1、第一讲因式分解 一、知识归纳一、知识归纳 1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式： （1）)( 22 bababa； （2） 222 )(2bababa； （3） 33223 )(33bababbaa； （4） 2222 )(222cbaacbcabcba； （5）)(3 222333 acbcabcbacbaabccba； （6） *1221 );)(Nnbabbaababa nnnnnn ； （7）当 n 为正奇数时)( 1221 nnnnnn babbaababa 当 n 为正偶数时)( 1221 nnnnnn babbaababa 2、十字相乘法因式分解 3、待定系数法因
2、式分解 4、添项与拆项法因式分解 5、长除法 二、例题讲解二、例题讲解 例 1：因式分解：376 2 xx 例 2：因式分解： 2222224 )()(2baxbax 例 3：因式分解3104344 22 yxyxyx 例 4：利用待定系数法因式分解 （1）20314932 22 yxyxyx（2）3104344 22 yxyxyx 例 5：利用添项法、拆项法因式分解 （1）76 3 xx（2）1 5 xx 例 6：已知013 2 xx，求1987576 23 xxx的值。 三、课堂练习三、课堂练习 1、分解因式 （1）)()( 66 xyzyzyxx （2） 22222 4) 1(baba
3、（3）8324 34 mmm 分解因式 （1）4 4 x （2）89 3 xx 3、分解因式 （1）2332 22 yxyxyx （2）253352 22 yxyxyx 4、 已知多项式13 3 bxaxx能被1 2 x整除， 且商式是13 x则 b a)(。 5、多项式bxaxxx732 224 能被2 2 xx整除，求 b a 的值。 第二讲分式 一、知识归纳 （一）分式的运算规律（一）分式的运算规律 1、加减法 同分母分式加减法： c ba c b c a 异分母分式加减法： bc bdac c d b a 2、乘法： bd ac d c b a 3、除法： bc ad c d b a
4、d c b a 4、乘方： n n n b a b a )( （二）分式的基本性质（二）分式的基本性质 1、)0(m bm am b a 2、)0( m mb ma b a （三）比例的性质（三）比例的性质 （1）若 d c b a 则bcad （2）若 d c b a 则 d dc b ba （合比性质） （3）若 d c b a （0 db）则 db db ca ca （合分比性质） （4）若 d c b a n m ，且0ndb则 b a ndb mca （等比性质） （四）分式求解的基本技巧（四）分式求解的基本技巧 1、分组通分 2、拆项添项后通分 3、取倒数或利用倒数关系 4、换元化
5、简 5、局部代入 6、整体代入 7、引入参数 8、运用比例性质 二、例题解析 例 1：化简 2 32 |21 1 xx xxx 例 2：化简： 3223 babbaa a 44 22 22223223 311 ba ba abbababbaa b 例 3：计算 2)(3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 n m m n n m m n n m m n n m m n n m m n 例 4：计算 abbcacc ba acabbcb ac bcacaba cb 222 例 5：若1abc，求 111 cac c bbc b aab a 例 6：已知 x zyx y zyx z
6、 zyx 且0 xyz 求分式 xyz xzzyyx)()( 的值 三、课堂练习 1、已知 yx xy 1， zy yz z ， zx xz 3，则 x； 2、若3419x则分式 158 231826 2 234 xx xxxx ； 3、设1 1 2 mxx x ，则 1 336 3 xmx x ； 4、若0abc，且 b ac a cb c ba ，则 abc cacbba)()( ； 5、设x、y、z为有理数，且0zyx，a zy x ，b xz y ，c yx z ， 则 c c b b a a 111 ； 6、已知a、b、c均不为0，且0cba，则 22222222 111 cbaba
7、cacb ； 第三讲图形变换 一、知识归纳 1、)0()()(aaxfyaxfy个单位向上平移 2、)0()()(aaxfyaxfy个单位向下平移 3、)0)()(aaxfyaxfy个单位向左平移 4、)0)()(aaxfyaxfy个单位向右平移 5、| )(|)(xfyxfy 将)(xfy 图象在 x 轴下方的部分，以 x 轴为对称轴对称地翻折上去即可 6、|)(|)(xfyxfy 将)(xfy 的图象位于 y 轴右边的部分保留，在 y 轴的左边作其对称的图即可。 二、例题解析 例 1：说出下列函数图象之间的相互关系 （1）1 2 xy与1 2 xy（2）1 2 xy与3) 1( 2 xy
8、（3）xy2与 3 2 x y（4） x y 2 3与 32 3 x y 例 2：已知中的图的对应函数)(xfy ，则中的图象对应函数为； A、|)(| xfy B、| )(|xfy C、|)|(xfyD、|)(| xfy 例 3：画出下列函数的图象 （1）|32| 2 xxy（2）1|2 2 xxy 例 4：已知) 1( xfy的图象过点（3，2） ，那么与函数)(xfy 的图系关于 x 轴对 称的图象一定过点； A、 （4，2）B、 （4，2）C、 （2，2）D、 （2，2） x y 0 x y 0 例 5：试讨论方程kxx|34| 2 的根的个数 例 6：求方程62|4 2 xx的解的个
9、数 课堂练习： 1、函数 x y2的图象； A、与 x y2的图象关于 y 轴对称B、与 x y2的图象关于原点对称 C、与 x y 2的图象关于 y 轴对称D、与 x y 2的图象关于原点对称 2、为了得到 x y) 3 1 (3的图象，可以把 x y) 3 1 (的图象 A、向左平移 3 个单位长度 B、向右平移 3 个单位长度 C、向左平移 1 个单位长度 x y 0 -1 123 1 2 3 y x 0 (0,1) y=2x 第 3 题图 D、向右平移 1 个单位均等 3、已知 x y2的图象如右，请画出以下函数的图象 （1）) 1( xf（2）|)(| xf（3）1)(xf（4）)(
10、xf（5）| 1)(|xf 4、已知 EMBED Equation.#xy 2 log的图象如右： 试求不等式： 1)(log2xx成立的 x 的取值范围 5、已知方程1| axx有一负根，而没有正根，那么 a 的取值范围是； A、1aB、1aC、1aD、补以上答案 y x 0(1,0) 第 4 题图 第四讲三角形的“五心” 一、知识归纳 1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍， 重心和三顶点的连线将ABC 的面积三等分，重心一定在三角形内部。 2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心 在三角形内，直角三角形的外心是斜边
11、的中点，钝角三角形的外心在三角形外。 3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角 形内。 4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六 组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形 的垂心在三角形外。 5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三 角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。 二、例题解析 例 1：在锐角ABC 中，内角为 A、B、C 三边为 a、b、c，则内心到三边的距离之比 为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为， 垂心到三边的距离之比为。 例
12、2：如图，锐角ABC 的垂心为 H，三条高的垂足分别为 D、E、F，则 H 是DEF 的； A、垂心B、重心 C、内心D、外心 例 3：如图，D 是ABC 的边 BC 上任一点，点 E、 F 分别是ABD 和ACD 的重心连结 EF 交 AD 于 G 点， 则 DG：GA； 例 4： 设ABC 的重心为 G， GA32，22GB，2GC， 则 ABC S； A F B D C E H A B C E G F MDN 例 5：若 H 为ABC 的重心，AHBC，则BAC 的度数是； A、45B、30C、30或 150D、45或 135 例 6：已知平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，
13、AB10，AC9，DE12，求平 行四边形 ABCD 的面积。 三、课堂练习 1、已知三角形的三边长分别为 5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心 到垂心的距离为； 2、已知三角形的三边长为 5，12，13，则其内切圆的半径r； 3、 在ABC 中， A 是钝角， O 是垂心， AOBC， 则 cos （OBC+OCB） =; 4、 设 G 为ABC 的重心， 且 AG6， BG8， CG10， 则ABC 的面积为； 5、若900，那么以sin、cos、cottan为三边的ABC 的内切圆， 外接圆的半径之和为； AEB CD O G A、)cos(sin 2 1 B、)cot(tan
14、2 1 C、cossin2D、 cossin 1 6、ABC 的重心为 G，M 在ABC 的平面内，求证： 2222222 3GMGCGBGAMCMBMA 第五讲几何中的著名定理 一、知识归纳 本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理 二、例题解析 例 1：如图ABC 中，AD 为BAC 的角平分线 求证： DC BD AC AB 例 2：如图，ABC 中，AD 为A 的外角 平分线，交 BC 的延长线于点 D，求证： AC AB CD BD . 例 3：如图，AD 为ABC 的中线， 求证：)(2 2222 BDADACAB A F B D C E 12 A
15、B C D 1 2 A B DE C 例 4： （梅涅劳斯定理） 如果在ABC 的三边 BC，CA、AB 或其延长线上有点 D、E、F 且 D、E、F 三点共 线，则1 FB AF EA CE DC BD 例 5：设 O 为ABC 内任意一点，AO、BO、CO 分别交对边于 N、P、M，则1 PA CP NC BN MB AM . 三、课堂练习 1、如图，P 是 AC 中点，D、E 为 BC 上两点， 且 BDDEEC，则 BM：MN：NP； 2、如图，在ABC 中，D、E 分别在边 AB、 AC 上且 DE/BC，设 BE 与 CD 交于 S，证明 BMCM。 3、证明：三角形的三条角平分线
16、交于一点。 A F B C E G D A M B N C P 0 1 2 3 4 5 6 B D A E S C M 第六讲圆 一、知识归纳 1、证明四点共圆的方法有： （1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上 （2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆 （3）线段同旁张角相等，则四点共圆。 （4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆 （5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆 （6）四边形 ABCD 对角线相交于点 P，若 PAPCPBPD，则它的四个顶点共圆 （7）四边形 ABCD 的一组对边 AB、DC 的延长线交于点 P，若PDPCPBPA， 则它的四个顶点
17、共圆。 2、圆幂定理 二、例题讲解 例 1：如图，设 AB 为圆的直径，过点 A 在 AB 的同侧作弦 AP、AQ 交 B 处的切线于 R、S，求证：P、Q、S、R 同点共圆。 例 2：圆内接四边形 ABCD，O 为 AB 上一点，以 O 为圆心的半圆与 BC，CD，DA 相切，求证：ADBCAB A D C O E B AB Q S R P 例 3：如图，设 A 为O 外一点，AB， AC 和O 分别切于 B，C 两点，APQ 为O 的一条割线，过点 B 作 BR/AQ 交O 于点 R， 连结 CR 交 AO 于点 M，试证：A，B，C，O，M 五点共圆。 例 4：如图，PA 切O 于 A，
18、割线 PBC 交O 于 B，C 两点，D 为 PC 中点，且 AD 延长线交O 于点 E，又EADEBE 2 ,求证： （1）PAPD； （2）DEADBD 2 2. 例 5：如图，PA，PB 是O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是 AB 与 PC 的交点， 若 PE 长为 2，CD1，求 DE 的长度。 A P B D O E C A C D P O H E B 三、课堂练习 1、如图，已知点 P 在O 外一点，PS，PT 是O 的两条切线，过点 P 作O 的割线 PAB，交O 于 A，B 两点，并交 ST 于点 C，求证：) 11 ( 2 11 PBPAPC 2、如图，A 是O 外一
19、点，AB、AC 和O 分别切于点 B、C，APQ 为O 的一条割 线，过 B 作 BR/AQ 交O 于 R，连 CR 交 AQ 于 M。 试证：A，B，C，O，M 五点共圆。 3、设O1、O2、O3两两外切，M 是O1、O2的切点，R、S 分别是O1、 O2与O3的切点，连心线 21O O交O1于 P，O2于 Q，求证：P、Q、R、S 四点共圆。 S B D P O A C T A B G P C O M R P RQ S O1 O3 O2 第七讲一次函数和一次不等式 【要点归纳】【要点归纳】 1、形如 y=kx+b(k0)的函数叫做一次函数。 （1）它的图象是一条斜率为 k，过点（0，b）的
20、直线。 （2）k0是增函数；kb 的解的情况： （1）当 a0 时， a b x ； （2）当 a0，则无解。 类似地，请同学们自行分析不等式 ax0， 则 a b =_ 例 9 若不等式（2a-b）x+(3a-4b)0 的解。 【反馈练习】【反馈练习】 1、一次函数 y=(3m-1)x-(m+5)的图象不过第一象限，则实数 m 的取值范围是 _ 2、一次函数 f(x)满足：f（f（f(x)） ）=-27x-21，则 f(x)=_ 3、函数 f(x)=3x+1+k-2kx 在-1x1 时，满足 f(x)k 恒成立，则整数 k 的值为 _ 4、已知 x0，y0，z0，且满足 x+3y+2z=3，
21、3x+3y+z=4 求 w=3x-2y+4z 的最大值 和最小值。 5、若不等式 5x-a0 的正整数解是 1，2，3，4，则 a 的取值范围为_ 6、解关于 x 的不等式：a(x-a)x-1 7、若不等式（m+n）x+(2m-3n)0 的 解。 8、解关于 x 的不等式组： 89)(9 3)2( axa xxa 第八讲均值不等式 【要点归纳】【要点归纳】 当 a，b，c0 时，则 （1） 2 ) 2 ( 2 ba abab ba （当且仅当 a=b 时，取“=” ） （2） 33 ) 3 ( 3 cba abcabc cba （当且仅当 a=b=c 时，取“=” ） 更一般地，当0 i a（
22、3 , 2 , 1in）时， 则 n n n aaa n aaa 21 21 （当且仅当 n aaa 21 时，取“=” ） 【典例分析】【典例分析】 例 1 设 a，b，c0，证明下列不等式： （1）2 b a a b （2） cbacba 9111 例 2 下列命题中有_个正确 （1）函数 x xxf 4 )(的最小值是 4； （2）函数 2 2 4 1 4)( x xxf 的最小值是 2 （3）函数)0( 6 21)(x x xxf的最大值是341 （4）函数)0( 4 )( 2 x x xxf，当 x=1 时，取最小值。 例 3 （1） 已知0,yx，且1 91 yx ，求 x+y 的
23、最小值； （2） 已知0,yx，且1 2 2 2 y x，求 2 1yx的最大值。 例 4 （1）当 x1 时，求 1 1 x xy的最小值； （2）当 4 5 x时，求 54 1 24 x xy的最大值。 例 5 （1）当 a，b0 时，证明： baba 411 （2）设 abc，求使得不等式 ca k cbba 11 恒成立的 k 的最大值。 例 6 某食品厂定期购买面粉，已知每吨面粉的价格为 1800 元，该厂每天需用面粉 6 吨，面粉的保管费为平均每吨每天 3 元，因需登记入库，每次所购面粉不能当天使用，每 次购面粉需支付运输费 900 元，求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支
24、付的总 费用最少？ 【反馈练习】【反馈练习】 1、已知0,ba，且 a+b=1，求 ba 11 的最小值。 2、函数 y=x(1-2x)( 2 1 0 x)的最大值等于_；此时 x=_ 3、函数)0, 0( 2 2 ax x axy的最小值为 6，则实数 a=_ 4、已知0,ba，且 ab=3+a+b，求 ab 的取值范围。 5、求函数)0( ) 1(3 2 x x x y的最大值及相应的 x 的值。 6、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 2 cm，画面的宽与高的比为) 1(，画 面的上下各留 8cm 空白，左右各留 5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积 最小？
25、 第九讲一次分式函数 【要点归纳】【要点归纳】 形如)0,(不同时为ca dcx bax y 的函数，叫做一次分式函数。 （1）特殊地，)0(k x k y叫做反比例函数； （ 2 ） 一 次 分 式 函 数)0,(不同时为ca dcx bax y 的 图 象 是 双 曲 线 ， )0(,c c a y c d x是两条渐近线，对称中心为（ c a c d ,） （c0） 。 【典例分析】【典例分析】 例 1 说明函数 1 3 x x y的图象可由函数 x y 1 的图象经过怎样的平移变换而得到， 并指出它的对称中心。 例 2 求函数 x x y 1 1 在-3x-2 上的最大值与最小值。 例
26、 3 将函数 x xf 1 )(的图象向右平移 1 个单位， 向上平移 3 个单位得到函数)(xg的 图象 （1）求)(xg的表达式； （2）求满足)(xg2 的 x 的取值范围。 例 4求函数)0( 12 3 x x x y的值域。 例 5函数 1 )( x ax xf，当且仅当-1x1 时，0)(xf （1）求常数 a 的值； （2）若方程mxxf)(有唯一的实数解，求实数 m 的值。 例 6已知)0, 0(ax x a y图象上的点到原点的最短距离为 6 （1）求常数 a 的值； （2）设)0, 0(ax x a y图象上三点 A、B、C 的横坐标分别是 t，t+2，t+4，试求 出最大
27、的正整数 m， 使得总存在正数 t，满足ABC 的面积等于 t m 。 【反馈练习】【反馈练习】 1、若函数 y=2/(x-2)的值域为 y1/3，则其定义域为_。 2、函数 3 12 x x y的图象关于点_对称。 3、若直线 y=kx 与函数 5 9 x x y的图象相切，求实数 k 的值。 4、画出函数 1 |1 x x y的图象。 5、若函数 2 1 x ax y在(-2，+)是增函数，求实数 a 的取值范围。 6、 （1）函数 1 1 x ax y的定义域、值域相同，试求出实数 a 的值； （2）函数 1 1 x ax y的图象关于直线 y=x 对称，试求出实数 a 的值。 第十讲一
28、元二次方程 【要点归纳】【要点归纳】 一元二次方程)0(0 2 acbxax（） 1、实数根的判断 0方程（）有两个不同的实数根 = 0方程（）有两个相同的实数根 0方程（）没有实数根 2、求根公式与韦达定理 当 0 时，方程（）的实数根 a b x 2 2, 1 并且 a b xx 21 a c xx 21 【典例分析】【典例分析】 例 1、 （1） 已知32是方程01 2 mxx的一个实根， 求另一个根及实数 m 的值； （2） 关于 x 的方程01) 1() 1( 22 xaxa有实数根， 求实数 a 的取值范围。 例 2 设实数 s，t 分别满足：019919 2 ss，01999 2
29、 tt，并且1st， 求 t sst14 的值。 例 3实数 x，y，z，满足：x+y+z=a，x2+y2+z2= 2 2 a （a0）,求证：az 3 2 0 例 4 求函数 1 2 2 xx x y的最大值与最小值。 例 5 若关于 x 的方程mxx12有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围。 例 6函数cbxaxxf 2 )(，其中cba,满足：cba，0cba （1）求证：方程0)(xf有两个不同的实数根 1 x， 2 x； （2）求| 21 xx 的取值范围。 【反馈练习】 1、当 a，b 时，关于 x 的方程0)2443()1 (2 222 babaxax有实数根？ 2、已知1
30、33 224 bbaa，且1 2 ba，则 3 36 1 b ba 的值等于_ 3、设ABC 的两边 AB 与 AC 长之和为 a，M 是 AB 的中点，MC=MA=5，求 a 的取值范 围。 4、设实数 a，b 满足：1 22 baba，求 22 baba的取值范围。 5、求函数 1 2 xx x y的最值。 6、 若关于 x 的方程mxx12有唯一的实数根，求实数 m 的取值范围。 第十一讲一元二次函数（一） 【要点归纳】【要点归纳】 1、形如)0( 2 acbxaxy的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。 2、二次函数的解析式的三种形式： 10一般式)0( 2 acbxaxy 20顶点
31、式)0()( 2 anmxay，其中顶点为（m，n） 30零点式)0)()( 21 axxxxay，其中 1 x， 2 x是0 2 cbxax的两根。 本讲主要解决求二次函数的解析式问题。 【典例分析】【典例分析】 例 1 二次函数 f(x)满足： 103 fxf，并且它的图象在 x 轴截得的线段长等于 4，求 f(x)的解析式。 例 2 二次函数 f(x)满足： f(1)=f(-5)， 且图象过点 （0， 1） ， 被 x 轴截得的线段长等于22。 求 f(x)的解析式。 例 3 二次函数 f(x)满足：f(x+1)-f(x)=2x，且 f(0)=1。 （1）求 f(x)的解析式； （2）当
32、-1x1 时，y=f(x)的图象总是在 y=2x+m 的图象上方，试确定实数 m 的取值范 围。 例 4 若方程axxx4|34| 2 有且仅有三个实数根，求实数 a 的值。 例 5 设 2 ( )32f xaxbxc，若0abc，(0) (1)0ff， （1）求证：0a且方程( )0f x 有两个不同的实数根 12 xx，； （2）求 a b 及| 21 xx 的取值范围。 例 6 设 二 次 函 数 f(x)=ax2+bx+c(a0) ， 方 程 f(x)-x=0 的 两 个 根 x1， x2满 足 ： a xx 1 0 21 （1）当0 xx1时,证明：xf(x)bc，且 a+b+c=0
33、 （1）求证：两函数的图象交于不同的两点 A（x1,y1）B(x2,y2)； （2）求| 21 xx 的取值范围。 7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足： a xx 1 12 证明：当0tx1； 8、对于函数 f(x),若存在实数 x0,使 f(x0)=x0成立,则称 x0为 f(x)的不动点。已知二次函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b1) (1) 当 a=1,b= 2 时，求函数 f(x)的不动点； (2) 若对任意实数 b，函数 f(x)恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； (3) 在(2)的条件下，若 y=f(x)图上
34、 A、B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点，且 A、B 两点关于直线 y=kx+ 12 1 2 a 对称，求 b 的最小值（本小问选做） 十二、一元二次函数（二） 知识归纳： 1、一元二次函数)0( 2 acbxaxy 0 4 4 , 0 2 min a a bac ya时， a bac y 4 4 2 max 2、一元二次函数)0()( 2 acbxaxxfy在区间m,n上的最值。 1当m a b 2 )()(),()( minmax mfxfnfxf 2当 22 nm a b m a bac xfnfxf 4 4 )(),()( 2 minmax 3当 n a bnm 22 时， a
35、bac xfmfxf 4 4 )(),()( 2 minmax 4n a b 2 时)()(),()( minmax nfxfmfxf x m n x m n 2 nm a b 2 a b 2 x m n 2 nm a b 2 x m n a b 2 3、 一元二次函数)0()( 2 acbxaxxfy在区间m,n上的最值类比 2 可求得。 举例： 例 1、函数24 2 xxy在区间4 , 1 上的最小值是（） A、7B、4C、2D、2 例 2、已知函数32 2 xxy在闭区间0,m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值 范围是（） A、), 1 B、0,2C、1,2D、2 ,( 例 3、
36、 如果函数cbxxxf 2 )(对任意实数都有)2()2(tftf， 那么 （） A、)4() 1 ()2(fffB、)4()2() 1 (fff C、) 1 ()4()2(fffD、) 1 ()2()4(fff 例 4、若0, 0yx，且12yx，那么 2 32yxz的最小值为（） A、2B、 4 3 C、 3 2 D、0 例 5、设 21, ,xxRm是方程012 22 mmxx的两个实数根，则 2 2 2 1 xx 的最小 值是。 例 6、)0(24 1 xy xx 的最小值是。 例 7、函数xxy1的最大值是，最小值是。 例 8、已知二次函数)(xf满足条件1)0(f和xxfxf2)(
37、) 1( （1）求)(xf（2）)(xf在区间1，1上的最大值和最小值。 例 9、已知二次函数 1 , 0, 12)( 2 xaxxxf，求)(xf的最小值。 例 10、设 a 为实数，函数Rxaxxxf, 1|)( 2 ，求)(xf的最小值。 课后练习 一、选择题 1、如果实数 x，y 满足1 22 yx，那么)1)(1 (xyxy有（） A、最小值 2 1 和最大值 1；B、最小值 4 3 ，而无最大值 C、最大值 1，而无最小值D、最大值 1 和最小值 4 3 2、函数32)( 2 axxxf在区间1,2上单调，则 a 的取值范围是（） A、 1 ,(B、), 2 C、1,2D、), 2
38、 1 ,( 3、已知函数52)( 2 xxxf在区间m,2上有最小值 4，最大值 5，则 m 的取值范 围是（） A、0,2B、 1 ,(C、0,1D、0,1） 4、 若2 , 122)( 22 xaaxxxf，的最大值为 2， 则 a 的取值范围是 （） A、) 1,(B、), 2( C、1,2D、(1,2) 二、填空题 5、已知函数, 1 , 86)( 2 axxxxf，并且函数 f(x)的最小值为 f(a)，则实数 a 的取值范围是。 6、已知二次函数 f(x)满足1) 1(, 1)2(ff，且)(xf的最大值是 8，则 f(x)= 。 7、已知关于 x 的函数cbxaxxf 2 )(（
39、a，b，c 为常数，且0ab） ，若 )()( 2121 xxxfxf，则)( 21 xxf的值等于。 三、解答题 8、已知函数)0(3) 12()( 2 axaaxxf在区间2 , 2 3 上的最大值为 1，求实 数 a 的值。 9、函数3)( 2 axxxf （1）当Rx时，axf)(恒成立，求 a 的取值范围。 （2）当2 , 2x时，axf)(恒成立，求 a 的取值范围。 10、设 x，y 均非负，2x+y=6，求yxyxyxz3634 22 的最大值和最小值。 十三一元二次不等式 知识归纳 一般式 二次函数一元二次方程一元二次不等式 )0( 2 a cbxaxy acb4 2 )0(
40、 0 2 a cbxax )0( 0 2 a cbxax )0( 0 2 a cbxax 图像与解 0 )( , 21 21 xx xxxx 21 xx 或 21 xx 21 xxx 0 a b xx 2 0 0 xx 无解 0无解R无解 表中 a acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 x y O x1x2 x y O x0 x y O 2、)0(0 2 acbxax恒成立 04 0 2 acb a )0(0 2 acbxax恒成立 04 0 2 acb a 二、典例分析 例 1、解下列不等式 （1）023 2 xx（2）0123 2 xx （3）032 2 xx
41、（4）016 2 xx （5）096 2 xx（6）01 2 xx （7）032 2 xx（8）044 2 xx 例 2、 若不等式04)2(2)2( 2 xaxa对一切Rx恒成立， 则a 的取值范围是 （） A、2 ,(B、2，2C、 （2,2D、)2,( 例 3、若不等式02 2 bxax的解集为) 3 1 , 2 1 (，则 a+b 的值为（） A、10B、10C、14D、14 例 4、若不等式01 2 axx和01 2 xax均不成立，则（） A、 4 1 a或2aB、2 4 1 a C、 4 1 2aD、 4 1 2a 例 5、满足2|p的不等式),(21 2 Rpxpxpxx恒成立
42、的 x 的取值范围是 。 例 6、不等式08|6 2 xx的解集为。 例7、 若012 2 axx恒成立， 不等式054 22 aaxx的解集为。 例 8、解关于 x 的不等式02) 12( 2 xaax 例 9、设ba ，解关于 x 的不等式。 222 )1 ()1 (xbaxxbxa 例 10、已知抛物线cbxaxxfy 2 )(过点（1，0） ，问是否存在常数 a，b，c， 使不等式) 1( 2 1 )( 2 xxfx对一切Rx都成立。 课后练习 一、选择题 1、已知0218 2 mxmx的解集为 R，则 m 的取值范围是（） A、 16 21 0 mB、 16 21 0 mC、 16
43、21 mD、 16 21 0 m 2、关于 x 的不等式025)3( 22 xxm的解集是2 2 1 | xx，则实数 m 的值 为（） A、1B、1C、1D、0 3、 已知不等式0 2 cbxax的解集为2 3 1 |xx， 则不等式0 2 abxcx 的解集为（） A、 2 1 3xB、3x或 2 1 xC、 3 1 2xD、2x或 3 1 x 4、岩函数42)( 2 axaxxf，当 x 为任意实数时，)(xf恒有意义，则 a 的取 值范围是（） A、0a1B、0a1C、0a1D、0a1 二、填空题 5、若 mn，p0 axaaxax 22 | axaxax 22 |或 xa 举例： 例
44、 1、解下列不等式 （1）3| 12|x（2）1|23|x （3）xx | 12|（4）1|22|xx 例 2、不等式 x x x x 2 | 2 |的解集是（） A、20 xB、0 x或2xC、0 xD、2x 例 3、若关于 x 的不等式aaxx|2|在 R 上恒成立，则 a 的最大值是 （） A、0B、1C、1D、2 例 4、若不等式axx|3|4|对一切Rx恒成立，那么实数 a 的取值范围是 （） A、1aB、1aC、1aD、1a 例 5、不等式3|2| 1|xx的解集为。 例 6、不等式1|2| 1|cxx对任意Rx恒成立，则 c 的取值范围是。 例 7、若关于 x 的不等式axx|
45、1|2|无解，则 a 的取值范围是。 例 8、已知关于 x 的不等式7|3|ax的解集为15x求实数 a 的值。 例 9、解下列不等式 （1）2|42| 1|xx（2）02| 1|2 2 xxx 例 10、解关于 x 的不等式 2 ) 1( | 2 ) 1( | 22 aa x 课后练习 一、选择题 1、不等式0|)|1)(1 (xx的解集是（） A、10 xB、0 x且1xC、11xD、1x且1x 2、不等式a x ax | 1 |的解集为 M，且M2，则 a 的取值范围是（） A、), 4 1 (B、), 4 1 C、) 2 1 , 0(D、 2 1 , 0( 3、若不等式axx| 1|2
46、|无解，则 a 的取值范围是（） A、a3B、3aC、3aD、3a 4、若ccxx|2|3|无解，则 c 的取值范围是（） A、31 cB、31 cC、3cD、1c 二、填空题 5、不等式2| 112|x的解集是。 6、满足 22 2|2|xxxx的 x 范围是。 7、不等式| 12|1 2 xx的解集为。 三、解答题 8、若不等式6|2|ax的解集为(1,2)，求实数 a 的值。 9、解不等式3| 1|3| 2 xx 10、已知适合不等式5|3|4| 2 xaxx的 x 的最大值为 3，求 a 的值。 十五、根的分布（一） 知识归纳 设)0()( 2 acbxaxxf，方程0 2 cbxax
47、的两根为 21,x x 1两根都为正 0 0)0( 0 2 04 0 04 21 2 21 2 a c xx af a b acb a b xx acb 2两根都为负 0 0)0( 0 2 04 0 04 21 2 21 2 a c xx af a b acb a b xx acb 3两根一正一负0)0(0 21 fa a c xx 典例分析： 例 1、已知函数1)3()( 2 xmmxxf的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右 侧，则实数 m 的取值范围是（） A、(0,1B、(0,1)C、）（1 ,D、 1 ,（ 例 2、二次函数 y=f(x)满足)3()3(xfxf，且0)(xf有两个
48、不等实根 21,x x， 则 21 xx 等于（） A、0B、3C、6D、不能确定 例 3、若方程0224 1 aa xx 有两个不等的实根，则 a 的取值范围是（） A、02aB、12aC、02aD、10 a 例 4、设 1 x和 2 x是方程04 2 pxx的两个不相等的实根，则下列结论正确的是 （） A、2| 1 x且2| 2 xB、4| 2 xx C、4| 21 xxD、4| 1 x且1| 2 x 例 5、 若关于 x 的不等式450 2 axx有且只有一个解， 则实数 a 等于。 例 6、)0(012 2 axax在1，1上有且仅有一个实数根，则实数 a 的取值范 围是。 例 7、若
49、函数 6 x x y与直线)2( xay有两个位于 y 轴右端的交点，则 a 的取值 范围为。 例 8、设 21,x x分别是关于 x 的二次方程0 2 cbxax和0 2 cbxax的一个 非零实根，且 21 xx ，求证：0 2 2 cbxx a 必有一根在 1 x与 2 x之间。 例 9、已知二次函数cbxaxxf 2 )(和一次函数bxxg)(其中 a，b，c 满足 cba，),(0Rcbacba （1）求证：两函数的图象交于不同的两点 A、B （2）求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1的长的取值范围。 课后练习 一、选择题 1、若方程022 2 axx有一个正根和一个负根，则
50、a 的取值范围是（） A、21aB、2aC、2aD、1a 2、若方程022 2 aaxx有两个不等负根，则 a 的取值范围是（） A、01aB、01aC、21aD、20 a 3、已知抛物线 22 54kxxy与 x 轴的交点，在原点的右侧，则 k 的取值范围是 （） A、RB、 4 5 4 5 k C、 4 5 k或 4 5 kD、 4 5 4 5 k且0k 4、已知二次函数322) 1(2 22 aaxaxy的顶点在第一象限，则 a 的取范围 是（） A、a1B、a2C、a2 或 a2D、2a2 5、已知关于 x 的二次方程06)63()2( 2 kxkxk有两个负根，则实数 k 的取 值范
