1、1 函数压轴小题之多元函数的最值问题 多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知 识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难 度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。 解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（ “1”代换） 、换元法（整体 换元 三角换元） 、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。 类型一导数法类型一导数法 例 1已知函数 2 ( )lg(1)f xxx ，且对于任意的(12x ， 2 1 ()0 1(1) (6) xm ff xxx 恒成立，则m的取值范围为（） A()0
2、， B( 0，C4)，D(12)， 2 【解析】 ( )f x的定义域为R， 22 2 1 ()lg(1)lg()lg(1)( ) 1 fxxxxxf x xx ， ( )f x为奇函数， 又 ( )f x在(0,)上单调递增，高中资料分享 QQ 群：608396916 22 1 () 1(1) (6)(1) (6) xmm fff xxxxx ， 2 1 1(1) (6) xm xxx ， 又(1,2x，则10 x ，60 x，(1)(1)(6)xxxm 恒成立； 设 32 ( )(1)(1)(6)66g xxxxxxx， 则 22 ( )31213(2)13g xxxx ，当12x时( )
3、0g x ， ( )g x在(12，内单调递减，( )g x的最大值为从负数无限接近于0， max ( )0g x， 0m ，0m ，故选：B. 例 2.【2020浙江学军中学高考模拟】 ）已知不等式42( ,4) x exax b a b R a 对任 意实数x恒成立，则 4 4 b a 的最大值为（） A2lnB12ln C2 2lnD22 2ln 【解析】原不等式可以化为(4)20 x eaxb ， 设 f(x)=(4)2() x eaxbx R ,高中资料分享 QQ 群：608396916 所以( )(4) x f xea ，所以只有 a+40，才能有(4)20 x eaxb 恒成立.
4、 此时 min ( )(ln(4 )4 (4) (4) 20.f xfaaaln ab ） 24 1ln(4) 44 b a aa ,设 g(x)= 2 22 1ln(0),( ) x xxgx xx ， 所以 max ( )(2)ln2.g xg所以 4 ln2. 4 b a 故选 A 3 类型二类型二消元法消元法 例 3 已知实数a，b，c满足1abc ， 222 1abc ， 则 333 abc 的最小值是 （） A 1 3 B 5 9 C 7 9 D1 【解析】由1abc ， 222 1abc 可得1 abc， 222 1abc ， 由 2 22 2ababab可得 2 22 2 ab
5、ab ab 所以 2 2 2 11 2 cc abcc ，高中资料分享 QQ 群：608396916 由 2 4abab可得 2 2 14ccc即 2 3210cc ，解得 1 1 3 c， 所以 333223223 11abcabaabbcccccc 2332 121331cccccc， 令 32 331f ccc， 1 1 3 c 2 96332fccccc， 由 0fc 可得 2 0 3 c，由 0fc可得 1 0 3 c或 2 1 3 c， 01f， 32 11111 331 3339 f ， 32 2225 331 3339 f ， 13 3 1 1f ， 所以 32 331f cc
6、c的最小值为 5 9 ，即 333 abc 的最小值为 5 9 .故选：B. 例4. 【2020重庆高考一模】 若实数a， b， c满足2a+2b=2a+b， 2a+2b+2c=2a+b+c， 则c的最大值是 4 【解析】分析：由基本不等式得 2a+2b，可求出 2a+b的范围， 再由 2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用 2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可 解：由基本不等式得 2a+2b，即 2a+b，所以 2a+b4， 令 t=2a+b，由 2a+2b+2c=2a+b+c可得 2a+b+2c=2a+b2c，所以 2c= 因为 t4，所以，即，所以 故
7、答案为 2log23 高中资料分享 QQ 群：608396916 类型三类型三基本不等式法基本不等式法 例 5 【2020 宜昌高考模拟】已知变量 , x y满足 13 11 xy xy ，若目标函数2zxy取到 最大值a，则函数 2 2 4 xa y x 的最小值为（） A1B2C 2 3 D 5 2 【解析】因为（当且仅当时取 等号）,所以.则,记,则 在上单调递增,所以,应选 D. 【易错点晴】本题以线性规划的知识为背景考查的是函数 2 2 4 xa y x 的最小值的求法问题. 求解时充分利用题设中所提供的有效信息,对线性约束条件进行了巧妙合理的运用,使得本题 巧妙获解.解答本题的关键
8、是求出函数 2 2 4 xa y x 中的参数的值.本题的解答方法是巧妙 运用待定系数法和不等式的可加性,将线性约束条件进行了合理的运用,避免了数形结合过程 的烦恼,直接求出2zxy的最大值,确定了参数的值. 5 例 6.2019 湖南五市十校 12 月联考】已知正实数 ， ， 满足，则当取 得最大值时，的最大值为（） ABCD 【解析】由正实数 ， ， 满足，得，当且仅当 ，即时，取最大值 ，又因为，所以此时，所以 ，故最大值为 1 高中资料分享 QQ 群：608396916 【解题秘籍】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，然后再利用基本不等 式，要注意条件：一正二定三相等 例
9、 7.【2020陕西西北工业大学附属中学高考模拟】已知函数( ) xx f xee ，若当0 x 时， ( )1 x mf xem 恒成立，则实数m的取值范围为（） A 1 0, 3 B 1 , 3 C 1 , 3 D 1 1 , 3 3 6 【解析】若当0 x 时， 1 x mf xem 恒成立，即 m（ex+e x1）ex1， x0，ex+e x10，即 m 1 1 x xx e ee 在（0，+）上恒成立， 设 t=ex， （t1） ，则 m 2 1t t1t 在（1，+）上恒成立，高中资料分享 QQ 群：608396916 2 1t t1t = 2 1 111 t tt = 1 1 1
10、1 1 t t 1 3 ， 当且仅当 t=2 时等号成立，m 1 3 故选 B 类型四类型四换元法换元法 例 8 【2020 浙江高考模拟】已知0,0ab，则 2222 62 9 abab baba 的最大值是_ 7 【解析】 33 22224224 62248 9910 abababa b bababa ba 222 2 222 3 2488() 93 10()10 baba abab baba abab 高中资料分享 QQ 群：608396916 令 3ba t ab ，则 22 2 2 3 8() 8 34 ()10 ba t ab bat ab .0,0ab 2 3t ， 2 88 4
11、 4 t t t t 又 4 yt t 在2 3, )上为单调递增, 448 3 ()2 3 32 3 min t t 2222 62 9 abab baba 的最大值是 3 83 8 3 ，故答案为 3. 【点睛】解答本题的关键是将等式化简到 2 2 2 3 8() 3 ()10 ba ab ba ab ，再通过换元将其形式进行等价转 化，最后运用对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如 ( )(0,0) b f xaxab x 的函数称为对勾函数， 其单调增区间为( ,) b a ，(,) b a ； 单调减区间为(,0) b a ，(0,) b a . 例 9.【2020
12、 阜阳市三中调研】已知实数, x y满足 22 1xy ,则11xyxy有（ ） A最小值 2 1 和最大值 1B最小值 4 3 和最大值 1 C最小值 2 1 和最大值 4 3 D最小值 1,无最大值 【解析】由 22 1xy,可设 cos,sinxy,则 11xyxy= 11 1sin21sin2 22 2 13 1sin 2,1 44 ,故选 B 8 例 10.【2019 山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等 式恒成立，其中，则 的取值范围是() ABCD 【 解 析 】 作 出 函 数的 图 象 ， 由 图 像 可 知 ： 函 数在 R 上 单 调 递 减 ， ， 即， 由函数在
13、R 上单调递减， 可得：， 变 量 分 离 可 得 ：， 令， 则， 又 ， ，故选 B高中资料分享 QQ 群：608396916 9 三、强化训练三、强化训练 1已知函数 2 ( ) f xxpxq对,p qR，总有 0 1,5x，使 0 f xm成立，则m 的范围是（） A 5 , 2 B(,2C( ,3D(,4 【解析】由题意可知： 0 1,5x， 0 f xm成立，即 maxmf x， 又对,p qR， maxmf x，所以 max min mf x ，高中资料分享 QQ 群：608396916 又 2 ( ) f xxpxq可看作 2 g xx与 h xpxq 在横坐标相等时，纵坐标
14、的竖直 距离， 由 2 g xx，1,5x，可取1,1 ,5,25AB，所以AB的直线方程为 1: 65lyx， 设l与AB平行且与 2 g xx相切于 00 ,C xy，所以 00 26gxx，所以 0 3x ，所以 切线为 2: 69lyx，高中资料分享 QQ 群：608396916 当 h x与 12 ,l l平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在 12 ,l l的中间， 此时 2 g xx与 h xpxq 在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值， 此时 67h xx，则 2 22 676732f xxxxxx， 又因为1,5x，所以 2 30,4x，所以 max422f x，此时1x
15、 或3或5，所 以m的范围是,2，故选：B. 10 2 设 ( )f x是定义在 R 上的偶函数， 且当 0 x 时，( ) x f xa(1)a .若对任意的0,1xb， 均有 2 ()( )f xbfx，则实数b的最大值是（） A 2 3 B 3 4 C0D1 【解析】当0,1xb时， 2 22 2, xx fxaafx 若对任意的0,1xb，均有 2 ()( )f xbfx即为()(2 )f xbfx， 由于1a ,当0 x 时，( ) x f xa为单调递增函数，又函数 f x为偶函数， ()(2 )f xbfx等价于| |2 |xbx，即| 2xbx（0,1xb）, 由区间的定义可知
16、1b ,若0 xb，于是2xbx,即bx， 由于x的最大值为1b，故bx显然不可能恒成立；高中资料分享 QQ 群：608396916 0,2bxxbx ,即 1 3 xb , 1 1 3 bb ,即 3 4 b ,故b的最大值为 3 4 3已知 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（1）1，当 a，b1，1，且 a+b0 时， （a+b） （f（a）+f（b） ）0 成立，若 f（x）m22tm+1 对任意的 t1，1恒成立， 则实数 m 的取值范围是（） A （，2）0（2，+）B （，2）（2，+） C （2，2）D （2，0）（0，2） 【解析】因为 f（x）是定义在1，1上的奇函数
17、，当 a，b1，1，且 a+b0 时， （a+b） （f（a）+f（b） ）0 成立，所以将b换为b，可得()( ( )( )0abf af b，所以函数 ( )f x 在 1,1上是增函数，所以 max ( )(1)( 1)1f xff ，所以 f（x）m22tm+1 对任意的 t1，1恒成立，等价于 2 121mtm，即 2 20tmm 对任意的 t1，1恒成立， 令 2 ( )2g ttmm，则 ( 1)0 (1)0 g g ，即 2 2 20 20 mm mm ，解得2m 或2m，故选：B 11 4已知实数2,3a，不等式 2 cos(4)sin2(22) |sin2| 0axabxa
18、bxa对 任意xR恒成立，则 2 23aab 的最大值是（） A16B13 C6D2 【解析】令2sin1,3tx，原不等式整理得 2 cos4sin4(2sin )4 |sin2| 0axxbxxa ， 即 2 1(2)4(2)44 | 0attbtta ，高中资料分享 QQ 群：608396916 2 14 | 0atbtta ，即 2 4| 0atbtata ， 两边除以t得： 4 10 aa atb tt ，所以 4 1,1 ( ) 4 1,3 aa atbta tt f t aa atbat tt 4 1,1 42 1,3 atbta t a atbat t ，因为2,3a，故420
19、a，故 42 1,3 a yatbat t 为增函数.又 4 22a a ， 因此 f t在 4 1, a 上递减， 4 ,3 a 上递增，又(1)3fab， 77 (3) 33 fab，且 42 (3)(1)0 33 ffa， 故 max 77 (3)0 33 fxfab.则 222 235735 3713aabaa . 12 5已知函数 2 fxxaxb，当2,2x 时设 fx的最大值为,M a b，则当 ,M a b取到最小值时a （） A0B1C2D 1 2 【解析】 2 22 = () 24 aa f xxaxbxb，当2,2x 时设 fx的最大值，在端 点处或最低点处取得 2 ,m
20、ax42, 42, 4 a M a bababb ,2 0,max 4, 4, 4,2 bb Mbbb b b b ，最小值为 2 17 ,2 148 1,max6, 2,= 4 7 6,2 8 b b Mbbbb b b ，最小值为 1 3 8 1,3.5 2,max 8,1 8,3.5 b b Mbbbb b b ，最小值为 4.5 115 ,2 111632 ,max5, 3, 216 15 5,2 32 b b Mbbbb b b ，最小值 17 2 32 综上可得，,M a b取到最小值时a 0.故选：A 高中资料分享 QQ 群：608396916 13 6已知函数 4 ( ), ,
21、) a f xxb xb x ，其中0,baR，记M为( )f x的最小值，则 当2M 时，a的取值范围为（） A 1 3 a B 1 3 a C 1 4 a D 1 4 a 【解析】当0a 时， ( )f x在 ,)b 上单调递增， 所以 min 4118 ( )( )220 2 aa f xf bbbb b Q，因此0a 满足题意； 当0a 时， ( )f x在2 ,)a 上单调递增，在(0,2)a上单调递减 因此当2 a b 时， ( )f x在 ,)b 上单调递增，所以高中资料分享 QQ 群：608396916 2 min 4118 ( )( )2220180,2 2 aa f xf
22、bbbbaaba b Q， 22 2 1211 8 20 42432 bba ababbbbb 11 8 21 841 2 a aaa 1 0 16 a或 1 1 160 16 1 81681 a a aaa 或 111 0 1699 aa 当2 a b 时， ( )f x在2 ,)a 上单调递增，在 ,2)ba上单调递减， 所以 min 11 ( )(2)42022240 94 f xfaabbaaaaQ； 综上，a的取值范围为 1 4 a ， 故选：D 14 7 函数( )| |f xx x 若存在1,)x， 使得(2 )0f xkk， 则k的取值范围是 （） A(2,)B(1, )C 1
23、 , 2 D 1 , 4 【解析】当 1 2 k 时，20 xk，因此(2 )0f xkk，可化为 2 (2 )0 xkk，即存 在1,)x， 使 22 ( )440g xxkxkk成立， 由于 22 ( )44g xxkxkk的对称 轴为21xk， 所以 22 ( )44g xxkxkk， 当1,)x单调递增， 因此只要(1)0g， 即 2 1440kkk ，解得 1 1 4 k，又因 1 2 k ，所以 11 42 k，当 1 2 k 时， ( )(2 )g xf xkk，(2 )0gkk ，满足题意，综上， 1 4 k 故选：D 8若存在实数a，对任意(0,xm，不等式 2 1 2ln0
24、 a xxa x 恒成立，则实数m的 取值范围是（） A(0,2 B 15 0, 2 C 35 0, 2 D 35 0, 2 【解析】对任意(0,xm，不等式 2 1 2ln0 a xxa x 恒成立， 等价于不等式 2 2ln(1)ln 0 xxaax恒成立， 等价于 2 (2(1)0 xxaax恒成立， 等价于 2 2(1)0axxax 恒成立， 等价于函数 2 ( )2f xxx的图象和函数( )1g xx 的图象分别位于直线y a 的两侧 在直角坐标系内画出函数 2 ( )2f xxx和函数( )1g xx 的图象如图所示， 由 2 2 1 yxx yx 解得 35 2 A x , 1
25、5 所以两个函数图象的横坐标较小的交点坐标为 3515 , 22 A ， 由图易得当 15 2 a 时，m取得最大值，令 2 15 2 2 xx ，解得 max 15 2 m ， 所以m的取值范围为 15 0, 2 ，故选：B 9 已知函数 2 log1f xx的定义域为1,2， 22 g xfxf xm， 若存在实数a， b， cy yg x，使得a bc，则实数m的取值范围是（） A 7 4 m B2m C3mD 1 4 m 【答案】D 【解析】 fx的定义域为1,2，由 2 12 12 x x ，解得1 2x ， 22 ( )( )()g xfxf xm的定义域为1, 2 ， 22 22
26、2 2222 1 log142fxf xmxlog xmlog xlog xm ， 令 2 log xt，1,2x ， 1 0, 2 t ，则 22 ( )42(2)2h tttmtm, 当 1 0, 2 t 时为( )h t增函数 , min ( )(0)2h thm， max 117 ( )( ) 24 h thm， 存在实数 , ,|a b cy yg x, 使得abc， minmax 2h th t即 17 42 4 mm，解得 1 4 m 故选：D 10已知函数 2 ln(2),1, ( ) 1,1, x x f x xx 若( )0f xaxa 恒成立，则实数a的取值范围是 （）
27、A 1 ,1 2 B0,1C1, )D0,2 16 【答案】D 【解析】因为 2 ln(2),1, ( ) 1,1, x x f x xx 由( )(1)f xa x恒成立，分别作出|( )|yf x及 (1)ya x的图象， 由图知， 当0a 时， 不符合题意， 只须考虑0a的情形， 当(1)ya x 与( ) (1)yf xx图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此时 2 1 (1) |2 x ax ，故 02a . 故选：D 11设定义在R上的函数 fx满足 21f xf x，且当1,0 x 时， 1f xx x .若对任意,x，不等式 3 4 f x 恒成立，则实数的最小值是 （）
28、A 17 8 B 9 4 C 11 4 D 23 8 【来源】河南省鹤壁市高级中学 2020 届高三下学期线上第四次模拟数学（文）试题 【答案】B 【解析】由已知 21f xf x，当1,0 x 时， 2 1113 24 1 44 f xxxx 恒成立， 可得当2, 1x 时，+11,0 x ， 17 2 3113 ( )2 (1)2(1)(1)12 2224 f xf xxxx 恒成立； 当3, 2x 时，+21,0 x ， 21423f xf xxx . 画出函数草图，令 3 423 4 xx， 化简得 2 1680990 xx ，解得 1 9 4 x ， 2 11 4 x ， 由图可知，
29、当 9 4 时，不等式 3 4 f x 恒成立. 故选：B. 12函数 fx、 g x分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且 2 x f xg xe，若存 在2(0,x，使不等式 20fxmg x成立，则实数m的最小值为（） A4B4 2C8D8 2 【来源】2020 届四川省巴中市高三第一次诊断性数学（理）试题 【答案】B 【解析】 2 x f xg xe， 2 x fxgxe，又函数 fx、 g x分别是定义在R上的偶函数、奇函数， ( )2 ( ) x f xg xe， 由得 1 ( )() 2 xx f xee， 1 ( )() 4 xx g xee， 不等式 20fxmg x为 22 11 ()()0 24 xxxx eem ee ， （*） ， 设 xx tee ，这是一个增函数，当0 2x （ ，时， 2 2 1 (0,te e ， 18 （*）变为 2 1 20 2 tmt， 2 2(2)2 2() t mt tt ， 若存在2(0,x，使不等式 20fxmg x成立，则为： 存在 2 2 1 (0,te e ，使 2 2()mt t 成立， 由于 22 2()2 24 2tt tt ，当且仅当 2 t t ，即 2t 时等号成立， 2 2() 2 t 的最 小值是4 2 4 2m 故选：B.
