1、概率论与数理统计（经管类）公式 1 概率论与数理统计(经管类 )公式 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称表达式 交换律ABBABAAB 结合律CBACBACBA)()(ABCBCACAB)()( 分配律ACABCBA)()()(CABABCA 德摩根律BABABAAB 2、概率的定义及其计算 公式名称公式表达式 求逆公式)(1)(APAP 加法公式)()()()(ABPBPAPBAP 条件概率公式 )( )( )( AP ABP ABP 乘法公式)()()(ABPAPABP)()()(BAPBPABP 全概率公式 n i iiABPAPBP 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆
2、概率公式） 1 )()( )()( )( i ij jj j ABPAP ABPAP BAP 伯努力概型公式nkppCkP knkk nn , 1, 0,)1()( 两件事件相互独立相 应公式 )()()(BPAPABP；)()(BPABP；)()(ABPABP；1)()(ABPABP； 1)()(ABPABP 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(bFbXP)()()(aFbFbXaP 2、离散型随机变量 分布名称分布律 01 分布), 1(pB1 ,0,)1()( 1 kppkXP kk 二项分布),(pnB nkppCkXP knkk n , 1, 0,)1()( 概率论与数理
3、统计（经管类）公式 2 泊松分布)(P , 2, 1, 0, ! )(k k ekXP k 几何分布)( pG ,2, 1, 0,)1()( 1 kppkXP k 超几何分布),(nMNH),min(, 1,)(Mnllk C CC kXP n N kn MN k M 3、连续型随机变量 分布名称密度函数分布函数 均匀分布),(baU 其他, 0 , 1 )( bxa ab xf bx bxa ab ax ax xF , 1 , ,0 )( 指数分布)(E 其他,0 0, )( xe xf x 0,1 0,0 )( xe x xF x 正态分布),( 2 Nxexf x 2 2 2 )( 2
4、1 )( x t texFd 2 1 )( 2 2 2 )( 标准正态分布)1 ,0(N xex x 2 2 2 1 )( x t texFd 2 1 )( 2 2 2 )( 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 jj ijjiii pyYxXPxXPp),()( ii ijjijj pyYxXPyYPp),()( 2、离散型二维随机变量条件分布 2, 1, )( ),( )(i P p yYP yYxXP yYxXPp j ij j ji jiji 2, 1, )( ),( )(j P p xXP yYxXP xXyYPp i ij i ji ijij 3、连续型二维随机
5、变量( X ,Y )的分布函数 xy dvduvufyxF),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数： x X dvduvufxF),()(密度函数：dvvxfxfX),()( y Y dudvvufyF),()(duyufyfY),()( 5、二维随机变量的条件分布 y xf yxf xyf X XY , )( ),( )(x yf yxf yxf Y YX , )( ),( )( 四、随机变量的数字特征 1、数学期望 离散型随机变量： 1 )( k kk pxXE 连续型随机变量： dxxxfXE)()( 概率论与数理统计（经管类）公式 3 2、数 学期望的性
6、质 (1)为常数C,)(CCE)()(XEXEE)()(XCECXE (2)()()(YEXEYXEbXaEbaXE)()()()()( 1111nnnn XECXECXCXCE (3) 若 XY相互独立则：)()()(YEXEXYE (4)()()( 222 YEXEXYE 3、方差：)()()( 22 XEXEXD 4、方差的性质 (1)0)(CD0)(XDD)()( 2 XDabaXD 2 )()(CXEXD (2),(2)()()(YXCovYDXDYXD若 XY相互独立则：)()()(YDXDYXD 5、协方差：(,)()()( )Cov X YE XYE X E Y若 XY相互独立
7、则：0),(YXCov 6、相关系数： )()( ),( ),( YDXD YXCov YXXY若 XY相互独立则：0XY即 XY不相关 7、协方差和相关系数的性质 (1)(),(XDXXCov),(),(XYCovYXCov (2),(),(),( 2121 YXCovYXCovYXXCov),(),(YXabCovdbYcaXCov 8、常见数学分布的期望和方差 分布数学期望方差 0-1 分布), 1 (pBp)1 (pp 二行分布),(pnBnp)1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)( pG p 1 2 1 p p 超几何分布),(nMNH N M n 1 )1 ( N mN N M
8、N M n 均匀分布),(baU 2 ba 12 )( 2 ab 正态分布),( 2 N 2 指数分布)(E 1 2 1 五、大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 概率论与数理统计（经管类）公式 4 若,)(,)( 2 XDXE对于任意0有 2 )( )( XD XEXP或 2 )( 1)( XD XEXP 2、大数定律： 若 n XX1相互独立且n时， n i i D n i i XE n X n 11 )( 11 (1) 若 n XX1相互独立， 2 )(,)( iiii XDXE且M i 2 则： n i i P n i i nXE n X n 11 )(),( 11 (2) 若
9、n XX1相互独立同分布，且 ii XE)(则当 n时： P n i i X n 1 1 3、中心极限定理 (1) 独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为0 2 的独立同分布时，当n 充分大时有： )1 , 0( 1 N n nX Y n k k n (2) 拉普拉斯定理：随机变量),()2, 1(pnBn n则对任意 x 有： x t n x xdtex pnp np P)( 2 1 )1( lim 2 2 (3) 近似计算：)()()()( 1 1 n na n nb n nb n nX n na PbXaP n k k n k k 六、数理统计 1、总体和样本 总体 X 的分布函数)(
10、xF样本),( 21n XXX的联合分布为)(),( 1 21k n k n xFxxxF 2、统计量 (1) 样本平均值： n i i X n X 1 1 (2)样本方差： n i i n i i XnX n XX n S 1 2 2 1 22 )( 1 1 )( 1 1 (3) 样本标准差： n i i XX n S 1 2 )( 1 1 (4)样本 k 阶原点距： 2, 1, 1 1 kX n A n i k ik (5) 样本 k 阶中心距： n i k ikk kXX n MB 1 3, 2,)( 1 (6) 次序统计量：设样本),( 21n XXX的观察值),( 21n xxx，将
11、 n xxx 21, 按照由小到大的次序重新排列， 得到 )()2()1(nxxx ， 记取值为 )(ix 的样本分量为 )(iX ， 则称 )()2()1(nXXX 为样本),( 21n XXX的 次序统计量。),min( 21)1(n XXXX为最小次序统计量；),max( 21)(nn XXXX为最大次序统计量。 3、三大抽样分布 概率论与数理统计（经管类）公式 5 (1) 2 分 布 ： 设 随 机 变 量 n XXX 21, 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布) 1 ,0(N， 则 随 机 变 量 22 2 2 1 2 n XXX所服从的分布称为自由度为n 的
12、 2 分布，记为)( 22 n 性质：nnDnnE2)(,)( 22 设)(),( 22 nYmX且相互独立，则)( 2 nmYX (2) t分布： 设随机变量 )(),1 , 0( 2 nYNX，且 X与 Y独立， 则随机变量： nY X T所服从的分布称为自 由度的 n的 t 分布，记为)(ntT 性质：)2( , 2 )(, 0)(n n n ntDntE 2 2 2 )( 2 1 ) 1 ,0()(lim x n eNnt (3) F 分布： 设随机变量)(),( 2 2 1 2 nVnU，且 U 与 V 独立，则随机变量 2 1 21 ),( nV nU nnF所服从的分布 称为自由
13、度),( 21 nn 的F分布，记为 ),( 21 nnFF 性质：设),(nmFX，则),( 1 mnF X 七、参数估计 1、参数估计 (1) 定义：用),( 21n XXX估计总体参数，称),( 21n XXX为的估计量，相应的),( 21n XXX为 总体的估计值。 (2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法： （总体矩 =样本矩） 离散型样本均值： n i i X n XEX 1 1 )(连续型样本均值：dxxxfXEX),()( 离散型参数： n i i X n XE 1 221 )( 3、点估计中的最大似然估计 最大似然估计法： n XXX, 21 取自 X 的样本，设)()(),(PXXPxfX i 或 则可得到概率密度： )()(),( ),(),( 11 21 1 21 n i i n i inn n i in PxXPxXXXXPxfxxxf或 基本步骤： 似然函数： )( ),()( 11 n i i n i i PxfL或 取对数： n i iXfL 1 ),(lnln 解方程 ：0 ln ,0 ln 1k LL 最后得：),(,),( 2121 11 n kk n xxxxxx
