1、xmath先锋数学先锋数学 第第 1 页页/共共 14 页 页 2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷甲卷)理科理科 公式：726 时间：2021-06-13 15:17 一、选择题一、选择题：本题共本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6 60 0 分分 1设集合 |04Mxx= ， 1 |5 3 Nxx=，则MN=( ) A 1 |0 3 xx B 1 |4 3 xx C |45xx D |05xx 【答案】B 【解析】如下图阴影部分， 1 |4 3 MNxx=， 2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收
2、入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数 据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( ) A该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【解析】A低于4.5万元的比率估计为0.02 10.04 10.066% + =，正确； B不低于10.5万元的比索估计为(0.04 0.023) 10.110%+ = ，正确； C平均值为：(3 0.02 4 0.045
3、0.1+ 60.1470.28 0.2+ + 90.1 100.1 11 0.04+ +120.0213 0.02140.02) 1+7.68=万元，错误 D4.5万到8.5万的比率为：0.1 1 0.14 10.2 10.2 10.64 + + + =，正确 xmath先锋数学先锋数学 第第 2 页页/共共 14 页 页 3己知 2 (1)32izi=+，则z =( ) A 3 1 2 i B 3 1 2 i + C 3 2 i+ D 3 2 i 【答案】B 【解析】 2 3232 (1)2 ii z ii + = 233 1 22 i + = + 4青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况
4、可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记 录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足 5lgLV=+ 已知某同学视力 的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 10 ( 101.259)( ) A1.5 B1.2 C0.8 D0.6 【答案】C 【解析】将4.9代入 5lgLV=+ ，知lg 4.950.1V = ，故 0.1 10 1 100.8 10 V = 5已知 1 F， 2 F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 12 60FPF=， 12 | 3|PFPF=， 则C的离心率为( ) A 7 2 B 13 2 C7 D13 【答案】A 【解析】记
5、 11 |rPF=， 22 |rPF=由 12 3rr=及 12 2rra=得 1 3ra=， 2 ra= 又由余弦定理知 222 121212 2cos4rrr rFPFc+=得 22 74ac=，从而 7 2 c e a = 6在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥A EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是( ) 【答案】D 【解析】直观图如下 xmath先锋数学先锋数学 第第 3 页页/共共 14 页 页 7等比数列 n a的公比为q，前n项和为 n S，设甲：0q ，乙： n S是递增数列，则( ) A甲是乙的充分条件但不
6、是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】若 1q = ，则 1n Sna= 1 0a ，则 n S单调递增； 1 0a ，则 n S单调递诚故甲乙； 又若 n S单调递增，则 1nn SS + 恒成立 1 0 n a + 1 0 n a q恒成立 1 0a，0q ，故乙甲 82020年 12 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高 程测量法是珠峰高程则量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点， 且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足
7、45AC B =，60A B C =由C点测 得B点的仰角为15，BB与CC的差为 100：由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水 平面A B C 的高度差AACC约为( 31.732)( ) A346 B373 C446 D473 【答案】B 【解析】100BM =，15BCM=，45ABN=，即100cos15CMB C= = ， sin45 sin75 B C BNB A = = 2 100cos15 2 sin75 = 50 2 cos75 sin15 sin75 = 50 2 sin15 = ， xmath先锋数学先锋数学 第第 4 页页/共共 14 页 页 50 2 sin7
8、5 ANBN= 50 2 273 62 4 = ， 又AQ AACC=AQANNQ=+()BBCCNQ= +100273373=+= 9若(0,) 2 ， cos tan2 2sin = ，则tan=( ) A 15 15 B 5 5 C 5 3 D 15 3 【答案】A 【解析】 222 2tan2sincoscos tan2 1tancossin2sin = ， 22 2sin(2sin)cossin=， 2 4sin2sin 22 cossin= 2 12sin= ， 1 sin 4 =又(0,) 2 ，故 15 cos 4 =， 115 tan 1515 = 10将 4个 1 和 2个
9、 0随机排成一行，则 2个 0 不相邻的概率为( ) A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 【答案】C 【解析】总共 6 个位置，先排 2 个 0，有 2 6 15C =种，再排 4个 1，有 1 种，故共有 15种 满足题设的排法：先排 4个 1，有 1 种其间有 5 个空，选 2个空插入有 2 5 10C =种， 故 102 153 P = 11已知A，B，C是半径为 1的球O的球面上的三个点，且AC BC，1ACBC=，则三棱 锥OABC的体积为( ) A 2 12 B 3 12 C 2 4 D 3 4 【答案】A 【解析】记O为A，B，C所在圆面的圆心，则OOABC 又2AB
10、 =， 22 OOOAAO = 22 22 1() 22 = ， 1 3 O ABCABC VSOO = 1 122 1 1 3 2212 = = 12设函数 ( )f x的定义域为R，(1)f x + 为奇函数， (2)f x + 为偶函数，当 1,2x 时， 2 ( )f xaxb=+若(0)(3)6ff+=，则 9 ( ) 2 f=( ) xmath先锋数学先锋数学 第第 5 页页/共共 14 页 页 A 9 4 B 3 2 C 7 4 D 5 2 【答案】D 【解析】 (1)f x + 为奇函数， ( )f x关于(1,0)中心对称，(1)0f= ； 因 (2)f x + 为偶函数，故
11、 ( )f x关于2x = 轴对称，周期为 4， (0)(2)ff= ， (3)(1)ff= 即 (1)(2)6ff= ， (2)6f= 0 46 ab ab += += ，得 2 2 a b = = ， 91 ( )( ) 22 ff= 39 ( )( 22) 24 f= = + 5 2 = 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13曲线 21 2 x y x = + 在点( 1, 3) 处的切线方程为_ 【答案】 52yx=+ 【解析】 2 5 ( ) (2) fx x = + ， ( 1)5f = ， 3 ( 1)3
12、 1 f =，切线：35(1)yx+=+52yx=+ 14已知向量 (3,1)a = ，(1,0)b =，cakb=+若ac，则k =_ 【答案】 10 3 【解析】 (3,1)ck=+ ，0a c= 3(3) 10k+ = ， 10 3 k = 15已知 1 F， 2 F为桶圆C： 22 1 164 xy +=两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 12 | |PQFF=，则四边形 12 PFQF的面积为_ 【答案】8 【解析】由椭圆的对称性及 12 | |PQFF=知，四边形 12 PFQF为矩形， 设 1 |PFm=， 2 |PFn=，由椭圆的定义得28mna+=， 在 12
13、Rt PFF中，则 222 12 |48mnFF+=，即 2 ()248mnmn+=， 将上式代入得8mn =，四边形 12 PFQF的面积为 12 | |8PFPFmn= 16已知函数 ( )2cos()f xx=+ 的部分图像如图所示，则满足条件 74 ( ( )() ( ( )()0 43 f xff xf 的最小正整数x为_ xmath先锋数学先锋数学 第第 6 页页/共共 14 页 页 【答案】2 【解析】由图可知， ( )f x的最小正周期 413 () 3123 T =，2= 13 ()2 12 f =， 13 2cos()2 6 +=，2 6 k = +，Zk ， ( )2co
14、s(2) 6 f xx =， 4 ()()0 33 ff =，()()2cos()1 4426 ff =， ( ( ) 1)( ( )0)0f xf x( )0f x 或 ( )1f x 联系图象可知，满足 ( )1f x 的离y轴最近的正数区问(0,) 4 ，无整数； ( )0f x 的离y轴最近的正数区间为 5 (,) 36 ，取小正整数2x = 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分第第 1717- -2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答第第 2222、2323 题为选考题，题为选考题， 考生根据要求作答考生根据要求作答 17(12 分)甲
15、、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产 品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd = + ， 【解析】(1)由表格数据得： 甲机床生产的产品中一级品的频率为 1503 2004 =； 乙机床生产的产品中一级品的频率为 1203 2005 =； x y 13 12 3 2 O xmath先锋数学先锋数学 第第 7 页页/共
16、共 14 页 页 (2) 2 2 () ()()()() n adbc k ab cdac bd = + 2 400 (150 80 120 50) 200 200 270 130 = 10.2566.635， 有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异 18(12 分)已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前n项和，从下面中选取两个作 为条件，证明另外一个成立数列 n a 是等差数列；数列 n S 是等差数列； 21 3aa= 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 【解析】任意选取两个均可证明第三个
17、：设(0) n Sanb a=+，则 2 () n Sanb=+， 当1n =时， 2 11 ()aSab=+； 当2n 时， 1nnn aSS = 22 ()()anbanab=+(22 )aanab=+； n a也是等差数列， 2 ()(22 )abaaab+=+，解得0b =； 2(2 1) n aan=， 21 3aa= ：设等差数列 n a的公差为d 21 3aa=， 11 3ada+=，则 1 2da= 1 (1) 2 n n n Snad =+ 2 111 (1)nan nan a=+=， 故 1nn SS 11 (1)n ana= 1 a=， n S是百项为 1 a，公差为 1
18、 a的等差数列 ：设(0) n Sanb a=+，则 2 () n Sanb=+， 当1n =时， 2 11 ()aSab=+； 当2n 时， 22 1 ()() nnn aSSanbanab =+(22 )aanab=+； 21 3aa=， 2 (32 )3()aabab+=+，解得0b =或 4 3 a b = ； 当0b =时， 2 1 aa=， 2(2 1) n aan=； 当2n 时， 2 1 2 nn aaa =满足等差数列的定义，此时 n a为等差数列； 当 4 3 a b = 时， 4 3 n Sanbana=+=， 1 0 3 a S = 不合题意，舍去 xmath先锋数学先
19、锋数学 第第 8 页页/共共 14 页 页 综上可知 n a为等差数列 19(12 分)已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形2ABBC=，E，F分别为 AC和 1 CC的中点，D为棱 11 AB上的点， 11 BFAB (1)证明：BFDE； (2)当 1 B D为何值时，面 11 BBC C与而所成的二面角的正弦值最小？ 【解析】三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱， 1 BB 底面ABC， 1 BBAB， 11/ ABAB， 11 BFAB，BF AB， 又 1 BBBFB=，AB 平面 11 BCC BBA，BC， 1 BB两两垂直 以B为坐标原点，分别
20、以BA，BC， 1 BB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图 (0,0,0)B，(2,0,0)A，(0,2,0)C， 1(0,0,2) B， 1(2,0,2) A， 1(0,2,2) C， (1,1,0)E ， (0,2,1)F 由题设 ( ,0,2)D a(02)a (1)(0,2,1)BF =，(1,1, 2)DEa=， xmath先锋数学先锋数学 第第 9 页页/共共 14 页 页 0 (1)2 1 1 ( 2)0BF DEa=+ + =，BFDE (2)设平面DFE的法向量为 ( , , )mx y z= ， ( 1,1,1)EF = ，(1,1, 2)DEa=， 0 0 m
21、 EF m DE = = ，即 0 (1)20 xyz a xyz += += 令2za=，则 (3,1,2)maa=+ 平面 11 BCC B的法向量为(2,0,0)BA=， 设平面 11 BCC B与平面DEF的二面角的平面角为， 则|cos| | | |m BA mBA = 22 63 222142214aaaa = + 当 1 2 a =时， 2 224aa+取最小值为 27 2 ，此时cos取最大值为 36 327 2 = 2 min 63 sin1 () 33 ()= ，此时 1 1 2 B D = 20(12 分)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：1x =交C于P
22、，Q两点，且 OPOQ已知点(2,0)M，且M与l相切 (1)求C， M的方程； (2)设 1 A， 2 A， 3 A是C上的三个点，直线 12 A A， 13 A A均与M相切判断直线 23 A A与的位 置关系，并说明理由 【解析】(1)设抛物线C： 2 2ypx=(0)p ， 0 (1,)Py， 0 (1,)Qy， OPOQ ， 2 0 1120OP OQyp= = =， 21p= ，抛物线C的方程为 2 yx=， (0,2)M ，M与1x =相切，半径为1，M的方程为 22 (2)1xy+=； (2)设 111 ()A x y， 222 (,)A xy， 333 (,)A xy， 若
23、12 A A斜率不存在，则 12 A A方程为1x =或3x =， 若 12 A A方程为1x =，根据对称性不妨设 1(1,1) A， xmath先锋数学先锋数学 第第 10 页页/共共 14 页 页 则过 1 A与圆M相切的另一条直线方程为1y =， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 3 A，不合题意； 若 12 A A方程为3x =，根据对称性不妨设 1(3, 3) A， 2(3, 3)A， 则过 1 A与圆M相切的直线 13 A A为 3 3(3) 3 yx=， 又 1 3 13 1313 1 A A yy k xxyy = + 3 13 33y = + ， 3 0y=， 3
24、0 x =， 3(0,0) A，此时直线 13 A A， 23 A A关于x轴对称，直线 23 A A与圆M相切； 若直线 12 A A， 13 A A， 23 A A斜率均存在，则 1 2 12 1 A A k yy = + ， 1 3 13 1 A A k yy = + ， 23 23 1 A A k yy = + ， 直线 12 A A方程为 11 12 1 ()yyxx yy = + ，整理得 1212 ()0 xyyyy y+=， 同理直线 13 A A的方程为 1313 ()0 xyyyy y+=， 直线 23 A A的方程为 2323 ()0 xyyyy y+=， 12 A A与
25、圆M相切， 12 2 12 |2| 1 1 () y y yy + = + ，整理得 222 12121 (1)230yyy yy+ =， 13 A A与圆M相切，同理 222 13131 (1)230yyy yy+ =， 2 y， 3 y为方程 222 111 (1)230yyy yy+ =的两根， 1 23 2 1 2 1 y yy y += ， 2 1 23 2 1 3 1 y yy y = ， M到直线 23 A A的距离为： 2 1 2 231 2 2 1 23 2 1 3 |2| |2|1 2 1 () 1 () 1 y y yy y yy y + + = + + 22 11 2
26、222 1 11 |1|1 1 1 (1)4 yy y yy + = + + ， 直线 23 A A与圆M相切；综上若直线 12 A A， 13 A A与圆M相切，则直线 23 A A与圆M相切 21(12 分)已知0a 且1a ，函数( ) a x x f x a = (0)x (1)当2a =时，求 ( )f x的单调区间； xmath先锋数学先锋数学 第第 11 页页/共共 14 页 页 (2)若曲线( )yf x=与直线1y =有且仅有两个交点，求a的取值范围 【解析】(1)当2a =时， 2 ( ) 2x x f x =， 2 2 222 ln2 ( ) (2 ) xx x xx f
27、x = 2 (2ln2) 4 x x xx =， 令 ( )0fx= 得 2 ln2 x =，当 2 0 ln2 x时， ( )0fx ，当 2 ln2 x 时， ( )0fx ， 函数( )f x在 2 (0, ln2 上单调递增； 2 ,) ln2 +上单调递减； (2)( )1 a xa x x f xax a = =lnlnxaax= lnlnxa xa =， 设函数 ln ( ) x g x x =，则 2 1 ln ( ) x g x x =，令( )0g x=，得x e= ， 在(0, ) e内( )0g x ， ( )g x单调递增；在( ,)e +上( )0g x ， ( )
28、g x单调递减； 1 ( )( ) max g xg e e =， 又 (1)0g= ，当x趋近于+时， ( )g x趋近于 0， 曲线( )yf x=与直线1y =有且仅有两个交点， 即曲线 ( )yg x= 与直线 ln a y a =有两个交点的充分必要条件是 ln1 0 a ae ， 这即是0 ( )( )g ag e ，a的取值范围是(1, ) ( ,)ee+ ( (二二) )选考题选考题请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系x
29、Oy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方 程2 2cos= (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足 2APAM=，写出P的轨迹 1 C的 参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点 【解析】(1)当2a =时， 2 ( ) 2x x f x =， 2 2 222 ln22 (2ln2) ( ) (2 )4 xxx xx xxxx fx =， 令 ( )0fx= 得 2 ln2 x =，当 2 0 ln2 x时， ( )0fx ，当 2 ln2 x 时， ( )0fx ， 函数( )f x在 2 (0,
30、 ln2 上单调递增； 2 ,) ln2 +上单调递减； (2)( )1 a x x f x a = xa ax=lnlnxaax= lnlnxa xa =，设函数 ln ( ) x g x x =， 则 2 1 ln ( ) x g x x =，令( )0g x=，得xe=， xmath先锋数学先锋数学 第第 12 页页/共共 14 页 页 在(0, ) e内( )0g x ， ( )g x单调递增；在( ,)e +上( )0g x ， ( )g x单调递减； 1 ( )( ) max g xg e e =， 又 (1)0g= ，当x趋近于+时， ( )g x趋近于 0，曲线( )yf x=
31、 与直线 1y = 有且仅有两个交点， 即曲线 ( )yg x= 与直线 ln a y a =有两个交点的充分必要条件是 ln1 0 a ae ， 这即是0 ( )( )g ag e ，a的取值范围是(1, ) ( ,)ee+ ( (二二) )选考题选考题请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方 程 2 2cos= (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点
32、A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足 2APAM= ，写出P的轨迹 1 C的 参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点 【解析】(1)由曲线C的极坐标方程2 2cos=可得 2 2 2cos=， 将 cosx= ， siny= 代入可得 22 2 2xyx+=，即 22 (2)2xy+=， 即曲线 C 的直角坐标方程为 22 (2)2xy+=； (2)设 ( , )P x y，设 ( 22, 2sin )Mcos+ 2APAM=，(1, )2( 221, 2sin )xycos=+(22cos2,2sin )=+， 则 122cos2 2sin x y =+ = ，即 322co
33、s 2sin x y =+ = ， 故 P的轨迹 1 C的参数方程为 322cos 2sin x y =+ = （为参数） 曲线 C的圆心为( 2,0)，半径为2，曲线 1 C的圆心为(32,0)，半径为 2， 则圆心距为32 2，32 222，两圆内含，故曲线 C与 1 C没有公共点 23选修 4-5：不等式选讲(10分) 已知函数 ( ) |2|f xx= ， ( ) |23|21|g xxx=+ (1)画出 ( )yf x= 和 ( )yg x= 的图象； xmath先锋数学先锋数学 第第 13 页页/共共 14 页 页 (2)若()( )f xag x+，求a的取值范围 【解析】(1)
34、可得 2,2 ( ) |2| 2,2 x x f xx xx = ，画出图像如下： ( ) |23|21|g xxx=+ 3 4, 2 31 42, 22 1 4, 2 x xx x =+ ，画出函数图像如图： (2)() |2|f xaxa+=+，如图，在同一个坐标系里画出( )f x，( )g x图像， ()yf xa=+是( )yf x=平移了|a个单位得到， 则要使()( )f xag x+，需将( )yf x=向左平移，即 0a ， 当()yf xa=+过 1 ( ,4) 2 A 时， 1 |2| 4 2 a+= ，解得 11 2 a = 或 5 2 (舍去)， 则数形结合可得需至少
35、将( )yf x=向左平移11 2 个单位， 11 2 a xmath先锋数学先锋数学 第第 14 页页/共共 14 页 页 xmath爱科思爱科思数学数学 第第 1 页页/共共 11 页 页 2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷甲卷)文文科科 公式：505 时间：2021-06-13 15:26 一、选择题一、选择题 1设集合 1,3,5,7,9M = ， |27Nxx= ，则 ()MN= A7,9 B5,7,9 C3,5,7,9 D1,3,5,7,9 【答案】B 【解析】 7 ( ,) 2 N =+，故5,7,9MN= 2 【理 2】
36、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的 调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( ) A该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【解析】A低于4.5万元的比率估计为0.02 10.04 10.066% + =，正确； B不低于10.5万元的比索估计为(0.04 0.023) 10.110%+ = ，正确； C
37、平均值为：(3 0.02 4 0.045 0.1+ 60.1470.28 0.2+ + 90.1 100.1 11 0.04+ +120.0213 0.02140.02) 1+7.68=万元，错误 D4.5万到8.5万的比率为：0.1 1 0.14 10.2 10.2 10.64 + + + =，正确 3己知 2 (1)32izi=+，则z =( ) A 3 1 2 i B 3 1 2 i + C 3 2 i+ D 3 2 i 【答案】B xmath爱科思爱科思数学数学 第第 2 页页/共共 11 页 页 【解析】 2 (1)232izizi= =+， 32(32 ) 22 iii z ii
38、i + = 233 1 22 i i + = + 4下列函数中是增函数的为( ) A( )f xx= B 2 ( )( ) 3 x f x = C 2 ( )f xx= D 3 ( )f xx= 【答案】D 【解析】对于 A， ( )f xx= 为R上的减函数，不合题意； 对于 B， 2 ( )( ) 3 x f x =为R上的减函数，不合题意； 对于 C， 2 ( )f xx=在(,0)为减函数，不合题意； 对于 D， 3 ( )f xx=为R上的增函数，符合题意 5点(3,0)到双曲线 22 1 169 xy =的一条渐近线的距离为( ) A 9 5 B 8 5 C 6 5 D 4 5 【
39、答案】A 【解析】双曲线的渐近线方程为： 22 0 169 xy =，即3 40 xy= ， 结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3 40 xy+= 的距离： 909 5916 d + = + 6 【理 4】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和 小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足 5lgLV=+ 已知某同 学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 10 ( 101.259)( ) A1.5 B1.2 C0.8 D0.6 【答案】C 【解析】将4.9代入 5lgLV=+ ，知lg 4.950.1V =
40、 ，故 0.1 10 1 100.8 10 V = 7 【理 6】在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥 AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是( ) 【答案】D 【解析】直观图如下 xmath爱科思爱科思数学数学 第第 3 页页/共共 11 页 页 8在ABC中，已知 120B =，19AC =，2AB =，则BC =( ) A1 B 2 C5 D3 【答案】D 【解析】设ABc=，ACb=，BCa=， 结合余弦定理： 222 2cosbacacB=+可得： 2 1942cos120aa=+， 即： 2 2150aa+=，解得：
41、 3a =(5a = 舍去)，故3BC = 9记 n S为等比数列 n a的前n项和若 2 4S =， 4 6S =，则 6 S =( ) A7 B8 C9 D10 【答案】A 【解析】由等比数列和的性质，每m项的依然成等比， 2 S， 42 SS， 64 SS成等比数列， 2 4S =， 42 642SS=， 64 1SS=， 64 1167SS= += += 10将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为( ) A0.3 B0.5 C0.6 D0.8 【答案】C 【解析】将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可以是： 00111，01011，011
42、01，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共 10 种排法， 其中 2 个 0 不相邻的排列方法为：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共 6 种方法， 故 2 个 0 不相邻的概率为 6 =0.6 10 11 【理 9】若(0,) 2 ， cos tan2 2sin = ，则tan=( ) A 15 15 B 5 5 C 5 3 D 15 3 【答案】A 【解析】 222 2tan2sincoscos tan2 1tancossin2sin = ， 22 2sin(2sin)cossin=， 2 4sin2s
43、in 22 cossin= 2 12sin= ， xmath爱科思爱科思数学数学 第第 4 页页/共共 11 页 页 1 sin 4 =又(0,) 2 ，故 15 cos 4 =， 115 tan 1515 = 12设( )f x是定义域为R的奇函数，且 (1)()fxfx+=若 11 () 33 f = ，则 5 ( ) 3 f=( ) A 5 3 B 1 3 C 1 3 D 5 3 【答案】C 【解析】 52 ( )(1) 33 ff=+ 22 ()( ) 33 ff= ， 而 211 ( )(1)( ) 333 fff= 11 () 33 f= = ，故 51 ( ) 33 f=. 二、
44、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13若向量a，b满足| | 3a = ，| 5ab=，1a b=，则|b =_ 【答案】3 2 【解析】| 5ab=， 2222 |29 |225ababa bb=+= + =，| 3 2b = 14己知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为_ 【答案】39 【解析】 2 1 630 3 Vh=， 5 2 h =； 2222 5 ( )6 2 lhr=+=+ 13 2 =，侧面积为 13 639 2 Srl= = 15已知函数 ( )2cos()f xx=+ 的部分图像
45、如图所示，则() 2 f =_ 【答案】3 【解析】 3133 41234 T =，T=， 2 2 T =， 当 13 12 x =时， 13 22 12 xk +=+=， 13 2 6 k=(Z)k ， 令1k =可得： 6 = ，故( )2cos(2) 6 f xx =， x y 13 12 3 2 O xmath爱科思爱科思数学数学 第第 5 页页/共共 11 页 页 5 ()2cos(2)2cos3 2266 f = 16 【理 15】已知 1 F， 2 F为桶圆C： 22 1 164 xy +=两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两 点，且 12 | |PQFF=，则四边形 12
46、 PFQF的面积为_ 【答案】8 【解析】由椭圆的对称性及 12 | |PQFF=知，四边形 12 PFQF为矩形， 设 1 |PFm=， 2 |PFn=，由椭圆的定义得28mna+=， 在 12 Rt PFF中，则 222 12 |48mnFF+=，即 2 ()248mnmn+=， 将上式代入得8mn =，四边形 12 PFQF的面积为 12 | |8PFPFmn= 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 17211721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答第第 2222
47、、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17(12 分)【理 17】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两 台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 【解析】(1)由表格数据得： 甲机床生产的产品中一级品的频率为 1503 2004 =； 乙机床生产的产品中一级品的频率为 1203 2005 =； (2) 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd
48、ac bd = + 2 400 (150 80 120 50) 200 200 270 130 = 10.2566.635， 有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异 18记 n S为 n a的前n项和，已知0 n a ， 21 3aa=，且数列 n S是等差数列证明： n a是等 差数列 【解析】数列 n S是等差数列，设公差为d 212111 SaaaaS+=， xmath爱科思爱科思数学数学 第第 6 页页/共共 11 页 页 111 (1) n Snaaan=+=(N )n ， ， 1 2 n Sa n=(N )n ， 当2n 时， 22 111( 1) nnn aS
49、Sa na n = 11 2a na=， 当1n =时， 111 21aaa =，满足 11 2 n aa na=， n a的通项公式为 11 2 n aa na=(N )n ， 111111 (2)2(1)2 nn aaa naa naa =， n a是等差数列 19已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形2ABBC=，E，F分别为AC和 1 CC的中点， 11 BFAB； (1)求三棱锥FEBC的体积； (2)已知D为棱 11 AB上的点，证明：BF DE 【解析】(1)如图所示，连结AF， 22 415BFBCCF=+=+= ， 由于 1 ABBB，BCAB，
50、 1 BBBCB=，故AB 平面 11 BCC B， 而BF 平面 11 BCC B，故AB BF， 从而有 22 453AFABBF=+=+= ，从而 22 9 12 2ACAFCF= ， 则 222 ABBCAC+=，ABBC，ABC为Rt， 111 (2 2)1 222 BCEABC Ss = =， 111 1 1 333 F EBCBCE VSCF = = xmath爱科思爱科思数学数学 第第 7 页页/共共 11 页 页 (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为 2 的正方体 1111 ABCMABC M， 如图所示，取棱AM，BC的中点H，G，连结 1 AH，HG， 1 GB
