1、概率论与数理统计(经管类)公式 1 概率论与数理统计( (经管类)公式 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称表达式 交换律A+B = B+A AB = BA 结合律(A +B) +C =A+(B +C)=A+B +C (AB)C =A(BC) =ABC 分配律A(B土C) =AB土ACA+(BC)=(A+B)(A+C) 德摩根律 A+B=ABAB=A+B 2、概率的定义及其计算 公式名称公式表达式 求逆公式P(A) =1 _ P(A) 加法公式P(A +B) =P(A) +P(B) _P(AB) 条件概率公式 P(B|A)=P(AB) 1 P(A) 乘法公式P(AB) =P(A
2、)P(B|A)P(AB) = P(B)P(AB) 全概率公式 n P(B)二送 P(A)P(B|Ai) i=1 贝叶斯公式 (逆概率公式) P(Aj)P(BAj) P(Aj囘 Z P(Aj)P(BA) im 伯努力概型公式 Pn(k)=C；pk(1 p)Z,k =0,1,n 两件事件相互独立相 应公式 P(AB) =P(A)P(B)；P(B A)=P(B)；P(B A) = P(BN) ；P(B A)+P(冃 N) = 1 ；P(B|A)+P(BN)=1 、随机变量及其分布 1、分布函数性质 P(X 5) =F(b) P(a：X b) = F(b) F(a) 2、离散型随机变量 分布名称分布律
3、 0 - 1 分布B(1,p)P(X =k) = pk(1-p)1，k=0,1 二项分布 B(n,p) P(X =k)=C：pk(1 p)z, k = 0,1，n 概率论与数理统计(经管类)公式 2 泊松分布 P(k) k P(X=k)=e4；, k = 0,1,2，k! 几何分布G(p) P(X =k)=(1p/p, k= 0,1,2；八 超几何分布H(N,M, n)P(X _k) _CMCnNJM,k_l,l+1，,min(n,M)CN 3、连续型随机变量 分布名称密度函数分布函数 均匀分布U(a,b)f(g -, a ex cb b a 、0,其他 F(x) = 0, x ca xa,a
4、 Mxcb ba 1,xb 指数分布EpOf(X) 扎 efXA0 、0,其他 F(x)= 0,x c0 1-e-x,xK0 2 正态分布N(巴) 1(xf)2 f (x) = ._ e2*-oc x +=c V2n er 1 xz)2 F(x)=-； f e 右 d t V2ncr 标准正态分布N(0,1) x2 1 - 申(x)e 2 悶彳兰母 V2n (t_32 F(x)= / ed t V 2ncr S 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 Pi尸 P(X=x)=：ZP(X=Xi，Y=yj)=：ZPijpj=P(Y=yj)=J：P(X =人,Y = y)=瓦Pj j
5、jii 2、离散型二维随机变量条件分布 Xy 3、 连续型二维随机变量(X ,Y )的分布函数F(x, y)f(u,v)dvdu 5、二维随机变量的条件分布 X, -*：】-be FX(x) 二f(u,v)dvdu密度函数：fx(x)二f (x,v)dv 3- TCI y:bo FY(y)f (u, v)dudvfY(y)二f(u,y)du 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数: pi j =P(X=XjY=yj) P(Y=yj)Pj Pj i = P(丫 y j X =Xj)= P(X=：Xi，Y =yj) P(X =Xj) fYX(yX)r y fxY(xy) 概率论
6、与数理统计(经管类)公式 3 四、随机变量的数字特征 -be E(X)八XkPk kW连续型随机变量: 2、数学期望的性质 (1)E(C) =C,C为常数EE(X) =E(X) E(CX) =CE(X) E(X _Y) =E(X) _E(Y)E(aX _b) =aE(X) _b EGX1 CnX.)二C*(X1厂CnE(Xn) 若 XY 相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y) (4)E(XY)2_E2(X)E2(Y) 3、方差：D(X) =E(X 2) _E2(X) 4、方差的性质 2 2 (1)D(C) =0 DD(X) =0D(aX _b)二a D(X) D(X) : E(X -C)
7、(2)D(X _Y) =D(X) D(Y) _2Cov(X,Y)若 XY 相互独立则：D(X _Y) =D(X) D(Y) 5、 协方差：Cov(X,Y) =E(XY) -E(X)E(Y)若 XY 相互独立则：Cov(X,Y) =0 6、 相关系数：二“X,Y)二 COV(X,Y) 若 XY 相互独立则：=0即 XY 不相关 JD(X&D(Y) 7、协方差和相关系数的性质 (1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y) =Cov(Y, X) (2)Cov(X1X2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c, bY d)二abCov(X,Y) 8、常见数学分布的期望
8、和方差 分布数学期望方差 0-1 分布B(1, p)pp(1 p) 二行分布B(n, p)npnp(1 p) 泊松分布PQJ扎 & 几何分布G(p) 1 p 1 P 2p 超几何分布H(N,M, n) M n N M “ M、N -m nNN)N-1 均匀分布U (a,b) a +b 2 (b-a)2 12 1、数学期望 离散型随机变量: E(X ) = xf (x)dx 概率论与数理统计(经管类)公式 4 正态分布N(P,b2)4亍 指数分布E(打1 7 1 九 2 五、大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 若E(X)i,D(X)y2,对于任意.0有PX _E(X) _ )或P X _
9、E(X) J _1 nn 2、大数定律：若X Xn相互独立且n：时，丄 XjDE(Xi) n苍 1 n 1 n (1)若X Xn相互独立，E(Xi)=.，D(Xi)=：；i2且Ci2 M贝y：、XiPvE(Xi),( n_. ) n i二 n i二 1 “P 若X1Xn相互独立同分布，且E(Xi)=R则当nT旳时：一瓦Xi-、 n y 3、中心极限定理 (1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为c20的独立同分布时，当 n 充分大时有: n Xk -ni Yn =-N(0,1) .n； 拉普拉斯定理： 随机变量n(n =1,2)B( n,p)则对任意x有: t2 jnpx1 lim P兰
10、x = J 2dt =Q(x) J：，/np(1-p)二.2 二 n (3)近似计算： nXk-n P(a 竺 Xk兰 b)=P(罕叫 z 厂屮)4(护)q(护 k 1, n；二non；二.n；. n；二 六、数理统计 1、总体和样本 n 总体 X 的分布函数F(X)样本(X1，X2Xn)的联合分布为 F(X1，X2Xn)：I 丨 F(Xk)k=i 2、统计量 nn 212122 nS -2：(XiX)2x (X2-nx ) (1)样本平均值: x =丄无 Xi(2)样本方差： n 1 7 n 1 y n y 1 1 J21 丁 k SX (XiX)Ak瓦 Xik,k 1,2 (3)样本标准差
11、: 汕 7(4)样本 k 阶原点距： n7 1 *k Bk=Mk=-送(XiX)k,k=2,3 样本 k 阶中心距： 11 心 概率论与数理统计(经管类)公式 5 (6)次序统计量: 设样本(X1，X2Xn)的观察值(X1，X2Xn)，将XX?X.按照由小到大的次序重新排列, 得到x(1)乞x(2)-X(n)，记取值为X(i)的样本分量为X(i),则称X(1) X (2) _-X(n)为样本(X1,X Xn)的 次序统计量。X(1)=rnin(X1，X2Xn)为最小次序统计量；X(n)=max(X1,X Xn)为最大次序统计量。 3、三大抽样分布 (1)2分布：设随机变量X-X2Xn相互独立，
12、且都服从标准正态分布N(0,1),则随机变量 XfX2X2所服从的分布称为自由度为n 的 2分布，记为22(n) 性质：E 2(n)二 n ,D 2(n) =2n 设X2(m),Y 2(n)且相互独立，则 X Y 2(m - n) t 分布：设随机变量X N(0,1),Y 2(n)，且 X 与 Y 独立，则随机变量：T =：亍入 所服从的分布称为自 吋丫n 由度的 n 的 t 分布，记为T t(n) (x#n12 性质： Et(n)=0,Dt(n), (n 2) lim t(n)=N(0,1)：e 2- n 2V2n F 分布：设随机变量u2(n1),V 2(n2)，且 U 与 V 独立，则随
13、机变量 Fg, n?)=吐 所服从的分布 V门2 称为自由度gm)的F分布，记为FF(门胡?) 1 性质：设X F(m,n)，则一F(n,m) X 七、参数估计 1、参数估计 (1)定义：用 WX1,X2, Xn)估计总体参数 R 称二(X1,X2，Xn)为二的估计量，相应的 二区化，X.)为 总体二的估计值。 (2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、 点估计中的矩估计法：(总体矩=样本矩) 1 n -be 离散型样本均值：X =E(X) =-7 Xi连续型样本均值：X =E(X)xf(x,旳 dx n ya 1 n 离散型参数：E(X2)=丄 7 Xj2 n i二 3、点估计中的最大似然估计 最大似然估计法：X1,X2，Xn取自 X 的样本，设X f(Xd)或P(X =XJ =P(P则可得到概率密度： nnn f(X1,X2, Xn,E：|f(XjC)或 P(X =X1,X2, Xn二 Xn)二；P(X 二 Xj)=： R(d) i 1i =1i =1 基本步骤: 似然函数: nn L佝=口 f(Xi,e)畑 pg) i Ji d 概率论与数理统计(经管类)公式 6 取对数： n ln L =為 In f(Xi,R i =1 解方程： 巧=0, ,Q =0最后得：31(X1,X2, Xn),k -)k(X1,X2, X*)
