1、注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第1 页） 试 题 2010 年 2011 年第一 学期 课程名称：复变函数与积分变换专业年级： 考生学号：考生姓名： 试卷类型：A 卷B 卷 考试方式 : 开卷闭卷 一、单项选择题。 （每小题3 分，共15分） 1若等式 1(3) 1 53 xiy i i 成立，则(,)xy的值是（） A(1,11)B(0, 11)C(1,10)D(0, 10) 2设1 z ei成立，则Im z的值等于（） A 4 B 4 C2 4
2、 kD2 4 k 3下列函数中为解析函数的是（） A 2 ()fzxiyB 22 ()2fzxyxyi C 22 ()2(1)(2)fzxyiyxxD 33 ()fzxiy 4设0z是函数 zz e zf z sin 1 )( 4 的 m 阶极点，那么m 的值为（） ABC 3 D 5下列变换中不正确的是（） A 12 ( )( )ftft 1 ( )ft 2 ( )ftB( )ft( )ft C( ) d tfti d ( )ftD( )1t 二、填空题。 （每小题3 分，共15分） 6设 5 1 1 i z i ，则z_ 7 22 ()fzxiy，则(1)fi_ 注： 1、教师命题时题目之
3、间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第2 页） 8若 C 为正向圆周1- iz，则dz iz C 1 _ 9幂级数 0 (1) nn n iz 的收敛半径R_ 10函数 ( )2 cos 2ftt的傅里叶变换是 _ 三、计算题。 （本题 6 分） 11、求 3 6 i e和cos i的值 四、计算下列复变函数的积分（本大题共3 小题，每小题6 分，共 18 分） 12 （1） 2 2 (9)() z z dz zzi （ 2） 4 34 (2) z z e dz z （3） 2
4、1 )1( sin z z dz ez z 五、解答题。 （本大题共2 小题，每小题6 分，共12分） 13试证函数(,)u x yxy是调和函数，并求函数(,)v x y，使得()(,)(,)fzu x yivx y为 解析函数，且满足( )0fi 14利用留数计算积分 2 1 ix e dx x 六、 (本大题 14 分) 15将函数 2 ()sinfzz在 0z处展开为泰勒级数 （6 分） 16将函数 2 1 ( ) (1) fz zz 分别在圆环域（1）10z；（ 2） 011z内展开为洛 朗级数（8 分） 七、 （本大题共2 小题，每小题10分，共20分） 17求函数 ( )(36)
5、ftut 的 Laplace 变换 18利用 Laplace 变换求解常微分方程43(0)(0)1 t yyyeyy， 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第3 页） 2010 年 2011年第一学期复变函数与积分变换A 卷参考答案 一、单项选择题。 （每小题3 分，共15分） 1A23 C 4 B 二、填空题。 （每小题3 分，共15分） 6i7 2 8 0 9 2 2 10 2(2)(2) 三、计算题。 （本题 6 分） 11、求 3 6 i e 和
6、cos i的值 解： 3 3 6 ( c o ss i n) 66 i eei （2 分） 3 31 () 22 i e （3 分） cos 2 i ii i ee i （5 分） 1 2 ee （6 分） 四、计算下列复变函数的积分（本大题共3 小题，每小题6 分，共 18 分） 12 （1） 2 2 (9)() z z dz zzi （ 2） 4 34 (2) z z e dz z （3） 2 1 )1( sin z z dz ez z 解： （1） 2 2 22 9 (9)() zz z z z dzdz zzizi = 2 2 9 zi z i z （4 分） 2 84 i i （6
7、分） 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第4 页） （2） 2 4 34 2 () (2)3! z z z z ei dze z （4 分） 2 2 2 3!3 i ei e （6 分） （3）在曲线 1 2 z内，函数 sin (1) z z ze 仅有一个奇点0z，且0z是它的一阶极点，由留 数定理得： （2 分） 1 0 2 sinsin 2lim (1)1 zz zz zz dzi zee （4 分） 00 sincos 2lim2lim2 1
8、 zz zz zz iii ee （6 分） 五、解答题。 （本大题共2 小题，每小题6 分，共12分） 13试证函数 (,)u x yxy是调和函数，并求函数(,)v x y ，使得 ()(,)(,)fzu x yivx y 为 解析函数，且满足( )0fi 解：由于 2 2 0 u x ， 2 2 0 u y ，显然 22 22 0 uu xy ，因此(,)u x yxy是调和函数 （1 分） 因为() uv fziyxi xx ()i xyiiz （3 分） 故 2 ()() 2 i fzfz dzizdzzC （5 分） 又由( )0fi得 2 i C， 2 ()(1) 2 i fzz
9、，从而 22 1 ( ,) 2 yx v x y （6 分） 4利用留数计算积分 2 1 ix e dx x 解： 由于函数 2 ( ) 1 iz e fz z 在上半平面内只有一个极点zi，故 2 2e ( ), 1 ix e dxiRs fzi x （3 分） 2 2lim () 1 iz zi e izi z （5 分） 1 2 2 e i ie （6 分） 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第5 页） 六、 (本大题 14 分) 16将函数 2
10、 ()sinfzz在 0z处展开为泰勒级数 （6 分） 解： 2 1cos 2 ()sin 2 z fzz （分） 234 11(2)(2)(2) 1 222!2!2! zzz （ 4 分） 3456212 21 222 (1) 4!6!(2)! nn n zzz z n （6 分） 17将函数 2 1 ( ) (1) fz zz 分别在圆环域（1）10z；（ 2） 011z内展开为洛 朗级数（8 分） 解：当10z时 22 111 (1)(1)zzzz 11 () 1zz （分） 1 01 11 () nn nn znz zz 2 1 n n nz （分） 当 011z时 22 111 (1
11、)(1)1(1)zzzz 2 0 1 (1)(1) (1) nn n z z （6 分） 2 0 (1)(1) nn n z （8 分） 七、 （本大题共2 小题，每小题10分，共20分） 18求函数( )(36)ftut的 Laplace 变换 解：由于 1 ( )u t s ， （2 分） 根据延迟性质，得 6 1 (6) s u te s ， （6 分） 又根据相似性质，可得 6 2 3 131 (36) 3 s s utee ss （10 分） 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第6 页） 19利用 Laplace 变换求解常微分方程 43(0)(0)1 t yyyeyy， 解：原方程两边取Laplace 变换，得 2 1 ()(0)(0)4( )(0)3() 1 s YssyysYsyY s s ， （4 分） 将(0)(0)1yy带入得： 2 2 66 ( ) (1) (3) ss Y s ss （6 分） 2 713 4(1)2(1)4(3)sss 求拉氏逆变换得原方程的解为 3 713 ( )(),0 424 tt y tt eet. （10 分）
