1、1 南山实验高南山实验高 2021 届补习班理科高考模拟卷（届补习班理科高考模拟卷（四四） 一一、选择题（共选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|1x2，Nx|x0，则集合x|1x0（） AMNBMNC（RM ）NDM（RN） 2若 i 是虚数单位，复数 z，则 z 的共扼复数 在复平面上对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布 N（95，2），且 P（91 95）0.25若该校有 700 人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于 99 分的人 数为（） A100B125C150D175 4已
2、知向量满足 （4，0）， （x，），且| |；则的夹角大小为（） AB CD 5 已知函数 f （x） x3+3x2x2， 则曲线 yf （x） 的所有切线中， 斜率最大的切线方程为 （） Ax+2y30Bx2y30C2x+y30D2xy30 6正项等比数列an中，an+1an，a2a86，a4+a65，则（） AB CD 7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的等腰直角三角形，俯视图是 圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（） AB CD 8函数，则函数 yf（f（x）的零点个数为（） A2B3C4D5 2 9已知直线 l：x+ky+3k0 与圆 C（x4）2+y21 相离
3、，过 l 上一点 P 作圆 C 的两条切线 l1，l2， 当切线 l1，l2关于直线 l 对称时，|PC|的最大值为（） A3B4C5D6 10设 F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P， 使得|（O 为坐标原点），且| ，则双曲线的离心率为（） A+1B+1 CD 11已知 A，B，C，P 为球 O 的球面上的四个点，ABC60，AC2，球 O 的表面积为， 则三棱锥 PABC 的体积的最大值为（） A2BCD 12已知 2aa2，4bb4，5cc5，且 a，b，c（0，e），则（） AabcBbacCcbaDcab 二二、填空题：本题共填空题：本题共
4、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（）6的展开式中 x3项的系数为（用数字作答） 14设等差数列an的前 n 项的和为 Sn，若 a3+a9m2a4，S918，则 m 15已知 A，F 分别是椭圆 C：1（a）的下顶点和左焦点，过 A 且倾斜角为 60的 直 线 l 交 椭 圆 C 于 M 点 （ 异 于 点 A ） ， 且 FAM 的 周 长 为 4a ， 则 FAM 的 面 积 为 16已知函数 f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx|，给出下列结论： f（x）是周期函数； f（x）在区间，上是增函数； 若|f（x1）|+|f（x2）|2，则
5、x1+x2（kZ）； 函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 1 个零点 其中正确结论的序号是.（将你认为正确的结论序号都填上） 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。分。 17在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinBbcos（A） （1）求 A； （
6、2）若 b2，D 为 BC 的中点，且 AD，求 c 18第五代移动通信技术（简称 5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继 2G、3G 和 4G 系统之 后的延伸.5C 的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规 模设备连接某大学为了解学生对 5G 相关知识的了解程度，随机抽取男女学生各 50 人进行问卷 测评，所得分数的频率分布直方图如图所示，并规定得分在 80 分以上为“比较了解” （1）求 a 的值，并估计该大学学生对 5G 比较了解的概率； （2）已知对 5G 比较了解的样本中男女比例为 4：1，完成下列 22 列联表，并判断有多大把握 认为对 5G 比
7、较了解与性别有关； 比较了解不太了解合计 男性 女性 合计 （3）在（2）的条件下，从对 5G 比较了解的学生样本中随机抽取 2 人，求抽到的女性人数 X 的 分布列及期望 附：K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k03.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19如图，三棱锥 PABC 中，PA面 ABC，ABC 为正三角形，点 A1在棱 PA 上，且 PA4PA1， B1，C1分别是棱 PB、PC 的中点，直线 A1B1与直线 AB 交于点 D，直线 A1C1与直线 AC 交于点 E， AB6，PA8 （
8、1）求证：DEBC； （2）求直线 DB1与平面 BB1C 所成的角的正弦值 4 20已知函数 f（x）k（x1）exx2（kR） （1）当 k1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）有两个极值点，且极小值大于5，求实数 k 的取值范围 21已知抛物线 C：y22px（p0）的准线与直线 l：x3 的距离为 4 （1）求抛物线 C 的方程； （2）A、B 为抛物线 C 上的两个不重合的动点，且线段 AB 的中点 M 在直线 l 上，设线段 AB 的 垂直平分线为直线 l （）证明：l经过定点 P； （）若 l交 y 轴于点 Q，设ABP 的面积为 S，求的最大值 二、选考题
9、：共二、选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22.23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数，r0），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2 （1）若 r1，求曲线 C1的极坐标方程及曲线 C2的直角坐标方程； （2）若曲线 C1与 C2交于不同的四点 A，B，C，D，且四边形 ABCD 的面积为 4，求 r 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲
10、 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范围 1 南山实验高南山实验高 2021 届补习班理科高考模拟卷（届补习班理科高考模拟卷（四四） 参考答案参考答案 一一.选择题（共选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|1x2，Nx|x0，则集合x|1x0（） AMNBMNC（RM ）NDM（RN） 解：Nx|x0，RNx|x0， M（RN）x|1x0， 故选：D 2若 i 是虚数单位，复数 z，则 z 的共扼复数 在复平面上对应的点位于
11、（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 解：复数2i， 所以 2+i 故 在复平面上对应的点位于第一象限 故选：A 3某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布 N（95，2），且 P（91 95）0.25若该校有 700 人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于 99 分的人 数为（） A100B125C150D175 解：由题意知，成绩近似服从正态分布 N（95，2）， 则正态分布曲线的对称轴为95； 又由 P（9195）0.25， 根据正态分布曲线的对称性，可得： P（99）12P（9195） （10.5） 0.25， 该校有 700 人中，估计该校数学成
12、绩不低于 99 分的人数为： 7000.25175（人） 故选：D 4已知向量满足 （4，0）， （x，），且| |；则的夹角大小为（） ABCD 解：向量满足 （4，0）， （x，），且| |； 2 可得 4x4，解得 x1， 的夹角大小为， cos， 所以 故选：C 5 已知函数 f （x） x3+3x2x2， 则曲线 yf （x） 的所有切线中， 斜率最大的切线方程为 （） Ax+2y30Bx2y30C2x+y30D2xy30 解：函数 f（x）x3+3x2x2 的导数为 f（x）3x2+6x1， 由 y3x2+6x13（x1）2+2， 可得 x1 时，切线的斜率取得最大值 2， 此时切
13、线的方程为 y（1+312）2（x1）， 化为 2xy30 故选：D 6正项等比数列an中，an+1an，a2a86，a4+a65，则（） AB CD 解：因为正项等比数列an中，an+1an，a2a86，a4+a65， 所以 a4a66，a4+a65，解得 a43，a62， 故选：D 7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的等腰直 角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（） AB CD 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：以底面半径为，高为的圆锥的 故； 故选：C 3 8函数，则函数 yf（f（x）的零点个数为（） A2B3C4D5 解：设 f（x）t，令
14、 f（t）0，可得 t1 或 t1， 当 x0 时，由 f（x）1， 可得 x，由 f（x）1 可得 x0， 当 x0 时，由 f（x）1 可得，无解，f（x）1，可得，解得 x， 函数 yff（x）的零点个数为 3， 故选：B 9已知直线 l：x+ky+3k0 与圆 C（x4）2+y21 相离，过 l 上一点 P 作圆 C 的两条切线 l1，l2， 当切线 l1，l2关于直线 l 对称时，|PC|的最大值为（） A3B4C5D6 解：直线 l：x+ky+3k0 恒过（0，3）， 如图， 由对称性可知，若切线 l1，l2关于直线 l 对称，则 PCl， 可得|PC|的最大值为 C 到直线 l
15、的距离，即 故选：C 10设 F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P， 使得|（O 为坐标原点），且|，则双曲线的离心率为（） A+1B+1CD 解：由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， 又|PF1|PF2|， 解得|PF2|OP|（+1）a， 即有OPF2为底边为 c 的等腰三角形， 4 可设 P（，）， 由 P 在双曲线上，可得1， 由 e，b2c2a2， 可得e2（4+2）+1， 化简可得 e44e21280， 解得 e24+2， 即有 e1+ 故选：B 11已知 A，B，C，P 为球 O 的球面上的四个点，ABC60，AC2，球 O 的表面
16、积为， 则三棱锥 PABC 的体积的最大值为（） A2BCD 解：球 O 的表面积为，设球的半径为 R，可得 4R2，解得 R， 底面三角形 ABC 的外接圆的半径为 r，2r，解得 r， 如图，底面三角形的外心为 G，可知底面三角形是正三角形时，A 到 BC 的距离球的最大值，面积的最大值为：， P 与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱锥时，三棱锥的高取得最 大值，PGPO+OG+2， 所以棱锥的体积的最大值为： 故选：B 12已知 2aa2，4bb4，5cc5，且 a，b，c（0，e），则（） AabcBbacCcbaDcab 解：2aa2，a（0，e）a2， 设 f（x）5xx5，f（1
17、）40，f（2）70，f（1）f（2）0， f（x）在区间（1，2）上存在零点，5cc5，c（0，e），c（1，2）， 设 g（x）3xx3，g（2）10，g（）90，g（2）g（）0， 5 g（x）在区间（2，）上存在零点，3bb3且 b（0，e），b（2，）， cab 故选：D 二二.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（）6的展开式中 x3项的系数为20（用数字作答） 解：由于（）6的展开式的通项公式为 Tr+1C6rx3r 6， 令 3r63，可得 r3，故展开式中含 x3项的系数为：20 故答案为：20 14设等差数列an
18、的前 n 项的和为 Sn，若 a3+a9m2a4，S918，则 m8 解：设等差数列an的公差为 d，a3+a9m2a4，S918， 2a1+10dm2（a1+3d），9a1+d18， 4（a1+d）m，a1+d2， 解得：m8 故答案为：8 15已知 A，F 分别是椭圆 C：1（a）的下顶点和左焦点，过 A 且倾斜角为 60的 直线 l 交椭圆 C 于 M 点（异于点 A），且FAM 的周长为 4a，则FAM 的面积为 解：如图所示， 设由焦点为 F，A，M 在椭圆上，则有|FA|+|FA|2a，|FM|+|FM|2a， 故|FA|+|FM|+|FA|+|FM|4a， 又FAM 的周长为 4
19、a，|AM|FA|+|FM|，即 A、F、M 三点共线， 又直线 l 的倾斜角为 60，直线 l 的斜率为， 而 A（0，），F（c，0），即，则 c1 6 从而 a2，则椭圆方程为 直线 l 的方程为 y 联立，解得 A（0，），M（，）， 故答案为： 16已知函数 f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx|，给出下列结论： f（x）是周期函数； f（x）在区间，上是增函数； 若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2（kZ）； 函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 1 个零点 其中正确结论的序号是.（将你认为正确的结论序号都填上） 解：函数 f（x）（sinx
20、+cosx）|sinxcosx|， 由 f（x+2）f（x）所以函数的最小正周期为 2，故正确； 由于 f（）1，f（0）1，f（）1，f（）0，故函数 f（x）在 上不是单调增函数，故错误； 函数 f（x）的最大值为 1，若|f（x1）|+|f（x2）|2， 则|f（x1）|f（x2）|1， 所以，（k1，k2N）， 故则 x1+x2（kZ）；故正确； 当 x0，2时，f（x）， 由于 g（x）f（x）+10，即 f（x）1，解得 x， 所以函数有两个零点，故错误 故答案为： 7 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过
21、程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。分。 17在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinBbcos（A） （1）求 A； （2）若 b2，D 为 BC 的中点，且 AD，求 c 解：（1）由正弦定理及 asinBbcos（A）， 得 sinAsinBsinBcos（A）， 由 B（0，），知 sinB0， 则 sinAcos（A）cosA+sinA， 化简得 sinAcosA，
22、可得 tanA， 又 A（0，）， 因此，A （2）D 为 BC 的中点， 2+， 从而 4|2|2+|2+2|cosA， 即 12c2+2c+4，化简得（c+4）（c2）0， 解得 c2 18第五代移动通信技术（简称 5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继 2G、3G 和 4G 系统之 后的延伸.5C 的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规 模设备连接某大学为了解学生对 5G 相关知识的了解程度，随机抽取男女学生各 50 人进行问卷 测评，所得分数的频率分布直方图如图所示，并规定得分在 80 分以上为“比较了解” （1）求 a 的值，并估计该大学学生对 5
23、G 比较了解的概率； （2）已知对 5G 比较了解的样本中男女比例为 4：1，完成下列 22 列联表，并判断有多大把握 认为对 5G 比较了解与性别有关； 比较了解不太了解合计 男性 女性 合计 （3）在（2）的条件下，从对 5G 比较了解的学生样本中随机抽取 2 人，求抽到的女性人数 X 的 分布列及期望 8 附：K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.050.0250.0100.0050.001 k03.8415.0246.6357.87910.828 解：（1）根据频率和为 1，得（0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004）101， 解得 a0
24、.016； 计算得分在 80 分以上的频率为（0.016+0.004）100.20， 所以估计该大学学生对 5G 比较了解的概率为 0.20 （2）根据题意知，对 5G 比较了解的人数有 1000.220（人）， 其中男性为 2016（人），女性为 4 人， 填写列联表如下； 比较了解不太了解合计 男性163450 女性44650 合计2080100 计算 K297.879， 所以有超过 99.5%的把握认为“对 5G 比较了解与性别有关”； （3）从对 5G 比较了解的学生 20 人中随机抽取 2 人，根据（2）知女性为 4 人，男性为 16 人， 故抽到的女性人数 X0，1，2， P（X0
25、），P（X1），P（X2） ； X 的分布列为： 9 X012 P E（X）0+1+2 19如图，三棱锥 PABC 中，PA面 ABC，ABC 为正三角形，点 A1在棱 PA 上，且 PA4PA1， B1，C1分别是棱 PB、PC 的中点，直线 A1B1与直线 AB 交于点 D，直线 A1C1与直线 AC 交于点 E， AB6，PA8 （1）求证：DEBC； （2）求直线 DB1与平面 BB1C 所成的角的正弦值 【解答】（1）证明：因为 B1、C1分别是棱 PB、PC 中点， 所以 B1C1BC， 因为 B1C1平面 BCDE，BC平面 BCDE， 所以 B1C1平面 BCDE， 因为 B1
26、C1平面 B1C1DE，平面 BCDE平面 B1C1DEDE，所以 B1C1 DE， 故 DEBC； （2）解：取 AB 中点 F，连接 B1F，设 BDa， 因为 B1是棱 PB 的中点，所以 B1FAA1， 故，解得 a3， 因为 PA面 ABC，ABC 为正三角形， 作 AYAB，则 AB，AY，AP 两两垂直， 以 A 为坐标原点，AB，AY，AP 分别为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 则 B（6，0，0），C（3，），D（9，0，0），B1（3，0，4）， 所以， 设面 BB1C 的法向量为， 则，即， 令 x1，可得， 所以， 10 故直线 DB1与平面 BB
27、1C 所成的角的正弦值 20已知函数 f（x）k（x1）exx2（kR） （1）当 k1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）有两个极值点，且极小值大于5，求实数 k 的取值范围 解：（1）当 k1 时，f（x）（x1）exx2， 则 f（x）x（ex2）， 令 f（x）0，解得 x0 或 xln2， 当 x0 或 xln2 时，f（x）0，故 f（x）的单调增区间为（，0），（ln2，+）， 当 0 xln2 时，f（x）0，故 f（x）的单调增区间为（0，ln2）， 所以 f（x）的单调增区间为（0，ln2），单调减区间为（，0），（ln2，+）； （2）f（x）kex
28、+k（x1）ex2xx（kex2）， 当 k0 时，f（x）0，解得 x0，不满足条件， 当 k0 时，f（x）0，解得 x0 或， 因为函数 f（x）有两个极值点，故 k2， 当0 k 2时 ， 函 数f （ x ） 在时 取 到 极 小 值 ， 由题意，解得，即，故； 当 k2 时，f（x）在 x0 时取到极小值 f（0）k， 由题意k5，解得 k5，故 k（2，5） 综上所述，实数 k 的取值范围是 21已知抛物线 C：y22px（p0）的准线与直线 l：x3 的距离为 4 （1）求抛物线 C 的方程； （2）A、B 为抛物线 C 上的两个不重合的动点，且线段 AB 的中点 M 在直线
29、l 上，设线段 AB 的 垂直平分线为直线 l 11 （）证明：l经过定点 P； （）若 l交 y 轴于点 Q，设ABP 的面积为 S，求的最大值 解：（1）抛物线 y22px（p0）的准线方程为 x， 由已知得 3（）4，解得 p2， 故抛物线 C 的方程为 y24x； （2）设直线 AB 的方程为 xmy+n，点 A（x1，y1），B（x2，y2）， （）证明：由消去 x 得，y24my4n0， 则16m2+16n0，即有 m2+n0，且 y1+y24m，y1y24n， 因为线段 AB 的中点 M（3，2m）在直线 l：x3 上， 所以 x1+x2m（y1+y2）+2n4m2+2n，可得
30、2m2+n3， 所以线段 AB 的垂直平分线 l的方程为 y2mm（x3），即为 ym（x5）， 故 l经过定点 P（5，0）； （）由（）知 l：ym（x5），所以点 Q（0，5m）， 则|PQ|5， 因为|AB|y1y2|4， 又因为 P（5，0）到直线 AB 的距离 d， 所以 S|AB|d2|5n|， 由 m2+n0 及 2m2+n3，可知3n3， 所以， 当 n1 时，取得最大值 二、选考题：共二、选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22.23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 选修选修 4-4：坐标系与参
31、数方程：坐标系与参数方程 22平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数，r0），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2 （1）若 r1，求曲线 C1的极坐标方程及曲线 C2的直角坐标方程； 12 （2）若曲线 C1与 C2交于不同的四点 A，B，C，D，且四边形 ABCD 的面积为 4，求 r 解：（1）当 r1 时，曲线 C1的参数方程为（为参数，r0），转化为直角坐标方 程为 x2+y21 根据，得到曲线的极坐标方程为1； 曲线 C2的极坐标方程为2， 根据 ， 转换为直角坐标方程为： x2y22 （2）设 A（x，y）满足
32、 x0，y0，由曲线的对称性可知矩形 ABCD 的面积 S4xy， S4xy42sin2，将2，代入得：，解得， 所以， 解得 r2 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范围 解：（1）函数 f（x）|2xa|+a， 故不等式 f（x）6， 即， 求得 a3x3 再根据不等式的解集为x|2x3， 可得 a32， 实数 a1 （2）在（1）的条件下，f（x）|2x1|+1， f（n）|2n1|+1，存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立， 即 f（n）+f（n）m，即|2n1|+|2n+1|+2m 由于|2n1|+|2n+1|（2n1）（2n+1）|2， |2n1|+|2n+1|的最小值为 2， m4， 故实数 m 的取值范围是4，+）
