1、学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何 广东韶关张羊利：微信 1791101568 23 专题专题 3多面体内切球多面体内切球 秒杀秘籍：第一讲 等体积法求内切球的半径 题设：正三棱锥求内切球半径（如图 1 所示） 第一步、先画出内切球的截面图如左图，E、H分别为两个三角形的外心 第二步、求BDDH 3 1 ,rPHPO，PD为侧面PAC的高 第三步、由POE相似于PDH，建立等式： PD PO DH OE 解出r 正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为1:3:rR 外接球半径：aR 4 6 ，内切球半径：ar 12 6 正三棱锥的外接球与内切球：外接球与内切球球心在同一条高上
2、，但不重合 图 1图 2图 3 题设：正四棱锥求内切球半径（如图 2 所示） 第一步、先画出内切球的截面图如左图，P，O，H三点共线 第二步、求BCHF 2 1 ,rPHPO，PF为侧面PCD的高 第三步、由POG相似于PFH，建立等式： PF PO HF OG 解出r 题设：求任意三棱锥的内切球半径：等体积法（如图 3 所示） 第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积 第二步、设内切球半径为r，建立等式： rSSSSVVVVVV PBCPACPABABCABCPPBCOPACOPABOABCOABCP )( 3 1 第三步、解出 PBCPACPABABC ABCP SSSS V r 3
3、获取更多免费资料请添加赵老师微信：z h a o j u n f a n g co o l 学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何 广东韶关张羊利：微信 1791101568 24 【例 1】已知正四面体BCDA，H为底面的中心，O为外接球的球心，设棱长为a，外接球半径为R， 内切球半径为r，求R 【解析】易知aAHrR 3 6 ，由等积法得： DABOBCDOABCOACDOBCDA VVVVV 所以： BCDBCD SrSh 3 1 4 3 1 故hr 4 1 ,hR 4 3 所以aR 4 6 . 【例 2】 （2013江苏）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积
4、为（） 6 .33 .4 .3 .DCBA 【解析】将这个正四面体放入一个正方体中，再将这个正方体放入球中与球相外接因为正方体的对角线 就是球的直径， 而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线 所以， 设正方体的棱长为a， 则有22 a，1a， 332aR， 2 3 R，3 球 S故选A 【例 3】正三棱锥ABCS ，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少? 【 解 析 】 由 于 底 面 边 长 大 于 侧 棱 ， 故 外 接 球 如 图 所 示 ，O为 内 切 球 球 心33 3 3 BE， 1)3(2 22 22 BESBh，故2)() 1( 222 RRBER 4 321
5、 3 ABCSAB ABC SABOCSAOBCSOABCO ABCS SS S rVVVVV 获取更多免费资料请添加赵老师微信：z h a o j u n f a n g co o l 学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何 广东韶关张羊利：微信 1791101568 25 达标训练达标训练 1如图是棱长为 2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形） ，球O是该正八面体的内切球，则球O的 表面积为（） A 3 8 B 3 4 C 27 68 D 27 64 2若某正四面体内切球的体积为 3 4 ，则正四面体外接球的表面积为（） A4B16C36D64 3底面边长为6的正三棱锥的内切球半径为
6、1，则其外接球的表面积为（） A49B36C25D16 4如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AD，CD上，且2 DFAE将此正方形沿BE， BF，EF切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积 为 第 1 题图第 4 题图第 8 题图 5已知三棱锥ABCP 中，PA底面ABC，4AC，3BC，5AB，3PA，则该三棱锥的内切球 的体积为 6在边长为 2 的菱形ABCD中，32BD，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使6BD，则所得三棱锥 BCDA的内切球的半径为 7在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi no） 已知在鳖臑ABCM 中， MA平面ABC，2BCABMA，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 8如图，已知正四面体BCDA的高为62，则它的内切球的体积为 9已知三棱锥ABCP 的底面ABC是等腰三角形，ACAB ，PA底面ABC，1 ABPA，则这个三 棱锥内切球的半径为 10在边长为2的菱形ABCD中，32BD，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角DACB的余 弦值为 3 1 ，则所得三棱锥BCDA的内切球的表面积为 获取更多免费资料请添加赵老师微信：z h a o j u n f a n g co o l
