1、四川省自贡市初四川省自贡市初 2021 届毕业学生考试届毕业学生考试 数学数学 满分:满分:150 分分时间:时间:120 分钟分钟 本试卷分为第本试卷分为第 I 卷(选择题)和第卷(选择题)和第 II 卷(非选择题两部分)卷(非选择题两部分) 第第 I 卷卷 选择题(共选择题(共 48 分)分) 一一.选择题(共选择题(共 12 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 48 分,在每题给出的四个选项中,只有一项是分,在每题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)符合题目要求的) 1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客 8.87 万人次, 人数
2、88700 用科学记数法表示为() A. 5 0.887 10B. 3 8.87 10C. 4 8.87 10D. 3 88.7 10 2.如图是一个正方体的展开图,把展开图叠成小正方体后,有“迎”字一面的向对面上的字是 () A.百B.党C.年D.喜 3.下列运算正确的是() A. 22 541aaB. 23 246 ()a ba bC. 933 aaaD. 222 (2 )4abab 4.下列图形中,是轴对称图形且对称轴条数最多的是() 5.如图,AC 是正五边形 ABCDE 的对角线,ACD 的度数是() A.72B.36C.74D.88 6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况,随机调查
3、了 50 名学生一周参加体育锻炼时间,数 据如下表所示: 人数(人)9161411 时间(小时)78910 这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是() A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,9 7.已知 2 3120,xx则代数式 2 395xx的值是() A.31B.-31C.41D.-41 8.如图,A(8,0) ,C(-2,0) ,以点 A 为圆心,AC 长为半径画弧,交y轴正半轴于点 B,则 点 B 的坐标为() A.(0,5)B.(5,0)C.(6,0)D.(0,6) 9.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I(单位:A)与电阻 R(单位:)是反 比例函
4、数关系,它的图象如图所示,下列说法正确的是() A.函数解析式为 13 I R B.蓄电池的电压是 18V C.当10I A 时,3.6R D.当6R 时,4IA时 10.如图,AB 为O 的直径,弦 CDAB 于点 F,OEAC 于点 E,若 OE=3,OB=5,则 CD 的长度是() A.9.6B.4 5C.5 3D.10 11.如图,在正方形 ABCD 中,AB=6,M 是 AD 边上的一动点,AM:MD=1:2,将BMA 沿 BM 对折至BMN,连接 DN,则 DN 的长是() A. 5 2 B. 9 5 8 C.3D. 6 5 5 12.如图,直线22yx 与坐标轴交于 A、B 两点
5、,点 P 是线段 AB 上的一个动点,过点 P 作y轴的平行线交直线3yx 于点 Q,OPQ 绕点 O 顺时针旋转 45,边 PQ 扫过区 域(阴影部分)面积的最大值是() A. 2 3 B. 1 2 C. 11 16 D. 21 32 第第 II 卷(非选择题卷(非选择题 共共 102 分)分) 二、填空题(共二、填空题(共 6 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 13.请写出一个满足不等式27x的整数解. 14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为 100,其中体育课外活动占 30%,期末考试成绩 占 70%.小彤的这两项成绩依次是 90,80.则小彤这学期的体育
6、成绩是. 15.化简: 2 28 24aa . 16.如图,某学校“桃李餐厅”把 WIFI 密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时,思索了一会儿, 输入密码,顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络,那么她输入的密码是. 17.如图,ABC 的顶点均在正方形网格格点上,只用不带尺度的直尺,作出ABC 角平分 线 BD(不写作法,保留作图痕迹) 18.当自变量13x 时,函数|yxk(k为常数)的最小值为3k ,则满足条件的k 的值为. 三三.解答题(共解答题(共 8 个题,共个题,共 78 分)分) 19.本题满分(8 分) 计算: 0 25| 7| (23) . 20.(本题满分 8 分) 如图,在矩形
7、 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点.求证:DE=BF 21.(本题满分 8 分) 在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部 B 处测得办公楼底部 D 处 的俯角是 53,从综合楼底部 A 处测得办公楼顶部 C 处的仰角恰好是 30,综合楼高 24 米. 请你帮小明求出办公楼的高度(结果精确到 0.1,参考数据 tan370.75,tan531.33,,1.73) 22.(本题满分 8 分) 随着我国科技事业的不断发展,国产无人机大量进入快递行业,现有 A,B 两种型号的无人 机都被用来送快递,A 型机比 B 型机平均每小时多运送 20 件,A 型机运送 700
8、件所有时间 与 B 型机运送 500 件所用时间相等,两种无人机平均每小时分别运送多少快件? 23.为了弘扬爱国主义精神,某校组织了“共和国成就”知识竞赛,将成绩为:A(优秀) 、B (优良) 、C(合格) 、D(不合格)四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩,绘制成 了如下统计图 (1)本次抽样调查的样本容量是,请补全条形统计图; (2)已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格,小李准备随机回访两位竞赛成绩不合 格的同学,请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率; (3)该校共有 2000 名学生,请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数. 24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函
9、数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函 数图象,然后观察分析图象特征,概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验,画出函 数 2 8 4 x y x 的图象,并探究其性质. 列表如下: (1)直接写出表中 a,b 的值,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象; (2)观察函数 2 8 4 x y x 的图象,判断下列关于该函数性质的命题: 当22x 时,函数图象关于直线yx对称; 2x 时,函数有最小值,最小值为-2 11x 时,函数y的值随x的增大而减小. 其中正确的是(请写出所有正确命题的番号) (3)结合图象,请直接写出不等式 2 8 4 4 x x 的解集为. x-4-3-2-101
10、234 y8 5 24 13 a8 5 0b-224 13 8 5 25.(本题满分 12 分) 如图,点 D 在以 AB 为直径的O 上,过 D 作O 的切线交 AB 的延长线于点 C,AECD 于点 E,交O 于点 F,连接 AD,FD. (1)求证:DAE=DAC; (2)求证:DFAC=ADDC; (3)若 sinC= 1 4 ,AD=4 10,求 EF 的长. 26.(本题满分 14 分) 如图,抛物线(x 1)(x a)y (其中1a )与x轴交于 A、B 两点,交y轴于点 C. (1)直接写出OCA 的度数和线段 AB 的长(用 a 表示) ; (2)若点 D 为ABC 的外心,
11、且BCD 与ACO 的周长之比为10 :4,求此抛物线的 解析式; (3)在(2)的前提下,试探究抛物线(x 1)(x a)y 上是否存在一点 P,使得 CAP=DBA?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案与解析参考答案与解析 一一.选择题(共选择题(共 12 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 48 分,在每题给出的四个选项中,只有一项是分,在每题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)符合题目要求的) 1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客 8.87 万人次, 人数 88700 用科学记数法表示为() A. 5 0
12、.887 10B. 3 8.87 10C. 4 8.87 10D. 3 88.7 10 【解析】科学记数法表示为 a 10N,其中 1|a|10,故答案为 C 2.如图是一个正方体的展开图,把展开图叠成小正方体后,有“迎”字一面的向对面上的字是 () A.百B.党C.年D.喜 【解析】根据正方体展开图可得,“迎”与“党”相对,故答案为 B 3.下列运算正确的是() A. 22 541aaB. 23 246 ()a ba bC. 933 aaaD. 222 (2 )4abab 【解析】A 正确答案为?,B 选项正确,C 选项答案为?,D 选项为? ? ?,故答 案为 B 4.下列图形中,是轴对称
13、图形且对称轴条数最多的是() 【解析】A 选项,对称轴 1 条,B 选项和 C 选项为中心对称图形,D 选项对称轴两条,故答 案为 D 5.如图,AC 是正五边形 ABCDE 的对角线,ACD 的度数是() A.72B.36C.74D.88 【 解析 】正 5 边 形每 一个 内角 为 (n 2)180 108 n , AB=BC ,ACB=36, ACD=72,故答案为 A 6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况,随机调查了 50 名学生一周参加体育锻炼时间,数 据如下表所示: 人数(人)9161411 时间(小时)78910 这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是() A.16,
14、15B.11,15C.8,8.5D.8,9 【解析】众数是出现次数最多的数,故众数为 8,中位数即将数据排序后,中间两个数(8 和 9)的平均数 8.5,故答案为 C 7.已知 2 3120,xx则代数式 2 395xx的值是() A.31B.-31C.41D.-41 【解析】 222 3 =12393639531xxxxxx ,故答案为 B 8.如图,A(8,0) ,C(-2,0) ,以点 A 为圆心,AC 长为半径画弧,交y轴正半轴于点 B,则 点 B 的坐标为() A.(0,5)B.(5,0)C.(6,0)D.(0,6) 【解析】AB=AC=10,AO=8,在 RtAOB 中,根据勾股定
15、理可得 OB=6,故 B(0,6) ,故 答案为 D 9.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I(单位:A)与电阻 R(单位:)是反 比例函数关系,它的图象如图所示,下列说法正确的是() A.函数解析式为 13 I R B.蓄电池的电压是 18V C.当10I A 时,3.6R D.当6R 时,4IA时 【解析】 函数解析式为 36 y x 故 A 选项错误, 蓄电池电压是4 9=36V, D 选项, 当6R 时,6IA ,故答案为 C 10.如图,AB 为O 的直径,弦 CDAB 于点 F,OEAC 于点 E,若 OE=3,OB=5,则 CD 的长度是() A.9.6B.4 5C.5
16、 3D.10 【解析】在 RtACF 中,sinBAC=? ?,在 RtAOE 中,sinBAC= ?t ? ? ? ?,故 CD 的长度 为? ? ? ?,故答案为 A 11.如图,在正方形 ABCD 中,AB=6,M 是 AD 边上的一动点,AM:MD=1:2,将BMA 沿 BM 对折至BMN,连接 DN,则 DN 的长是() A. 5 2 B. 9 5 8 C.3D. 6 5 5 【解析】过 N 作直线AB,交 AD 于 H,交 BC 于 G,由翻折性质可知AMBNMB, BNM=90,进而可得MNHNBG,? ? ? ? ?t= 1 ?,设 NH=y,则 BG=3y,MH=3y-2,
17、在 RtMHN 中,? ? ?,? ? ? ?,y ? ? ?,DH=CG= 1? ? ,在 RtDNH 中,? ? ? ?,DN ? ? ? ? ,故答案为 D 12.如图,直线22yx 与坐标轴交于 A、B 两点,点 P 是线段 AB 上的一个动点,过点 P 作y轴的平行线交直线3yx 于点 Q,OPQ 绕点 O 顺时针旋转 45,边 PQ 扫过区 域(阴影部分)面积的最大值是() A. 2 3 B. 1 2 C. 11 16 D. 21 32 【解析】由旋转性质可知,该阴影部分的的面积等于以 OQ 为大圆半径 R,OP 为小圆半径 r 且圆心角为 45的扇形环的面积, 即?阴影=?环=?
18、 ? ? ? , 由题意可得, ? ? ? ? ? ? ? ?=? ? ? ? ?, 且 0 ? 7 ?,故答案很多,最小整数为 6,只需填 6 以上整数即可,答案不唯一 14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为 100,其中体育课外活动占 30%,期末考试成绩 占 70%.小彤的这两项成绩依次是 90,80.则小彤这学期的体育成绩是. 【解析】加权平均数计算方法为 9030%+8070%=83,故答案为 83 15.化简: 2 28 24aa . 【解析】? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,故答案为 ? ? 16.如图,某学校“桃李餐厅”把 WIFI 密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时,
19、思索了一会儿, 输入密码,顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络,那么她输入的密码是. 【解析】根据观察 a b6=ac, bc,c(a+b)运算的结果进行的顺序排列,故密码为 244872. 17.如图,ABC 的顶点均在正方形网格格点上,只用不带尺度的直尺,作出ABC 角平分 线 BD(不写作法,保留作图痕迹) 【解析】根据网格图,可算出 AB=5,所以在 BC 延长线上取长度为 5 的格点 D,连接 AD, E 为 AD 中点,利用等腰三角形三线合一的性质可推出 BE 即为ABC 的角平分线 18.当自变量13x 时,函数|yxk(k为常数)的最小值为3k ,则满足条件的k 的值为. 【解析】
20、当 k3 时,x=3 时函数取得最小值,k-3=k+3,不成立,当 k-1 时,x=-1 取得最 小值,此时-k-1=k+3,k=-2 满足题意,当-1k3 时,x=k 时取得最小值,k+3=0,k=-3 不满足题意,综上所述,k=-2 三三.解答题(共解答题(共 8 个题,共个题,共 78 分)分) 19.本题满分(8 分) 计算: 0 25| 7| (23) . 【解析】5-7+1=-1 20.(本题满分 8 分) 如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点.求证:DE=BF 【解析】证明:四边形 ABCD 为矩形,DCAB 且 DC=AB, E、F 分别为 AB、CD
21、 的中点,BE=1 ?AB,DF= 1 ?CD,DFBE 且 DF=BE,四边形 EBFD 为平行四边形,DE=BF. 21.(本题满分 8 分) 在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部 B 处测得办公楼底部 D 处 的俯角是 53,从综合楼底部 A 处测得办公楼顶部 C 处的仰角恰好是 30,综合楼高 24 米. 请你帮小明求出办公楼的高度(结果精确到 0.1,参考数据 tan370.75,tan531.33,,1.73) 【解析】在 B 处测得 D 处的俯角为 53,BDA=53,在 RtBAD 中,tanBDA=? ?, AD ? ? ?,在 RtCAD 中,tanCA
22、D= ? ?,且CAD=30,CD ? AD ? 24 10.4 3tan53 CD 米 22.(本题满分 8 分) 随着我国科技事业的不断发展,国产无人机大量进入快递行业,现有 A,B 两种型号的无人 机都被用来送快递,A 型机比 B 型机平均每小时多运送 20 件,A 型机运送 700 件所有时间 与 B 型机运送 500 件所用时间相等,两种无人机平均每小时分别运送多少快件? 【解析】设 B 型机每小时运送 x 件,则 A 型机每小时运送 x+20 件 根据题意可得 700 ?0 ? ?00 ? ,解之可得 x ? ?0,经检验 x ? ?0 是方程的根,也符合实际意义, A 型机每小时
23、运送 70 件,B 型机每小时运送 50 件 23.为了弘扬爱国主义精神,某校组织了“共和国成就”知识竞赛,将成绩为:A(优秀) 、B (优良) 、C(合格) 、D(不合格)四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩,绘制成 了如下统计图 (1)本次抽样调查的样本容量是,请补全条形统计图; (2)已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格,小李准备随机回访两位竞赛成绩不合 格的同学,请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率; (3)该校共有 2000 名学生,请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数. 【解析】 (1)100,补全图形如下: (2)作出树状图如下所示: 随机回访两位竞赛成绩合
24、格的同学共 20 种情况, 其中一男一女共 12 种情况, 所以恰好回访 到一男一女的概率为1? ?0 ? ? ? (3)20000.35=700 人,估计该校竞赛成绩“优秀”人数为 700 人 24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函 数图象,然后观察分析图象特征,概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验,画出函 数 2 8 4 x y x 的图象,并探究其性质. 列表如下: (3)直接写出表中 a,b 的值,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象; (4)观察函数 2 8 4 x y x 的图象,判断下列关于该函数性质的命题: 当22x 时,函数
25、图象关于直线yx对称; 2x 时,函数有最小值,最小值为-2 11x 时,函数y的值随x的增大而减小. 其中正确的是(请写出所有正确命题的番号) x-4-3-2-101234 y8 5 24 13 a8 5 0b-224 13 8 5 (3)结合图象,请直接写出不等式 2 8 4 4 x x 的解集为. 【解析】 (1)作出函数图象如图所示 (2) (3)将不等式 2 8 4 x x x 两边同时乘以-1 可得 2 8 4 x x x 可得不等式的解集为 2x 或02x 25.(本题满分 12 分) 如图,点 D 在以 AB 为直径的O 上,过 D 作O 的切线交 AB 的延长线于点 C,AE
26、CD 于点 E,交O 于点 F,连接 AD,FD. (4)求证:DAE=DAC; (5)求证:DFAC=ADDC; (6)若 sinC= 1 4 ,AD=4 10,求 EF 的长. 【解析】 (1)连接 OD,DC 为O 的切线,ODCD,即ODC=90 AECD,AED=90,AED=ODC=90,AEOD,ODA=DAE 又OD=OA=r,ODA=DAC,DAE=DAC (2)证明:连接 BD,设DAE=,又(1)可知CAD=DAE=,AB 为O 的直径, ADB=90,在 RtADB 中,BAD+ABD=90,ABD=90-, 又四边形 ABDF 为O 的内接四边形,AFD+ABD=18
27、0,AFD=90+ CDO=90,ADC=90+ 在AFD 和ADC 中有AFD=ADC,FAD=DAC,AFDADC ? ? ? ? ?,即 DFAC=ADDC (3)设 OD=x,在 RtCOD 中 sinC=1 ?,OC=4x,根据勾股定理可得 CD= 1?, OA、 OB、 OD 均为O 的半径, OA=x, ODAE, CODCAE, ? ?t ? ? ? ? ? ?t, AE=? ? ?,CE ? ? 1? ? ?,故 DE ? 1? ? ?. 由(2)可知AFDADC,? ? ? ? ?,且 AD ? ? 10,可得 AF ? ? ? 在 RtADE 中,?t? ?t? ?,?
28、1? ? ? 1? 1? ? ? 1?0,? ? AF ? ? ? =4,AE ? ? ? ?=10,EF=AE-AF=10-4=6 26.(本题满分 14 分) 如图,抛物线(x 1)(x a)y (其中1a )与x轴交于 A、B 两点,交y轴于点 C. (4)直接写出OCA 的度数和线段 AB 的长(用 a 表示) ; (5)若点 D 为ABC 的外心,且BCD 与ACO 的周长之比为10 :4,求此抛物线的 解析式; (6)在(2)的前提下,试探究抛物线(x 1)(x a)y 上是否存在一点 P,使得 CAP=DBA?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)A
29、(a,0) ,C(0,-a) ,可得 OC=OA=a,AOC 为等腰直角三角形,OCA=45, AB=a+1. (2)D 为ABC 的外心,BAC 为D 中弧 BC 所对的圆周角,BDC 为弧 BC 所对 圆 心 角 , BDC=2BAC=90 , BDC 和 AOC 均 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 故 BCDACO BCD 与ACO 的周长之比等于相似比,记D 半径为 R,? ? ? 10 ? ,R ? 10 ? a 在等腰直角BCD 中,BC ?1 ? a?,且 BC ?R,R ? 1?a? ? 1?a? ? = 10 ? a,解得? ?,又 a 1,a=2, ,故二次函数的解析式
30、为 y ? x? x ? ? (3)当 P 在 AC 下方时,CBD=CAD=45,且CAP=DBA,PAO=CBO. tanCBO=2,作 PFx 轴于 F,2 PF AF ,设 AF=m,则 PF=2m,(2, 2 )Pmm代 入二次函数可得1m,(1, 2)P 当 P 在 AC 上方时,作(1, 2)关于直线2yx对称点(0, 1)M,直线 AM 的方程为 1 1 2 yx, 联立 1 1 2 (1)(2) yx yxx 得 12 1 2, 2 xx , 此时 P 点横坐标为 1 2 , 将 1 2 代入抛物线可得,P 点纵坐标为 5 4 ,所以此时 P 15 (,) 24 综上所述,存在 P 点的坐标为(1, 2)和 15 (,) 24