1、解析几何压轴大题专题突破解析几何压轴大题专题突破 1. 已知命题 ? ：方程 ? ? ? ? ? ? ? 表示焦点在 ? 轴上的椭圆，命题 ?：双曲线 ? ? ? ? ? ? ? 的离心率 ? ? ? ? ? ? ，若命题 ?，? 中有且只有一个为真命题，求 实数 ? 的取值范围. 2. 在直角坐标系 ?t? 中，曲线 ?的参数方程为 ? ?cos? ? ? sin? （? 为参数），以 坐标原点为极点，以 ? 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ?的极坐标 方程为 ?sin ? ? ? ? ? ? （1）写出 ?的普通方程和 ?的直角坐标方程； （2）设点 ? 在 ?上，点 ? 在 ?上，
2、求 ? 的最小值及此时 ? 的直角坐标 3. 在直角坐标系 ?t? 中，直线 ? ? ?，圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，以坐 标原点为极点，? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 ?，?的极坐标方程； （2）若直线 ?的极坐标方程为 ? ? ? ? ? ? ，设 ?与 ?的交点为 ?，?， 求 ? ? 的面积 4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 ? ? ?，直线 ? 与抛物线相交于不同的 ?，? 两点 （1）求抛物线的标准方程； （2）如果直线 ? 过抛物线的焦点，求 t? ? ? ? t? ? ? 的值； （3）如果 t? ? ? ? t?
3、 ? ? ? ?，直线 ? 是否过一定点，若过一定点，求出该定点； 若不过一定点，试说明理由 5. 已知抛物线 ? ? ? ? ? 与直线 ? ? ? ? ? ? 相切 （1）求该抛物线的方程； （2）在 ? 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 ?，过该点的动直线 ? 与抛物 线 ? 交于 ?，? 两点，使得 ? ? ? ? ? 为定值如果存在，求出点 ? 坐标； 如果不存在，请说明理由 6. 在平面直角坐标系 ?t? 中，动点 ? 的坐标为 ? ? ?sin?cos? ? ? ，其中 ? ? ?在极坐标系（以原点 t 为极点，以 ? 轴非负半轴为极轴）中，直线 ? 的方 程为 ?cos ? ?
4、 ? ? ? （1）判断动点 ? 的轨迹的形状； （2）若直线 ? 与动点 ? 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数 ? 的值 7. 在平面直角坐标系 ?t? 中，已知椭圆 ?：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的离心率为 ? ? 且过点 ? ? ? （1）求椭圆 ? 的方徎； （2）动点 ? 在直线 ?：? ? ? ? 上，过 ? 作直线交椭圆 ? 于 ?，? 两点，使 得 ? ? ?，再过 ? 作直线 ? ?，直线 ? 是否恒过定点，若是，请求 出该定点的坐标；若否，请说明理由 8. 在平面直角坐标系 ?t? 中，? ? ? ? ? ? h ? ? （? 为参数）以原点 t
5、为极点， ? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ? ?cos? ? ?sin? ? ? ? ? （1）求 ?的普通方程及 ?的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 ?，? 分别为 ?，?上的动点，且 ? 的最小值为 ?，求 h 的值 9. 设 ?，?分别是椭圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的左，右焦点，? 是 ? 上一点 且 ?与 ? 轴垂直直线 ?与 ? 的另一个交点为 ? （1）若直线 ? 的斜率为 ? ?，求 ? 的离心率； （2）若直线 ? 在 ? 轴上的截距为 ?，且 ? ? ? ? ，求 ?，? 10. 已知抛物线 ? ? ? ? ?
6、，直线 ? ? h? ? ? 与 ? 交于 ?，? 两点，且 t? ? ? ? t? ? ? ? ?，其中 t 为原点 （1）求抛物线 ? 的方程； （2）点 ? 坐标为 ? ? ，记直线 ?，? 的斜率分别为 h?，h?，证明： h? ? ? h? ? ? ?h?为定值 11. 已知椭圆的一个顶点为 ? ? ? ? ，焦点在 ? 轴上若右焦点到直线 ? ? ? ? ? ? ? ? 的距离为 ? （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线 ? ? h? ? h ? ? 相交于不同的两点 ?，?当 ? ? ? 时，求 ? 的取值范围 12. 双曲线 ? 与椭圆 ? ? ? ? ? ? ? 有相同的
7、焦点，直线 ? ? 为 ? 的一条渐近 线求双曲线 ? 的方程 13. 已知不过第二象限的直线 ? ? ? ? ? ? 与圆 ? ? ? ? ? ? ? 相切 （1）求直线 ? 的方程； （2）若直线 ?过点 ? ? ? 且与直线 ? 平行，直线 ?与直线 ?关于直线 ? ? ? 对称，求直线 ?的方程 14. 在直角坐标系 ?t? 中，圆 ? 的参数方程 ? ? ? ? cos? ? ? sin? （? 为参数）以 t 为极点，? 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 ? 的极坐标方程； （2）直线 ? 的极坐标方程是 ? sin? ?cos? ? ? ?，射线 t?：? ? ? 与圆
8、 ? 的交点为 t，?，与直线 ? 的交点为 ?，求线段 ? 的长 15. 双曲线与椭圆有共同的焦点 ? ? ? ，? ，点 ? ? 是双曲线的渐近 线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程 16. 在抛物线 ? ? ?上有一点 ?，若点 ? 到直线 ? ? ? ? 的距离最短，求该 点 ? 坐标和最短距离 17. 已知函数 ? ? ? ?（? ? ?，且 ? ? ?）的图象恒过定点 ?，点 ? 在直线 ? ? ? ? ? ? ? ? 上，求 ? ? ? ? 的最小值 18. 已知直线 ? ? ? ? ? 与抛物线 ? ? 交于 ?，? 两点， （1）若 ? ? ?，求 ? 的值； （2）
9、若 t? t?，求 ? 的值 19. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点， 又焦点到同侧长轴端点的距离为? ? ?，求椭圆的方程 20. 讨论直线 ? ? h? ? ? 与双曲线 ? ? ? 的公共点的个数 21. 已知 ?：方程 ? ? ? ? ? ? ? ? 有两个不等的正根；?：方程 ? ? ? ? ? ? ? 表示焦点在 ? 轴上的双曲线 （1）若 ? 为真命题，求实数 ? 的取值范围； （2）若“? 或 ?”为真，“? 且 ?”为假，求实数 ? 的取值范围 22. 已知双曲线的焦点在 ? 轴上， ? ? ?，渐近线方程为? ? ? ? ?，问： 过点
10、? ? 能否作直线 ?，使 ? 与双曲线交于 ?，? 两点，并且点 ? 为线段 ? 的中点?若存在，求出直线 ? 的方程；若不存在，请说明理由 23. 已知点 ? ? 及圆 ?：? ? ? ? ? ? ? （1）设过 ? 的直线 ?与圆 ? 交于 ?，? 两点，当 ? ? ? 时，求以 ? 为 直径的圆 ? 的方程； （2）设直线 ? ? ? ? ? ? 与圆 ? 交于 ?，? 两点，是否存在实数 ?，使得过 点 ? ? 的直线 ?垂直平分弦 ?若存在，求出实数 ? 的值；若不存在， 请说明理由 24. 在直角坐标系 ?t? 中，已知直线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11、 ? ? 为参数 ，以坐标原点为极 点，? 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ? ? sin? ? ? （1）写出直线 ? 的普通方程和曲线 ? 的直角坐标方程； （2）设点 ? 的直角坐标为 ? ，直线 ? 与曲线 ? 的交点为 ?，?，求 ? ? ? 的值 25. 已知椭圆 ?：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，离心率为 ? ? ，两焦点分别为 ?，?，过 ?的直线交椭圆 ? 于 ?，? 两点，且 ? ? 的周长为 ? （1）求椭圆 ? 的方程； （2）过点 ? ? 作圆 ? ? ? 的切线 ? 交椭圆 ? 于 ?，? 两点，求弦长 ? 的最大值 26. 已知数列 ?的
12、首项为 ?，?为数列 ?的前 项和，? ? ?，其 中 ? ? ?， ? ?， ? ? （1）若 ?，?，? ? 成等差数列，求 ?的通项公式； （2）设双曲线 ? ? ? ? ? ? 的离心率为 ?，且 ? ?，求 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27. 已知曲线 ? 的极坐标方程为 ? ? ?cos? ? ?sin?，以极点为原点，极轴为 ? 轴 的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 ? 的参数方程为 ? ? ? ? ?cos? ? ? ? ? ?sin?（? 为 参数） （1）判断直线 ? 与曲线 ? 的位置关系，并说明理由； （2）若直线 ? 和曲线 ? 相交于 ?，? 两点，且
13、 ? ? ? ?，求直线 ? 的斜率 28. 已知椭圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的离心率 ? ? ? ? ，坐标原点到直线 ? ? ? ? ? 的距离为? （1）求椭圆的方程； （2）若直线 ? ? h? ? ? h ? ? 与椭圆相交于 ?，? 两点，是否存在实数 h， 使得以 ? 为直径的圆过点 ? ? ? ?若存在，求出 h 的值，若不存在，请 说明理由 29. 在平面直角坐标系 ?t? 中，直线 ? 经过点 ? ? ? ，其倾斜角为 ?，以原点 t 为极点，以 ? 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 ?t? 取相同的长度单位，建 立极坐标系设曲线 ? 的极坐标方程为
14、? ?cos? ? ? ? ? （1）若直线 ? 与曲线 ? 有公共点，求倾斜角 ? 的取值范围； （2）设 ? ? 为曲线 ? 上任意一点，求 ? ? ? 的取值范围 30. 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质对于椭圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有如 下命题：? 是椭圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的不平行于对称轴且不过原点的弦， ? 为 ? 的中点，则 ht? h? ? ? 为定值那么对于双曲线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则有命题：? 是双曲线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的不平行于 对 称 轴 且 不 过
15、原 点 的 弦 ， ?为?的 中 点 ， 则ht? h?定 值（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论 31. （1）求中心在原点，焦点在 ? 轴上，焦距等于 ?，且经过点 ? ? ? ? ? 的 椭圆方程； （2）求 ? ? ? ? ，并且过点 ? 的椭圆的标准方程 32. 已知抛物线 ? ?，焦点为 ?，顶点为 t，点 ? 在抛物线上移动，? 是 t? 的中点，? 是 ? 的中点，求点 ? 的轨迹方程 33. 已知点 ? ? ? ? ，椭圆 ?：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的离心率为 ? ? ，? 是椭圆的 焦点，直线 ? 的斜率为 ? ? ? ，t 为坐标原点 （
16、1）求 ? 的方程； （2）设过点 ? 的直线 ? 与 ? 相交于 ?，? 两点，当 ? t? 的面积最大时，求 ? 的方程 34. ? 为椭圆 ? ? ? ? ? ? ? 上一点，?，?为左右焦点，若 ? ? （1）求 ? ?的面积； （2）求 ? 点的坐标 35. 已知双曲线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的渐近线方程为：? ?，右顶点 为 ? （1）求双曲线 ? 的方程； （2）已知直线 ? ? ? ? ? 与双曲线 ? 交于不同的两点 ?，?，且线段 ? 的中 点为 ? ?当 ? ? 时，求 ? ? 的值 36. 已知双曲线 ? ? ? ? ? ? ? 的两焦点为
17、 ?，? （1）若点 ? 在双曲线上，且 ? ? ? ? ? ? ?，求 ? 点到 ? 轴的距离； （2）若双曲线 ? 与已知双曲线有相同焦点，且过点 ? ? ，求双曲线 ? 的 方程 37. 椭圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的两个焦点为 ?，?，点 ? 在椭圆 ? 上，且 ? ? ?， ? ? ? ? ，? ? （1）求椭圆 ? 的方程； （2）若直线 ? 过圆 ? ? ? ? ? ? 的圆心 ? 交椭圆于 ?，? 两点，且 ?，? 关于点 ? 对称，求直线 ? 的方程 38. 已知半径为 ? 的圆的圆心在 ? 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 ? ? ? ? ? ?
18、相切 （1）求圆的方程； （2）设直线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与圆相交于 ?，? 两点，求实数 ? 的取值 范围； （3）在 的条件下，是否存在实数 ?，使得弦 ? 的垂直平分线 ? 过点 ? ? ? ，若存在，求出实数 ? 的值；若不存在，请说明理由 39. 已知直线 ? ? ? ? ? ?cos? ? ? ?sin? ?为参数 ，圆 ? ? ? cos? ? ? sin? ?为参数 （1）当 ? ? ? 时，求 ?与 ?的交点坐标； （2）过坐标原点 t 作 ?的垂线，垂足为 ?，? 为 t? 的中点，当 ? 变化时， 求点 ? 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 40.
19、 已知圆 ? 和 ? 轴相切，圆心在直线 ? ? ? ? ? 上，且被直线 ? ? ? 截得的弦 长为 ? ?，求圆 ? 的方程 41. 如图，直线 ? ? ? ? ? 与抛物线 ? ? 相切于点 ? （1）求实数 ? 的值； （2）求以 ? 点为圆心，且与抛物线 ? 的准线相切的圆的方程 42. 在直角坐标系 ?t? 中，圆 ? 的方程为 ? ? ? ? ? ? ? （1）以坐标原点为极点，? 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 ? 的极坐标 方程； （2）直线 ? 的参数方程是 ? ? ?cos? ? ? ?sin?（? 为参数），直线 ? 与圆 ? 交于 ?，? 两点， ? ?，求 ? 的
20、斜率 43. 已知双曲线与椭圆 ? ? ? ? ? ? ? 有公共焦点 ?，?，它们的离心率之和为 ? ? ? （1）求双曲线的标准方程； （2）设 ? 是双曲线与椭圆的一个交点，求 cos? 44. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的一个焦点， 并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为 ? ? ? ? ，求抛物线 与双曲线方程 45. 已知曲线 ? 上任一点 ? 到点 ? ? 的距离比它到直线 ?：? ? ? 的距离少 ? （1）求曲线 ? 的方程； （2）过点 ? ? 作两条倾斜角互补的直线与曲线 ? 分别交于点 ?，?，试问：
21、 直线 ? 的斜率是否为定值，请说明理由 46. 在平面直角坐标系 ?t? 中，圆 ? 的参数方程为 ? ? ?cos? ? ? ?sin? （? 为参数），直 线 ? 过点 ? 且倾斜角为 ? （1）求圆 ? 的普通方程及直线 ? 的参数方程； （2）设直线 ? 与圆 ? 交于 ?，? 两点，求弦 ? 的长 47. 已知椭圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的一个长轴顶点为 ? ? ，离心率为 ? ? ， 直线 ? ? h ? ? ? 与椭圆 ? 交于不同的两点 ?，? （1）求椭圆 ? 的方程； （2）当 ? ? 的面积为 ? ? 时，求 h 的值 48. 已知椭圆 ?
22、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的左、右焦点为 ?，?，? 点在椭圆上，离 心率是 ? ? ，?与 ? 轴垂直，且 ? ? （1）求椭圆的方程； （2）若点 ? 在第一象限，过点 ? 作直线 ?，与椭圆交于另一点 ?，求 ? ?t? 面积的最大值 49. 已知点 ? ? ? 在椭圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 上，椭圆离心率为 ? ? （1）求椭圆 ? 的方程； （2）过椭圆 ? 右焦点 ? 的直线 ? 与椭圆交于两点 ?，?，在 ? 轴上是否存在点 ?，使得 ? ? ? ? ? 为定值?若存在，求出点 ? 的坐标；若不存在，请说明 理由 参考参考答案答案
23、，仅供参考，仅供参考 1. 若命题 ?：方程 ? ? ? ? ? ? ? 表示焦点在 ? 轴上的椭圆为真命题； 则 ? ? ? ? ? ? ?， 解得 ? 体 ? 体 ?， 则命题 ? 为假命题时，? ? ? 或 ? ? ?， 若命题 ?：双曲线 ? ? ? ? ? ? ? 的离心率 ? ? ? ? ? ? 为真命题； 则 ? ? ? ? ? ? ? ， 即 ? ? ? ? ? ? ， 即 ? ? 体 ? 体 ?， 则命题 ? 为假命题时，? ? ? ? 或 ? ? ?， 因为命题 ?，? 中有且只有一个为真命题， 当 ? 真 ? 假时，? 体 ? ? ? ?， 当 ? 假 ? 真时，? ?
24、? 体 ?， 综上所述，实数 ? 的取值范围是：? 体 ? ? ? ? 或 ? ? ? 体 ? 2. （1） ? ? ?cos? ? ? sin? （? 为参数）的直角坐标方程是：? ? ? ? ? ?， ?的直角坐标方程：?sin ? ? ? ? ? ?， 整理得， ? ? ?sin? ? ? ? ?cos? ? ? ?，? ? ? ? ? （2） 设 ? ? ? ? ? 的平行线为 ? ? ? ? ? ?， 当 ? ? ? ? ? ? ? 且 ? 体 ? 和 ?相切时 ? 距离最小， 联立直线和椭圆方程得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得 ? ? ? ? ? ? ? ?
25、 ?，需要满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ?，求得 ? ? ?， 当直线为 ? ? ? ? ? ? ? 时，满足题意， 此时 ? ?，此时直线 ?和椭圆交点即是 ? 点坐标 ? ? ? ? ? 3. （1） ?cos? ? ?，? ?cos? ? ?sin? ? ? ? ? （2） ? ? ?， 圆 ?的圆心 ?到 ? ? ? 的距离 ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4. （1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 ? ? ?， 所以 ? ? ? ?，?
26、? ? 所以抛物线的标准方程为 ? ? （2） 设 ? ? ? ? ?，与 ? ? 联立，得 ? ? ? ? ? ?， 设 ? ?，? ?， 所以 ? ? ?，? ?， 所以 t? ? ? ? t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3） 假设直线 ? 过定点，设 ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ?， 设 ? ?，? ?， 所以 ? ? ?，? ? 由 t? ? ? ? t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ?， 所以 ? ? ? ? ? 过定点 ? 5. （1） 联立方程有， ? ? ?
27、 ? ? ? ? ? 有 ? ? ? ? ? ? ?，由于直线与抛物线相切，得 ? ? ? ? ? ?，所以 ? ? ?， 所以 ? ? （2） 假设存在满足条件的点 ? ? ? ? ，直线 ? ? ? ?，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，设 ? ?，? ?， 有 ? ? ?，? ? ?，? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? ?，满足 ? ? ? 时， ? ? ? ?
28、 ? 为定值， 所以 ? ? 6. （1） 设动点 ? 的直角坐标为 ? ，则 ? ? ? ? ?sin? ? ? ?cos? ? ? 所以动点 ? 的轨迹方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，其轨迹是半径为 ? 的圆 （2） 直线 ? 的极坐标方程 ?cos ? ? ? ? ? 化为直角坐标方程是? ? ? ?， 由 ? ? ? ? ? ?，得 ? ? ? 或 ? ? ? 7. （1） 因为椭圆 ?：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的离心率为 ? ? 且过点 ? ? ， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ?，
29、? ?， 所以椭圆 ? 的方程为 ? ? ? ? ? ? ? （2） 因为直线 ? 的方程为 ? ? ? ?， 设 ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当 ? ? 时，设 ? ?，? ?，由题意知 ? ?， 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?， 又因为 ? ? ?， 所以 ? 为线段 ? 的中点， 所以直线 ? 的斜率为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 又 ? ?， 所以 ? 的方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
30、? ， 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 所以 ? 恒过定点 ? ? ? ? ? 当 ? ? 时，直线 ? 为 ? ? ? ?， 此时 ? 为 ? 轴，也过点 ? ? ? ? ? ， 综上，? 恒过定点 ? ? ? ? ? 8. （1） 由 ? ? ? ? ? h ? ? ? 可得其普通方程为 ? ? h ? ? ? ， 它表示过定点 ? ，斜率为 h 的直线 由 ? ?cos? ? ?sin? ? ? ? ? 可得其直角坐标方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，它表示圆心为 ? ? ，半径为 ? 的圆 （2） 因为圆心
31、 ? ? 到直线 ? ? h ? ? ? 的距离 ? ? ?h? ?h? ? ?h? ?h?， 故 ? 的最小值为 ?h? ?h? ? ?， 故 ?h? ?h? ? ? ? ?， 得 ?h? ?h ? ?， 解得 h ? ? 或 h ? ? ? 9. （1） 根据 ? ? ?及题设知 ? ? ? ? ，? ? ，由斜率公式并化简整理 易得 ? ? 将 ? ? ?代入 ? ?，解得 ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ?（舍去） 故 ? 的离心率为 ? ? （2） 由题意，得原点 t 为 ?的中点，? 轴， 所以直线 ?与 ? 轴的交点 ? ? 是线段 ?的中点，故 ? ? ? ?，即 ? ?
32、由 ? ? ? ? 得 ? ? ? 设 ? ?，由题意知 ?体 ?， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? 代入 ? 的方程，得 ? ? ? ? ? ? ? 将 及 ? ? ?代入 ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ?，? ? ? ?，故 ? ? ?，? ? ? ? 10. （1） 将 ? ? h? ? ? 代入 ? ?，得 ? ?h? ? ? ? 其中 ? ? ?， 设 ? ?，? ?，则 ? ? ?h，? ? 所以 t? ? ? ? t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由已知，? ? ? ? ?，解得
33、? ? ? ?，所以抛物线 ? 的方程为 ? ? ? ? （2） 由（1）知，? ? h，? ? h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 同理 h? ? ?，h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 h? ? ? h? ? ? ?h? ? ? 11. （1） 依题意可设椭圆方程为 ? ? ? ? ?， 则右焦点 ? ? ， 由题设 ? ? ? ? ?， 解得 ? ?， 故所求椭圆的方程为 ? ? ? ? ? （2） 设 ? 为弦 ? 的中点，由 ? ? h? ? ? ? ? ? ? 得 ?h? ? ? ?h? ? ? ? ? ? ?， 由于直线与椭圆有两个交
34、点， 所以 ? ? ?，即 ?体 ?h? ? 所以 ? ? ? ? ?h ?h?， 从而 ? h? ? ? ? ?h?， 所以 h? ? ? ? ?h? ?h ， 又 ? ? ? ， 所以 ? ?， 则 ? ?h? ?h ? ? h，即 ? ? ?h ? ? ? 把 ? 代入 得 ? ? ?解得 ? 体 ? 体 ?， 由 ? 得 h? ? ? ? ?， 解得 ? ? ? ? 故所求 ? 的取值范围是 ? ? ? 12. 设双曲线方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，由椭圆 ? ? ? ? ? ? ?，求得两焦点为 ? ? ， ? ， 所以对于双曲线 ?：? ? ? 又 ?
35、? 为双曲线 ? 的一条渐近线， 所以 ? ? ?，解得 ? ? ?，? ? 所以双曲线 ? 的方程为 ? ? ? ? ? 13. （1） 因为直线 ? 与圆 ? ? ? ? ? ? ? 相切，所以 ? ? ?， 因为直线 ? 不过第二象限，所以 ? ? ?， 所以直线 ? 的方程为 ? ? ? ? ? ? （2） 因为直线 ?过点 ? ? 且与直线 ? 平行， 所以设直线 ?的方程为 ? ? ? ? ? ?， 因为直线 ?过点 ? ? ? ，所以 ? ? ?，则直线 ?的方程为 ? ? ? ? ? ?， 因为直线 ?与 ?关于 ? ? ? 对称，所以直线 ?的斜率为 ? ?，且过点 ? ，
36、所以直线 ?的方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ，即化简得 ? ? ? ? ? ? 14. （1） 圆 ? 的参数方程 ? ? ? ? cos? ? ? sin? （? 为参数） 消去参数可得： ? ? ? ? ? ? ? 把 ? ? ?cos?，? ? ?sin? 代入化简得：? ? ?cos?，即为此圆的极坐标方程 （2） 如图所示， 由直线 ? 的极坐标方程是 ? sin? ?cos? ? ? ?，射线 t?：? ? ? 可得普通方程：直线 ?：? ? ? ? ?，射线 t?：? ? 联立 ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ?
37、 ? ? ? ? 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? 来自 QQ群 284110736 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15. 由共同的焦点 ? ? ? ，? ， 可设椭圆方程为 ? ? ? ? ? ? ?， 双曲线方程为 ? ? ? ? ? ? ?， 点 ? ? 在椭圆上，? ? ? ? ? ? ?，解得 ? ?， 双曲线的过点 ? ? 的渐近线为 ? ? ? ? ?， 故 ? ? ? ? ? ，解得 ? ? 所以椭圆方程为：? ? ?
38、? ? ? ? ?； 双曲线方程为：? ? ? ? ? ? ? ? 16. 设点 ? ?，点 ? 到直线 ? ? ? ? 的距离为 ?，则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? ? ? 时，? 取得最小值，此时 ? ? ? ? 为所求的点，最短距离为 ? ? ? 17. 当 ? ? ? 时 ? ? ?， 所以过定点 ? ? ， 因为 ? 在直线上， 所以 ? ? ? ?，且 ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 ? ? ? ? 的最小值为 ? 18. （1） 设 ? ?，? ? ? ?
39、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 ? 体 ?， 所以 ? ? ? ? （2） 因为 t? t?， 所以 ? ? ?， ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ?，? ? ? 或 ? ? ?， 经检验 ? ? ? 19. 因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶 点， 所以 ? ? ?，? ?，又焦点到同侧长轴端点距离为? ? ?， 即 ? ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ?
40、 ? ?，解得 ? ?，? ? ? ? ?， 所以当焦点在 ? 轴时，椭圆的方程为：? ? ? ? ? ?； 当焦点在 ? 轴时，椭圆的方程为 ? ? ? ? ? 20. 由方程组 ? ? h? ? ? ? ? 消去 ?， 得 ? ? h? ?h? ? ? ?， 当 ? ? h? ?，即 h ? ? 时，有一个交点 当 ? ? h? ?，即 h ? ? 时， ? ? ? ?h ? ? ? ? ? ? ? h? ? ? ?h? 由 ? ? ?，即 ? ? ?h? ?，得 ? 体 h 体?，此时有两个交点 由 ? ? ?，即 ? ? ?h? ?，得 h ?，此时有一个交点 由 ? 体 ?，即 ?
41、? ?h?体 ?，得 h 体? 或 h ?，此时没有交点 综上知，当 h ? ? ? ? ? ? ? ? ? 时，直线 ? 与曲线 ? 有两个交点； 当 h ? 时，直线 ? 与曲线 ? 切于一点； 当 h ? ? 时，直线 ? 与曲线 ? 交于一点； 当 h ? ? ? ? ? ? ? 时，直线 ? 与曲线 ? 没有交点 21. （1） 由已知方程 ? ? ? ? ? ? ? 表示焦点在 ? 轴上的双曲线，则 ? ? ? 体 ? ? ? ? ? ? 得 ? 体? ? ? 体 ? ? ? 得 ? 体? ?，即 ?：? 体? ? （2） 若方程 ? ? ? ? ? ? ? ? 有两个不等的正根，
42、则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? 体 ? 体? ?，即 ?：? ? 体 ? 体? ? 因 ? 或 ? 为真，所以 ?，? 至少有一个为真 又 ? 且 ? 为假，所以 ?，? 至少有一个为假 因此，?，? 两命题应一真一假，当 ? 为真，? 为假时， ? ? 体 ? 体? ? ? ? ? 解得 ? ? 体 ? 体? ?； 当 ? 为假，? 为真时， ? ? ? 或 ? ? ? ? 体? ? 解得 ? 体? ? 综上，? ? 体 ? 体? ? 或 ? 体? ? 22. 根据题意，? ?，? ? ?， 所以 ? ? ?，? ? 所以双曲线的方程
43、是：? ? ? ? ? 过点 ? ? 的直线方程为 ? ? h ? ? ? ? ? 或 ? ? ? 当 h 存在时，联立方程可得 ? ? h? ?h? ?h ? ? h? ?h? ? ? ? 当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 ? ? ?h? ?h ? ? ? ? ? h? h? ?h ? ? ? ?，h 体 ? ?，又方程的两个不同的根是两交点 ?，? 的横坐标， 所以 ? ? ? h?h? ?h? 又因为 ? ? 是线段 ? 的中点， 所以 ? h?h? ?h? ? ?，解得 h ? ? 所以 h ? ?，使 ? ? h? ? 但使 ? 体 ? 因此当 h ? ? 时，方程 ? ? h?
44、 ?h? ?h ? ? h? ?h ? ? ? ? 无实数解，故过 点 ? ? 与双曲线交于两点 ?，? 且 ? 为线段 ? 中点的直线不存在 当 ? ? ? 时，直线经过点 ? 但不满足条件 综上所述，符合条件的直线 ? 不存在 23. （1） 由于圆 ?：? ? ? ? ? ? ? ? 的圆心 ? ? ? ，半径为 ?， ? ?，而弦心距 ? ?， 所以 ? ? ? ?， 所以 ? 为 ? 的中点， 所以所求圆的圆心坐标为 ? ，半径为 ? ? ? ? ?，故以 ? 为直径的圆 ? 的方 程为 ? ? ? ? ? ? ?； （2） 把直线 ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ?
45、 代入圆 ? 的方程，消去 ?，整理得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于直线 ? ? ? ? ? ? ? 交圆 ? 于 ?，? 两点，故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 ? ? ? ?，解得 ? 体 ? 则实数 ? 的取值范围是 ? ? 设符合条件的实数 ? 存在，由于 ?垂直平分弦 ?，故圆心 ? ? ? 必在 ?上 所以 ?的斜率 h? ?， 所以 h? ? ? ? ?， 由于 ? ? ? ? ? ， 故不存在实数 ?，使得过点 ? ? 的直线 ?垂直平分弦 ? 24. （1） 直线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
46、? 为参数 ，消去参数 ? 可得普通方程 ? ? ? ? ? ? 曲线 ? ? sin? ? ?，可得 ? ?sin? ? ? ?， 可得直角坐标方程：? ? ? ?， 即 ? ? ? ? ? ? （2） 把 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 代入 ? ? ? ? ? 中， 整理得 ? ? ? ? ? ?， 设 ?，? 对应的参数分别为 ?，?， 所以 ? ? ? ? ，点 ? 在直线上 由 ? 的几何意义可知，? ? ? ? ? ? ? 25. （1） 由题得：? ? ? ? ? ，? ? ?， 所以 ? ? ?，? ? 又 ? ? ?， 所以 ? ? ?，即椭圆
47、? 的方程为 ? ? ? ? ? （2） 由题意知， ? ? ? 当 ? ? ? 时，切线 ? 的方程 ? ? ?，点 ?，? 的坐标分别为 ? ? ? ， ? ? ? ? ，此时 ? ?； 当 ? ? ? 时，同理可得 ? ? 当 ? ? ? 时，设切线 ? 的方程为 ? ? h ? ? ?h ? ? ， 由 ? 与圆 ? ? ? 相切，得 h? h? ? ?，即 ?h? h? ?得 h? ? ? 由 ? ? h ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ?h? ?h? ? ?h? ? ? ? 设 ?，? 两点的坐标分别为 ?， ?，则 ? ? ?h? ? ? ? ?h?h? ? ?
48、?h? ?，? ? ?h? ?h?，? ? ?h? ?h? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? h? ?h? ?h? ? ? ? ?h? ?h? ? ? ? ? ? ? 因为 ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，且当 ? ? 时， ? ? ?，由于当 ? ? ? 时， ? ?， 所以 ? 的最大值为 ? 26. （1） 当 ? ? 时，? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ?，即从第二项开始，数列 ?为等比数列，公比为 ? ， 当 ? ? 时，? ? ?，即 ? ? ? ?，可得 ? ?， 所以数列 ?是以 ? 为首项，? 为公比
49、的等比数列， 所以 ? ? ? ?，? ? ?， 因为 ?，?，? ? 成等差数列， 所以 ? ? ? ?，即 ? ? ? ? ?，解得 ? ? ?， 所以数列 ?是以 ? 为首项，? 为公比的等比数列， 所以 ? ?； （2） 由（1）可得数列 ?是以 ? 为首项，? 为公比的等比数列， 所以 ? ? ?， 根据题意，? ? ? ? ? ?， 因为 ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ?，解得 ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
50、? ? ? ? ? ? 27. （1） 因为曲线 ? 的极坐标方程为 ? ? ?cos? ? ?sin?， 所以 ? ?cos? ? ?sin?， 所以曲线 ? 的直角坐标方程为 ? ? ? ?，即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为直线 ? 过点 ? ? ? ，且该点到圆心的距离为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 体?， 所以直线 ? 与曲线 ? 相交 （2） 当直线 ? 的斜率不存在时，直线 ? 过圆心，? ? ? ? ? ? ?， 因此直线 ? 必有斜率，设其方程为 ? ? ? ? h ? ? ? ，即 h? ? ? h ? ? ? ?， 圆心到直线 ? 的距离 ?
