1、 2020-2021学年第二学期第二次月考学年第二学期第二次月考 高二数学试题高二数学试题 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知全集为 R，集合01Axx=，则（ ） AA B BBA CABR=U D 2设 43 (i zi i= 为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A4 B4 C4i D4i 3生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约 10%的能量能够流到下一个营养 级.在 123 HHH 这个生物链中，若
2、能使 H3获得 10kJ 的能量，则需 H1提供的能量为（ ） A 2 10 kJ B 3 10 kJ C 4 10 kJ D 5 10 kJ 4我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂 分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征函数 ( )cos ln x f xx x = + 的图象大致为（ ） A B C D 5如右图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源在古代传说中有 神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为 肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个 阴数和五个阳数中随
3、机选取 3 个数， 则选取的 3 个数之和为奇数的概率为 （ ） A 14 5 B 21 10 C 21 11 D 6 5 6已知定义在 R 上的函数( )2 x f xx=， () 3 log5af=， 3 1 log 2 bf = ，()ln3cf=， 则a，b，c的大小关系为（ ） Acba Bbca Ca bc Dcab 7已知函数 ,1 ( ) (1),1 x ex f x f xx = ，若方程( )1f xkx=有两个不同实根，则实数k的取值范 围为（ ） A 1, 3 e e B 1, 1 2 e e C() 1,1 1, 3 e e U D( 1,1 1,1 2 e e U
4、8已知集合 P=1,2,3,4,5，若 A，B 是 P 的两个非空子集，则所有满足 A 中的最大数小于 B 中的 最小数的集合对(A,B)的个数为（ ） A49 B48 C47 D46 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9甲乙两名射击运动员在某次测试中各射击 20 次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（ ） A甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数 B甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数 C甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数
5、D甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差 10下列说法错误的是（ ） A“0 x ， 1 x ex+ ”的否定形式是“0 x ， 1 x ex+ ” B若 0 xy ，则xyxy+ C若 22 0 xy+，则0 x 或0y D“ 2 ab x + 是x ab ”的充分不必要条件 11在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函 数：定义1 cos为角的正矢，记作sinver，定义1sin为角的余矢，记作covsiner， 则下列命题中正确的是（ ） Asin covsin 2 verer = B函数cov sinsinyerxverx=在, 4 上
6、是减函数 C若 covsin1 2 sin1 erx verx = ，则 7 covsin2sin2 5 erxverx= D函数( ) sin 2020covsin 2020 36 f xverxerx =+ ，则( )f x的最大值2 2+ 12 已知函数 yf(x)是定义在0,2上的增函数， 且图像是连续不断的曲线， 若 f(0)M， f(2)N （M 0，N0），那么下列四个命题中是真命题的有（ ） A必存在 x0,2，使得 f(x) 2 MN+ = B必存在 x0,2，使得 f(x) MN= C必存在 x0,2，使得 f(x) 2 MN+ = D必存在 x0,2，使得 f(x) 2
7、11 MN = + 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2=10，S1040，则满足 Sn0 的 n 的最大值为_ 14若(2x)17a0a1(1x)a2(1x)2a17(1x)17，则 a0a1a2a3a16_. 15骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车 的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半 径均为 3， ABE， BEC， ECD 均是边长为 4 的等边三角形 设 点 P 为后轮上的一点， 则在骑动该自行车的过程中，A
8、C BP uuu r uu u r 的最 大值为 16已知二次函数 2 yaxbxc=+(a，b，c均为正数)过点()1,1，值域为)0,+，则 ac 的最 大值为_；实数满足1 b a= ，则取值范围为_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 在ABC中，角CBA,的对边分别为cba,，且AB2=, ac 4 9 = . 在2=a， 13=b ，ABC的面积为 16 399 这三个条件中任选一个，补在上面条件中， 若问题中三角形存在，求ABC的周长；若问题中三角形不存在，说明理由 注：
9、如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，首项 1 1a =， 1 21 nn SS + =+. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 nn bna=，记数列 n b的前n项和为 n T，是否存在正整数n，使得2021 n T =?若存在， 求出n的值；若不存在，说明理由. 19（本小题满分 12 分） 国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017 年发布了生活垃圾分类制度实施方案，规定 46 个 城市在 2020 年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达 35%以上截至 2019 年底，这 46 个重点城市生活垃
10、圾分类的居民小区覆盖率已经接近 70%某市在实施垃圾分类之前，从该市 人口数量在两万人左右的 320 个社区中随机抽取 50 个社区， 对这 50 个社区某天产生的垃圾量 （单 位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过 28 吨/天的确定为“超标”社区： 垃圾量 X 12.5，15.5） 15.5，18.5） 18.5，21.5） 21.5，24.5） 24.5，27.5） 27.5，30.5） 30.5，33.5 频数 5 6 9 12 8 6 4 （1）通过频数分布表估算出这 50 个社区这一天垃圾量的平均值（精确到 0.1）； （2）若该市人口数
11、量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 N（，2），其中 近似为（1）中的样本平均值 ，2近似为样本方差 s2，经计算得 s5.2请利用正态分布知识估计 这 320 个社区中“超标”社区的个数 （3）通过研究样本原始数据发现，抽取的 50 个社区中这一天共有 8 个“超标”社区，市政府决定对 这 8 个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查现计划在这 8 个“超标”社区中任取 5 个先进行跟踪 调查，设 Y 为抽到的这一天的垃圾量至少为 30.5 吨的社区个数，求 Y 的分布列与数学期望 （参考数据：P（X+）0.6827；P（2X+2）0.9545；P（3X+3） 0.9974） 2
12、0（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)4 x 2x 是偶函数，g(x)2 x+1 f(x). （1）若 g(a)2，求 a 的值； （2）设函数 h(x)f(2x)2mg(x)m2m4. 若函数 h(x)有两个零点 x1，x2，且 x10，x21，求 m 的取值范围； 若函数 h(x)在区间1,2上的最小值为 3 2 ，求 m 的值. 21已知函数 f(x) 3sinx cosxsin2x1 2 （1）求 f(x)的最小正周期及其对称轴方程； （2）设函数 g(x)f(x 2 12)，其中常数 0，| 2 ()当 4， 6时，函数 yg(x)4f(x)在 12， 3上的最大值为 3 2
13、，求 的值； ()若函数 g(x)的一个单调减区间内有一个零点2 3 ，且其图象过点 A(7 3 ，1).记函数 g(x) 的最小正周期为 T，试求 T 取最大值时函数 g(x)的解析式 22（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=2cos2xax2 （1）当 a=1 时，求 f(x)的导函数 f (x)在 2, 2上的零点个数； （2）若关于 x 的不等式 2cos(2sinx)a2x2af(x)在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 1 2020-2021 学年第二学期第二次月考学年第二学期第二次月考 高二数学试题高二数学试题答案答案 一、选择题DABCB，DDA，AD，BD，AC
14、，ABD 二、填空题1314；14 17 21 ；1536；16 1 16；2 2 2, + ) 三、解答题 17【解析】若选，由2a，知 2 9 c, 由AB2得AB2sinsin，即AABcossin2sin，即AAabcos4cos2, 在ABC中由余弦定理得：Abccbacos2 222 , 即AAAcos)cos4( 2 9 2 4 81 )cos4(4 2 ，所以 16 13 cos2A， 由 2 , 0 A，故 4 13 cosA ,所以 13cos4Ab , 所以三角形周长为13 2 13 13 2 9 2l 若选，由AB2得AB2sinsin，即AABcossin2sin，即
15、Aabcos2, 而 13b ，所以 Aacos213 ，即 a A 2 13 cos , 在ABC中由余弦定理得：Abccbacos2 222 , 即 a aaa 2 13 13 4 9 2)13( 4 9 2 2 2 ， 即4 2 a ，即2a，所以 2 9 2 4 9 c, 所以三角形周长为13 2 13 13 2 9 2l 若选，由AB2得AB2sinsin,AABcossin2sin，即Aabcos2, 三角形ABC面积 16 399 cossin 4 9 sin 4 9 cos2 2 1 sin 2 1 2 AAaAaAaAbcS 由ac 4 9 ，得ACsin 4 9 sin，而
16、AAAC3sin)2sin(sin, 即AAAAACsin 4 9 2sincos2cossinsin, 而0sin A，即AA 2 cos22cos 4 9 ,所以 4 9 1cos4 2 A，所以 16 13 cos2A， 2 由 2 , 0 A，所以 4 13 cosA ， 4 3 sinA ， 于是 16 399 4 13 4 3 4 9 2 a ，所以4 2 a ，即2a，所以 2 9 2 4 9 c， 所以三角形周长为13 2 13 13 2 9 2l 18【解析】（1）由 1 21 nn SS 知2n 时， 1 21 nn SS 由 1 22 nn aan 在式中令 1212 1
17、212naaaa ， 2 1 2 a a 对任意 * nN，均有 1 2 n n a a ， n a为等比数列， 11 1 22 nn n a （2） 1 2n n bn 01221 1 22 23 21 22 nn n Tnn 1221 21 22 2221 22 nnn n Tnnn 由 121 1 1 2 1 22222212 1 2 n nnnnn n Tnnn ， 即 (1) 21 n n Tn 令1 2120211 22020 nn nn 显然 1 2nn关于n在1n 上， 2 1 2505 n n 当2n 时，显然不成立； 当3n 时，左边为偶数，右边=505 为奇数矛盾，舍去，
18、 故不存在. 19【解析】（1）由频数分布表得：?= 145+176+209+2312+268+296+324 50 22.7622.8 所以这 50 个社区这一天垃圾量的平均值为 22.8 吨 3 （2）由（1）知22.8，s5.2，s5.2， P（X28）P（X+）10.6827 2 0.15865， 3200.1586550.76851，所以这 320 个社区中“超标”社区的个数为 51 （3）由频数分布表知：8 个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为 30.5 吨的社区有 4 个， 所以 Y 的可能取值为 1，2，3，4， P(Y1)C4 1C44 C8 5 = 1 14，P(Y2) C
19、4 2C43 C8 5 = 3 7，P(Y3) C4 3C42 C8 5 = 3 7，P(Y4) C4 4C41 C8 5 = 1 14， 所以 Y 的分布列为： E(Y)1 1 14 + 2 3 7 + 3 3 7 + 4 1 14 = 5 2 20【解析】（1）因为 f(x) 是偶函数，所以4 x 2 x 4 x 2x 对于 xR 恒成立， 化简后得(1)( 2x2 x)0，故10，即1. 所以 f(x)2x2-x，g(x)2x+1f(x)2x2-x， 由 g(a)2 得， 2a2-a2，即 22a22a10， 注意到 2a0，所以 2a 21， 所以 alog2( 21). （2）由（1
20、）得 f(2x)22x2-2x， 所以 h(x)22x2-2x2m(2x2-x)m2m4 (2x2-x)22m(2x2-x)m2m2 令 t2x2-x， 所以 h(x)p(t)t22mtm2m2(t+m)2m2， 因为 t2x2-x在实数集 R 上递增， 所以当 x10 时，相应的 t10，当 x21 时，相应的 t23 2， 因为函数 h(x)有两个零点 x1，x2，且 x10，x21， 所以函数 p(t)t22mtm2m2 有两个零点 t1，t2，且 t10，t23 2， 所以 p(0)m2m20， p(3 2)m 22m1 40， 所以 1m2， 1 3 2 m 3 2 1， 所以1m
21、3 2 1 h(x)p(t)(tm)2m2， Y1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 4 因为 x1,2，所以 3 15 , 2 4 t . 1当m 3 2 时，即 m 3 2 时，p(t)在 3 15 , 2 4 上递增， 所以 p(t)min= 2313 ( )2 242 pmm， 所以 1 2 m 或 5 2 m （舍去）； 2当 3 2 m15 4 时，即15 4 m 3 2 时， p(t)在 3, 2 m 上递减，在 15 , 4 m 上递增， 所以 p(t)min p(m) m2 3 2 ， 所以 7 2 m ； 3当m15 4 时，即 m15 4 时，p(t)在 3
22、15 , 2 4 上递减， 所以 p(t)min= 215131933 () 42162 pmm 所以 13 4 m （舍去）. 综上所述： 1 2 m 或 7 2 m . 21 【解析】 （1）f(x) 3sinx cosxsin2x1 2 3 2 sin2x1 2cos2xsin(2x 6)，所以 T 2 2 ， 由 2x 6 2k，kZ，解得 x 3 k 2 ，kZ， 所以 f(x)的最小正周期为，其对称轴方程为 x 3 k 2 ，kZ. （2）g(x)f(x 2 12)sin(x)，0，| 2 ()当4 时，函数 yg(x)4f(x)sin(4x 6)4sin(2x 6) sin2(2
23、x 6) 24sin(2x 6) cos2(2x 6)4sin(2x 6) 2 sin2(2x 6)4sin(2x 6)1 2 sin(2x 6) 2221 5 因为 x 12， 3，所以 2x 60， 2，所以 sin(2x 6)0，1， 当0 时，当且仅当 sin(2x 6)0，y 有最大值为 1，与已知不符； 当10 时，当且仅当 sin(2x 6)，y 有最大值为 2 21， 由 2213 2，解得 1 2，所以 1 2； 当1 时，当且仅当 sin(2x 6)1，y 有最大值为41， 由413 2，解得 5 8，这与1 相矛盾. 综上所述，1 2. ()因为函数 g(x)的一个单调减
24、区间内有一个零点2 3 ，且其图象过点 A(7 3 ，1)， 所以2 3 2k1，7 3 2k2 2，k 1，k2Z， 两式相减，化简得，32(k2k1) 2，k 1，k2Z，即2n 3 1 6，nZ， 要使 T 取最大值，应该取最小且0， 当 n1 时，取最小值1 2，此时2k 14 3 ，k1Z， 又| 2，所以无答案，舍去. 当 n2 时，7 6，此时2k 116 9 ，k1Z， 又| 2，所以 2 9 ，所以 T 的最大值为12 7 . 所以 T 取最大值时函数 g(x)的解析式为 g(x)sin(7 6x 2 9 ). 22【解析】（1）? = 2(? sin2?)，?0 = 0，所
25、以 x=0 是 f(x)的一个零点. 令 g x = ? sin2? (0 ? ? 2 )，则? = 1 2cos2? = 0 时，? = 6 所以 g(x)在(0, 6 )上单调递减， 在( 6 , 2 )上单调递增， 则gminx = g 6 = 6 3 2 0，所以 g(x)在(0, 2 )上存在唯一零点x0 ( 6 , 2 )， 则? = 2g(x)在(0, 2 )上亦存在唯一零点. 因为? 是奇函数，所以? 在( 2 ,0)上也存在唯一零点x0. 6 （2）不等式 2cos(2sinx)+a2x2af(x)恒成立，即不等式 cos(2sinx) acos2x 恒成立. 令 sinx=
26、t1,1，则等价于不等式 cos2 ta(1t2)(*)恒成立， 若 t2=1，即 t=1 时，不等式(*)显然成立，此时 aR 若1t1 时，不等式(*)等价于 a cos2t 1t2 设 h t = cos2t 1t2 ( 1 t 1)，则当 0t1 时，ht = 2tcos2t 1t2sin2t (1t2)2 ， 令 t = tcos2t 1 t2sin2t(0 t 1)，则t = (2t2 1)cos2t， 2 2 = 0， 4 = 0，且 0 2 2 4 1, t 在 0, 2 2 ,( 4 ,1)上单调递减，在 2 2 , 4 上单调递增， 又 0 = 0， 4 = 2 16 1 0，所以 t 0 在(0,1)上恒成立, 所以 h t 在0,1)上单调递减，则 h t h 0 =1， 显然 h t 为偶函数，故 h t 在-1,1上的最大值为 1，因此 a1 综上所述，满足题意得实数 a 的取值范围为1,+) .
