (3)证明见解析. 解析解析 (1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数性质并进行放缩即可确定实数a的取值 范围； (3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】(1)， 若，则，所以在上单调递增； 33 若， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可得，时
22、，在上单调递增； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为 . (2)有2个不同零点有2个不同解 有2个不同的解， 令，则 ， 记 ， 记， 34 又，所以时，时， ， 则在单调递减，单调递增， ， . 即实数的取值范围是. (3)有2个不同零点，则，故函数 的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为， ， 注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，又由知， ， 要证，只需， 35 且关于的函数在 上单调递增， 所以只需证， 只需证， 只需证， ，只需证在时为正， 由于，故函数 单调递增， 又，故 在时为正， 从而题中的不等式得证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历 届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1) 考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知 单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用
