1、2021 年山东省泰安市中考数学试卷年山东省泰安市中考数学试卷 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 12 小题小题，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的只有一个是正确的，请把正请把正 确的选项选出来，每小题选对得确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1下列各数：4，2.8，0，|4|，其中比3 小的数是（） A4B|4|C0D2.8 2下列运算正确的是（） A2x2+3x35x5B （2x）36x3 C （x+y）2x2+y2D （3x+2） （23x）49x2 3如图是由
2、若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该 位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） ABCD 4如图，直线 mn，三角尺的直角顶点在直线 m 上，且三角尺的直角被直线 m 平分，若 160，则下列结论错误的是（） A275B345C4105D5130 5为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况， 调查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所 调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（） A7h，7hB8h，7.5hC7h，7.5hD8h，8h 6如图，在ABC 中，AB6，以点 A 为圆心，3
3、 为半径的圆与边 BC 相切于点 D，与 AC， AB分别交于点E和点G， 点F是优弧GE上一点， CDE18， 则GFE的度数是 （） A50B48C45D36 7已知关于 x 的一元二次方程 kx2（2k1）x+k20 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（） AkBkCk且 k0Dk且 k0 8将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线 必定经过（） A （2，2）B （1，1）C （0，6）D （1，3） 9如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，B90，BCD120，AB2，CD 1，则 AD 的长为（） A22B3C4D2
4、 10如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BD 的中点，则下列四个结论： AMCN； 若 MDAM，A90，则 BMCM； 若 MD2AM，则 SMNCSBNE； 若 ABMN，则MFN 与DFC 全等 其中正确结论的个数为（） A1 个B2 个C3 个D4 个 11如图，为了测量某建筑物 BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端 B 在 同一水平线上的 A 点出发，沿斜坡 AD 行走 130 米至坡顶 D 处，再从 D 处沿水平方向继 续前行若干米后至点 E 处，在 E 点测得该建筑物顶端 C 的仰角为 60，建筑物底端 B 的俯角为 45，点 A、B、C、D、E 在同一平
5、面内，斜坡 AD 的坡度 i1：2.4根据小 颖的测量数据，计算出建筑物 BC 的高度约为（参考数据：1.732） （） A136.6 米B86.7 米C186.7 米D86.6 米 12如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC5，点 P 在线段 BC 上运动（含 B、C 两点） ， 连接 AP，以点 A 为中心，将线段 AP 逆时针旋转 60到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ 的 最小值为（） ABCD3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 18 分。只要求填写最后结果，每小题填对得分。只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）分） 13 （3 分）2021
6、年 5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次 火星探测任务着陆火星取得圆满成功探测器距离地球约 3.2 亿千米数据 3.2 亿千米用 科学记数法可以表示为千米 14 （3 分） 九章算术中记载： “今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得 甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是： “今有甲乙二人，不知其钱包里 有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱 数也为 50问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，根据题意，可列方 程组为 15 （3 分）如图是抛物线 yax2+bx+c 的部分图象
7、，图象过点（3，0） ，对称轴为直线 x1， 有下列四个结论：abc0；ab+c0；y 的最大值为 3；方程 ax2+bx+c+1 0 有实数根其中正确的为（将所有正确结论的序号都填入） 16 （3 分）若ABC 为直角三角形，ACBC4，以 BC 为直径画半圆如图所示，则阴影 部分的面积为 17 （3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠（ADAB） ，使 AB 落在 AD 上，AE 为折痕，然 后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将 BE 边折起，使点 B 落在 AE 上的点 G 处，连接 DE，若 DEEF，CE2，则 AD 的长为 18 （3 分）如图，点 B1在直线 l：yx
8、 上，点 B1的横坐标为 2，过点 B1作 B1A1l，交 x 轴于点 A1，以 A1B1为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1交 x 轴于点 A2；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2交 x 轴于点 A3；以 A3B3为边，向右作正方形 A3B3B4C3， 延长 B4C3交 x 轴于点 A4； ； 照这个规律进行下去， 则第 n 个正方形 AnBnBn+1n 的边长为（结果用含正整数 n 的代数式表示） 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 7 小题小题，满分满分 78 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步证明过
9、程或推演步 骤）骤） 19 （10 分） （1）先化简，再求值：，其中 a+3； （2）解不等式：1 20 （10 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，落实教育部关于在中小学组织开展“从小 学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调 查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表根据统计图表提供的信息， 解答下列问题： （1）本次共调查了名学生；C 组所在扇形的圆心角为度； （2）该校共有学生 1600 人，若 90 分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？ （3）若 E 组 14 名学生中有 4 人满分，设这 4 名学生为 E1，E2，E3，E4，从
10、其中抽取 2 名学生代表学校参加上一级比赛， 请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 E1， E2 的概率 竞赛成绩统计表（成绩满分 100 分） 组别分数人数 A 组75x 80 4 B 组80 x 85 C 组85x 90 10 D 组90 x 95 E 组95x 100 14 合计 21 （10 分）如图，点 P 为函数 yx+1 与函数 y（x0）图象的交点，点 P 的纵坐标 为 4，PBx 轴，垂足为点 B （1）求 m 的值； （2） 点 M 是函数 y （x0） 图象上一动点， 过点 M 作 MDBP 于点 D， 若 tanPMD ，求点 M 的坐标 22 （10 分）接种疫苗是阻断
11、新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急 批量生产， 计划每天生产疫苗 16 万剂， 但受某些因素影响， 有 10 名工人不能按时到厂 为 了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作 8 小时增加到 10 小时，每人每小时 完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗 15 万剂 （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产 4 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为 10 小时若上级 分配给该厂共 760 万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 23 （11 分）四边形 ABCD 为矩形，E 是 AB 延长线上的一点 （1）若 ACEC，如图 1，求
12、证：四边形 BECD 为平行四边形； （2）若 ABAD，点 F 是 AB 上的点，AFBE，EGAC 于点 G，如图 2，求证：DGF 是等腰直角三角形 24 （13 分）二次函数 yax2+bx+4（a0）的图象经过点 A（4，0） ，B（1，0） ，与 y 轴 交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上一点，连接 BP、AC，交于点 Q，过点 P 作 PD x 轴于点 D （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，当DPB2BCO 时，求直线 BP 的表达式； （3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点 P 的坐标，如没有请说明理 由 25 （14 分）如图 1，O 为半圆的圆
13、心，C、D 为半圆上的两点，且连接 AC 并延 长，与 BD 的延长线相交于点 E （1）求证：CDED； （2）AD 与 OC，BC 分别交于点 F，H 若 CFCH，如图 2，求证：CFAFFOAH； 若圆的半径为 2，BD1，如图 3，求 AC 的值 2021 年山东省泰安市中考数学试卷年山东省泰安市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 12 小题小题，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的只有一个是正确的，请把正请把正 确的选项选出来，每小题选对得确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案
14、超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1下列各数：4，2.8，0，|4|，其中比3 小的数是（） A4B|4|C0D2.8 【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切 负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】解：|4|4， 432.80|4|， 其中比3 小的数是4 故选：A 2下列运算正确的是（） A2x2+3x35x5B （2x）36x3 C （x+y）2x2+y2D （3x+2） （23x）49x2 【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可 【解答】解：A 选项，2x2与 3x3不
15、是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题 意； B 选项，原式8x3，故该选项计算错误，不符合题意； C 选项，原式x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意； D 选项，原式22（3x）249x2，故该选项计算正确，符合题意； 故选：D 3如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该 位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） ABCD 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有 4 个个小正方形，第 三列有 3 个小正方形， 故选：B 4如图，直线 mn，三角尺的直角顶点在直线
16、 m 上，且三角尺的直角被直线 m 平分，若 160，则下列结论错误的是（） A275B345C4105D5130 【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题 【解答】解：如图， 三角尺的直角被直线 m 平分， 6745， 41+645+60105， mn， 3745，2180475， 5180318045135， 故选项 A、B、C 正确， 故选：D 5为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况， 调查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所 调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（） A7h，7hB
17、8h，7.5hC7h，7.5hD8h，8h 【分析】直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可 【解答】解：7h 出现了 19 次，出现的次数最多， 所调查学生睡眠时间的众数是 7h； 共有 50 名学生，中位数是第 25、26 个数的平均数， 所调查学生睡眠时间的中位数是7.5（h） 故选：C 6如图，在ABC 中，AB6，以点 A 为圆心，3 为半径的圆与边 BC 相切于点 D，与 AC， AB分别交于点E和点G， 点F是优弧GE上一点， CDE18， 则GFE的度数是 （） A50B48C45D36 【分析】连接 AD,根据切线的性质得到 ADBC,根据垂直的定义得到ADBADC 90
18、,根据直角三角形的性质得到B30,根据三角形的内角和定理得到GAD60, 根据等腰三角形的性质得到AEDADE72,根据圆周角定理即可得到结论。 【解答】解：连接 AD, BC 与A 相切于点 D， ADBC, ADBADC90, AB6,AGAD3, ADAB, B30, GAD60, CDE18， ADE901872, ADAE, AEDADE72, DAE180ADEAED180727236, BACBAD+CAD60+3696, GFEGAE9648, 故选：B 7已知关于 x 的一元二次方程 kx2（2k1）x+k20 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（） AkBkCk
19、且 k0Dk且 k0 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k0 且（2k1）24k（k 2）0，然后其出两个不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k0 且（2k1）24k（k2）0， 解得 k且 k0 故选：C 8将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线 必定经过（） A （2，2）B （1，1）C （0，6）D （1，3） 【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减， 进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可 【解答】解：yx22x+3 （x2+2x）+3 （x+1）21+3 （x+
20、1）2+4， 将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到的抛物线解析式为：yx2+2， 当 x2 时，y（2）2+24+22，故（2，2）不在此抛物线上，故 A 选 项不合题意； 当 x1 时，y（1）2+21+21，故（1，1）在此抛物线上，故 B 选项符 合题意； 当 x0 时，y02+20+22，故（0，6）不在此抛物线上，故 A 选项不合题意； 当 x1 时，y12+21+21，故（1，3）不在此抛物线上，故 A 选项不合题意； 故选：B 9如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，B90，BCD120，AB2，CD 1，则 AD 的长为（）
21、 A22B3C4D2 【分析】延长 AD、BC 交于 E，先利用直角三角形的性质求得 AE 的长，然后再求得 DE 的长，从而求得答案 【解答】解：延长 AD、BC 交于 E， BCD120， A60， B90， ADC90，E30， 在 RtABE 中，AE2AB4， 在 RtCDE 中，DE， ADAEDE4， 故选：C 10如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BD 的中点，则下列四个结论： AMCN； 若 MDAM，A90，则 BMCM； 若 MD2AM，则 SMNCSBNE； 若 ABMN，则MFN 与DFC 全等 其中正确结论的个数为（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【分
22、析】 根据平行四边形的性质， 证明MDBNBD， 从而判断正确； 若 MDAM， A90，则平行四边形 ABCD 为矩形，通过证明BAMCDM 可以判断；过点 M 作 MGBC，交 BC 于 G，过点 E 作 EHBC，交 BC 于 H，通过三角形面积公式可以 判断；若 ABMN 则四边形 MNCD 是等腰梯形，通过证明MNCDCN 和MFN DFC 即可判断 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， ADBCBD， E 是 BD 的中点， BEDE， 在MDB 和NBD 中， ， MDBNBD（ASA） ， DMBN， AMCN， 故正确； 若 MDAM，A90，
23、则平行四边形 ABCD 为矩形， DA90， 在BAM 和CDM 中， ， BAMCDM（SAS） ， BMCM， 故正确； 过点 M 作 MGBC，交 BC 于 G，过点 E 作 EHBC，交 BC 于 H， 由可知四边形 MBCD 是平行四边形，E 为 BD 中点， MG2EH， 又MD2AM，BNMD，AMNC， SANCNCMGBN2EHBNEHSBNE， 故正确； ABMN，ABDC， MNDC， 四边形 MNCD 是等腰梯形， MNCDCN， 在MNC 和DCN 中， ， MNCDCN（SAS） ， NMCCDN， 在MFN 和DFC 中， ， MFNDFC（AAS） ， 故正确
24、正确的个数是 4 个， 故选：D 11如图，为了测量某建筑物 BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端 B 在 同一水平线上的 A 点出发，沿斜坡 AD 行走 130 米至坡顶 D 处，再从 D 处沿水平方向继 续前行若干米后至点 E 处，在 E 点测得该建筑物顶端 C 的仰角为 60，建筑物底端 B 的俯角为 45，点 A、B、C、D、E 在同一平面内，斜坡 AD 的坡度 i1：2.4根据小 颖的测量数据，计算出建筑物 BC 的高度约为（参考数据：1.732） （） A136.6 米B86.7 米C186.7 米D86.6 米 【分析】作 DHAB 于 H，延长 DE 交 BC
25、于 F则四边形 DHBF 是矩形，在 RtADH 中求出 DH，再在 RtEFB 中求出 EF，在 RtEFC 中求出 CF 即可解决问题 【解答】解：如图作 DHAB 于 H，延长 DE 交 BC 于 F 在 RtADH 中，AD130 米，DH：AH1：2.4， DH50（米） ， 四边形 DHBF 是矩形， BFDH50（米） ， 在 RtEFB 中，BEF45， EFBF50 米， 在 RtEFC 中，FCEFtan60， CF5086.6（米） ， BCBF+CF136.6（米） 故选：A 12如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC5，点 P 在线段 BC 上运动（含 B、C 两点
26、） ， 连接 AP，以点 A 为中心，将线段 AP 逆时针旋转 60到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ 的 最小值为（） ABCD3 【分析】 如图， 以 AB 为边向右作等边ABF,作射线 FQ 交 AD 于点 E,过点 D 作 DHQE 于 H 利用全等三角形的性质证明AFQ90,推出AEF60,推出点 Q 的运动轨迹 是射线 FE,求出 DH,可得结论 【解答】解：如图，以 AB 为边向右作等边ABF,作射线 FQ 交 AD 于点 E,过点 D 作 DH QE 于 H 四边形 ABCD 是矩形， ABPBAE90, ABF,APQ 都是等边三角形， BAFPAQ60,BAFA,PAQA,
27、 BAPFAQ, 在BAP 和FAQ 中， , BAPFAQ(SAS), ABPAFQ90, FAE906030, AEF903060, ABAF5,AEAFcos30, 点 Q 的运动轨迹是射线 FE, ADBC5, DEADAE, DHEF,DEHAEF60, DHDEsin60, 根据垂线段最短可知，当点 Q 与 H 重合时，DQ 的值最小，最小值为， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 18 分。只要求填写最后结果，每小题填对得分。只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）分） 13 （3 分）2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，
28、天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次 火星探测任务着陆火星取得圆满成功探测器距离地球约 3.2 亿千米数据 3.2 亿千米用 科学记数法可以表示为3.2108千米 【分析】把一个大于 10 的数写成科学记数法形式：a10n，其中 1a10，n 为正整数， n 的值比这个数的位数少 1 【解答】解：3.2 亿3200000003.2108， 故答案为：3.2108 14 （3 分） 九章算术中记载： “今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得 甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是： “今有甲乙二人，不知其钱包里 有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其
29、的钱给乙，则乙的钱 数也为 50问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，根据题意，可列方 程组为 【分析】根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱 数也为 50 和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， ， 故答案为： 15 （3 分）如图是抛物线 yax2+bx+c 的部分图象，图象过点（3，0） ，对称轴为直线 x1， 有下列四个结论：abc0；ab+c0；y 的最大值为 3；方程 ax2+bx+c+1 0 有实数根其中正确的为（将所有正确结论的序号都填入） 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与
30、0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系，然后根据对称轴判定 b 与 0 的关系；当 x1 时，yab+c；然后由图象确定 当 y1 时，x 的值有 2 个 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 对称轴 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴， c0， abc0，故错误； 抛物线与 x 轴的交点（3，0） ，对称轴为直线 x1， 抛物线 x 轴的另一个交点在（1，0） ， 当 x1 时，yab+c0，即正确； 由图象无法判断 y 的最大值，故错误； 方程 ax2+bx+c+10，可看作二次函数 yax2+bx+c 与 y1 的交点个数， 由图象可知，必
31、然有 2 个交点，即方程 ax2+bx+c+10 有 2 个不想等的实数根 故正确 故答案为： 16 （3 分）若ABC 为直角三角形，ACBC4，以 BC 为直径画半圆如图所示，则阴影 部分的面积为4 【分析】连接 CD构建直径所对的圆周角BDC90，然后利用等腰直角ABC 的 性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得 CDBDAD，从而求得弦 BD 与 CD 所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积直角三角形 ABC 的面积 直角三角形 BCD 的面积 【解答】解：连接 CD BC 是直径， BDC90，即 CDAB； 又ABC 为等腰直角三角形， CD 是斜边 AB 的垂
32、直平分线， CDBDAD, , S弓形BDS弓形CD， S阴影SRtABCSRtBCD； ABC 为等腰直角三角形，CD 是斜边 AB 的垂直平分线， SRtABC2SRtBCD； 又 SRtABC448， S阴影4； 故答案为：4 17 （3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠（ADAB） ，使 AB 落在 AD 上，AE 为折痕，然 后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将 BE 边折起，使点 B 落在 AE 上的点 G 处，连接 DE，若 DEEF，CE2，则 AD 的长为4+2 【分析】证明 RtEBFRtEBD（HL）,推出 BFDB,再证明 DBECBF2, 想办法求出 A
33、B,可得结论。 【解答】解：由翻折的性质可知，EBEB,BABEEBD90, 在 RtEBF 和 RtEBD 中， , RtEBFRtEBD（HL）, BFDB, 四边形 ABCD 是矩形， CCDBEBD90, 四边形 ECDB是矩形， DBEC2, BFEC2, 由翻折的性质可知，BFFG2,FAG45,AGFBAGF90, AGFG2, AF2 ABAB2+2, ADAB+DB4+2, 故答案为：4+2。 18 （3 分）如图，点 B1在直线 l：yx 上，点 B1的横坐标为 2，过点 B1作 B1A1l，交 x 轴于点 A1，以 A1B1为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2
34、C1交 x 轴于点 A2；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2交 x 轴于点 A3；以 A3B3为边，向右作正方形 A3B3B4C3， 延长 B4C3交 x 轴于点 A4； ； 照这个规律进行下去， 则第 n 个正方形 AnBnBn+1n 的边长为（结果用含正整数 n 的代数式表示） 【分析】设直线 yx 与 x 轴夹角为，过 B1作 B1Hx 轴于 H，由点 B1的横坐标为 2， 点 B1在直线 l： yx 上， 可得 OH2， B1H1， OB1， tan ,RtA1B1O 中，求得 A1B1OB1tan，即第 1 个正方形边长是，在 Rt A2B2O 中，求
35、得第 2 个正方形边长是，在 RtA3B3O 中，求得第 3 个正方形边长 是（）2，在 RtA4B4O 中，求得第 4 个正方形边长是 ()3，.观察规律即可得：第 n 个正方形边长是()n 1 【解答】解：设直线 yx 与 x 轴夹角为，过 B1作 B1Hx 轴于 H，如图： 点 B1的横坐标为 2，点 B1在直线 l：yx 上，令 x2 得 y1, OH2，B1H1，OB1， tan, RtA1B1O 中，A1B1OB1tan，即第 1 个正方形边长是， OB2OB1+B1B2+3， RtA2B2O中， A2B2OB2tan3， 即第2个正方形边长是， OB3OB2+B2B33+， Rt
36、A3B3O 中，A3B3OB3tan，即第 3 个正方形边长是 （）2， OB4OB3+B3B4+， RtA4B4O 中，A4B4OB4tan，即第 4 个正方形边长是 ()3， . 观察规律可知：第 n 个正方形边长是()n 1， 故答案为：()n 1 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 7 小题小题，满分满分 78 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步证明过程或推演步 骤）骤） 19 （10 分） （1）先化简，再求值：，其中 a+3； （2）解不等式：1 【分析】 （1）分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面 的，然后代入求
37、值； （2）解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化 1 的步骤进 行计算求解 【解答】解： （1）原式 ， 当 a+3 时，原式； （2）去分母，得：8（7x1）2（3x2） ， 去括号，得：87x+16x4， 移项，得：7x6x418， 合并同类项，得：13x13， 系数化 1，得：x1 20 （10 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，落实教育部关于在中小学组织开展“从小 学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调 查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表根据统计图表提供的信息， 解答下列问题： （1）本次共调查了50名
38、学生；C 组所在扇形的圆心角为72度； （2）该校共有学生 1600 人，若 90 分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？ （3）若 E 组 14 名学生中有 4 人满分，设这 4 名学生为 E1，E2，E3，E4，从其中抽取 2 名学生代表学校参加上一级比赛， 请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 E1， E2 的概率 竞赛成绩统计表（成绩满分 100 分） 组别分数人数 A 组75x 80 4 B 组80 x 85 C 组85x 90 10 D 组90 x 95 E 组95x 100 14 合计 【分析】 （1）用 A 组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数；用 360乘以 C
39、组人数所占的百分比得到 C 组的圆心角的度数； （2） 先计算出 D 组的人数， 然后用 1600 乘以样本中 D 组和 E 组人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出恰好抽到 E1，E2 的结果数，然后根据 概率公式求解。 【解答】解： （1）本次共调查的学生1428%50（人） ； C 组的圆心角为 36072， 故答案为 50；72； （2）B 组的人数为 5012%16（人） ， 则 D 组的人数为 504611416（人） ， 则优秀的人数为 1600960（人） ； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到 E1，E2 的结果数
40、为 2， 所以恰好抽到 E1，E2 的概率 21 （10 分）如图，点 P 为函数 yx+1 与函数 y（x0）图象的交点，点 P 的纵坐标 为 4，PBx 轴，垂足为点 B （1）求 m 的值； （2） 点 M 是函数 y （x0） 图象上一动点， 过点 M 作 MDBP 于点 D， 若 tanPMD ，求点 M 的坐标 【分析】 （1）根据点 P 为函数 yx+1 图象的点，点 P 的纵坐标为 4，可以求得点 P 的 坐标，进而求得 m 的值； （2）设点 M 的坐标（x，y） ，分两种情况：点 M 在点 P 右侧，点 M 在点 P 左侧，根据 tanPMD得，根据点 P 的坐标求出 x、
41、y 的值，即可得出答案 【解答】解：点 P 为函数 yx+1 图象的点，点 P 的纵坐标为 4， 4x+1，解得：x6， 点 P（6，4） ， 点 P 为函数 yx+1 与函数 y（x0）图象的交点， 4， m24； （2）设点 M 的坐标（x，y） ， tanPMD， ， 点 M 在点 P 右侧，如图， 点 P（6，4） ， PD4y，DMx6， ， xym24， y， 2（4）x6，解得：x6 或 8， 点 M 在点 P 右侧， x8， y3， 点 M 的坐标为（8，3） ； 点 M 在点 P 左侧， 点 P（6，4） ， PDy4，DM6x， ， xym24， y， 2（4）x6，解得：
42、x6 或 8， 点 M 在点 P 左侧， 此种情况不存在； 点 M 的坐标为（8，3） 22 （10 分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急 批量生产， 计划每天生产疫苗 16 万剂， 但受某些因素影响， 有 10 名工人不能按时到厂 为 了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作 8 小时增加到 10 小时，每人每小时 完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗 15 万剂 （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产 4 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为 10 小时若上级 分配给该厂共 760 万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才
43、能完成任务？ 【分析】 （1）设当前参加生产的工人有 x 人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可 得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用每人每小时完成的工作量工作总量工作时间参与工作的人数，即可求出 每人每小时完成的工作量，设还需要生产 y 天才能完成任务，根据工作总量工作效率 工作时间工作人数，即可得出关于 y 的方程求解 【解答】解： （1）设当前参加生产的工人有 x 人，由题意可得： ， 解得：x30， 经检验：x30 是原分式方程的解，且符合题意， 当前参加生产的工人有 30 人； （2）每人每小时完成的数量为：168400.05（万剂） ， 设还需要生产
44、y 天才能完成任务，由题意可得： 415+（30+10）100.05y760， 解得：y35， 35+439（天） ， 该厂共需要 39 天才能完成任务 23 （11 分）四边形 ABCD 为矩形，E 是 AB 延长线上的一点 （1）若 ACEC，如图 1，求证：四边形 BECD 为平行四边形； （2）若 ABAD，点 F 是 AB 上的点，AFBE，EGAC 于点 G，如图 2，求证：DGF 是等腰直角三角形 【分析】 （1)先根据四边形 ABCD 为矩形，CBAE,ACEC 得出 ABBE 即可； （2）由 ABAD 得出矩形 ABCD 是正方形，得出EGAE45，然后证明EGF AGD，
45、再得出DGF90，GFGD,DGAFGE,从而得出结论 【解答】证明： （1)四边形 ABCD 为矩形， ABCD,ABCD,CBAE, 又ACEC, ABBE, BECD,BECD, 四边形 BECD 为平行四边形； (2)ABAD, 矩形 ABCD 是正方形， EGAC, EGAE45, GEGA, 又AFBE, ABFE, FEAD, 在EGF 和AGD 中， , EGFAGD(SAS), GFGD,DGAFGE, DGFDGA+AGFEGF+AGFAGE90, DGF 是等腰直角三角形 24 （13 分）二次函数 yax2+bx+4（a0）的图象经过点 A（4，0） ，B（1，0） ，
46、与 y 轴 交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上一点，连接 BP、AC，交于点 Q，过点 P 作 PD x 轴于点 D （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，当DPB2BCO 时，求直线 BP 的表达式； （3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点 P 的坐标，如没有请说明理 由 【分析】 （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设 BP 与 y 轴交于点 E，设 OEa，则 CE4a，BE4a，运用勾股定理可求 得 a，得出 E(0，)，再利用待定系数法即可求出答案； （3）设 PD 与 AC 交于点 N，过点 B 作 y 轴的平行线与 AC 相交于点 M，利用待定系数
47、 法求出直线AC表达式， 再利用 BMPN， 可得PNQBMQ， 进而得出， 设 P(a0，a023a0+4)(4a00)，则 N(a0，a0+4)，从而得到， 利用二次函数的性质即可求得答案 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+4（a0）的图象经过点 A（4，0） ，B（1，0） ， ， 解得：， 该二次函数的表达式为 yx23x+4； （2）如图，设 BP 与 y 轴交于点 E， PDy 轴， DPBOEB， DPB2BCO， OEB2BCO， ECBEBC， BECE， 设 OEa，则 CE4a， BE4a， 在 RtBOE 中，由勾股定理得：BE2OE2+OB2， (4a)2
48、a2+12， 解得：a， E(0，)， 设 BE 所在直线表达式为 ykx+e(k0)， ， 解得：， 直线 BP 的表达式为 yx+； （3）有最大值 如图，设 PD 与 AC 交于点 N， 过点 B 作 y 轴的平行线与 AC 相交于点 M， 设直线 AC 表达式为 ymx+n， A(4，0)，C(0，4)， ， 解得：， 直线 AC 表达式为 yx+4， M 点的坐标为（1，5） ， BM5， BMPN， PNQBMQ， ， 设 P(a0，a023a0+4)(4a00)，则 N(a0，a0+4)， ， 当 a02 时，有最大值， 此时，点 P 的坐标为(2，6) 25 （14 分）如图
49、1，O 为半圆的圆心，C、D 为半圆上的两点，且连接 AC 并延 长，与 BD 的延长线相交于点 E （1）求证：CDED； （2）AD 与 OC，BC 分别交于点 F，H 若 CFCH，如图 2，求证：CFAFFOAH； 若圆的半径为 2，BD1，如图 3，求 AC 的值 【分析】(1)如图 1 中，连接 BC.想办法证明EDCE 即可。 （2）证明AFOAHC,可得结论。 连接 CD 交 BC 于 G.设 OGx,则 DG2x.利用勾股定理构建方程求解即可。 【解答】 （1）证明：如图 1 中，连接 BC , DCBDBC, AB 是直径， ACBBCE90, E+DBC90,ECD+DCB90, EDCE, DEDC (2)证明：如图 2 中， CFCH, CFHCHF, AFOCFH, AFOCHF, , CADBAD, AFOAHC, , , CFAFOFAH 解：如图 3 中，连接 CD 交 BC 于 G.设 OGx,则 DG2x , CODBOD, OCOB, ODBC,CGBG, 在 RtOCG 和 RtBGD 中，则有 22x212(2x)2, x,即 OG, OAOB, OG 是ABC 的中位线， OGAC, AC
