1、2021 年重庆市中考数学真题（年重庆市中考数学真题（B 卷）卷） 一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面， 都给出了代号为 A，B，C，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题 卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1. 3 的相反数是（） A3BC3D 【考点】相反数 【答案】C 【分析】根据相反数的定义，即可解答 【解答】解：3 的相反数是3， 故选：C 2 不等式 x5 的解集在数轴上表示正确的是（） AB CD 【考点】在数轴上表示不等式的解集 【专题】数与式；数感 【答案】A 【分析】明确 x5 在数轴上表示 5 的右边的部分即可
2、 【解答】解：不等式 x5 的解集在数轴上表示为：5 右边的部分，不包括 5， 故选：A 3 计算 x4x 结果正确的是（） Ax4Bx3Cx2Dx 【考点】同底数幂的除法 【专题】整式；运算能力 【答案】B 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可 【解答】解：原式x4 1x3， 故选：B 4 如图，在平面直角坐标系中，将OAB 以原点 O 为位似中心放大后得到OCD，若 B（0， 1） ，D（0，3） ，则OAB 与OCD 的相似比是（） A2：1B1：2C3：1D1：3 【考点】坐标与图形性质；位似变换 【专题】图形的相似；应用意识 【答案】D 【分析】根据信息，找到 OB 与 OD 的比
3、值即可 【解答】解：B（0，1） ，D（0，3） ， OB1，OD3， OAB 以原点 O 为位似中心放大后得到OCD， OAB 与OCD 的相似比是 OB：OD1：3， 故选：D 5 如图，AB 是O 的直径，AC，BC 是O 的弦，若A20，则B 的度数为（） A70B90C40D60 【考点】圆周角定理 【专题】圆的有关概念及性质；应用意识 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为 90，即可求解 【解答】解：AB 是O 的直径， C90， A20， B90A70， 故选：A 6 下列计算中，正确的是（） A5221B2+2C3D3 【考点】二次根式的混合运算 【专题】二次根式；运算能
4、力 【答案】C 【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法 则逐一判断即可 【解答】解：A523，此选项计算错误； B2 与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C3，此选项计算正确； D，此选项计算错误； 故选：C 7 小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家如图，反映了 小明离家的距离 y（单位：km）与时间 t（单位：h）之间的对应关系下列描述错误的 是（） A小明家距图书馆 3km B小明在图书馆阅读时间为 2h C小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4h D小明去图书馆的速度比回家时的速度快 【考点】函数的图象 【专
5、题】一次函数及其应用；推理能力 【答案】D 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中是说法是否正确 【解答】解：由图象知： A小明家距图书馆 3km，正确； B小明在图书馆阅读时间为 312 小时，正确； C小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4h，正确； D因为小明去图书馆需要 1 小时，回来不足 1 小时，所以小明去图书馆的速度比回家时 的速度快，错误，符合题意 故选：D 8 如图，在ABC 和DCB 中，ACBDBC，添加一个条件，不能证明ABC 和DCB 全等的是（） AABCDCBBABDCCACDBDAD 【考点】全等三角形的判定 【专题】三角形；图形的全等；应用意识
6、 【答案】B 【分析】根据证明三角形全等的条件 AAS，SAS，ASA，SSS 逐一验证选项即可 【解答】解：在ABC 和DCB 中， ACBDBC，BCBC， A：当ABCDCB 时，ABCDCB（ASA） ， 故 A 能证明； B：当 ABDC 时，不能证明两三角形全等， 故 B 不能证明； C：当 ACDB 时，ABCDCB（SAS） ， 故 C 能证明； D：当AD 时，ABCDCB（AAS） ， 故 D 能证明； 故选：B 9 如图，把含 30的直角三角板 PMN 放置在正方形 ABCD 中，PMN30，直角顶点 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上，点 M，N 分别在 AB
7、和 CD 边上，MN 与 BD 交于点 O， 且点 O 为 MN 的中点，则AMP 的度数为（） A60B65C75D80 【考点】直角三角形斜边上的中线；正方形的性质 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力 【答案】C 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知： OMOP， 从而得出DPM 150，利用四边形内角和定理即可求得 【解答】解：在 RtPMN 中，MPN90， O 为 MN 的中点， OP， PMN30， MPO30， DPM150， 在四边形 ADPM 中， A90，ADB45，DPM150， AMP360AADBDPM 3609045150 75 故选：C 10
8、如图，在建筑物 AB 左侧距楼底 B 点水平距离 150 米的 C 处有一山坡，斜坡 CD 的坡度 （或坡比）为 i1：2.4，坡顶 D 到 BC 的垂直距离 DE50 米（点 A，B，C，D，E 在 同一平面内） ，在点 D 处测得建筑物顶 A 点的仰角为 50，则建筑物 AB 的高度约为 （） （参考数据：sin500.77；cos500.64；tan501.19） A69.2 米B73.1 米C80.0 米D85.7 米 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力 【答案】D 【分析】利用斜坡 CD 的坡度（或坡比）为
9、i1：2.4，求出 CE 的长，从而得出 BE，再 利用 tan50即可求出 AB 的长 【解答】解：斜坡 CD 的坡度（或坡比）为 i1：2.4， DE：CE5：12， DE50 米， CE120 米， BC150 米， BE15012030 米， ABtan5030+50 85.7 米 故选：D 11 关于 x 的分式方程+1的解为正数，且使关于 y 的一元一次不等式组 有解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（） A5B4C3D2 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力；应用意识 【答案】B 【分析】由关
10、于 y 的一元一次不等式组有解得到 a 的取值范围，再由关于 x 的分式方程+1的解为正数得到 a 的取值范围，将所得的两个不等式组成 不等式组，确定 a 的整数解，结论可求 【解答】解：关于 x 的分式方程+1的解为 x 关于 x 的分式方程+1的解为正数， a+40 a4 关于 x 的分式方程+1有可能产生增根 2， a1 解关于 y 的一元一次不等式组得： 关于 y 的一元一次不等式组有解， a20 a2 综上，4a2 且 a1 a 为整数， a3 或2 或 0 或 1 满足条件的整数 a 的值之和是：32+0+14 故选：B 12 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，
11、B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y （k0，x0）的图象经过顶点 D，分别与对角线 AC，边 BC 交于点 E，F，连接 EF，AF若点 E 为 AC 的中点，AEF 的面积为 1，则 k 的值为（） ABC2D3 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形 斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质 【专题】反比例函数及其应用；推理能力 【答案】D 【分析】首先设 A（a，0） ，表示出 D（a，） ，再根据 D，E，F 都在双曲线上，依次表 示出坐标，再由 SAEF1，转化为 SACF2，列出等式即可求得 【解答】解：设 A（a，0） ， 矩形 ABCD
12、， D（a，） ， 矩形 ABCD，E 为 AC 的中点， 则 E 也为 BD 的中点， 点 B 在 x 轴上， E 的纵坐标为， ， E 为 AC 的中点， 点 C（3a，） ， 点 F（3a，） ， AEF 的面积为 1，AEEC， SACF2， ， 解得：k3 故选：D 二、填空题： （本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直 接填在答题卡中对应的横线上 13 计算：（1）0 【考点】实数的运算；零指数幂 【专题】实数；运算能力 【答案】2 【分析】利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算 【解答】解：原式312 故答案为：2 14 不透明袋子中装有黑球 1 个
13、、白球 2 个，这些球除了颜色外无其他差别从袋子中随机 摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前 后两次摸出的球都是白球的概率是 【考点】列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解 即可 【解答】解：列表如下 黑白白 黑（黑，黑）（白，黑）（白，黑） 白（黑，白）（白，白）（白，白） 白（黑，白）（白，白）（白，白） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有 4 种结果， 所以前后两次摸出的球都是白球的概率为， 故答案为： 15 方程
14、2（x3）6 的解是 【考点】解一元一次方程 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力 【答案】x6 【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可 【解答】解：方程两边同除以 2 得： x33 移项，合并同类项得： x6 故答案为：x6 16 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC12，BD16，分别以点 A，B，C，D 为圆心，AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【考点】菱形的性质；扇形面积的计算 【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力；应用意识 【答案】96100 【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解 【解答】
15、解：在菱形 ABCD 中，有：AC12，BD16 ABC+BCD+CDA+DAB360 四个扇形的面积，是一个以AB 的长为半径的圆 图中阴影部分的面积121610296100 故答案为：96100 17 如图，ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，连接 AD，将ADC 沿直线 AD 翻折至ABC 所在平面内，得ADC，连接 CC，分别与边 AB 交于点 E，与 AD 交于点 O若 AE BE，BC2，则 AD 的长为 【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识 【答案】3 【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到 OD 的长，然后根
16、据全等三角形的 判定和性质可以得到 AO 的长，从而可以求得 AD 的长 【解答】解：由题意可得， DCAQDCA，OCOC，CODCOD90， 点 O 为 CC的中点， 点 D 为 BC 的中点， OD 是BCC的中位线， ODBC，ODBC， CODECB90， AEBE，BC2， OD1， 在ECB 和EOA 中， ， ECBEOA（AAS） ， BCAO， AO2， ADAO+OD2+13， 故答案为：3 18 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现 销售额提升拓展了途径某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22 个，搭配为 A， B，C 三种
17、盲盒各一个，其中 A 盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数 量之比为 3：2；C 盒中有 1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱经核算，A 盒 的成本为 145 元，B 盒的成本为 245 元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优 盘、迷你音箱的成本之和） ，则 C 盒的成本为元 【考点】三元一次方程组的应用 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识 【答案】155 【分析】根据题意确定 B 盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代 数式即可 【解答】解：蓝牙耳机、多
18、接口优盘、迷你音箱共 22 个，A 盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；C 盒中有 1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱； B 盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 2223113210（个） ， B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱 的数量之比为 3：2， B 盒中有多接口优盘 105（个） ，蓝牙耳机有 53（个） ，迷你音箱有 10 532（个） ， 设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为 a 元，b 元，c 元， 由题知：， 2得：a+b45， 23 得：b+c55， C 盒的成本为：a+3b+2c（a+
19、b）+（2b+2c）45+552155（元） ， 故答案为：155 三、解答题： （本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线） ，请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上. 19 计算： （1）a（2a+3b）+（ab）2； （2）（x+） 【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算 【专题】整式；分式；运算能力 【答案】 （1）3a2+ab+b2； （2） 【分析】 （1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，
20、再将除法转化为乘 法，继而约分即可 【解答】解： （1）原式2a2+3ab+a22ab+b2 3a2+ab+b2； （2）原式（+） 20. 2021 年是中国共产党建党 100 周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知 识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了 20 名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成 绩均为整数，满分为 10 分，9 分及以上为优秀） 相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） ： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级七年级八年级 平均数8.58.5 中位数a
21、9 众数8b 优秀率45%55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a，b； （2）估计该校七年级 120 名教师中竞赛成绩达到 8 分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异 【考点】用样本估计总体；中位数；众数 【专题】数据的收集与整理；应用意识 【答案】 （1）8；9 （2）102 人； （3）八年级教师更加优异 【分析】 （1）根据中位数定义、众数的定义即可找到 a、b 的值 （2）计算出成绩达到 8 分及以上的人数的频率即可求解 （3）根据优秀率进行评价即可 【解答】解： （1）七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，
22、8，8，8，8，8，9，9， 9，9，10，10，10，10，10 中位数 a8 根据扇形统计图可知 D 类是最多的，故 b9 故答案为：8；9 （2） 该校七年级 120 名教师中竞赛成绩达到 8 分及以上的人数102 （人） （3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%故八年级的教师学习党史 的竞赛成绩谁更优异 21 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，连接 AC，且 AC2AB请用尺规完成基本作图： 作出BAC 的角平分线与 BC 交于点 E连接 BD 交 AE 于点 F，交 AC 于点 O，猜想线 段 BF 和线段 DF 的数量关系，并证明你的猜想 （尺规作图保留作图痕
23、迹，不写作法） 【考点】平行四边形的性质；作图基本作图 【专题】多边形与平行四边形；推理能力；应用意识 【答案】图见解答过程；猜想：DF3BF 证明过程见解答 【分析】根据题意作出图即可； 【解答】解：如图： 猜想：DF3BF 证明：四边形 ABCD 为平行四边形 OAOC，ODOB AC2AB AOAB BAC 的角平分线与 BC 交于点 E BFFO DF3BF 22 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括 函数性质的过程以下是我们研究函数 yx+|2x+6|+m 性质及其应用的部分过程，请按 要求完成下列各小题 x21012345 y654a21b7
24、 （1）写出函数关系式中 m 及表格中 a，b 的值： m，a，b； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出 该函数的一条性质：； （3）已知函数 y的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 x+| 2x+6|+m的解集 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】数形结合；应用意识 【答案】 （1）2，3，4； （2）图象见解答过程，当 x3 时函数有最小值 y1（答案不唯一） ； （3）x0 或 x4 【分析】 （1）代入一对 x、y 的值即可求得 m 的值，然后代入 x1 求 a 值，代入 x4 求 b 值即可； （2）利用描点作图
25、法作出图像并写出一条性质即可； （3）根据图像求出即可 【解答】解： （1）当 x0 时，|6|+m4， 解得：m2， 即函数解析式为：yx+|2x+6|2， 当 x1 时，a1+|2+6|23， 当 x4 时，b4+|24+6|24， 故答案为：2，3，4； （2）图象如右图，根据图象可知当 x3 时函数有最小值 y1； （3） 根据当 yx+|2x+6|2 的函数图象在函数 y的图象上方时， 不等式 x+|2x+6| 2成立， x0 或 x4 23 重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎某面馆向食客推出经 典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面） ，也可购买搭配
26、佐料的袋装生面 （简称“生食”小面） 已知 3 份“堂食”小面和 2 份“生食”小面的总售价为 31 元，4 份“堂食”小面和 1 份“生食”小面的总售价为 33 元 （1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ （2）该面馆在 4 月共卖出“堂食”小面 4500 份， “生食”小面 2500 份为回馈广大食 客，该面馆从 5 月 1 日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格 降低a%统计 5 月的销量和销售额发现： “堂食”小面的销量与 4 月相同， “生食”小 面的销量在 4 月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在 4 月的基础上增加 a%求 a 的值
27、【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】 （1）每份“堂食”小面的价格为 7 元，每份“生食”小面的价格为 5 元； （2）a8 【分析】 （1）设每份“堂食”小面的价格为 x 元，每份“生食”小面的价格为 y 元，根 据 3 份“堂食”小面和 2 份“生食”小面的总售价为 31 元，4 份“堂食”小面和 1 份“生 食”小面的总售价为 33 元列方程组解出可得结论； （2） 根据 5 月 “堂食” 小面的销售额+ “生食” 小面的销售额4 月的总销售额 （1+a%） ， 用换元法解方程可得结论 【解答】解： （1）设每份“堂食”小面的价
28、格为 x 元，每份“生食”小面的价格为 y 元， 根据题意得：， 解得：， 答：每份“堂食”小面的价格为 7 元，每份“生食”小面的价格为 5 元； （2） 由题意得： 45007+2500 （1+a%） 5 （1a%） （45007+25005）（1+a%） ， 设 a%m，则方程可化为：97+25（1+m） （1m）（97+25） （1+m） ， 375m230m0， m（25m2）0， 解得：m10（舍） ，m2， a8 24 对于任意一个四位数 m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上 的数字之和的 2 倍，则称这个四位数 m 为“共生数” 例如：m3507，因为 3
29、+72 （5+0） ，所以 3507 是“共生数” ；m4135，因为 4+52（1+3） ，所以 4135 不是“共 生数” （1）判断 5313，6437 是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的 2 倍，百位上的数字与个位 上的数字之和能被 9 整除时，记 F（n）求满足 F（n）各数位上的数字之和是偶数 的所有 n 【考点】列代数式；因式分解的应用 【专题】新定义；运算能力 【答案】 （1）5313 是“共生数” ，6437 不是“共生数” ； （2）2148 或 3069 【分析】 （1）根据题目中的定义，可直接判断 5313，6437
30、是否为“共生数” ； （2）根据定义，先用两个未知数表示 F（n） ，然后列出含有 n 的式子，找出满足要求的 结果即可 【解答】解： （1）5+32（3+1） ， 5313 是”共生数“， 6+72（3+4） ， 6437 不是“共生数” ； （2）n 是“共生数” ，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字， 设 n 的千位上的数字为 a，则十位上的数字为 2a， （1a4） ， 设 n 的百位上的数字为 b， 个位和百位都是 09 的数字， 个位上的数字为 9b，且 9bb， 0b4 n1000a+100b+20a+9b； F（n）340a+33b+3， 由于 n 是“共生数” ， a+
31、9b2（2a+b） ， 即 a+b3， 可能的情况有： ， n 的值为 1227 或 2148 或 3069， 各位数和为偶数的有 2148 和 3069， n 的值是 2148 或 3069 25 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） ， B（4，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）直线 l 为该抛物线的对称轴，点 D 与点 C 关于直线 l 对称，点 P 为直线 AD 下方抛 物线上一动点，连接 PA，PD，求PAD 面积的最大值 （3）在（2）的条件下，将抛物线 yax2+bx4（a0）沿射线 AD 平移 4
32、个单位， 得到新的抛物线 y1，点 E 为点 P 的对应点，点 F 为 y1的对称轴上任意一点，在 y1上确 定一点 G，使得以点 D，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的 点 G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程 【考点】二次函数综合题 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识 【答案】（1） yx23x4；（2） 8；（3） G （） 或 G （） 或 G （） 【分析】 （1）直角代入点 A，B 坐标即可； （2）作 PEy 轴交直线 AD 于 E，通过铅垂高表示出APD 的面积即可求出最大面积； （3）通过平移距离为 4，转化为向右平移 4 个单位，再向
33、下平移 4 个单位，得出平移 后的抛物线关系式和 E 的坐标，从而平行四边形中，已知线段 DE，分 DE 为边还是对角 线，通过点的平移得出 G 的横坐标即可 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，B（4，0）代入 yax2+bx4 得 ， ， yx23x4， （2）当 x0 时，y4， 点 C（0，4） ， 点 D 与点 C 关于直线 l 对称， D（3，4） ， A（1，0） ， 直线 AD 的函数关系式为：yx1， 设 P（m，m23m4） ， 作 PEy 轴交直线 AD 于 E， E（m，m1） ， PEm1（m23m4） m2+2m+3， SAPD2（m2+2m+3）2m2+4m+
34、6， 当 m1 时，SAPD最大为8， （3）直线 AD 与 x 轴正方向夹角为 45， 沿 AD 方向平移，实际可看成向右平移 4 个单位，再向下平移 4 个单位， P（1，6） ， E（5，10） ， 抛物线 yx23x4 平移后 y1x211x+20， 抛物线 y1的对称轴为：直线 x， 当 DE 为平行四边形的边时： 若 D 平移到对称轴上 F 点，则 G 的横坐标为， 代入 y1x211x+20 得 y， ， 若 E 平移到对称轴上 F 点，则 G 的横坐标为， 代入 y1x211x+20 得 y， ， 若 DE 为平行四边形的对角线时， 若 E 平移到对称轴上 F 点，则 G 平移
35、到 D 点， G 的横坐标为， 代入 y1x211x+20 得 y， G（）或 G（）或 G（） ， 四、解答题： （本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画 出必要的图形（包括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 26 在等边ABC 中，AB6，BDAC，垂足为 D，点 E 为 AB 边上一点，点 F 为直线 BD 上一点，连接 EF （1）将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 EG，连接 FG 如图 1，当点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C 时，连接 DG，求线段 DG 的长； 如图 2， 点 E 不与点 A，
36、B 重合， GF 的延长线交 BC 边于点 H， 连接 EH， 求证： BE+BH BF； （2）如图 3，当点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，点 N 在边 AC 上，且 DN2NC， 点 F 从 BD 中点 Q 沿射线 QD 运动，将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EP，连 接 FP，当 NP+MP 最小时，直接写出DPN 的面积 【考点】几何变换综合题 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识 【答案】 （1）； 证明见解答过程； （2） 【分析】 （1）过 D 作 DHGC 于 H，先证明BGF 是等边三角形，求出 CD 长
37、度， 再证明 BFCFGF，从而在 RtBDC 中，求出 CF2， 即得 GF，在 RtCDH 中，求出 DHCDsin30和 CHCDcos30，可 得 GHGF+FH，RtGHD 中，即可得到 DG； 过 E 作 EPAB 交 BD 于 P，过 H 作 MHBC 交 BD 于 M，连接 PG，作 BP 中点 N， 连接 EN，由ABC+EFH180，得 B、E、F、H 共圆，可得FBHFEH，从而 可证 HFGF，由 E、P、F、G 共圆可得BMHGPF60，故GFPHFM，PF FM，可得 NFMH，BFMH+EP，在 RtBEP 中，EPBEtan30BE，Rt MHB 中，MHBHt
38、an30BH，即可得到 BE+BHBF； （2）以 M 为顶点，MP 为一边，作PML30，ML 交 BD 于 G，过 P 作 PHML 于 H，设 MP 交 BD 于 K，RtPMH 中，HPMP，NP+MP 最小即是 NP+HP 最小，此 时 N、P、H 共线，而将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EP，可得QKP FEP60，从而可证 MLAC，四边形 GHND 是矩形，由 DN2NC，得 DNGH2， 由等边ABC 中，AB6，点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，可得 BM，BD ABsinA3，RtBGM 中，MGBM，BGBMcos30，可求 MH MG
39、+GH，GDBDBG，RtMHP 中，可得 HP，从而可得 PN HNHPGDHP，故 SDPNPNDN 【解答】解： （1）过 D 作 DHGC 于 H，如图： 线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 EG， 点 E 与点 B 重合， 且 GF 的延长线过点 C， BGBF，FBG60， BGF 是等边三角形， BFGDFC60，BFGF， 等边ABC，AB6，BDAC， DCF180BDCDFC30， DBCABC30， CDACAB 3， BCGACBDCF30， BCGDBC， BFCF， GFCF， RtBDC 中，CF2， GF2， RtCDH 中，DHCDsin30，CH
40、CDcos30， FHCFCH， GHGF+FH， RtGHD 中，DG； 过 E 作 EPAB 交 BD 于 P，过 H 作 MHBC 交 BD 于 M，连接 PG，作 BP 中点 N， 连接 EN，如图： EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 EG， EGF 是等边三角形， EFGEGFGEF60，EFH120，EFGF， ABC 是等边三角形， ABC60， ABC+EFH180， B、E、F、H 共圆， FBHFEH， 而ABC 是等边三角形，BDAC， DBCABD30，即FBH30， FEH30， FHE180EFHFEH30， EFHFGF， EPAB，ABD30， EPB6
41、0，EPF120， EPF+EGF180， E、P、F、G 共圆， GPFGEF60， MHBC，DBC30， BMH60， BMHGPF， 而GFPHFM， 由得GFPHFM（AAS） ， PFFM， EPAB，BP 中点 N，ABD30， EPBPBNNP， PF+NPFM+BN， NFBM， RtMHB 中，MHBM， NFMH， NF+BNMH+EP，即 BFMH+EP， RtBEP 中，EPBEtan30BE， RtMHB 中，MHBHtan30BH， BFBE+BH， BE+BHBF； （2）以 M 为顶点，MP 为一边，作PML30，ML 交 BD 于 G，过 P 作 PHML
42、于 H，设 MP 交 BD 于 K，如图： RtPMH 中，HPMP， NP+MP 最小即是 NP+HP 最小，此时 N、P、H 共线， 将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EP， F 在射线 QF 上运动，则 P 在射线 MP 上运动，根据“瓜豆原理” ，F 为主动点，P 是 从动点，E 为定点，FEP60，则 F、P 轨迹的夹角QKPFEP60， BKM60， ABD30， BMK90， PML30， BML60， BMLA， MLAC， HNA180PHM90， 而 BDAC， BDCHNAPHM90， 四边形 GHND 是矩形， DNGH， 边ABC 中，AB6，BDAC， CD3， 又 DN2NC， DNGH2， 等边ABC 中，AB6，点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点， BM，BDABsinA6sin603， RtBGM 中，MGBM，BGBMcos30， MHMG+GH，GDBDBG， RtMHP 中，HPMHtan30， PNHNHPGDHP， SDPNPNDN
